Serie trigonometrica de fourier explicada con detalle

1. Tema 7.- SERIES DE FOURIER
Ampliación de Matemáticas.
Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.
Índice
1. Series trigonométricas y series de Fourier. Coeficientes de Fourier 1
2. Series de Fourier de funciones pares y de funciones impares 2
3. Convergencia puntual de las series de Fourier 3
4. Series de cosenos y series de senos 3
5. Otras formas de expresión de las series de Fourier. Forma exponencial. 4
6. Espectro de líneas y síntesis de formas de onda 6
1. Series trigonométricas y series de Fourier. Coeficientes de
Fourier
Toda serie funcional que se pueda expresar en la forma
∞ µ ¶
a0 X 2πn 2πn
+ an cos x + bn sen x
2 n=1
T T
donde T ∈ R+ , a0 , a1 , a2 , . . . , b1 , b2 , . . . son constantes reales, se denomina serie trigonométrica y los
an , bn son los coeficientes de la misma.
Dado un número real x0 , observemos que si en la serie se sustituye la variable x por cualquier número
de la forma x0 + kT con k ∈ Z, la serie numérica obtenida es la misma cualquiera que sea k, puesto que:
2πn 2πn
an cos (x0 + kT ) + bn sen (x0 + kT ) =
µT ¶ T µ ¶
2πn 2πn
= an cos x0 + 2knπ + bn sen x0 + 2knπ
T T
2πn 2πn
= an cos x0 + bn sen x0
T T
Por esta razón, se puede afirmar que si la serie trigonométrica converge en el punto x0 , entonces también
converge en todo punto de la forma x0 + kT, y que su suma es la misma en cualquiera de dichos puntos.
En consecuencia, si la serie trigonométrica converge, su suma será una función periódica, de período T .
Definición 1.1 Sea f una función integrable en [0, T ]. Se llaman coeficientes de Fourier de f a los
números Z
2 T 2πn
an = f (x) cos xdx n = 0, 1, 2, 3, . . .
T 0 T
Z T
2 2πn
bn = f (x) sen xdx n = 1, 2, 3, . . .
T 0 T
1

2. Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 2
La serie trigonométrica que tiene estos coeficientes se denomina serie de Fourier de f en [0, T ].
Cuando la función f es además periódica de período T , la serie citada se denomina simplemente serie de
Fourier de f .
Para construir la serie de Fourier de una función sólo hay que calcular sus coeficientes, y para ello, de
acuerdo con la Definición 1, basta con que f sea integrable. Pero hasta ahora no se ha expuesto ningún
argumento que permita decidir nada acerca de la convergencia de esta serie, ni tampoco, si la suma es
o no la función f . Es decir, una cosa es obtener la serie de Fourier de una función, y otra muy distinta
determinar su convergencia y eventualmente su suma. Dejaremos para más tarde estas últimas cuestiones.
Obsérvese que, en el caso de ser f una función T -periódica, los integrandos serían funciones de período
T , y entonces, de acuerdo con la Proposición A.2 del Apéndice, es posible reemplazar el intervalo de
integración por cualquier otro intervalo de longitud T (como por ejemplo, el intervalo [−T /2, T /2]), lo
que en ciertas circunstancias puede facilitar el cálculo de los coeficientes de Fourier.
2. Series de Fourier de funciones pares y de funciones impares
En el cálculo de la serie de Fourier correspondiente a una función f , es posible evitar trabajo innecesario
al determinar los coeficientes de la serie cuando la función f considerada sea o bien una función par o
bien una función impar, como veremos a continuación:
Si f es una función integrable en [0, T ], y además periódica de período T , su serie de Fourier es
∞ µ ¶
a0 X 2πn 2πn
+ an cos x + bn sen x
2 n=1
T T
y sus coeficientes se obtienen empleando las fórmulas
Z
2 T 2πn
an = f (x) cos xdx n = 0, 1, 2, 3, . . .
T 0 T
Z
2 T 2πn
bn = f (x) sen xdx n = 1, 2, 3, . . .
T 0 T
que también se pueden expresar (considerando la periodicidad de f ) en la forma
Z
2 T /2 2πn
an = f (x) cos xdx n = 0, 1, 2, 3, . . .
T −T /2 T
Z
2 T /2 2πn
bn = f (x) sen xdx n = 1, 2, 3, . . .
T −T /2 T
Así, se tiene que:
i) Cuando f es par, al calcular los coeficientes an las funciones a integrar son funciones pares, ya que
tanto f como los cosenos lo son; sin embargo, al calcular los bn las funciones a integrar son impares,
porque f es par y los senos impares, de ahí que de acuerdo con la Proposición A.3 del Apéndice
resulte
Z
4 T /2 2πn
an = f (x) cos xdx n = 0, 1, 2, 3, . . .
T 0 T
bn = 0 n = 1, 2, 3, . . .
y por tanto la serie de Fourier obtenida es una serie cosenoidal, es decir, es de la forma
∞
a0 X 2πn
+ an cos x
2 n=1
T

3. Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 3
ii) Cuando f es impar, al calcular los coeficientes an las funciones a integrar son funciones impares,
ya que f es impar y los cosenos pares; sin embargo, al calcular los bn las funciones a integrar son
pares, porque tanto f como los senos son impares, de ahí que de acuerdo con la Proposición A.3
del Apéndice resulte
an = 0 n = 0, 1, 2, 3, . . .
Z T /2
4 2πn
bn = f (x) sen xdx n = 1, 2, 3, . . .
T 0 T
y por tanto la serie de Fourier obtenida es una serie senoidal, es decir, es de la forma
∞
X 2πn
bn sen x.
n=1
T
3. Convergencia puntual de las series de Fourier
Siendo f una función integrable en [0, T ], y además periódica de período T , podemos hablar de la
serie de Fourier de f en [0, T ]. Sin embargo, como hemos aclarado antes, no hemos dicho que la serie
converja hacia la función f , ni siquiera que sea convergente.
Un teorema importante sobre la convergencia puntual de la serie de Fourier de una función f , que
cubre la mayoría de las situaciones en las que se encuentran las funciones a considerar en las aplicaciones,
es el que exponemos después de la siguiente definición.
Definición 3.1 Se dice que una función f es monótona por tramos en un intervalo [a, b], si existe una
partición {a = x0 < x1 < . . . < xn = b} del intervalo (a, b)
a b
x0 x1 x2 xn−1 xn
de modo que la función f es monótona en cada subintervalo (xi−1 , xi ).
Teorema 3.1 Si la función f es acotada y monótona a tramos en el intervalo [0, T ], y periódica de
período T , entonces la serie de Fourier de f es convergente en cada punto x de R, y su suma es
1 £ ¡ +¢ ¡ ¢¤
f x + f x−
2
donde f (x+ ) y f (x− ) denotan respectivamente los límites por la derecha y por la izquierda de f en x, es
decir
f (x+ ) = l´ + f (x + h) y f (x− ) = l´ + f (x − h).
ım ım
h→0 h→0
4. Series de cosenos y series de senos
A veces en las aplicaciones, surge la necesidad de representar mediante una serie de Fourier una
función dada, que sólo está definida sobre cierto intervalo acotado de la recta real.
Supongamos que la función f está definida en el intervalo [0, ], y que se desea representar por una
serie de Fourier.
Puesto que toda serie de Fourier, cuando converge, representa una función periódica, resolveremos el
problema si consideramos una nueva función periódica, que coincida con la función f en el intervalo [0, ],
y hallamos su serie de Fourier. Así si la serie de Fourier de la función construida a partir de f , representa
a dicha función, también representará a f en el intervalo [0, ] en el que está definida. Con esta idea, se
podrían adoptar distintas formas de proceder, como las tres que se sugieren a continuación.

4. Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 4
i) Construir una nueva función f ∗ , periódica de período , tal que en el intervalo (0, ) coincida con
la función f . La serie de Fourier de f ∗ representará a la función f en el intervalo (0, ), si estamos
en las condiciones del teorema de convergencia.
ii) Construir una nueva función fp , periódica, de período 2 , que en el intervalo [− , ] se defina como
½
f (x) si x ∈ [0, ]
fp (x) =
f (−x) si x ∈ [− , 0)
La función fp así definida es una función periódica, de período 2 , y además es par. Por ello fp
tiene asociada una serie de Fourier cosenoidal. Dicha serie, que se denomina serie de cosenos de
f , representará a la función f en el intervalo [0, ], si estamos en las condiciones del teorema de
convergencia.
iii) Construir una nueva función fi , periódica, de período 2 , que en el intervalo [− , ] se defina como
½
f (x) si x ∈ [0, )
fi (x) =
−f (−x) si x ∈ (− , 0)
La función fi así definida es una función periódica, de período 2 , y además es impar. Por ello
fi tiene asociada una serie de Fourier senoidal. Dicha serie, que se denomina serie de senos de
f , representará a la función f en el intervalo [0, ], si estamos en las condiciones del teorema de
convergencia.
5. Otras formas de expresión de las series de Fourier. Forma
exponencial.
En términos de los coeficientes an y bn , las series de Fourier adoptan la forma
∞ µ ¶
a0 X 2πn 2πn
+ an cos x + bn sen x
2 n=1
T T
pero a veces se utilizan otros coeficientes A0 , An , ψ n relacionados con éstos mediante las igualdades
⎫
A0 = a0 ⎬
an = An cos ψ n n = 1, 2, 3, . . .
⎭
bn = An sen ψ n
siendo An ≥ 0 y 0 ≤ ψ n < 2π, lo que permite escribir
2πn 2πn 2πn 2πn
an cos x + bn sen x = An cos ψ n cos x + An sen ψ n sen x
T T µ T ¶ T
2πn
= An cos x − ψn ,
T
así que la serie queda
∞ µ ¶
A0 X 2πn
+ An cos x − ψn .
2 n=1
T
Si ahora introducimos el parámetro ω mediante la igualdad
2π
ω=
T

5. Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 5
las series de Fourier se pueden escribir
∞ ∞
a0 X A0 X
+ (an cos nωx + bn sen nωx) o bien + An cos (nωx − ψ n )
2 n=1
2 n=1
Ahora, usando una terminología muy común en Física, llamaremos
¾
an cos nωx + bn sen nωx
armónico de orden n
An cos (nωx − ψ n )
An amplitud del armónico
nωx − ψ n fase del armónico
nω pulsación o frecuencia angular del armónico
ψn constante de fase del armónico
nω
frecuencia del armónico
2π
FORMA EXPONENCIAL DE LAS SERIES DE FOURIER
La forma trigonométrica de la serie de Fourier de una función f , periódica de período T , dada por
∞ µ ¶
a0 X 2πn 2πn
+ an cos x + bn sen x
2 n=1
T T
donde los coeficientes son los de la Definición 1, puede adoptar otra expresión a menudo más cómoda en
término de funciones exponenciales complejas como mostraremos seguidamente.
Si escribimos 2πinx 2πinx
2πn e T + e− T
cos x=
T 2
2πinx 2πinx
2πn e T − e− T
sen x=
T 2i
tendremos
2πn 2πn 1 h ³ 2πinx 2πinx
´ ³ 2πinx 2πinx
´i
an cos x + bn sen x = an e T + e− T − ibn e T − e− T
T T 2
1h 2πinx 2πinx
i
= (an − ibn ) e T + (an + ibn ) e− T
2
1
De modo que definiendo b0 = 0, cn = (an − ibn ), y llamando cn a su conjugado, podremos expresar la
2
serie de Fourier en la forma
X³
∞
2πinx 2πinx
´
c0 + cn e T + cn e− T
n=1
y si por último llamamos c−n = cn quedará la forma exponencial de la serie:
∞
X 2πinx
cn e T
n=−∞
cuyos coeficientes complejos, utilizando las expresiones de an y bn dadas en la Definición 1, se pueden
obtener utilizando la fórmula
Z
1 T 2πinx
cn = f (x)e− T dx para todo n ∈ Z
T 0

6. Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 6
En términos de la pulsación ω, los coeficientes de Fourier quedarían
Z 2π/ω
ω
cn = f (x)e−inωx dx para todo n ∈ Z
2π 0
y la serie
∞
X
cn einωx
n=−∞
6. Espectro de líneas y síntesis de formas de onda
Existe un procedimiento gráfico para estudiar la contribución de cada armónico en una serie de Fourier.
Consiste en un diagrama cartesiano en cuyo eje horizontal se representa la frecuencia de cada armónico,
y en el vertical la amplitud del mismo. Ello da origen a un diagrama de segmentos verticales que se
conoce con el nombre de espectro de líneas. Una simple inspección del mismo da una idea rápida de
la velocidad de convergencia de la serie y de la contribución de cada armónico a la onda dada por la
serie. Los armónicos que más contribuyen tienen mayores amplitudes, y en el espectro de líneas aparecen
representados por segmentos de mayor longitud.
En el epígrafe A.4 del Apéndice se muestran algunos desarrollos de Fourier y sus correspondientes
espectros de línea.
Describimos a continuación otro concepto en relación con las aplicaciones de las series de Fourier. La
idea central de toda la teoría de series de Fourier es que en condiciones bastante generales, una función
periódica se puede expresar como una “suma” de infinitos armónicos. La convergencia de las series de
Fourier hace que los sucesivos armónicos tengan cada vez menor amplitud, por lo que la suma de unos
pocos de ellos basta para obtener una buena aproximaciónde la función. Supongamos que tenemos una
función periódica y calculamos sus primeros armónicos. Podemos entonces reconstruir aproximadamente
la función sumando tantos armónicos como se considere necesario para conseguir la precisión deseada.
Este proceso se conoce con el nombre de síntesis de formas de onda y para ponerlo de manifiesto, lo
aplicaremos a algunos ejemplos que se describen en el epígrafe A.5 del Apéndice.
Obsérvese que en el ejemplo b) podemos conseguir una buena síntesis tomando pocos armónicos, a
diferencia de lo que ocurre en los casos a) y c) en los que el número de armónicos necesario es mayor. Ello
es debido a que la velocidad de convergencia de la serie de Fourier es tanto mayor (y en consecuencia tanto
menor el número de armónicos que se necesitan para la síntesis) mientras más “suave” sea la función, es
decir, mientras más derivadas continuas tenga la función.

7. Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 7
APÉNDICE.-
A.1. Proposición. Para todo n, p ∈ {0} ∪ N se cumple que:
⎧
Z T ⎨ T si n = p = 0
2πn 2πp
a) cos x cos xdx = T /2 si n = p > 0
0 T T ⎩
⎧ 0 si n 6= p
Z T ⎨ 0 si n = p = 0
2πn 2πp
b) sen x sen xdx = T /2 si n = p > 0
0 T T ⎩
0 si n 6= p
Z T
2πn 2πp
c) cos x sen xdx = 0
0 T T
Demostración:
1
a) Utilizando la relación cos α cos β = [cos(α + β) + cos(α − β)] resulta que:
2
Z
T Z µ ¶ Z µ ¶
2πn 2πp 1 T 2πn 2πp 1 T 2πn 2πp
cos x cos xdx = cos + xdx + cos − xdx
T T 2 0 T T 2 0 T T
0
⎧
⎨ T /2 + T /2 si n = p = 0
= 0 + T /2 si n = p > 0
⎩
0 si n 6= p
b) Se demuestra de manera análoga utilizando la relación
1
sen α sen β = [cos(α − β) − cos(α + β)]
2
c) Se demuestra de forma análoga utilizando la relación
1
cos α sen β = [sen(α + β) − sen(α − β)]
2
A.2. Proposición. Si g : R → R es una función T -periódica e integrable en un intervalo de longitud T ,
entonces se verifica:
Z a+T Z T
g (x) dx = g(x)dx para todo a ∈ R
a 0
es decir, la integral en todo intervalo de longitud T toma siempre el mismo valor.
Demostración:
Z a+T Z T
g(x)dx − g(x)dx =
a 0
Z 0 Z T Z a+T Z T
= g(x)dx + g(x)dx + g (x) dx − g(x)dx
a 0 T 0
Z 0 Z a+T
= g(x)dx + g(x)dx
a T
Z a+T
y esta última suma es cero, ya que haciendo el cambio de variable x = t + T en la integral g(x)dx,
Z 0 T
resulta ser igual a − g(x)dx.
a
A.3. Proposición. Si f : [−a, a] → R es integrable, se puede asegurar que:

8. Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 8
Z a Z a
a) Si f es par, entonces f (x)dx = 2 f (x)dx.
−a 0
Z a
b) Si f es impar, entonces f (x)dx = 0.
−a
Demostración:
a)
Z a Z 0 Z a Z 0 Z a
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx = f (−x)dx + f (x)dx =
−a −a 0 −a 0
pero las dos últimas integrales quedan, después de hacer el cambio de variable t = −x en la
penúltima de ellas, así
Z 0 Z a Z a Z a Z a
= −f (t)dt + f (x)dx = f (t)dt + f (x)dx = 2 f (x)dx
a 0 0 0 0
b)
Z a Z 0 Z a Z 0 Z a
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx = −f (−x)dx + f (x)dx =
−a −a 0 −a 0
pero las dos últimas integrales quedan, después de hacer el cambio de variable t = −x en la
penúltima de ellas, así
Z 0 Z a Z a Z a
= f (t)dt + f (x)dx = − f (t)dt + f (x)dx = 0
a 0 0 0
A.4. Espectro de líneas.
A continuación se describen algunas funciones periódicas, sus desarrollos de Fourier y las amplitudes
de los armónicos. También se representan los correspondientes espectros de líneas.
½
0 si − 5 < x < 0
a) f (x) = y periódica de periodo T = 10
3 si 0 < x < 5
µ ¶
3 6 πx 1 3πx 1 5πx
+ sen + sen + sen + ···
2 π 5 3 5 5 5
6
An = n = 1, 2, 3, . . .
(2n − 1) π
2
1
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1

9. Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 9
b) f (x) = sen x en [0, π] y periódica de periodo T = π
µ ¶
2 4 cos 2x cos 4x cos 6x
− + + + ···
π π 3 15 35
4
An = n = 1, 2, 3, . . .
(4n2 − 1) π
0.5
0.25
1/π 2/π 3/π 4/π 5/π
c) f (x) = x2 en (0, 2π) y periódica de periodo T = 2π
4π2 4 4π 4 4π 4 4π
+ cos x − sen x + cos 2x − sen 2x + cos 3x − sen 3x + · · ·
3 1 1 4 2 9 3
4p
An = 2 1 + n2 π 2 n = 1, 2, 3, . . .
n
10
5
1/2π 2/2π 3/2π 4/2π 5/2π 6/2π
A.5. Síntesis de formas de onda.
En los ejemplos que siguen se muestran algunas funciones periódicas, la suma de sus primeros armóni-
cos, y superpuestas en el mismo diagrama, las gráficas de la suma de armónicos y de la función, sobre un
intervalo de longitud igual a un período. Debe observarse cómo la suma de los armónicos se adapta cada
vez mejor a la función, mientras más sumandos tenga.
a) f (x) = x en (−π, π) y periódica de periodo T = 2π
S2 (x) = 2 sen x − sen 2x
2 2 2
S5 (x) = 2 sen x − sen 2x + sen 3x − sen 4x + sen 5x
3 4 5

10. Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 10
3 3
2 2
1 1
-3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3
-1 -1
-2 -2
-3 -3
b) f (x) = x3 − x en [−1, 1] y periódica de periodo T = 2
12
S1 (x) = − sen πx
π3
12 3
S2 (x) = − 3 sen πx + 3 sen 2πx
π 2π
0.4 0.4
0.2 0.2
-1 -0.5 0.5 1 -1 -0.5 0.5 1
-0.2 -0.2
-0.4 -0.4
Obsérvese que bastan sólo dos armónicos para reproducir casi exactamente la función f . Ello es
debido, como se comentó en la Sección 6, a que f tiene (compruébese) derivada primera continua.
½
0 si x < 0
c) f (x) = u(x) = (función escalón unidad) definida en (−1, 1) y periódica de periodo
1 si x 0
T =2
1 2
S2 (x) = + sen πx
2 π
1 2 2
S4 (x) = + sen πx + sen 3πx
2 π 3π
1 2 2 2 2
S7 (x) = + sen πx + sen 3πx + sen 5πx + sen 7πx
2 π 3π 5π 7π
1 1 1
0.8 0.8 0.8
0.6 0.6 0.6
0.4 0.4 0.4
0.2 0.2 0.2
-1 -0.5 0.5 1 -1 -0.5 0.5 1 -1 -0.5 0.5 1

11. Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 11
d) f (x) = sen x en [0, π] y periódica de periodo T = π
2 4 4
S2 (x) = − cos 2x − cos 4x
π 3π 15π
2 4 4 4 4
S4 (x) = − cos 2x − cos 4x − cos 6x − cos 8x
π 3π 15π 35π 63π
2 4 4 4 4
S7 (x) = − cos 2x − cos 4x − cos 6x − cos 8x −
π 3π 15π 35π 63π
4 4 4
− cos 10x − cos 12x − cos 14x
99π 143π 195π
1 1 1
0.8 0.8 0.8
0.6 0.6 0.6
0.4 0.4 0.4
0.2 0.2 0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.5 1 1.5 2 2.5 3
En este ejemplo, también la aproximación de la suma de armónicos a la función es bastante buena,
debido a que f es continua, pero no tan buena como en el ejemplo b), porque ahora, en los extremos del
intervalo, la derivada no es continua.