Sa fourier con matlab

1
Señales y Análisis de Fourier
En esta práctica se pretende revisar parte de la materia del tema 2 de la asignatura desde la
perspectiva de un entorno de cálculo numérico y simulación por ordenador. El objetivo
fundamental es familiarizarse con la definición, manipulación y representación de señales en
MATLAB. Para ello, en primer lugar, repasaremos y consolidaremos las nociones de MATLAB
adquiridas en la práctica anterior; en particular la definición, operación y representación de
señales en el dominio del tiempo. Posteriormente, utilizaremos algunas de las funciones que
ofrece MATLAB para el Análisis de Fourier así como para la manipulación de señales en los
dominios del tiempo y la frecuencia,

1. Introducción
Como ya estudiamos en diversos ejemplos de la práctica anterior, MATLAB es
muy utilizado en la definición, manipulación y representación de señales
analógicas. Siendo rigurosos, el procedimiento seguido en esos ejemplos no es
adecuado para el análisis de señales analógicas; es más, en general, MATLAB
no permite analizar señales analógicasi. Esto se debe a que la forma natural de
representar una señal en MATLAB es definir una secuencia finita de valores
mediante un vector fila. Así, como veremos en el siguiente ejercicio, podemos
definir la secuencia de instantes de tiempo equidistantes (intervalo 1 ms) entre 0
y 0.25s. Y del mismo modo, definimos una señal sinusoide como una secuencia
de valores.

Ejercicio 1

Genere una secuencia de instantes de tiempo que parta de t=0s y llegue hasta
t=0.25s en intervalos de 1ms. Construya una función seno en esa base de
tiempo de amplitud 1 y frecuencia 5Hz. Use plot para dibujar la forma de onda.
Además, destaque cada punto de la gráfica con *.

>> Tinicial=0; % Definimos el tiempo inicial
>> Tfinal=0.25; % Definimos el tiempo final
>> step=0.001; % Definimos el paso entre instantes de tiempo
>> t=Tinicial:step:Tfinal-step; % Se genera el vector de tiempos
>> y=1*sin(5*2*pi*t); % Se genera y
>> plot(t,y); hold on; % Dibujamos y
>> plot(t,y,’*’); % Dibujamos las muestras de y

i. Salvo que se usen bloques funcionales o toolboxes

Señales y Análisis de Fourier 2

Por tanto, siendo estrictos, en MATLAB toda señal es discreta en tiempo, mien-
tras que en amplitud puede ser discreta (cuantizada) o continua (aunque limi-
tada por la precisión de los tipos numéricos). No obstante, si los intervalos
temporales entre valores son suficientemente pequeños y el rango temporal en
el que se define la señal es suficientemente amplio, la secuencia de valores
empleada para representar la señal y las operaciones realizadas para su análisis
proporcionan una buena aproximación a los resultados teóricos. En el caso más
simple y frecuente, los valores se toman en instantes equiespaciados, intervalo
que no debe confundirse con el periodo de muestreo. De momento, ignoraremos
el efecto de la discretización de señales (utilizaremos intervalos de tiempo sufi-
cientemente pequeños, de modo que los efectos sean despreciables). Asimismo,
la amplitud de las señales está sometida a una discretización que, dada la pre-
cisión de los tipos numéricos empleados en MATLAB, podemos ignorar.

1.1. Señales especiales.

Vamos a ver una posible forma de representar en MATLAB algunas señales
analógicas típicas.
SEÑAL ESCALÓN
% Ejemplo de señal escalon
>> t=-10:0.01:10;
>> f_escalon=[zeros(1,1000),ones(1,1001)];
>> plot(t,f_escalon);

SEÑAL PULSO
% Ejemplo de señal pulso
>> t=-10:0.01:10;
>> f_pulso=[zeros(1,950),ones(1,101),zeros(1,950)];
>> plot(t,f_pulso);

SEÑAL SAMPLING
% Ejemplo de señal sampling
>> t=-10:0.01:10;
% Señal sampling nula en t=n*pi, n=1,2,...
>> f_sampling=sin(t)./t;
>> plot(t,f_sampling);
% Señal sinc nula en t=n, n=1,2,...
>> f_sinc=sinc(t);
>> plot(t,f_sinc);

SEÑAL IMPULSO O DELTA DE DIRAC
% Ejemplo de señal impulso
>> t=-10:0.01:10;
>> f_impulso=[zeros(1,1000),1,zeros(1,1000)];
>> plot(t,f_impulso);

SEÑAL DIENTE DE SIERRA
% Ejemplo de señal diente de sierra de periodo 0.1Hz
% sawtooth(x,width) señal en diente de sierra con periodo 2*pi para los
% elementos del vector x. El parámetro “width” es un escalar entre

2. Análisis de Fourier 3

% 0 y 1, y describe la fracción del periodo 2*pi en el que ocurre el
% máximo.
>> t=-10:0.01:10;
>> width=0.10;
>> f_sierra=sawtooth(2*pi*0.1*t,width);
>> plot(t,f_sierra);

SEÑAL TRIANGULAR
% Ejemplo de señal triangular de periodo 0.1Hz
% Es un caso particular de señal diente de sierra con width=0.5
>> t=-10:0.01:10;
>> f_triangular=sawtooth(2*pi*0.1*t,0.5);
>> plot(t,f_triangular);

SEÑAL EXPONENCIAL
% Ejemplo de señal exponencial decreciente
>> t=-10:0.01:10;
% tau: constante de tiempo (RC)
>> tau=200e-2;
>> f_expon=exp(-t/tau);
>> plot(t,f_expon);

SEÑAL CUADRADA
% Ejemplo de señal cuadrada de frecuencia 0.5Hz
% square(x,duty) genera una onda cuadrada de periodo 2*pi con un duty cycle dado
>> t=-10:0.01:10;
>> duty=50; % porcentaje del periodo en el que la señal es positiva
>> f_cuadrada=square(2*pi*0.5*t,duty);
>> plot(t,f_cuadrada);

2. Análisis de Fourier
Las series de Fourier permiten describir señales periódicas como una combi-
nación de señales armónicas (sinusoides). Con esta herramienta, podemos anal-
izar una señal periódica en términos de su contenido frecuencial o espectro.
Además, nos permite establecer la dualidad entre tiempo y frecuencia, de forma
que operaciones realizadas en el dominio del tiempo tienen su dual en el
dominio frecuencial. Utilizando operaciones sobre vectores, se pueden calcular
fácilmente los coeficientes de Fourier correspondientes a una señal. En el ejerci-
cio 2, se definen el vector n, que contiene los índices de los coeficientes, y el
vector cn, que contiene los coeficientes. Los coeficientes cn, son los coefi-
cientes espectrales de la señal. La gráfica de esos coeficientes en función del
índice armónico n o de las frecuencias nωo se denomina espectro. Hay dos tipos
de gráficos, uno con la magnitud de los coeficientes y otro de la fase. Ambas
funciones son discretas en frecuencia.


Ejercicio 2

Escriba un fichero MATLAB que proporcione los coeficientes de Fourier de una
señal cuadrada de periodo 0.2s (frecuencia 5Hz) y amplitud igual a 1V.

% Obtener los coeficientes de Fourier para una señal cuadrada de periodo
% 0.2s y amplitud 1.
clear;
% frecuencia de la señal cuadrada (=1/T)
f=5;
T=1/f;
% Indice de los coeficientes
n=1:10;
% Coeficientes de Fourier
cn=2*(cos(n*pi)-1)./(-2*j*n*pi);
co=1;
subplot(2,1,1);
stem(n,abs(cn));
ylabel('Magnitud de cn');
subplot(2,1,2);
stem(n,angle(cn));
ylabel('fase de cn');
xlabel('n');

A partir de la serie de Fourier, es posible reconstruir una señal periódica. Cuanto
mayor sea el número de armónicos utilizado en el desarrollo en serie, mejor será
la reconstrucción. Un parámetro importante en la reconstrucción de señales es la
velocidad de convergencia, o lo que es lo mismo, la velocidad con la que los
coeficientes de Fourier tienden a 0.

Ejercicio 3

Escriba un fichero en MATLAB para dibujar n armónicos de una señal cuad-
rada de periodo 0.2s y amplitud 1.

% Desarrollo en serie de Fourier de una señal cuadrada de periodo 0.2s y amplitud 1
clear;
% frecuencia de la señal cuadrada (=1/T)
f=5;
T=1/f;
% Indice de los coeficientes
n=1:10;
% Generamos la serie de Fourier
t=-1:0.01:1; % vector de tiempos
for i=1:50
for k=1:size(t,2)
s(i,k)=(2*(1-cos(pi*i))/(pi*i))*sin(2*pi*i*f*t(k));
end
end
for k=1:size(t,2)
st(k)=sum(s(:,k));
end

2. Análisis de Fourier 5

st(1)=st(1)+1;
plot(t,st,'r');
hold on;
% Señal cuadrada original
f_cuadrada=square(2*pi*f*t,50);
plot(t,f_cuadrada);
xlabel(‘tiempo’);
ylabel(‘Amplitud’);

MATLAB está equipado con funciones especiales que nos van a permitir real-
izar un análisis de Fourier de funciones definidas por un conjunto de valores
discretos. Por ejemplo, el comando fft() nos permite obtener la transformada
rápida de Fourier (fast Fourier Transform) de una secuencia de números
definida por el vector x. Por ejemplo:
>> X=fft(x);
donde X es un vector de números complejos ordenados desde k=0...N-1. Si
queremos que sea más eficiente en el cálculo de la ffT, la longitud del vector x
deberá ser una potencia de 2. Podemos rellenar de ceros el vector x para que
tenga la longitud apropiada. Esto se consigue automáticamente haciendo:
>> X=fft(x,N);
donde N es exponente de 2. Mientras más largo sea x, más fina será la escala
para la ffT. Debido a un fenómeno de plegamiento del espectro, sólo la primera
mitad de los puntos obtenidos son de utilidad. La función fftshift() reordena el
vector X en orden creciente de frecuencia. Si X es el vector resultante de hacer
una ffT, utilizando esta función reordenamos los puntos en función de la fre-
cuencia.
>> X=fftshift(X);

Ejercicio 4

Obtenga la transformada de Fourier de una señal exponencial modulada en
amplitud con una frecuencia de portadora de 200Hz, x(t)=exp(-
2·t)·sin(2·pi·200·t).

% Ejemplo de una ffT de una señal exponencial modulada en amplitud
% con una frecuencia portadora de 200Hz.

% Definicion de la señal
t=-0.25:0.001:0.25;
x=exp(-2*t).*sin(2*pi*200*t);
% Representacion en el tiempo
subplot(3,1,1);
plot(t,x);
title('x(t)=exp(-2t)·sin(2·pi·200·t)');
xlabel('Tiempo (t)');ylabel('x(t)');
% Transformada de Fourier
X=fftshift(fft(x));
% Magnitud y fase de la transformada
Xm=abs(X);
Xf=unwrap(angle(X))*180/pi;
% Base de frecuencias


delta_t = t(2)-t(1);
f = ((1:length(t)) - ceil(length(t)/2)) / length(t) / delta_t;
% Representacion en frecuencia
subplot(3,1,2);
plot(f,Xm,'r');
title('Módulo de transformada de Fourier de x(t)');
xlabel('frecuencia (Hz)');ylabel('|X(jw)|');
subplot(3,1,3);
plot(f,Xf,'r');zoom;
title('fase de la transformada de Fourier de x(t)');
xlabel('frecuencia (Hz)');ylabel('fase X(jw)');

A partir de la transformada de Fourier, es posible reconstruir la señal en el
dominio del tiempo. El comando ifft() sirve para obtener la transformada
inversa de Fourier de una serie de números complejos:
>> x=ifft(X);

Ejercicio 5

Obtenga la transformada de Fourier de una señal exponencial modulada en
amplitud , x(t)=exp(-2·t)·sin(2·pi·3·t). Realice la transformada inversa y
obtenga la señal en el tiempo a partir de su transformada.

% Obtención de la señal en el tiempo a partir de su transformada

% Definicion de la señal
t=-0.25:0.001:0.25;
x=exp(-2*t).*sin(2*pi*3*t);
% Representacion en el tiempo
figure(1);
plot(t,x);
title('x(t)=exp(-2t)·sin(2·pi·200·t)');
xlabel('Tiempo (t)');ylabel('x(t)');
% Transformada y representacion en frecuencia
Xt=fft(x);
X=fftshift(Xt);
% Magnitud y fase de la transformada
Xm=abs(X);
Xf=unwrap(angle(X))*180/pi;
f = ((1:length(t)) - ceil(length(t)/2)) / length(t) / delta_t;
figure(2);
subplot(2,1,1);
plot(f,Xm,'r');zoom;
title('Módulo de transformada de Fourier de x(t)');
subplot(2,1,2);
plot(f,Xf,'r');zoom;
title('fase de la transformada de Fourier de x(t)');
xlabel('frecuencia (Hz)');ylabel('fase X(jw)');

3. Producto de Convolución 7

% Obtener la señal en el dominio del tiempo a partir de su transformada
xrec=ifft(Xt);
figure(3);
plot(t,xrec);
title('Transformada inversa')
xlabel('Tiempo (t)');ylabel('xrec(t)');

3. Producto de Convolución
La convolución es una potente herramienta matemática utilizada en el proce-
sado de señales. Aunque en general se define como un operador que permite
determinar la respuesta de un sistema lineal, invariante en el tiempo ante una
determinada entrada, también se puede aplicar a dos señales arbitrarias. La con-
volución de f y g se denota por f*g y se define como la integral del producto de
ambas funciones después de que una sea invertida y desplazada. En MATLAB
contamos con la función conv() que realiza la la convolución de los vectores x y
h. El vector resultante tiene un tamaño igual a length(x)+length(h)-1.
>> y=conv(x,h);

Ejercicio 6

Genere un fichero MATLAB donde realice la convolución de una señal coseno
de frecuencia 100Hz y una señal escalón. Compruebe que se verifican las
propiedades de la transformada de Fourier respecto al producto de convolu-
ción.

% Obtención de la señal en el tiempo a partir de su transformada

% Definicion de las señales
t = -pi:0.001:pi;
g_escalon=[zeros(1,1000*pi+1), ones(1,1000*pi+1)];
w = 2*pi;
g = cos(w*100*t);
g_conv = conv(g,g_escalon);
figure(1);
subplot(3,1,1);
plot(t,g_escalon);
title('SEÑAL ESCALON');
xlabel('Tiempo (t)');ylabel('e(t)');
subplot(3,1,2);
plot(t,g);
title('cos(2·pi·t)');
xlabel('Tiempo (t)');ylabel('cos(2*pi*100*t)');

% Convolucion
g_conv = conv(g,g_escalon);
subplot(3,1,3);
plot(t,g_conv(1:length(g)),'r')
title('Convolucion');
xlabel('Tiempo (t)');


% Transformada y representacion en frecuencia de la convolucion
G_conv=fftshift(fft(g_conv));
% Magnitud de la transformada
Gm_conv=abs(G_conv);
f = ((1:length(g_conv)) - ceil(length(g_conv)/2)) / length(g_conv) / delta_t;
figure(2);
subplot(2,1,1);
plot(f,Gm_conv,'r');zoom;
title('Transformada de Fourier del producto de convolucion)');

% Obtener G_conv como el producto de los espectros
G_escalon=fftshift(fft(g_escalon));
G=fftshift(fft(g));
G_conv2=G.*G_escalon;
f2 = ((1:length(t)) - ceil(length(t)/2)) / length(t) / delta_t;
subplot(2,1,2);
plot(f2,abs(G_conv2),'r');zoom;
title('Producto de las transformadas de Fourier)');

4. Espectros de densidad de potencia y energía
Las señales se pueden clasificarse según sean de energía o de potencia.
∞
2
• Energía de una señal: E = ∫ X ( f ) df
–∞
∞

• Potencia de una señal: P = ∫ S g df
–∞
Una señal se dice que es de energía si su E es finita, lo que implica que su poten-
cia es cero. Por ejemplo, los pulsos limitados en el tiempo.Una señal se dice que
es de potencia si su potencia es finita, lo que implica que su energía es infinita.
Un ejemplo de este tipo de señales lo encontramos en las señales periódicas.
Para el cálculo de estos espectros disponemos, además de las funciones para el
análisis de Fourier anteriores, de la función psd(), que proporciona la densidad
espectral de potencia de una señal en dB.
>>Sg=psd(x,);

Ejercicio 7

Genere un fichero MATLAB donde realice la densidad espectral de potencia de
una señal coseno de frecuencia 100Hz.

5. Cálculo simbólico 9

% Densidad espectral de potencia
t=-pi:0.001:pi;
w=2*pi*100;
g=cos(w*t);
PSD=psd(g,2^10,lenght(g));
plot(PSD);

5. Cálculo simbólico
Durante la práctica hemos representado las señales mediante vectores y hemos
manipulado las señales esencialmente mediante operaciones con vectores. Esta
es la forma habitual de trabajar con MATLAB. No obstante, aunque en prin-
cipio MATLAB no se diseño para realizar operaciones simbólicas, sí es posible
definir y manipular señales (y funciones en general) de manera simbólica, si
disponemos del Toolbox para el cálculo simbólico. Así, como en el ejercicio 8,
podemos definir una función seno o delta de dirac y calcular su transformada de
Fourier de forma simbólica.

Ejercicio 8

Definir una función seno de forma simbólica y calcular su transformada de Fou-
rier.
% Análsis de Fourier con cálculo simbólico
syms t % crear variable simbólica
g=sin(2*pi*t);
G=Fourier(g); % Transformada de Fourier
ezplot(g);
ginv=iFourier(G); % Transformada inversa

6. Cuestionario de Evaluación

6.1. Serie de Fourier

• Escriba un fichero en MATLAB (coeficientes_Fourier.m) que proporcione
los coeficientes de Fourier de la señal de la fig 1. Genere un fichero en
MATLAB (dibuja_armonicos.m) que permita dibujar n armónicos de dicha
señal.

6.2. Transformada de Fourier

• Genere un fichero en MATLAB (transformada_Fourier.m) para obtener la
transformada de Fourier de la señal, x(t)=sen(2·pi·200·t+sin(2·pi·2·t)).
Realice la transformada inversa y obtenga la señal en el tiempo a partir de
su transformada.


1
T

t
−τ/2 τ/2

Fig. 1

6.3. Producto de Convolución

• Genere un fichero MATLAB (convolucion.m) donde se realice la convolu-
ción de una señal coseno de frecuencia 50Hz y una señal pulso. Represente
gráficamente las señales obtenidas.

NOTA: no será necesaria la entrega de una memoria. La evaluación de esta
práctica se basará en los archivos requeridos en cada ejercicio.

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