1. GUÍA DIDÁCTICA Y MÓDULO
GABRIEL JAIME POSADA HERNÁNDEZ
FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓ
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS,
ECONÓMICAS Y CONTABLES
Colombia, 2008

2. COMITÉ DIRECTIVO
Fray Marino Martínez Pérez
Rector
Hernán Ospina Atehortúa
Vicerrector Administrativo y Financiero
Director de Planeación
José Jaime Díaz Osorio
Vicerrector Académico
Francisco Javier Acosta Gómez
Secretario General
CÁLCULO
Gabriel Jaime Posada Hernández
Decana Facultad de Ciencias Administrativas,
Económicas y Contables:
María Victoria Agudelo Vargas
Corrección de estilo:
SOMOS PROFESIONALES LTDA.
Diseño:
Colectivo Docente Facultad de Administración
Impresión:
Departamento de Publicaciones FUNLAM
www.funlam.edu.co
TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS
Medellín – Colombia
2008
Cálculo 2

3. CONTENIDO
GUÍA DIDÁCTICA
Pág
PRESENTACIÓN 8
1. IDENTIFICACIÓN 10
2. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS 11
2.1. Objetivo general 11
2.2. Objetivos complementarios 11
3. UNIDADES TEMÁTICAS 12
4. METODOLOGÍA GENERAL 13
5. EVALUACIÓN INTEGRAL 14
5.1. Sistema de evaluación 14
5.2. Actividades de reconocimiento 14
5.3. Actividades de profundización 15
CÁLCULO
INTRODUCCIÓN 17
JUSTIFICACIÓN 19
UNIDAD 1
1.LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES 21
1.1. Definición de límite 22
1.2. Propiedades de los límites 25
1.3. Formas indeterminadas y límites al infinito 27
1.3.1. Asíntotas horizontales de una función 30
1.3.2. Asíntotas verticales de una función 31
Cálculo 3

4. 1.4. Continuidad de una función en un punto 32
UNIDAD 2
2. DERIVADA DE FUNCIONES REALES 34
2.1. Definición 35
2.2. Incrementos y tasas 36
2.3. Definición de la derivada 40
2.3.1. Interpretación geométrica de la derivada 43
2.3.2. Reglas de derivación 46
2.3.3. Regla de la cadena 50
2.4. Derivada de las funciones logarítmica y exponencial 52
2.5. Derivadas de orden superior 57
UNIDAD 3
3. ANÁLISIS MARGINAL 60
3.1. Costo marginal 61
3.2. Ingreso marginal 63
3.3. Utilidad marginal 66
UNIDAD 4
4. OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS 70
4.1. Crecimiento y decrecimiento de una función 71
4.2. Concavidad de una función 75
4.3. Máximos y mínimos 77
4.3.1. Criterio de la primera derivada para hallar extremos 80
4.3.2. Criterio de la segunda derivada para hallar extremos 83
4.4. Bosquejo de curvas polinomiales 90
4.4.1. Intervalos de crecimiento 93
4.4.2. Puntos de inflexión 94
4.4.3. Intervalos de concavidad 95
Cálculo 4

5. 4.4.4. Ubicación de puntos e intervalos 96
UNIDAD 5
5. INTEGRAL INDEFINIDA 98
5.1. Antiderivada 99
5.2. Reglas de integración 101
5.3. Métodos de integración 109
5.3.1. Integración por sustitución 109
5.3.2. Integración por partes 111
UNIDAD 6
6. INTEGRAL DEFINIDA 116
6.1. Áreas bajo curvas 117
6.2. Propiedades de la integral definida 120
6.3. Teorema fundamental del cálculo 126
6.4. Aplicaciones de la integral definida 130
6.4.1. Coeficientes de desigualdad para distribuciones de ingreso 130
6.4.2. Curvas de aprendizaje 134
6.4.3. Maximización de la utilidad con respecto al tiempo 137
6.4.4.valor presente de un ingreso continuo 142
6.4.5. Superávit del consumidor y del productor 144
UNIDAD 7
7. CÁLCULO MULTIVARIABLE 152
7.1. Funciones de varias variables 153
7.2. Derivadas parciales 159
7.3. Optimización de funciones de varias variables 170
7.4 multiplicadores de lagrange 180
Cálculo 5

6. UNIDAD 8
8. ÁLGEBRA DE MATRICES 191
8.1. Definición 192
8.2. Operaciones de matrices 195
8.2.1. Multiplicación de una matriz por un escalar 195
8.2.2. Adición y sustracción de matrices 197
8.2.3. Multiplicación de matrices 198
8.3. Solución de sistemas de ecuaciones lineales 203
8.3.1. Matrices aumentadas 205
8.3.2. Forma reducida por filas o renglones 207
8.4. Eliminación de gauss-jordan mediante matrices 209
ESTUDIOS DE CASOS 216
ACTIVIDADES DE RECONOCIMIENTO 219
ACTIVIDADES DE PROFUNDIZACIÓN 221
BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAL 235
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 236
GLOSARIO 237
RESPUESTA A PREGUNTAS FRECUENTES 239
Cálculo 6

7. Cálculo 7

8. PRESENTACIÓN
Apreciado estudiante, bienvenido al programa de Administración de
Empresas con énfasis en Economía Solidaria de la Fundación Universitaria
Luis Amigó.
Este módulo ha sido escrito teniendo presente al estudiante que ingresa en
la metodología a distancia, la cual se constituye en uno de los nuevos retos y
alternativas para la formación de profesionales capaces de intervenir
problemáticas sociales contemporáneas, desde la aplicación de la ciencia y
la tecnología con criterios éticos y de calidad.
La educación a distancia responde a la necesidad de ofrecer un proceso de
formación que supere obstáculos representados en grandes distancias
geográficas y escasez de tiempo de personas deseosas de tener las
oportunidades de desarrollo humano que brinda la educación superior.
Dicha metodología exige a cada estudiante un esfuerzo investigativo,
creativo e innovador soportado por la voluntad del compromiso que demanda
nuestra sociedad.
Por esto, para el alcance de los objetivos en este proceso formativo, más que
construir un texto, se ha tratado de presentar un instrumento de
comunicación académica y dinámica entre la institución y el estudiante, en el
que se diferencian dos partes fundamentales: la guía de estudio y trabajo, el
módulo de aprendizaje. La guía considera las orientaciones sobre el
desarrollo del curso en cuanto define los elementos necesarios para la
interlocución entre estudiantes y asesor, describiendo en la metodología las
actividades a realizar para cada encuentro, bibliografía complementaria,
Cálculo 8

9. proceso de evaluación y compromisos adquiridos por el estudiante. El
módulo desarrolla el contenido conceptual básico que permite al estudiante
la comprensión de los problemas potenciales en el campo administrativo.
Seguros de que en dicho material se encuentran los referentes necesarios
para el desarrollo de un proceso académico con calidad, le deseamos éxitos
en este nuevo ciclo de su formación profesional.
Cálculo 9

10. 1. IDENTIFICACIÓN
Ficha técnica
CURSO CÁLCULO
AUTOR GABRIEL JAIME POSADA HERNÁNDEZ
INSTITUCIÓN FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓ
UNIDAD ACADÉMICA FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS,
ECONÓMICAS Y CONTABLES
PROGRAMAS ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS,
CONTADURÍA PÚBLICA, NEGOCIOS
INTERNACIONALES
PALABRAS CLAVE MATEMÁTICAS, FUNCIÓN, TASA, DERIVADA,
INTEGRAL, ECUACIONES, MATRIZ
ÁREA DE CONOCIMIENTO BÁSICA
CRÉDITOS 3 (TRES)
CIUDAD MEDELLÍN
FECHA 20 DE JULIO DE 2007
ACTUALIZACIÓN
ADICIÓN DE TEMAS
APROBADA POR
2. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS
2.1. Objetivo general
Cálculo 10

11. Familiarizar al estudiante con los conceptos generales del cálculo, en el
contexto de las disciplinas administrativa, económica y contable, para
utilizarlos como herramienta matemática en los procesos que impliquen toma
de decisiones en las diferentes organizaciones.
2.2. Objetivos específicos
 Determinar el límite y la continuidad de una función real en un punto
determinado.
 Calcular e interpretar la derivada de una función real para un valor
determinado.
 Calcular y analizar las funciones marginales a partir de la derivada.
 Aplicar los criterios de las derivadas en el bosquejo de curvas y
optimización de funciones.
 Solucionar problemas utilizando la integral definida.
 Optimizar funciones de varias variables.
 Realizar operaciones matriciales que permitan tomar decisiones en el
campo administrativo.
3. UNIDADES TEMÁTICAS
UNIDAD 1
Límites y continuidad de funciones reales
Cálculo 11

12. UNIDAD 2
Derivada de funciones reales
UNIDAD 3
Análisis marginal
UNIDAD 4
Optimización y bosquejo de curvas
UNIDAD 5
Integral indefinida
UNIDAD 6
Integral definida
UNIDAD 7
Cálculo multivariable
UNIDAD 8
Álgebra de matrices
4. METODOLOGÍA GENERAL
Cálculo 12

13. Para garantizar el buen desarrollo del curso se establecerán los criterios
definidos en el Reglamento Estudiantil con relación a evaluación y
seguimiento del portafolio personal de desempeño, entre otros.
En los encuentros presenciales se hará claridad sobre aquellos conceptos
que han presentado alguna dificultad en los estudiantes; para ello se
utilizarán explicaciones precisas sobre el tema, ejemplos y aplicaciones.
Adicionalmente, se responderán inquietudes sobre los ejercicios propuestos
para ser desarrollados por los estudiantes en el tiempo destinado al trabajo
independiente.
El estudiante debe realizar las actividades de forma consecuente con los
encuentros presenciales, para garantizar el logro de los objetivos propuestos
en el curso.
5. EVALUACIÓN INTEGRAL
Cálculo 13

14. 5.1. Sistema de evaluación
Para la Fundación Universitaria Luis Amigó la evaluación es definida como
“un proceso crítico, intencionado y sistemático de recolección, análisis,
comprensión e interpretación de información que permite a los actores
educativos valorar el estado en que se encuentra la formación integral de los
estudiantes”, por lo cual, la evaluación se caracteriza por ser pedagógica,
integral, continua, cooperativa, de perspectiva científica y de carácter ético.
El Portafolio Personal de Desempeño es el instrumento de evaluación del
estudiante; en él se debe llevar el registro y compendio de las diferentes
actividades evaluativas y de la reflexión permanente que realiza cada
estudiante sobre su proceso de formación; tiene en cuenta las
responsabilidades y compromisos acordados entre docentes y estudiantes,
los avances y dificultades encontradas en el proceso por cada estudiante y
las sugerencias de los docentes y compañeros para la obtención de los
logros propuestos.
5.2. Actividades de reconocimiento
Las actividades de reconocimiento están planteadas para que el estudiante
identifique los conceptos previos al desarrollo de la temática del módulo. Esto
le permitirá comprender de forma rápida los conocimientos presentados en
cada unidad.
5.3. Actividades de profundización
Las actividades de profundización permiten al estudiante reforzar los
conocimientos adquiridos en cada unidad. Estas actividades se presentan
Cálculo 14

15. en forma de talleres, los cuales requieren de soluciones puntuales para los
ejercicios planteados y de interpretaciones para los resultados obtenidos.
Cálculo 15

16. INTRODUCCIÓN
Cálculo 16

17. Desde el punto de vista histórico, el cálculo diferencial se desarrolló como
respuesta al problema de hallar la recta tangente a una curva arbitraria. Pero
muy pronto fue claro que, al resolver este problema, los matemáticos
dispondrían de un método para resolver muchos problemas prácticos
relacionados con la razón de cambio de una cantidad con respecto a otra.
La herramienta básica utilizada en el cálculo diferencial es la derivada de una
función. A su vez, el concepto de derivada se basa en una noción más
fundamental: la del límite de una función.
Posteriormente, se inicia el estudio de otra rama del cálculo, conocida como
el cálculo integral. En este caso hay que resolver el problema inverso: si se
conoce la razón de cambio de una variable en relación con otra, ¿se puede
hallar la relación entre ambas?
El módulo de cálculo se ha elaborado a partir de la compilación de conceptos
tratados por varios autores, entre ellos Arya y Lardner, S. T. Tan y Haeussler
y Paul. Está conformado por ocho unidades temáticas, a saber: límites y
continuidad, derivada de funciones reales, análisis marginal, optimización y
bosquejo de curvas, integral indefinida, integral definida, cálculo multivariable
y álgebra de matrices.
En cada unidad se presentan las actividades de reconocimiento como un
conjunto de elementos previos que el estudiante debe manejar, con el objeto
de lograr un mayor entendimiento de los conceptos compartidos en dicha
unidad.
La temática tratada en cada unidad está desarrollada de forma didáctica y
secuencial, a partir de la definición de los conceptos, presentación de
Cálculo 17

18. ecuaciones correspondientes, ejemplos y, finalmente, actividades de
profundización.
Al final, se presenta un estudio de caso en el cual se ilustra una de las tantas
maneras de la aplicación de matemáticas en el campo administrativo;
además, algunas preguntas frecuentes con su respectiva respuesta, que se
presentan al estudiar el cálculo.
JUSTIFICACIÓN
Cálculo 18

19. El desarrollo científico del siglo XXI exige una formación profesional íntegra,
que reúna conocimientos, experiencia y expectativas, que permita la
utilización adecuada de los recursos y herramientas del mundo actual.
El estudio de la Matemática presenta grandes alternativas para el profesional
de hoy, entre ellas la aplicación en el área administrativa, la cual permite
relacionar fenómenos de la organización con la construcción de modelos
matemáticos que den cuenta del comportamiento y las tendencias de las
variables que intervienen en ella.
En la actualidad, las áreas administrativas, contables y económicas requieren
de un profesional con conocimientos básicos de cálculo, de tal forma que lo
lleven a incursionar en el campo investigativo y en la toma de decisiones,
para generar nuevos conocimientos a partir de la integración de los
conceptos propios y de las diferentes áreas de estudio, que lo hagan más
competente en los retos del mundo moderno.
Siendo conscientes de las diferentes decisiones que se toman en la
organización, es preciso que los profesionales de la FUNLAM lo hagan de
manera acertada, con criterios lógicos y coherentes, apoyados en elementos
matemáticos que permitan establecer modelos para facilitar la toma de
decisiones en las diferentes organizaciones.
Cálculo 19

20. Cálculo 20

21. 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
REALES
En esta sección se pretende estudiar los límites y continuidad de las
funciones reales. Para ello, se aborda desde la definición de límites,
propiedades de los límites, formas indeterminadas y límites al infinito y, por
último, la continuidad de una función en un punto.
OBJETIVOS
1. Comprender el concepto de Límite de funciones reales.
2. Aplicar las propiedades para el cálculo de límite de funciones
reales.
3. Hallar las asíntotas horizontales y verticales de una función.
4. Evaluar la continuidad de una función real.
Cálculo 21

22. 1.1. Definición de límite
Tal vez ha estado usted en un estacionamiento en el que puede
“aproximarse” al automóvil de enfrente, pero no quiere golpearlo ni tocarlo.
Esta noción de estar cada vez más cerca de algo, pero sin tocarlo, es muy
importante en matemáticas, y está involucrada en el concepto de límite, en el
que descansa el fundamento del cálculo. Básicamente, haremos que una
variable “se aproxime” a un valor particular y examinaremos el efecto que
tiene sobre los valores de la función.
Examínese lo que sucede con la función ƒ(x) = x + 3 cuando x → 2 se
permite que x tome los valores 1.8, 1.9, 1.99, 1.999 y 1.9999 que, sin duda,
se acercan cada vez más a 2. Los valores correspondientes de ƒ(x) están
dados en la tabla 1.
TABLA 1. Valores correspondientes para ƒ(x) con x menor que 2.
x 1.8 1.9 1.99 1.999 1.9999
ƒ(x) 4.4 4.9 4.99 4.999 4.9999
A partir de esta tabla es claro que a medida que x se acerca a 2, ƒ(x) está
cada vez más cerca de 5. Se escribe, entonces ƒ(x) → 5 cuando x → 2.
Cálculo 22

23. Los valores de x considerados en la tabla 1 son menores que 2. En tal caso,
decimos que x se aproxima a 2 por debajo. Podemos considerar también el
caso alternativo en que x se aproxima a 2 por encima; es decir, x toma
valores que están cada vez más cerca de 2 pero siempre son mayores que
2. Estos valores se presentan en la tabla 2.
TABLA 2. Valores correspondientes para ƒ(x) con x mayores que 2.
x 2.5 2.1 2.01 2.001 2.0001
ƒ(x) 5.5 5.1 5.01 5.001 5.0001
El comportamiento de la función cuando x toma valores próximos a 2, se
representa en la gráfica 1.
Gráfica 1
Cálculo 23

24. En consecuencia, cuando x se aproxima a 2 por debajo o por encima, ƒ(x) =
x + 3 se acerca a 5. Se dice que el límite (o valor límite) de ƒ(x) cuando x
tiende a 2 es igual a 5. Esto se denota así:
lim( x + 3) = 5
x →2
Definición: el límite de ƒ(x) cuando x se acerca (o tiende) a c, es el número
L, escrito
lím f ( x ) = L ,
x →C
Siempre que ƒ(x) esté arbitrariamente cercana de L para toda x lo
suficientemente cerca, pero diferente de c.
Ejemplo:
Hallar el límite de la función ƒ(x) = 4x – 7 cuando x tiende a 2.
Solución:
lím (4x – 7) = 4(2) – 7 = 8 – 7 = 1.
x →2
1.2. Propiedades de los límites
Cálculo 24

25. Los límites pueden ser calculados mediante la aplicación de las siguientes
propiedades:
1. Si ƒ(x) = k, es una función constante, entonces,
ƒ(x) = k=k
lím lím
x→C x→C
Ejemplo:
lím
x→2
7 = 7; lím
x→ 3
−
8=8
lím ( x ) =
, para cualquier entero positivo n.
n
Cn
2. x→C
Ejemplo:
lím
x→6
x² = 6² = 36
ƒ(x) y g(x) existe, entonces:
lím lím
si x→C x→C
[ƒ(x) ± g(x)] = ƒ(x) ± g(x)
lím lím lím
3. x→C x→C x→C
Esto es, el límite de una suma o diferencia es la suma o diferencia,
respectivamente, de los límites.
Ejemplo:
(x² + x) = x² + x = 2² + 2 = 6
lím lím lím
x→2 x→2 x→2
[ƒ(x) . g(x)] = ƒ(x) . g(x)
lím lím lím
4. x→C x→C x→C
Esto es, el límite de un producto es el producto de los límites.
Ejemplo:
lím
x→2
[(x + 1) (x – 3)] = lím
x→2
(x + 1) . lím
x→2
(x – 3)
Cálculo 25

26. = [ x+ 1] . [ x - 3]
lím lím lím lím
x→2 x→2 x→2 x→2
= (2 + 1) . (2 – 3)
= 3(-1) = -3
lim f ( x)
f ( x) x →c
5. lím = , si lím g ( x) ≠ 0
x →c
x→ C g ( x) lim g ( x)
x →c
Esto es, el límite de un cociente es el cociente de los límites, siempre que el
denominador no tenga un límite de 0.
2x² + x - 3 2(1)² +(1) - 3 0
Ejemplo: lím
x→1
= (1)³ +4
= =0
x³ + 4 5
[k ƒ(x)] = k [ ƒ(x)], donde k es una constante.
lím lím
6. x→C x→C
Esto es, el límite de una constante por una función es la constante por el
límite de la función.
Ejemplo:
lím
x→ 2
−
3x³ = 3 . lím
x→ 2
−
x³ = 3(-2)³ = -24
7. lím n f ( x) =
x →c
n lím f ( x) , con
x →c
lím f ( x )
x→c positivo si n es par.
Ejemplo:
lím x + 3 = lím( x + 3) = 3 + 3 = 6
x →3 x →3
1.3. Formas indeterminadas y límites al infinito
Cálculo 26

27. Con frecuencia se encuentran límites cuyo cálculo por sustitución directa dé
como resultado formas indeterminadas, tales como ∞−∞, 0. ∞, 0/0,
∞
∞ , entre otras. Estos límites deben ser calculados mediante operaciones
algebraicas sobre ƒ(x), de modo que se obtenga una forma en la cual las
propiedades de los límites puedan aplicarse.
Ejemplo:
lím (x² −1)
Determinar x →−1
x +1
Solución:
Cuando x → -1, tanto el numerador como el denominador se aproximan a
cero. Ya que el límite del denominador es 0, no puede utilizarse la propiedad
5. Sin embargo, se puede simplificar la fracción:
(x² −1) (x −1) (x +1)
x +1
= x +1
=x–1
Esta manipulación algebraica (factorización y cancelación), sobre la función
original, da lugar a una nueva función, que es igual a la función original. Por
tanto,
(x² −1) (x −1) (x +1)
lím
x→ 1
−
x +1
= lím
x→ 1
−
=
lím
x→ 1
−
(x – 1) = -1 –1 = - 2
x +1
Observar que, aunque la función original no está definida en –1, tiene un
límite cuando x → -1.
Cálculo 27

28. Para el caso de fracciones con radicales, la indeterminación se evita
racionalizando el numerador y/o el denominador.
1
Otra forma indeterminada es lím
x→0
, la cual toma valores de - ∞ cuando se
x
aproxima a x por la izquierda, y + ∞ cuando se aproxima por la derecha.
En muchos casos se desea saber qué pasa con los valores de f(x) cuando x
se hace cada vez mayor, lo cual se denota:
ƒ(x)
lím
x→∞
Al igual que en el caso en que x tiende a un número finito c, el límite de ƒ(x)
puede ser finito ( lím ƒ(x) = L) o no puede ser finito ( lím ƒ(x) =
x →∞ x →∞
∞ ). En
este último caso, la indeterminación ∞
∞ se resuelve dividiendo numerador y
denominador de la función entre la potencia de mayor grado.
Ejemplo:
x +1
Calcular lím
x→ ∞ x² +4
Se dividen todos los términos del numerador y denominador por x²
Cálculo 28

29. x 1 1 1
+ +
lím x² x² = lím x x² = 0 +0 = 0.
x →∞ x² 4 x →∞ 4 1 +0
+ 1 +
x² x² x²
1.3.1. Asíntotas horizontales de una función
Para determinar las asíntotas horizontales de una función hay que calcular,
cuando exista, el límite de f (x ) cuando x tiende a + ∞ o a − ∞ . Los
valores finitos de estos límites determinan las asíntotas horizontales.
La función f (x ) tiene por asíntota horizontal la recta de ecuación y = b
cuando existe al menos uno de los límites laterales de la función , tiende
a dicho punto y vale +∞ o −∞.
lím f ( x) = b ∨ lím f ( x) = b
−
x→ + ∞ x → −∞
Ejemplo
x2
Hallar las asíntotas horizontales de la función f ( x) =
x 2 − 36
Solución:
Cálculo 29

30. Cuando x tiende a + ∞ , la función va tomando valores cada vez más
próximos a 1. Es decir,
x2
lím = =1
x →+∞ x 2 − 36
En este caso, la recta de ecuación y = 1 es una asíntota horizontal de la
función.
1.3.2. Asíntotas verticales de una función
La función f (x ) tiene por asíntota vertical la recta de ecuación x=a
cuando existe al menos uno de los límites laterales de la función ,
tiende a dicho punto y vale +∞ ó −∞.
lím f ( x) = ± ∞ ∨ lím f ( x) = ± ∞
−
x→ a + x→ a −
Ejemplo:
x2
Hallar las asíntotas verticales de la función f ( x) =
x 2 − 36
Observar que cuando x tiende a 6 + la función tiende a + ∞ , y cuando x
tiende a 6 − , la función tiende a −∞.
En este caso, la recta de la ecuación x = 6 es una asíntota vertical de la
función.
Cuando x tiende a −6+ la función tiende a −∞ y cuando x tiende a −6 − la
función tiende a + ∞ , luego:
Cálculo 30

31. x2 x2
lím+ = = +∞ lím− = =−∞
x → −6 x 2 − 36 x → −6 x 2 − 36
La recta de ecuación x = -6 es asíntota vertical.
1.4. Continuidad de una función en un punto
Muchas funciones tienen la propiedad de que no hay “cortes“ en sus gráficas.
A este tipo de funciones se les denomina funciones continuas.
Definición: una función ƒ(x) es continua en c si y sólo si cumple las tres
condiciones siguientes:
1. ƒ(x) está definida en x = c; esto es, c está en el dominio de ƒ(x).
2. lím ƒ(x) existe.
x →C
3. lím ƒ(x) = ƒ(c).
x →C
Si ƒ está definida en un intervalo abierto que contenga a c, excepto tal vez
en ella misma, y ƒ(x) no es continua en c, entonces, se dice que ƒ(x) es
discontinua en c, y c es llamado punto de discontinuidad.
Ejemplo:
Demostrar que ƒ(x) = x² - 3 es continua en – 4.
Solución:
1. La función ƒ(x) está definida en x = - 4 ( - 4 pertenece al dominio).
Cálculo 31

32. 2. lím ( x² - 3) = (- 4)² - 3 = 13 (existe).
x→ 4
−
3. ƒ(- 4) = (- 4)² - 3 = 13 (igual al límite).
Por tanto, ƒ(x) es continua en x = - 4.
Cálculo 32

33. Cálculo 33

34. 2. DERIVADA DE FUNCIONES REALES
Uno de los problemas principales de que se ocupa el cálculo es el de
encontrar la pendiente de la recta tangente a un punto sobre una curva,
entendida ésta como la recta que toca la curva en un solo punto.
OBJETIVOS
1. Calcular el incremento, la tasa de cambio relativa a una función.
2. Interpretar la derivada de una función real.
3. Aplicar las reglas de derivación para el cálculo de la derivada de
una función real.
4. Calcular e interpretar la derivada de las funciones logarítmica y
exponencial.
5. Calcular las derivadas de orden superior de una función real.
Cálculo 34

35. 2.1. Definición
La pendiente de una curva en un punto P es la pendiente, en caso de que
exista, de la recta tangente en P. De tal forma que:
f ( x + ∆x) − f ( x)
mPQ = lím
∆x →0 ∆x
Donde m PQ es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P,
como se visualiza en la gráfica 2.
Gráfica 2
Cálculo 35

36. 2.2. Incrementos y tasas
Sea x una variable con un primer valor x1 y un segundo valor x2. Entonces, el
cambio en el valor x, que es x2 - x1 , se denomina el incremento de x y se
denota por ∆x. De tal forma que ∆x = x2 - x1 (ver gráfica 3).
Se usa la letra griega ∆ (delta) para denotar un cambio o incremento de
cualquier variable.
Gráfica 3
Sea y una variable que depende de x tal que y = f(x) está definida por todo
valor de x entre x1 y x2 . Cuando x = x1 , y tiene el valor y1 = f(x1 ). De manera
similar, cuando x = x2 , y tiene el valor y2 = f(x2 ). Así, el incremento de y es:
∆y = y2 - y1
∆y = f(x2 ) - f(x1 )
Cálculo 36

37. Resolviendo la ecuación ∆x = x2 - x1 para x2 , se tiene x2 = x1 + ∆x. Usando
este valor de x2 en la definición de ∆y , se obtienen:
∆y = f(x1 + ∆x) - f(x1 )
Dado que x1 puede ser cualquier valor de x, se puede suprimir el subíndice y
escribir:
∆ y = f(x + ∆x) - f(x )
En forma alternativa, dado que ƒ(x) = y, se puede escribir:
y +∆y = f(x + ∆x)
Ejemplo: Dada ƒ(x) = x² , calcular ∆y si x = 1 y ∆x = 0.2.
Solución: Sustituyendo los valores de x y ∆x en la fórmula de ∆y, se obtiene:
∆y = f(x + ∆x) - f(x )
= f(1 + 0.2) - f(1 )
= f(1.2) - f(1 )
= f(1.2)² - f(1 )²
= 1.44 – 1
= 0.44
Cálculo 37

38. Así que, un cambio de 0.2 en el valor de x, da como resultado un cambio en
y de 0.44.
La tasa de cambio promedio de una función ƒ, sobre un intervalo de x a
d ( y)
(x + ∆x), se define por la razón d ( x ) . Por tanto, la tasa de cambio
promedio de y con respecto a x es:
∆y f ( x + ∆x) − f ( x)
=
∆x ∆x
Ejemplo:
Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de
producir x toneladas de cierto fertilizante está dado por C(x) = 20.000 + 40x
pesos, y el ingreso obtenido por la venta de x toneladas está dado por R(x) =
100x – 0.01 x². La compañía, actualmente, produce 3.100 toneladas por
semana, pero está considerando incrementar la producción a 3.200
toneladas por semana. Calcular los incrementos resultantes en el costo, el
ingreso y la utilidad. Determinar la tasa de cambio promedio de la utilidad
para las toneladas extra producidas.
Cálculo 38

39. Solución:
El primer valor de x es 3.100 y (x + ∆x) es 3.200
∆C = C(x + ∆x) - C(x)
= C(3200) - C(3.100)
= [20.000 + 40(3.200)] - [20.000 + 40(3.100)]
= 148.000 – 144.000 = 4.000
∆R = R(x + ∆x) - R(x)
= R(3.200) - R(3.100)
= [100(3.200) – 0.01(3.200)²] - [100(3.100) 0.01(3.100)²]
= 217.600 – 213.900 = 3.700
De modo que los costos se incrementan en $4.000, bajo el incremento dado
en la producción, mientras que los ingresos se incrementan en $3.700.
A partir de estos resultados, es claro que la utilidad debe decrecer en $300.
Se puede advertir esto con más detalle si se considera que las utilidades
obtenidas por la empresa son iguales a sus ingresos menos sus costos, de
modo que la utilidad P(x) por la venta de x toneladas de fertilizantes es:
P(x) = R(x) - C(x)
= 100x – 0.01x² - (20.000 + 40x)
= 60x – 0.01x² - 20.000
Cálculo 39

40. En consecuencia, el incremento en la utilidad cuando x cambia de 3.00 a
3.200 es:
∆P = P(3.200) - P(3.100)
= [60(3.200)–0.01(3.200)²-20.000] –[60(3.100)–01(3.100)²-20.000]
= 69.600 – 69.900 = -300
Así pues, la utilidad decrece en $300. La tasa de cambio promedio de la
utilidad por tonelada extra es:
∆P − 300
∆x
= 100
= -3
En donde ∆x = 3.200 – 3.100 = 100. De modo que la utilidad decrece en un
promedio de $3 por tonelada bajo el incremento dado en la producción.
2.3. Definición de la derivada
Sea y = ƒ(x) una función dada. La derivada de y con respecto a x, denotada
por dy / dx, se define por:
dy ∆y dy f ( x + ∆x) − f ( x)
= lím
Δ x →0
ó bien = lím
Δ x →0
dx ∆x dx ∆x
A la derivada también se le llama coeficiente diferencial y la operación de
calcular la derivada de una función se denomina diferenciación.
Cálculo 40

41. Si la derivada de una función existe en un punto en particular, se dice que f
es diferenciable en tal punto.
La derivada de y = f(x) con respecto a x también se denota por uno de los
símbolos siguientes:
d ( y) d( f )
d ( x) , d ( x) , y’ , ƒ’(x) , D y,
x
Dx f
Con el propósito de calcular la derivada dy/dx, se procede de la siguiente
manera:
1. Se calcula y = ƒ(x) y y + ∆y = ƒ(x + ∆x)
2. Se resta la primera cantidad de la segunda a fin de obtener ∆y y se
simplifica el resultado.
3. Se divide ∆y entre ∆x y se toma el límite de la expresión resultante
cuando
∆x → 0
El valor de dy / dx depende de la elección de x. Esto se enfatiza cuando se
utiliza la notación ƒ’(x), la cual indica que la derivada ƒ’(x) es una función de
x. El valor de la derivada en un punto particular, por ejemplo, x = 2, entonces
es ƒ’(2).
Ejemplo:
Cálculo 41

42. Durante un periodo de 10 años, de 1970 a 1980, se encontró que la
población de cierto país estaba dada por la fórmula:
ƒ(x) = 1 + 0.03x + 0.001x2
Donde y está en millones y x es el tiempo medido en años desde 1970.
Determinar y‘ (5).
Solución:
2
Sea y = ƒ(x) = 1 + 0.03x + 0.001x . Entonces,
2
y + ∆y = ƒ(x + ∆x) = 1 + 0.03(x + ∆x) + 0.001(x + ∆x)
2 2
= 1+0.03x + 0.03∆x + 0.001[ x + 2x∆x + (∆x) ]
2
=1+0.03x + 0.03∆x + 0.001x2 + 0.002x∆x + 0.001(∆x)
Restando y de y + ∆y, se tiene:
∆y=1+0.03x + 0.03∆x + 0.001x2+0.002x∆x + 0.001(∆x)2 - [ 1+ 0.03x + 0.001x2]
∆y = 1+0.03x + 0.03∆x + 0.001x2+0.002x∆x + 0.001(∆x)2 - 1- 0.03x - 0.001x2
∆y = 0.03∆x + 0.002x∆x + 0.001(∆x)2
∆y = ∆x (0.03 + 0.002x + 0.001∆x)
∆y
Y así = 0.03 + 0.002x + 0.001∆x
∆x
d ( y)
Por lo que d ( x ) = lím
Δ x →0
= lím
Δ x →0
(0.03 + 0.002x + 0.001∆x) = 0.03 + 0.002x
Esto es, ƒ’(x) = 0.03 + 0.002x
Cuando x = 5, ƒ’(5) = 0.03 + 0.002(5) = 0.04 millones de habitantes.
Cálculo 42

43. 2.3.1. Interpretación geométrica de la derivada
d ( y)
Como se mencionó, inicialmente, para la función y = ƒ(x) la derivada d ( x )
representa la tasa de cambio de y con respecto a x. Además de esta clase
de aplicación, la derivada también tiene una interpretación desde el punto de
vista geométrico.
Si P y Q son dos puntos (x, ƒ(x)) y (x +∆x , ƒ(x + ∆x)) sobre la gráfica y =
ƒ(x), entonces, la razón
∆y f ( x + ∆x) − f ( x)
=
∆x ∆x
Representa la pendiente del segmento de recta PQ. A medida que ∆x se
hace más y más pequeño, el punto Q se aproxima cada vez más a P y el
segmento secante PQ está cada vez más cerca de ser tangente. Cuando ∆x
→ 0, la pendiente de la secante PQ se aproxima a la pendiente de la recta
tangente en P. Así que:
∆y dy
lím
Δ x →0
=
∆x dx
Representa la pendiente de la recta tangente a y = ƒ(x) en el punto P(x,
ƒ(x)). Con tal de que la curva y = ƒ(x) sea “suave” en P; esto es, si se
puede dibujar una tangente que no sea vertical en P, el límite existirá.
Cálculo 43

44. Gráfica
4
En consecuencia, la derivada de una función será la pendiente de la recta
tangente a la función en un punto determinado.
Ejemplo:
Determinar la pendiente de la tangente y la ecuación de la recta tangente a la
gráfica y = ƒ(x) = x en el punto (4,2) y en el punto (¼,½).
Solución:
La pendiente de la recta tangente será la derivada de ƒ(x). Es decir,
Cálculo 44

45. 1 1 1
ƒ’(x) = 2 x
. Cuando x = 4, ƒ’(4) = 2 4 = 4 . Lo cual significa que la
1
pendiente de la tangente en el punto (4,2) es .
4
Para obtener la ecuación de la recta tangente, se puede utilizar la fórmula
punto-pendiente:
y - y1 = m(x-x1)
Con pendiente m = ¼ y (x1,y1) = (4,2)
1
Cuando x = ¼, ƒ’(¼) = 2 ¼
= 1. Por lo cual la pendiente de la
tangente en (¼,½) es 1. Con base en la fórmula punto-pendiente, la
ecuación es:
y- ½ = 1. (x - ¼) ó y = x + ¼
2.3.2. Reglas de derivación
Hallar la derivada de una función aplicando la definición por medio de límite
no siempre es fácil; en ocasiones, y en especial en el campo administrativo,
se presentan funciones con algunos niveles de complejidad para obtener su
Cálculo 45

46. derivada. Sin embargo, existen técnicas útiles para solucionar este tipo de
inconvenientes.
Teorema 1: “La derivada de cualquier potencia constante de x es la potencia
de x reducida en 1 y multiplicada por el exponente original”.
n dy n −1
Si y = x , entonces
dx
= f ' ( x) = n x
Ejemplo:
Hallar la derivada de:
1. y = ƒ(x) = x7
Solución: ƒ’(x) = 7x6
1
2. y = ƒ(t) = t
1 1
Solución: ƒ(t) = t -1/2 , ƒ’(x) = - 2 t -1/2-1 = - 2 t - 3/2
Teorema 2: “La derivada del producto de una constante por una función de x
es igual al producto de la constante por la derivada de la función”.
Si u(x) es una función diferenciable de x y c es una constante,
d du
entonces c(u) = c = cƒ’(u)
dx dx
Cálculo 46

47. Ejemplo:
3
Hallar la derivada de y = ƒ(x) = 5x
ƒ’(x) = 5.3x2 = 15 x2
Teorema 3: “La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de
las derivadas de las dos funciones”
Si u(x) yv (x) son funciones diferenciables de x,
d du dv
entonces (u+ v ) = + = ƒ’(u) + ƒ’( v ).
dx dx dx
Ejemplo:
Hallar la derivada de y = ƒ(x) = x2 + x
d d 1
Solución: ƒ’(x) = dx
(x2) + dx
(x1/2) = 2x + 2
x-1/2
Teorema 4: “La derivada del producto de dos funciones es igual a la
derivada de la primera función por la segunda más la primera función por la
derivada de la segunda”.
Si u(x) y v (x) son funciones diferenciables de x, se sigue que
d du
(u. v ) = v + u dv = ƒ’(u).ƒ( v ) +ƒ(u).ƒ’( v )
dx dx dx
Cálculo 47

48. Ejemplo:
2
Calcular la derivada si y = (5x - 3x)(2x³ + 8x + 7)
Solución:
La función dada y puede escribirse como un producto y = u v si hacemos.
2
u = 5x - 3x y v = 2x³ + 8x + 7
Calculando las derivadas se tiene que:
u' = 10x – 3 y v ' = 6 x2 + 8
Por consiguiente, y' = u' v + u v '
2 2
= (10x – 3)( 2x³ + 8x + 7) + (5x - 3x)( 6 x + 8)
4 2
= 50x – 24x³ + 120x + 22x – 21
Teorema 5: “La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada
del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del
denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador”.
Si u(x) y v (x) son funciones diferenciables de x, se sigue que
du dv
d u v−u f ' (u ).v − u. f ' (v)
( )= dx dx = 2
dx v 2
v v
Cálculo 48

49. Ejemplo:
x² +1
Calcular la derivada de y =
x³ + 4
Solución:
Inicialmente se seleccionan u y v , tales que y = u/ v .
En este caso U = x² + 1 y v = x³ + 4
Entonces, f ' (u ) = u' = 2x y f ' (v ) = v ' = 3x2
Finalmente, aplicando el teorema se tiene:
(2 x)( x 3 + 4) − ( x 2 +1)(3 x 2 ) 2 x 4 + 8 x − (3 x 4 + 3 x 2 ) − x 4 − 3x 2 + 8 x
y' = ( x 3 + 4) 2
=
( x 3 + 4) 2
=
( x 3 + 4) 2
2.3.3. Regla de la cadena
La regla de la cadena es una de las herramientas más útiles en derivación de
funciones, pues se utiliza cuando se deriva una función compuesta de dos o
más funciones simples.
Sea y = f (u ) una función de u y u = g ( x ) una función de x. Entonces, se
puede escribir:
y = f [ g (x )]
Cálculo 49

50. Que representa a y como una función x, denominada la función
composición de f y g . Se denota por ( f  g )( x)
Teorema 6: “La derivada de una función compuesta es la derivada de la
función externa por la derivada de la función interna”.
Si y = [u ( x )] n , entonces
dy du
= nu n −1
dx dx
Ejemplo:
Calcular la derivada de y = ( x 2 +1) 5
Solución:
Se define la parte externa de la función como ( x 2 +1) 5 y la parte interna
como x 2 +1
En consecuencia, la derivada externa será 5( x 2 +1) 4 y la derivada interna
será 2 x .
dy
Por lo tanto, = (derivada externa)(derivada interna).
dx
= [5( x 2 + 1) 4 ](2 x)
Cálculo 50

51. 2.4. Derivada de las funciones logarítmica y exponencial
Una función del tipo y = a x (a > 0, a ≠ 1) se denomina una función
exponencial. Cuando a >1, la función se conoce como una función
exponencial creciente, mientras que si a <1, se llama una función
exponencial decreciente.
El número a que aparece en la función exponencial y = a x se conoce como
la base. Ésta puede ser cualquier número real positivo excepto 1 (por que se
convertiría en una función constante). Con frecuencia es útil usar como base
un número irracional denotado por e , el cual está dado hasta cinco cifras
decimales:
Cálculo 51

52. e = 2.71828. La función exponencial correspondiente se denota por ex y
se denomina la función exponencial natural.
Sea la función y = f ( x) = a u , donde u es función de x, entonces
du
y ' = a u . ln(a ).
dx
Ejemplo:
Hallar la derivada de la función y = f ( x) = 5 3 x
Solución:
La función y = f ( x) = 5 3 x presenta como base 5 y exponente 3x. Por tanto, la
derivada será:
y ' = 5 3 x . ln(5).3 = 3.5 3 x . ln(5)
Definición:
Sea la función y = f ( x) = e u , donde u es función de x, entonces
du
y' = e u .
dx
Ejemplo:
Cálculo 52

53. 2
Hallar la derivada de la función y = e 3 x
Solución:
2
La función y = e 3 x presenta como base e y exponente 3x 2 . Por tanto, la
derivada será:
2 2
y ' = e 3 x .6 x = 6 x.e 3 x
La inversa de una función f (x ) se obtiene resolviendo la ecuación y = f (x )
−1
para x, de modo que se exprese a x como función de y : x = f ( y ) . Se
puede considerar la posibilidad de construir la inversa de la función a x . Con
el propósito de lograrlo, se debe resolver la ecuación y = a x para x. Tal
ecuación no puede resolverse en términos de las funciones que conocemos
hasta el momento. Se escribe la solución en la forma x = log a ( y ) , la cual
denominamos logaritmo de y con base a.
x = log a ( y ) si y sólo si y = a x
La función a x sólo está definida cuando a > 0. Además, cuando a = 1,
entonces 1x = 1 para todo x, en consecuencia, esta función no puede tener
una inversa. Por tanto, en estas definiciones a puede ser cualquier número
positivo excepto 1.
Cuando la base del logaritmo es 10, por convención, se denota log10 = log .
Cálculo 53

54. También se pueden formar logaritmos con base e . Éstos se denominan
logaritmos naturales (o logaritmos neperianos). Se denotan con el símbolo
ln y se definen como:
y = ex, x = log e ( y ) = ln( y )
Esto es, la función x = ln( y ) es la inversa de la función y = e x .
Definición:
Sea la función y = f ( x) = log a (u ) , donde u es función de x, entonces
1 du
y' = . log a (e).
u dx
Ejemplo:
Hallar la derivada de la función y = log x 2 .
Solución:
Cálculo 54

55. Aplicando la definición, se encuentra que la derivada para la función es:
1 2
y' = 2
. log(e).2 x = log(e)
x x
Definición:
Sea la función y = f ( x) = ln(u ) , donde u es función de x, entonces
1 du
y' = .
u dx
Ejemplo:
Hallar la derivada de la función y = f ( x) = ln( x 3 ) .
Solución:
Aplicando la definición, se encuentra que la derivada para la función es:
1 3
y' = 3
.3 x 2 =
x x
Cálculo 55

56. 2.5. Derivadas de orden superior
dy
Sea y = f (x ) una función dada con derivada = f ' ( x ) . A ésta, se le llama
dx
la primera derivada de y con respecto a x. Si f ' ( x) es una función
diferenciable, su derivada se conoce como la segunda derivada de y con
respecto a x. Si la segunda derivada es una función diferenciable, su
derivada se conoce como la tercera derivada de y con respecto a x,
etcétera.
Si y = f (x ) es una función derivable, entonces
dy
La primera derivada será: y' ó f ' ( x) ó
dx
d2y
La segunda derivada será: y ' ' ó f ' ' ( x) ó
dx 2
d3y
La tercera derivada será: y' ' ' ó f ' ' ' ( x) ó
dx 3
dny
La enésima derivada será: y n ó f n ( x) ó
dx n
Ejemplo:
Cálculo 56

57. Calcular la primera derivada y las de orden superior de la función
y = f ( x) = 3x 4 − 5 x 3 + 7 x 2 − 1 .
Solución:
La primera derivada de la función será:
y ' = f ' ( x ) = 12 x 3 −15 x 2 +14 x
La segunda derivada será la derivada de la primera derivada:
y ' ' = f ' ' ( x) = 36 x 2 − 30 x +14
La tercera derivada será la derivada de la segunda derivada:
y ' ' ' = f ' ' ' ( x ) = 72 x − 30
La cuarta derivada será la derivada de la tercera derivada:
d4y
= 72
dx 4
La quinta derivada será la derivada de la cuarta derivada:
d5y
=0
dx 5
Cálculo 57

58. Cálculo 58

59. 3. ANÁLISIS MARGINAL
El análisis marginal es el estudio de la razón de cambio de cantidades
económicas; por ejemplo, un administrador no se preocupa sólo por el valor
del producto interno bruto (PIB) de una economía en un instante dado, sino
también por la razón por la que aumenta o disminuye. En el mismo sentido,
un fabricante no sólo se interesa en sus gastos totales correspondientes a
cierto nivel de producción de un artículo, sino también en la razón de cambio
de los gastos totales con respecto al nivel de producción.
OBJETIVOS
1. Calcular e interpretar la función de costo marginal.
2. Calcular e interpretar la función de costo promedio.
3. Calcular e interpretar la función de ingreso marginal.
4. Calcular e interpretar la función de utilidad marginal.
Cálculo 59

60. 3.1. Costo marginal
El costo marginal se define como el valor límite del costo promedio por
artículo extra cuando este número de artículos extra tiende a cero. Así, se
puede pensar el costo marginal como el casto promedio por artículo extra
cuando se efectúa un cambio muy pequeño en la cantidad producida. Es
decir, es el costo adicional al producir un artículo extra por encima de un
límite de producción. De tal forma que, si se define c(x) como el costo total
en función del número de artículos producidos x, el costo marginal se define
por:
lím ∆ = lím c( x + ∆x) − c( x)
Costo marginal = ∆x →
c
0
∆x ∆x →0 ∆x
Es claro que esta ecuación no es otra cosa que la derivada de la función de
costo con respecto a la cantidad producida.
dc
Costo marginal = dx
El costo marginal mide la tasa con que el costo se incrementa con respecto
al incremento de la cantidad producida.
Nota: para hallar el costo marginal se aplica los teoremas de derivación.
Cálculo 60

61. Ejemplo:
Para el caso de la función de costo C ( x) = 0.001x 3 − 0.3 x 2 + 40 x +1000
determinar el costo marginal como una función de x, y evaluarlo cuando la
producción está dada por 50 artículos.
Solución:
La función de costo marginal será la derivada de C(x).
Por tanto, Costo marginal = C’(x) = 0.001(3x 2 ) −0.3(2x) +40(1) +0
= 0.003x 2 −0.5x + 40
El costo marginal cuando se han producido 50 unidades está dado por:
C' (50) = 0.003(50)2 − 0.5(50) + 40 = 7.5 – 30 + 40 = 17.5
Puede decirse que el costo adicional de producir el artículo 51 es de $ 17.5
Es importante no confundir el costo marginal con el costo promedio. Si C (x )
es la función de costo, el costo promedio de producir x artículos es el costo
total, C (x) , dividido entre el número de artículos producidos.
C ( x)
Costo promedio por artículo = C ( x ) = x
Ejemplo:
Cálculo 61

62. Sea la ecuación de costo c( x) =1000 +10 x + 0.1x 2 , hallar el costo promedio
cuando se producen 100 artículos.
Solución:
El costo promedio de producir 100 artículos será:
1000 + 10(100) + 0.1(100) 2 1000 + 1000 + 1000
C (100) = = = 30
100 100
Esto es, el costo promedio por artículo cuando se producen 100, es de $ 30.
3.2. Ingreso marginal
Considerando los ingresos derivados de la venta de los productos o servicios
de una empresa como R(x), se define el ingreso marginal como la derivada
R’(x).
∆R
Ingreso marginal = R ' ( x) = ∆x →0
lím
∆x
Si el número de artículos vendidos se incrementa de x a x + ∆x , entonces,
existe un incremento correspondiente en el ingreso dado por:
Cálculo 62

63. ∆R = Nuevo ingreso – Ingreso original = R ( x + ∆x) − R ( x)
El incremento promedio en el ingreso por artículo adicional vendido, se
obtiene dividiendo ∆R entre el número de artículos adicionales, lo que da
∆R →
∆x . El valor límite de este promedio cuando ∆x 0 da el ingreso
marginal. Así pues, el ingreso marginal representa las entradas adicionales
de una empresa por artículo adicional vendido cuando ocurre un incremento
muy pequeño en el número de artículos vendidos. Esto es, la tasa con la
que crece el ingreso con respecto al incremento del volumen de ventas.
Ejemplo:
Si la función de ingreso está dada por R ( x) =10 x − 0.01x 2 , donde x es el
número de artículos vendidos, determinar el ingreso marginal y evaluarlo
cuando se venden 200 artículos.
Solución:
La función de ingreso marginal será la derivada de R(x). Por lo cual,
R’(x) = 10 –0.01(2x)
R’(200) = 10 – 0.02(x)
R’(200) = 10 – 0.02(200)
R’(200) = 10 – 4 = 6
Así que, producir el artículo 201 genera un ingreso adicional de $ 6.
Cálculo 63

64. Cálculo del ingreso marginal a partir de la ecuación de demanda
La función de ingreso puede escribirse como:
R ( x ) = xp
Donde p es el precio por artículo y x es el número de artículos vendidos. La
relación entre x y p está dada por la ecuación de demanda. Mientras más
artículos pueda vender la empresa, más bajo puede fijar el precio; entre más
alto se fije el precio, en general, menor será el volumen de las ventas.
Ejemplo:
Determinar el ingreso marginal cuando x = 300 si la ecuación de demanda
es:
X = 1000 - 100p.
Solución:
De la ecuación de demanda se debe expresar a p como una función de x.
100p = 1000 – x
p = 10 – 0.01x
Así, la función de ingreso está dada por:
R ( x ) = xp = x(10 –0.01x) = 10x – 0.01x²
Cálculo 64

65. Por lo cual, R’(x) = 10 –0.02(x)
Cuando el volumen de ventas es 300, el ingreso marginal está dado por:
R’(300) = 10 –0.02(300) = 10 – 6 = 4.
Así que, producir el artículo 301 genera un ingreso adicional de $4.
3.3. Utilidad marginal
La utilidad que una empresa obtiene está dada por la diferencia entre sus
ingresos y sus costos. Si la función de ingreso es R(x) cuando se venden x
artículos y la función de costo es C(x) al producirse esos mismos x artículos,
entonces la utilidad P(x) obtenida por producir y vender x artículos está dada
por:
P(x) = R(x) - C(x)
La derivada P’(x) se denomina utilidad marginal. Representa la utilidad
adicional por artículo, si la producción sufre un pequeño incremento.
Ejemplo:
La ecuación de demanda de cierto artículo es:
p + 0.1x = 180
Y la función de costo es:
Cálculo 65

66. C(x) = 5000 + 20x.
Calcular la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades.
Solución:
La función de ingreso está dada por:
R(x) =xp = x(80 – 1.0x) = 80x – 1.0x²
Por consiguiente, la utilidad generada por la producción y venta de x
artículos está dada por:
P(x) = R(x) - C(x)
= (80x - 1.0x²) – (5.000 + 20x)
= 60x – 0.10x² - 5.000
La utilidad marginal es la derivada P’(x).
P’(x) = 60 – 0.2x
Si x = 150, se obtiene P’(150) = 60 – 0.2(150) = 30
Cálculo 66

67. Así pues, cuando se producen y venden 150 artículos, la utilidad marginal, es
decir, la utilidad extra cuando se produce un artículo adicional por encima de
150 es de $30.
Cálculo 67

68. 4. OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS
OBJETIVOS
Cálculo 68

69. 1. Hallar los intervalos de crecimiento de una función real.
2. Hallar los intervalos de una concavidad de una función real.
3. Calcular los valores extremos de una función (máximo y
mínimo) a partir de la derivada.
4. Bosquejar la gráfica de una función a partir de la derivada.
4.1. Crecimiento y decrecimiento de una función
Una función y = f (x ) se dice que es una función creciente sobre un intervalo
de valores de x si, y crece al incrementarse la x. Esto es, si x1 y x2 son dos
Cálculo 69

70. valores cualesquiera en un intervalo dado con x1 > x2, entonces, f (x2) > f
(x1).
Una función y = f (x ) se dice que es una función decreciente sobre un
intervalo de valores de x, si y decrece al incrementarse la x. Es decir, si x2
> x1 son dos valores de x en un intervalo dado, entonces f ( x2) < f ( x1).
Definición:
Si y = f (x ) es una función diferenciable en un intervalo dado, entonces,
f (x ) es creciente en el intervalo en el cual f ' ( x ) > 0 , y es decreciente
en el intervalo en el cual f ' ( x) < 0 .
El valor x = c se denomina punto crítico para una función continua f (x ) si
f (c) está bien definida y si f ' (c ) = 0 ó f ' ( x) no existe en x = c .
El punto crítico es el punto en el cual existe cambio de crecimiento; es decir,
deja de ser creciente para convertirse en decreciente o viceversa.
Se calcula hallando los valores de x que hacen a f ' ( x) = 0.
Ejemplo:
Hallar los puntos críticos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función y = f ( x) = ( x 2 −1) 2 .
Solución:
Cálculo 70

71. Para hallar los puntos críticos e intervalos de crecimiento y decrecimiento se
debe iniciar con el cálculo de la primera derivada:
f ' ( x ) = 4 x ( x 2 −1)
Los puntos críticos son aquellos que hacen a f ' ( x) = 0, por tanto,
4 x ( x 2 −1) = 0
4 x ( x −1)( x +1) = 0
Donde, x = 0, x = 1, x = -1
Luego, al reemplazar en la función los valores de x para los cuales f ' ( x) =
0, se obtiene:
y = f (0) = (0 2 − 1) 2 = 1
y = f (1) = (12 −1) 2 = 0
[ ]
y = f ( −1) = ( −1) 2 − 1 = 0
2
En consecuencia, los puntos críticos serán (0, 1), (1, 0) y (-1, 0).
Los valores de la coordenada x de los puntos críticos dividen la recta real en
cuatro intervalos
Cálculo 71

72. (- ∞ , -1), (-1, 0), (0, 1) y (1, + ∞ ).
Intervalo (- ∞ , -1) (-1, 0) (0, 1) (1, + ∞ )
Punto de prueba -2 -0.5 0.5 2
f ' ( x ) = 4 x ( x 2 −1) [
4( − ) ( − )
2 2
2
]
−1 0 [
4( − .5) ( − .5) 2 −
0 1 ] [
4(0.5) (0.5) 2 −1 ]
4( 2)[( 2) 2 −1]
<0 >0 <0 >0
f (x )
Decrece Crece Decrece Crece
-∞ -1 0 1 +∞
En cada uno de estos intervalos, f ' ( x) tiene signo constante, sólo cambia
en los valores de x =-1, x = 0 y x = 1. Así, que sólo se selecciona un punto
de prueba en cada intervalo y se calcula el signo de f ' ( x) para cada
intervalo. Los resultados obtenidos son los siguientes:
Se observa que f ' ( x) > 0 en (-1, 0) y en ( 1, + ∞ ), así que la función es
creciente en estos intervalos. En (- ∞ , -1) y en (0, 1), f ' ( x) < 0, así que la
función es decreciente en estos intervalos.
Cálculo 72

73. 4.2. Concavidad de una función
La concavidad de la gráfica de una función se refiere a dónde se curva la
gráfica hacia arriba y dónde se curva hacia abajo.
Definición:
si f (x ) es una función cuya segunda derivada existe en un
intervalo dado, entonces:
si f ' ' ( x ) > 0 para todo x en el intervalo dado, la función f (x )
es cóncava hacia arriba en dicho intervalo.
si f ' ' ( x ) < 0 para todo x en el intervalo dado, la función f (x )
es cóncava hacia abajo en dicho intervalo.
Cálculo 73

74. El punto de inflexión de una curva es el punto en donde la curva cambia de
concavidad; es decir, cambia de ser cóncava hacia arriba para ser cóncava
hacia abajo o viceversa.
El punto de inflexión se calcula hallando los valores de x que hace a
f ' ' ( x) = 0
Ejemplo:
Hallar puntos de inflexión y concavidad de la función
y = f ( x) = x 3 − 3x + 1
Solución:
Los puntos de inflexión se hallan a partir de los valores de x que hacen
f ' ' ( x) = 0 , por tanto,
f ' ( x) = 3 x 2 − 3
f ' ' ( x) = 6 x
6x = 0
x =0
El valor de 0 corresponde a la coordenada x del punto de inflexión, y la
coordenada y será:
y = f (0) = 0 3 − 3(0) + 1 = 1
Luego, el punto de inflexión está representado por (0, 1)
Cálculo 74

75. Para obtener los intervalos de concavidad, se toma el valor de x del punto de
inflexión, el cual divide la recta numérica en dos intervalos (- ∞ , 0) y (0, +
∞ ). En cada uno de estos intervalos f ' ' ( x ) tiene signo constante, así que
se elige un punto de prueba conveniente y se calcula el signo de f ' ' ( x ) en
este punto. Esto determina el signo de f ' ' ( x ) en todo el intervalo.
-∞ 0 +∞
Los resultados para la concavidad del ejercicio son los siguientes:
Intervalo (- ∞ , 0) (0, + ∞ )
Punto de prueba -3 4
f ' ' ( x) = 6 x 6(-3) < 0 6(4) > 0
Concavidad Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba
4.3. Máximos y mínimos
Muchas de las aplicaciones importantes de derivadas consisten en encontrar
los valores máximo y mínimo de una función. Por ejemplo, la utilidad que
obtiene un fabricante depende del precio que cobra por el producto, y el
fabricante está interesado en conocer el precio que hace que su ganancia
sea máxima. El precio óptimo (o mejor precio) se obtiene por medio de un
proceso llamado maximización u optimización de la función de utilidad.
Cálculo 75

76. Definición:
Una función f (x) se dice que tiene un máximo local en x = c si
f (c ) > f ( x ) para todo x suficientemente cerca de c.
Así, los puntos P y Q de las gráficas 5 y 6 corresponden a máximos locales
de las funciones correspondientes.
Una función f (x) se dice que tiene un mínimo local en x = c si
f (c ) < f ( x ) para todo x suficientemente cerca de c.
Así, los puntos A y B de las gráficas 7 y 8 corresponden a mínimos locales
de las funciones correspondientes.
Cálculo 76

77. Gráfica 5
Gráfica 6
Cálculo 77

78. Gráfica 7
Gráfica 8
El término extremo se utiliza para denotar a un máximo local o bien a un
mínimo local. Una función puede tener más de un máximo local y más de un
mínimo local.
4.3.1. Criterio de la primera derivada para hallar extremos
Sea x = c un punto crítico de una función f (x ) , entonces,
f (x ) es máximo local si f ' ( x ) > 0 antes de c y f ' ( x ) < 0
después de c.
Cálculo 78
f (x ) es mínimo local si f ' ( x ) < 0 antes de c y f ' ( x) > 0
después de c.

79. Esto es, si x = c es punto crítico y f (x) cambia de creciente a decreciente,
entonces, x = c es un máximo y cuando f (x ) cambia de decreciente a
creciente, entonces x = c es un mínimo.
Ejemplo:
Hallar los extremos de la función y = f ( x) = x 4 − 4 x 3 + 7 bajo el criterio de la
primera derivada.
Solución:
Para determinar los extremos se deben calcular los puntos críticos de la
función, esto es:
f ' ( x) = 4 x 3 −12 x 2 = 4 x 2 ( x − 3)
En este caso los puntos críticos serían x = 0 ó x = 3. Estos puntos críticos
dividen la recta en tres intervalos (- ∞ , 0), (0, 3) y (3, ∞ ). Por tanto, los
resultados de crecimiento serán:
Cálculo 79

80. Intervalo (- ∞ , 0) (0, 3) (3, + ∞ )
Punto de prueba -1 1 4
f ' ( x) = 4 x 2 ( x − 3) 4( − )
1
2
( − − ) =−
1 3 16 4 (1)
2
(1 − ) =−
3 8 4( 4)
2
( 4 −3) =64
<0 <0 >0
f (x )
Decrece Decrece Crece
En x = 0, f ' ( x ) es negativa en ambos intervalos, o sea que no es un
extremo, porque a pesar de ser punto crítico no existe cambio de crecimiento
de la función. Para x = 3, la función es decreciente antes de él y creciente
después de él, por tanto, x = 3 es un mínimo.
El valor mínimo (la coordenada y) se calcula reemplazando en la función:
y = f ( x) = x 4 − 4 x 3 + 7
y = f (3) = 34 − 4(3)3 + 7 = −20
Luego, el punto mínimo en la gráfica será (3, -20)
Resumen para determinar extremos bajo el criterio de la primera
derivada
Cálculo 80

81. Paso 1. Encuentre los puntos críticos de la función (valores de x en los
cuales f ' ( x) = 0 )
Paso 2. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función (crece en f ' ( x ) > 0 y decrece en f ' ( x) < 0 )
Paso 3. Analice el crecimiento y decrecimiento antes y después de los
puntos críticos (si crece antes del punto crítico y después de éste decrece, el
punto crítico es un máximo local. Si decrece antes del punto crítico y
después de éste crece, el punto crítico es un mínimo).
4.3.2. Criterio de la segunda derivada para hallar extremos
Sea x = c un punto crítico de una función f (x ) , entonces
x = c es máximo local si f ' ' (c ) < 0
x = c es mínimo local si f ' ' (c ) > 0
Esto es, si x = c es punto crítico y al reemplazarlo en la segunda derivada de
la función se obtiene un resultado negativo (< 0), entonces, la función es
cóncava hacia abajo; mientras que, si se obtiene un resultado positivo (> 0),
entonces la función es cóncava hacia arriba.
Ejemplo:
Cálculo 81

82. Hallar los puntos extremos de la función y = f ( x) = x 3 + 2 x 2 − 4 x − 8 bajo el
criterio de la segunda derivada.
Solución:
Para determinar los extremos se deben calcular los puntos críticos de la
función, esto es:
f ' ( x) = 3x 2 + 4 x − 4
3x 2 + 4 x − 4 = 0
(3 x − 2)( x + 2) = 0
2
Luego, los valores de x para los puntos críticos son x = , x = −2
3
La segunda derivada de la función es f ' ' ( x) = 6 x + 4
2
Reemplazando x = en la segunda derivada se obtiene:
3
2 2
f ' ' ( ) = 6( ) + 4 = 8 > 0
3 3
2
Por tanto, al reemplazar en la segunda derivada el valor de x = se obtiene
3
un valor positivo (> 0), entonces la función en cóncava hacia arriba en ese
2
punto. En consecuencia, la función tiene un mínimo local cuando x = . El
3
valor mínimo local está dado por:
Cálculo 82

83. 2 2 2 2 256
y = f ( ) = ( )3 + 2( ) 2 − 4( ) − 8 = −
3 3 3 3 27
Reemplazando x = −2 en la segunda derivada se obtiene:
f ' ' ( −2) = 6( −2) + 4 = −8 < 0
Por tanto, al reemplazar en la segunda derivada el valor de x = −2 se
obtiene un valor negativo (< 0), entonces la función en cóncava hacia abajo
en ese punto. En consecuencia, la función tiene un máximo local cuando
x = −2 . El valor máximo local está dado por:
y = f (−2) = (−2)3 + 2( −2) 2 − 4( −2) − 8 = 0
Así, el único valor máximo local de f (x) es 0, y ocurre cuando x = −2 y el
256 2
único valor mínimo local es − y aparece cuando x = .
27 3
Resumen para determinar extremos bajo el criterio de la segunda
derivada
Paso 1: encuentre los puntos críticos de la función valores de x en los
cuales f ' ( x) = 0 ).
Paso 2. Encontrar f ' ' ( x) y evaluarlo cuando x=c
Paso 3. f ' ' (c ) < 0 , entonces la función tiene un máximo local en x = c.
Si f ' ' (c ) > 0 , entonces la función tiene un mínimo local en x = c.
Cálculo 83

84. Si f ' ' (c ) = 0 ó f ' ' (c) no está definida, entonces x = c no es mínimo ni
máximo local.
Optimización
Hay situaciones en Administración y Economía en las que aparece una
función que conviene optimizar. Así, por ejemplo, un empresario, teniendo en
cuenta que el costo por unidad y el precio de venta la público dependen del
número de unidades fabricadas, puede calcular este número para maximizar
la utilidad.
Para abordar este tipo de situaciones no existen normas fijas, pero sí se
sugieren algunos pasos que es conveniente seguir:
- Hallar la expresión algebraica de la función teniendo en cuenta los datos
del problema.
- Si la función depende de más de una variable, hay que buscar relaciones
entre ellas hasta poder dejar la función dependiendo de una sola.
- Calcular los extremos de la función (máximos y mínimos).
- Interpretar los resultados en el contexto del problema.
Ejemplo:
Se ha de construir un tanque con una base cuadrada horizontal y lados
verticales rectangulares. No tendrá tapa. El tanque debe tener una capacidad
de 4 metros cúbicos de agua. El material con que se construirá el tanque
Cálculo 84

85. tiene un costo de $10 por cada metro cuadrado. ¿Qué dimensiones del
tanque minimizan el costo del material?
Solución:
Paso 1. Determinación de los datos del problema.
Las variables en el problema son las dimensiones del tanque y el costo de
los materiales de construcción. El costo depende del área total de la base y
de los lados. Se denota con x la longitud de un lado de la base y, con y, la
altura del tanque, como lo ilustra la figura 1.
y
x
x
Figura 1
La cantidad que debe minimizarse es el costo total de materiales, denotada
por C, y es igual al área del tanque multiplicada por $10, que es el costo por
unidad de área. La base es un cuadrado con lado x, de modo que tiene un
área igual a x². Cada lado es un rectángulo con dimensiones x e y, y tiene
un área xy. El área total de la base más los cuatro lados es x 2 + 4 xy .
En consecuencia, se escribe:
C = 10( x 2 + 4 xy )
Paso 2. La cantidad a minimizar está expresada como una función de dos
variables, de modo que se necesita una relación entre x e y a fin de eliminar
Cálculo 85

86. una de éstas. Esta relación se obtiene del requerimiento de que el volumen
del tanque debe ser 4 metros cúbicos. El volumen es igual al área de la base
por la altura, esto es, x 2 y , y así se tiene la condición:
x2 y = 4
4
Luego, y =
x2
Así, la función de costo a minimizar será:
 4   16 
C ( x) = 10  x 2 + 4 x( 2 ) = 10  x 2 + 
 x   x
Paso 3. Se deriva la función de costo para obtener los puntos críticos.
16 8
C ' ( x ) = 10(2 x − 2
) = 20( x − 2 )
x x
Para los puntos críticos se hace C ' ( x) = 0 . Esto es:
8
20( x − ) =0
x2
x3 − 8
20( 2 ) = 0
x
Donde x3 − 8 = 0 x3 = 8 x=2
Se verifica si x = 2 es mínimo por medio del criterio de la segunda derivada.
Esto es:
16 320
C ' ' ( x) = 20(0 + 3
)= 3
x x
Cálculo 86

87. 320 320 320
C ' ' ( 2) = = 3 = = 40 > 0
x3 2 8
Al reemplazar el valor crítico x = 2 en la segunda derivada se obtiene un
valor positivo, lo cual implica que, en el punto x = 2 la función es cóncava
hacia arriba; en consecuencia, siendo x = 2 punto crítico y la función cóncava
hacia arriba, x = 2 es un mínimo.
4
Luego, y = =1
22
Paso 4. Para obtener el mínimo costo del material, el tanque debe
construirse con una base de 2 metros de lado y una altura de un metro.
El costo total del tanque será C = 10[22 + 4(2)(1)] = 10[12] = $120
4.4. Bosquejo de curvas polinomiales
En muchas ocasiones se requiere la gráfica de una función para visualizar su
comportamiento a medida que la variable independiente toma valores
específicos. En este caso, la primera y segunda derivadas son herramientas
efectivas para bosquejar la gráfica de una función.
En el siguiente cuadro se esquematizan las combinaciones de primera
y segunda derivada, compartidas en temas anteriores.
Signo de f ' ( x) y Propiedades de la gráfica Forma de la gráfica
f ' ' ( x)
f ' ( x) > hacia
0
Creciente y cóncava
y f ' ' ( x) > 0 arriba
Cálculo 87

88. f ' ( x) > 0 y f ' ' ( x) < 0 Creciente y cóncava hacia
abajo
f ' ( x) < 0 y f ' ' ( x) > 0 Decreciente y cóncava
hacia arriba
f ' ( x) < 0 y f ' ' ( x) < 0 Decreciente y cóncava
hacia abajo
Los pasos necesarios para el bosquejo de la gráfica de una función
polinomial son los siguientes:
Paso 1: calcular f ' ( x ) .
Determinar los puntos críticos, esto es valores de x para los cuales f ' ( x ) = 0
; luego, calcular la coordenada y en la función f (x) .
Determinar los intervalos en que f ' ( x ) es positiva (intervalos en que la
función f (x ) crece) o negativa (intervalos en que la función f (x ) decrece).
Paso 2: calcular f ' ' ( x) .
Determinar los puntos de inflexión, esto es valores de x para los cuales
f ' ' ( x) = 0 ; luego calcular a la coordenada y en la función f (x ) .
Cálculo 88

89. Determinar los intervalos en que f ' ' ( x) es positiva (cóncava hacia arriba) o
negativa (cóncava hacia abajo).
Paso 3: ubicar puntos.
En lo posible, calcular los puntos de intercepto1 de la gráfica con los ejes de
coordenadas x y y. Esto es, intercepto con eje x (se hace y = 0 en la función
y se encuentran los valores de x), intercepto con eje y (se hace x = 0 en la
función y se encuentran los valores de y).
Localizar los interceptos con los ejes, los puntos críticos y de inflexión sobre
un plano cartesiano y trazar la curva, teniendo en cuenta los intervalos de
crecimiento, decrecimiento, concavidad hacia arriba y concavidad hacia
abajo. En este caso, puede apoyarse del cuadro de combinaciones de
primera y segunda derivada.
Ejemplo:
Bosquejar la gráfica de la función y = f ( x) = x 3 − 3x .
Solución:
Siguiendo los pasos para el bosquejo de gráficas, se tiene:
Intercepto con el eje x. Se hace y = 0 en la función y se obtienen los valores
para x, esto es:
x3 − 3x = 0
1
Intercepto: es el corte de una función con un eje de coordenadas.
Intersección: es la ubicación simultánea de dos funciones en un plano determinado.
Cálculo 89

90. x( x 2 − 3) = 0 x( x − 3 )( x + 3 ) = 0
Donde x = 0, x = 3, x =− 3
Por tanto, los interceptos para el eje x son (0,0), ( 3 ,0), ( − 3 ,0)
Para el intercepto con el eje y. Hacer x = 0 en la función y obtener los valores
para y, esto es:
y = 03 − 3(0) = 0
En consecuencia, el intercepto con el eje y es el punto (0, 0).
Puntos críticos. A partir de la primera derivada de la función se obtienen los
puntos críticos; éstos son los valores de x que hace cero a f ' ( x) .
f ' ( x ) = 3 x 2 − 3 = 3( x 2 −1) = 3( x −1)( x +1) . 3( x −1)( x +1) = 0
Luego, x = 1 y x = -1 son los valores de x para los puntos críticos.
Reemplazando estos valores en la función se obtienen las respectivas
coordenadas y.
y = f (1) = (1)3 − 3(1) = 1 − 3 = −2 y y = f (−1) = (−1)3 − 3(−1) = −1 + 3 = 2
Luego, los puntos críticos son (-1, 2) y (1, -2)
4.4.1. Intervalos de crecimiento
Cálculo 90

91. Los valores de x de los puntos críticos dividen la recta real en tres intervalos:
Intervalo (- ∞ , -1) (-1, 1) (1, + ∞ )
Punto de prueba -2 0 2
f ' ( x) = 3 x 2 − 3 3(−2) 2 − 3 = 9 3(0) 2 − 3 = −3 3( 2) 2 − 3 = 9
>0 <0 >0
f (x ) Crece Decrece Crece
(- ∞ , -1), (-1, 1) y (1, ∞ ). En cada uno de estos intervalos, f ' ( x) tiene
signo constante; luego, se selecciona un punto de prueba para cada uno y se
obtiene el signo del intervalo respectivo. Esto es:
4.4.2. Puntos de inflexión
Se hallan a partir de la segunda derivada de la función. Son aquellos valores
de x que hace cero la segunda derivada. Esto es:
f ' ' ( x) = 6 x
6 x = 0, x=0
Luego se reemplaza el valor x = 0 en la función para hallar la coordenada y:
y = f (0) = (0)3 − 3(0) = 0
Cálculo 91

92. En consecuencia, la función tiene cambio de concavidad en el punto de
inflexión (0, 0).
4.4.3. Intervalos de concavidad
El valor x = 0 del punto de inflexión divide la recta real en dos intervalos (- ∞ ,
0) y (0, ∞ ). En cada uno de estos intervalos se selecciona un punto de
prueba para determinar el signo de f ' ' ( x) , y en consecuencia, la concavidad
de la función. Esto es:
Intervalo (- ∞ , 0) (0, + ∞ )
Punto de -2 2
prueba
f ' ' ( x) = 6 x 6( − ) = −
2 12 6( 2) = 12
<0 >0
f (x ) Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba
Cálculo 92