Multiplicadores de Lagrange

1. MULTIPLICADORES
DE LAGRANGE
MATERIA
MATEMATICA III/IV

2. HISTORIA DEL METODO
DE LAGRANGE

El método lagrangian (también conocido como multiplicadores
lagrangian) lo propuso Joseph Louis Lagrange (1736-1813), un
matemático nacido en Italia. Sus multiplicadores lagrangian tienen
aplicaciones en una variedad de campos, incluyendo el
físico, astronomía y económica. La lectura de una obra del astrónomo
inglés Edmund Halley despertó su interés, y, tras un año de incesante
trabajo, era ya un matemático consumado. Nombrado profesor de la
Escuela de Artillería, en 1758 fundó una sociedad, con la ayuda de sus
alumnos, que fue incorporada a la Academia de Turín.
o
En su obra Miscellanea taurinensia, escrita por aquellos
años, obtuvo, entre otros resultados, una ecuación diferencial general
del movimiento y su adaptación para el caso particular del movimiento
rectilíneo, y la solución a muchos problemas de dinámica mediante el
cálculo de variantes.

3. o Realizo un trabajo sobre el equilibrio
lunar, donde razonaba la causa de que la Luna
siempre mostrara la misma cara, le supuso la
concesión, en 1764, de un premio por la
Academia de Ciencias de París
o En 1795 se le concedió una cátedra en la
recién fundada École Normale, que ocupó tan
solo durante cuatro meses. Dos años más
tarde, tras la creación de la École
Polytechnique,
Lagrange
fue
nombrado
profesor, y quienes asistieron a sus clases las
describieron como «perfectas en forma y
contenido».
o Sus enseñanzas sobre cálculo diferencial forman la base de
sus obras Teoría de las funciones analíticas y Resolución de
ecuaciones numéricas (1798). En 1810 inició una revisión de
su Teoría, pero sólo pudo concluir dos terceras partes antes de su
muerte.

4. ¿QUÉ ES Y PARA QUÉ SIRVE EL MÉTODO DE LOS
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE?


El método de los Multiplicadores de
Lagrange, es un procedimiento para encontrar
los máximos y mínimos de funciones de
múltiples variables sujetas a restricciones. Este
método reduce el problema restringido
con n variables a uno sin restricciones de n + k
variables, donde k es igual al número de
restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser
resueltas más fácilmente. El método dice que
los puntos donde la función tiene un
extremo,
condicionado
con
k
restricciones,
están
entre
los
puntos
estacionarios de una nueva función sin
restricciones construida como una combinación
lineal de la función y las funciones implicadas
en las restricciones, cuyos coeficientes son los
multiplicadores.
La demostración usa derivadas parciales y
la regla de la cadena para funciones de varias
variables. Se trata de extraer una función
implícita de las restricciones, y encontrar las
condiciones para que las derivadas parciales
con respecto a las variables independientes de
la función sean iguales a cero.

5. OBJETIVOS DEL MÉTODO DE LAGRANGE





Visualizar algunas superficies cuádricas y
curvas de nivel para distintos valores de la
variable z.
Identificar, a través de los simuladores, los
puntos
(x,y)
sobre
la
curva
correspondiente a la función restricción
donde la función principal tiene extremos.
Interpretar gráficamente los resultados
obtenidos empleando el método de
multiplicadores de Lagrange.
Aproximar las soluciones del problema a partir de la
observación en el simulador, de las curvas de nivel de la función
principal y la curva correspondiente a la función condicionante.
Adquirir habilidad en la resolución de problemas de
optimización en un ambiente computacional.

6. CARACTERÍSTICAS


El método de eliminación de variables
no resulta operativo cuando el
problema tiene muchas restricciones
o las restricciones son complejas, por
lo que resulta muy útil éste método.
Los Multiplicadores de Lagrange es
un método alternativo que además
proporciona más información sobre el
problema.
Todos los óptimos que verifiquen las condiciones de
regularidad establecidas tienen asociados los
correspondientes multiplicadores.
 El teorema de Lagrange establece una condición
necesaria de optimalidad (bajo las condiciones de
regularidad).


7. CAMPO DE APLICACIÓN

Existen en todas las ramas de la
ciencia,
en
la
Física,
en
la
Matemática, en la Química, en la
Astronomía, en Biología, en Economía
etc. Situaciones en las que conociendo
un conjunto de datos experimentales en
un cierto intervalo de la variable
independiente, esto es, conociendo una
cierta cantidad de datos tabulados, se
hace preciso encontrar una función que
verifique
todos
esos
datos
y
permita, por consiguiente, predecir la
existencia de otros valores con la
aproximación adecuada. El método de
la interpolación de Lagrange es de gran
importancia en el análisis numérico.

8. SIGNIFICADO ECONÓMICO


Los consumidores y negocios se esfuerzan por maximizar su
utilidad. En el lado del consumidor, esto significa obtener el
nivel más alto de satisfacción de bienes y servicios.
Para los negocios, la utilidad máxima significa maximizar el
beneficio.. Los consumidores tienen ingresos limitados para
comprar los bienes y servicios que deseen y las empresas
tiene sólo la tierra, trabajo y capital limitado para crear sus
productos. Estos recursos limitados, presentan restricciones. El
reto, entonces, es la forma de lograr la satisfacción o beneficio
máximo en sus restricciones dadas. Otro reto para las
empresas es el de minimizar los costos de producción.
FUNCION

El método de Lagrange aplica cálculo diferencial, implicando el
cálculo de derivadas parciales, hasta temas de optimización
restringida. El propietario de un negocio, por ejemplo, puede
utilizar esta técnica para maximizar el beneficio o minimizar los
costos dados que el negocio tiene sólo una cierta cantidad de
dinero que invertir. Un consumidor hipotético, que, por
ejemplo, deriva la utilidad de coleccionar libros y CDs, podría
utilizar este método para determinar la forma de obtener el
número óptimo de libros y CDs, dado que sólo tiene US$100 de
ingresos disponibles para gastar.

9. IDENTIFICACIÓN

El multiplicador de Lagrange, representado en la
ecuación por la letra minúscula griega lambda
( λ), representa la tasa de cambio en la utilidad relativa
al cambio en la restricción de presupuesto. En
economía, esto se conoce como el valor o utilidad
marginal, el aumento en la utilidad ganada de un
aumento en la restricción de presupuesto.
EFECTOS

Basado en los resultados de un análisis de
Lagrange, una persona o empresa tiene una base
empírica para tomar decisiones sobre la
maximización de utilidad continuada en los cambios
de las restricciones externas. Un incremento
del precio en un artículo favorito. por ejemplo, podría
llevar a que el consumidor compre una cantidad más
baja de ese artículo o trabajar más horas para
conseguir más ingresos y alcanzar el precio más
alto.

10. AYUDAS QUE BRINDA

Para la Solución de Problemas de Optimización Dinámica: La
resolución de un problema de interpolación lleva a un problema
de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de
ecuaciones. Usando una base monómica estándar para
el polinomio interpolador, se llega a la matriz de Vandermonde.
Eligiendo una base distinta, la base de Lagrange, se llega a la
forma más simple de matriz identidad = δi que puede resolverse
inmediatamente.

11. MÉTODO

Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rn}. Se
definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,..., s, y se observa (si las restricciones son satisfechas)
que:

Se procede a buscar un extremo para h

Lo que es equivalente a

Para entender mejor explicaremos el procedimiento de la siguiente manera:
Se tiene una función y una restricción.
Se iguala la restricción a 0.
La restricción se multiplica por lambda y se resta de la función principal
Se obtienen las derivadas parciales de la función resultante.
Se construye un sistema de ecuaciones con estas derivadas.
A continuación se obtienen los valores críticos desarrollando el sistema de ecuaciones, en
donde siempre el valor debe eliminarse para que se puedan obtener los valores críticos de las
variables.
Se sustituyen los valores necesarios para sacar los puntos críticos.








12. EJERCICIO DE APLICACION

13.- Asignación de Producción. Para surtir una orden de 100
unidades de su producto, una empresa desea distribuir la
producción entre sus dos plantas, 1 y 2. La función de costo
total está dada por:

Donde son los números de unidades producidas en las
plantas 1 y 2 respectivamente. ¿Cómo debe distribuirse la
producción para minimizar los costos? (Puede suponerse que
el punto crítico obtenido corresponde al costo mínimo).

La restricción está dada por:

13. BIBLIOGRAFIA
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/l/lagr
ange.htm
 http://www.ehowenespanol.com/metodolagrange-economia-sobre_73850/


14. www.bryan-guerra-69,blogspot.com
Encuentra el documento escrito en:
http://bryan-guerra-69.blogspot.com/2013/12/multiplic
adores-de-lagrange.html