problemas de funciones

1. UNIDAD III: EJERCICIOS SOBRE DERIVADAS
1.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
23
22
2
123 432
)()
1
1
)()
)23()()
22
1
)()
•3)()3
5
2
3)()
2
xLnexff
x
x
Lnxfe
xLnxfd
x
x
xfc
exxfbxxxxfa
x
x








 
2.- Usando la calculadora científica, determina el valor de la pendiente en
los puntos dados para cada función:
 
2;)()0·2)()
2;)()1;)()
0);()()5.0;1)()
2);23(1)()0;23)()
0;•)()1;1)()
0
)(
0
35
00
)(
00
2
0
295
0
2
00
5
2
2














xxxfjxxxfe
ax
ax
ax
Lnxfixexfd
xeLnxfhxexfc
xxxxfgxxLnxfb
xexxffxexfa
xLnx
xeLn
xx
xx
x
3.- Dada la función f(x) = 3x3 - 2x2 - 5x - 1, señala si es creciente o
decreciente en cada uno de los siguientes puntos e indica por qué: x = 1, x
= 2, x = -1, x = 0.
4.- Calcula la ecuación de la recta tangente a la función f x ex
( )  1
en el
punto x = 1.
5.- Hallar los puntos en los que la tangente a la curva 13
3
2
3
 xx
x
y
es:
a) Paralela al eje OX.
b) Paralela a la recta y = 5x + 3.
c) Perpendicular a la recta 1
3

x
y
6.- Halla un punto de la gráfica y=x2
+ x + 5 en el cual la recta tangente
sea paralela a la recta y=3x - 8.
7.- Halla los valores de a y b para los cuales la recta tangente a la curva
y=x2
+ ax + b en el punto P(3, 0) sea paralela a la recta y = 3 + 2x.

2. 8.- Dada la función y=x2
- 4x + 3, encuentra un punto de su gráfica en el
cual la recta tangente a ella sea paralela a la recta secante a la curva dada en
los puntos de abscisas x=1 y x=4.
9.- Determina los coeficientes a y b de la parábola y= ax2
+ bx + 2,
sabiendo que la recta tangente en el punto x=1 es la recta y= -2x.
10.- Una empresa tiene la siguiente función de producción: Q =
23
10
3
2
HH  , donde H representa el número de horas de trabajo
aprovechadas por la empresa diariamente, y Q el número de quintales
obtenidos de un determinado producto agrícola.
a) Halle el valor de H para el cual el producto total es máximo. Halle el
producto total máximo.
b) Graficar esta función.
11.- Dada la función de demanda qp  4 y la función de costo medio de
un monopolista, meC =
q
q
4
2  .
a) Represente las funciones de costo total e ingreso total en un mismo
gráfico.
b) Represente las funciones de costo marginal e ingreso marginal en otro
gráfico.
c) Determine el valor de q que maximiza la ganancia. Compruebe estos
resultados en los gráficos de los incisos a) y b). Halle la ganancia máxima.
12.- Para el producto de un monopolista, la función de demanda es: p = 72 -
0,04q, y la función de costos es C = 500 +30q.
a) ¿A qué nivel de producción se maximiza la utilidad?
b) ¿A qué precio ocurre este, y cuál es la utilidad correspondiente?
13.- Para el producto de un monopolista, la función de demanda es:
q
p
50

; y la función de costo promedio es:
q
C
1000
50,0  . Encuentre el precio y
la producción que maximizan la utilidad.
14.- Un fabricante ha determinado que, para cierto producto, el costo
promedio C por unidad, está dado por:
q
qqC
200
210362 2
 , donde
102  q .
a) ¿A qué nivel dentro del intervalo [2; 10] debe fijarse la producción para
minimizar el costo total?
b) Si la producción tuviese que encontrarse dentro del intervalo [5; 10],
¿qué valor minimiza el costo total?

3. 15.- La demanda de un mercado monopolizado sigue la ley: p = 100 -3x, y
el monopolista produce x unidades a un costo total de: 15003
2
1 2
 xxC .
Determinar el precio del artículo y la cantidad que debe producirse para
obtener la máxima utilidad.
16.- Un fabricante puede producir cuando mucho, 420 unidades de cierto
artículo cada año. La ecuación de demanda para ese producto es: p = q2 -
100q +3200, y la función de costo promedio del fabricante es:
q
qqC
10000
40
3
2 2
 .
Determine la producción que maximiza la utilidad y la correspondiente
utilidad máxima.
17.- Para el producto de un monopolista, la ecuación de demanda es: p = 42
-4q y la función de costo promedio es:
q
C
80
2  . Encuentre el precio que
maximiza la utilidad.
18.- Sea
1
( )
3
x
y f x
x

 
 . Halle la ecuación de la recta tangente y la
ecuación de la recta normal, en el punto de abscisa 1.
19.- Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a la gráfica de
la función:
1
( )
1
x
y f x
x

 

que pasa por el punto (2 ) ( ),k f x .
20.-Halle la ecuación de la recta tangente y normal a la curva
2
( )
1
f x x
x
 

, en el punto donde 2x  .
21.- Sea :
2
2
3
3 6
( )
x
y g x
x

  , halle la ecuación de la recta tangente y
normal a la gráfica de ( )y g x que pasa por el punto (1, ) ( )g xk  .
22.-En las funciones siguientes determina los intervalos de monotonía,
hallando la posición de los puntos críticos y sólo con dicha información
intenta razonar la existencia en los mismos de mínimos, máximos o puntos
de inflexión:
2
3 2
3
) 1
1
) 2
3 2 3
) 27 36
a y x x
x x
b y x
c y x x
  
   
  
   
2 3
4
) 3 2
) 2 11 13
)
d y x x
e y x x x
f y x
 
   
