Este documento presenta las unidades IV y V sobre espacios vectoriales y transformaciones lineales. La unidad IV cubre conceptos como bases, dimensión e independencia lineal de vectores. La unidad V introduce transformaciones lineales, incluyendo su núcleo e imagen, representación mediante matrices y ejemplos como reflexión, dilatación y rotación. El documento provee definiciones formales, teoremas y ejemplos para ilustrar estos importantes conceptos lineales.

1. UNIDAD IV Y V “ESPACIOS VECTORIALES Y TRANSFORMACIONES LINEALES”
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE PACHUCA
LICENCIATURA EN INGENIERÍA CIVIL
UNIDAD IV: “ESPACIOS VECTORIALES”
ING: JAVIER BARRERA ANGELES
ALUMNO: ERIK R. MERA TOVAR
A 03 DE DICIEMBRE DEL 2012.
3° SEMESTRE

2. UNIDAD IV Y V “ESPACIOS VECTORIALES Y TRANSFORMACIONES LINEALES”
(4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base).
BASES Y DIMENSIÓN
DEFINICIÓN
Base Un conjunto finito de vectores v1, v2, . . ., vn es una base para un
espacio vectorial V si
i. v1, v2, . . ., vn es linealmente independiente
ii. v1, v2, . . ., vn genera V.
Todo conjunto de n vectores linealmente independiente Rn es una base en Rn
En Rn se define
1 0 0
0
0 0 0
1
0 e3 = 1 en= 0
e1 = e2 = 0
. , , . ,....... .
.
.
.
. ., .
0 0 1
0
Base canónica.- Entonces, como los vectores e1 son las columnas de una matriz
identidad e1, e2, . . ., en es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto,
constituye una base en Rn.
EJEMPLO 1 0 0 1 0 0 0 0
Base canónica para M22 que 0 , 0 0 , 0 y 0 generan a M22
1 0 1
Si C1 C2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
C3 C4 C1
= 0 0 C2
+ 0 + C3
0 1 +0C4 = 1
0 , entonces es
0 0
obvio que c1 = c2=c3=c4= 0. Así, estas matrices son linealmente independientes y
forman una base para M22 .
DEFINICIÓN
Dimensión.- Si el espacio vectorial V tienen una base finita, entonces la
dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se llama espacio
vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se llama espacio de dimensión infinita.
Si V = 0 , entonces se dice que V tiene dimensión cero.
EJEMPLO
La dimensión de Rn Como n vectores linealmente independientes en Rn
constituye una base, se ve que
Dim Rn = n

3. UNIDAD IV Y V “ESPACIOS VECTORIALES Y TRANSFORMACIONES LINEALES”
Cambio de base
Sea x un vector que en base B1 (de vectores unitarios u1, u2, ...) será
igual a m1u1+ m2u2 + m3u3 + ... El mismo vector, utilizando otra base B2
(de vectores unitarios v1, v2, ...) será n1v1+ n2v2 + n3v3 + ...
Supongamos que u1, u2, ... se representan en la base B2 de esta forma:
u1 = a11v1 + a21v2+ ... + an1vn
u2 = a12v1 + a22v2 + ... + an2vn
.............................................................
un = a1nv1 + a2nv2 + ... + annvn
Por lo tanto, sustituyendo estas ecuaciones en la fórmula original nos
queda:
x = m1(a11v1 + a21v2 + ... + an1vn ) + m2(a12v1 + a22v2 + ... + an2vn) + ...
Reordenando queda:
x = (m1a11 + m2a12+ ...+ mna1n)v1 + ... + (m1an1 + m2an2 + ... + mnann)vn
Comparando con la fórmula x = n1v1+ n2v2 + n3v3+ ... deducimos que:
n1 = m1a11 + m2a12+ ... + mna1n
n2 = m1a21 + m2a22 + ... + mna2n
.................................................................
nn = m1ann + m2an2 + ... + mnann
Esto se puede expresar de forma matricial:
n1 a11 + a12 + ... + a1n m1
n2 = a21 + a22 + ... + a2n m2
..... ........................................
nn a2n + an2 + ... + ann mn
Llamando A a la matriz de coeficientes, X' al vector en la base B2 y X al
vector en la base B1 nos queda:
X' = AX
despejando X nos queda:X = A-1X'

4. UNIDAD IV Y V “ESPACIOS VECTORIALES Y TRANSFORMACIONES LINEALES”
Base
Un conjunto de vectores {v1, v2, ..., vn} forma una base para V si:
i. {v1, v2, ..., vn} es linealmente independiente.
ii.{v1, v2, ..., vn} genera V.
Asi pues,
Todo conjunto de n vectores linealmente independientes enℜn es una
base en ℜn
En ℜn definimos
Como los términos ei son las columnas de la matriz identidad (cuyo
determinante es 1), entonces {e1, e2, ..., en} es linealmente independiente
y, por tanto, constituye una base en ℜn. Esta entidad especial se llama
base canónica en ℜn.
Teorema 1. Si {v1, v2, ..., vn} es una base de V y si v∈V, entonces existe
un conjunto único de escalares c1, c2, ..., cn tales que v= c1v1, c2v2, ...,
cnvn.
Teorema 2. Si {u1, u2, ..., un} y {v1, v2, ..., vn} son bases del espacio
vectorial V, entonces m = n; esto es, cualesquiera dos bases en un
espacio vectorial V poseen el mismo número de vectores.

5. UNIDAD IV Y V “ESPACIOS VECTORIALES Y TRANSFORMACIONES LINEALES”
Dimensión
Si el espacio vectorial V posee una base finita, la dimensión de V es el
número de vectores en la base, y V se llama espacio vectorial de
dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de
dimensión infinita. Si V = {0}, entonces V se dice que es de dimensión
cero.
Notación. Se simboliza la dimensión de V como dimV.
Teorema 3. Supóngase que dimV = n. Si u1, u2, ..., um es un conjunto de
m vectores linealmente independientes en V, entonces m ≤ n.
Teorema 4. Sea H un subespacio del espacio vectorial V de dimensión
finito. Entonces H es finito-dimensional y
dimH ≤ dimV
Demostración. Sea dimV = n. Cualquier conjunto de vectores en H
linealmente independiente, lo es tambien en V. Por el Teorema 3,
cualquier conjunto linealmente independiente en H, cuando más,
contiene n vectores. Así pues, H es de dimensión finita. Más aún, como
una base en H es un conjunto linealmente independiente, se ve que
dimH ≤ n.
Teorema 5. Cualesquiera n vectores linealmente independientes en un
espacio vectorial V de dimensión n, constituyen una base.

6. UNIDAD IV Y V “ESPACIOS VECTORIALES Y TRANSFORMACIONES LINEALES”
UNIDAD V “TRANSFORMACIONES LINEALES”
(SUBTEMAS).
5.1 Introducción a las transformaciones lineales.
5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.
5.3 La matriz de una transformación lineal.
5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y
rotación.

7. UNIDAD IV Y V “ESPACIOS VECTORIALES Y TRANSFORMACIONES LINEALES”
5.1 (Introducción a las transformaciones lineales).

8. UNIDAD IV Y V “ESPACIOS VECTORIALES Y TRANSFORMACIONES LINEALES”

9. UNIDAD IV Y V “ESPACIOS VECTORIALES Y TRANSFORMACIONES LINEALES”

10. UNIDAD IV Y V “ESPACIOS VECTORIALES Y TRANSFORMACIONES LINEALES”
EJEMPLOS (Transformaciones)

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