1. MOISES VILLENA Vectores en R3
1
1.1 Definición
1.2 Enfoque geométrico
1.3 Igualdad
1.4 Operaciones
1.5 Aplicaciones
Objetivos.
Se persigue que el estudiante:
• Represente geométricamente un vector de R 3
• Determine magnitud y dirección de un
vector.
• Sume vectores, multiplique por un escalar a
un vector, obtenga el productor escalar y el
producto vectorial entre vectores
• Obtenga el área de un paralelogramo
sustentados por dos vectores.
• Obtenga el volumen del paralelepípedo
sustentado por tres vectores.
1

2. MOISES VILLENA Vectores en R3
Tomando como referencia la teoría de vectores en el plano, se obtienen
definiciones y propiedades de los vectores en el espacio.
1.1 DEFINICIÓN
Un vector de R 3 es una terna ordenada de
números reales. Denotada de la siguiente manera:
→
v = ( x, y , z )
1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO
3
Geométricamente a un vector de R se lo representa en el Espacio
como un segmento de recta dirigido.
Suponga que se tienen los puntos P ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2 , y 2 , z 2 ) . Si
1
trazamos un segmento de recta dirigido desde P1 hacia P2 tenemos una
→ ⎯
⎯→
representación del vector v = P P2 = ( x2 − x1 , y 2 − y1 , z1 − z 2 )
1
z
P2 = ( x2 , y 2 , z 2 )
→
v
P1 = ( x1 , y1 , z1 )
y
x
Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en
el espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza
ubicando al vector con el origen como punto de partida.
z
P ( x, y , z )
→
v
y
x
2

3. MOISES VILLENA Vectores en R3
1.2.1 Magnitud o norma
→
Sea v = ( x, y, z ) . La magnitud o norma de v
→
→
denotada como v , se define como:
→
v = x2 + y2 + z 2
Note que la norma sería la longitud del segmento de recta que define el
vector. Es decir, sería la distancia entre los puntos que lo definen.
→
Para v = ( x2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 ) sería:
→
v = (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2
1.2.2 Dirección
→
La dirección de v = ( x, y, z ) está definida por la
medida de los ángulo que forma la línea de acción
del segmento de recta con los ejes x , y , z
z
→
γ v
α
β
y
x
Los ángulos α , β y γ son llamados Ángulos Directores.
3

4. MOISES VILLENA Vectores en R3
Observe que:
x x
Cosα = →
=
v x2 + y2 + z2
y y
Cosβ = →
=
v x + y2 + z2
2
y y
Cosγ = →
=
v x2 + y2 + z2
Ejercicio.
Demostrar que cos
2
α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
1.2.3 Sentido
→
El sentido de v lo define la flecha dibujada sobre
el segmento de recta.
3
1.3 IGUALDAD DE VECTORES DE R
→ →
Dos vectores v1 = (x1 , y1 , z1 ) y v2 = (x2 , y 2 , z 2 ) son
iguales si y sólo si x1 = x2 , y1 = y2 y z1 = z 2
1.4 OPERACIONES
1.4.1 Suma
→ →
Sean v1 y v2 dos vectores de R tales que
3
→ →
v1 = ( x1 , y1 , z1 ) y v2 = ( x2 , y2 , z 2 ) entonces la
→ → → →
suma de v1 con v2 , denotada como v1 + v2 , se
define como:
→ →
v1 + v2 = ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z 2 )
4

5. MOISES VILLENA Vectores en R3
1.4.1.1 Propiedades
→ → →
Sean v1 , v2 y v3 vectores de R 3 , entonces:
→ → → →
1. v1 + v2 = v2 + v1 la suma es conmutativa
v1 + ⎛ v2 + v3 ⎞ = ⎛ v1 + v2 ⎞ + v3
→ → → → → →
2. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ la suma es asociativa
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
→ → → → →
3. ∃ 0 ∈ R , ∀ v ∈ R tal que v + 0 = v ,
3 3
→
Donde 0 = (0,0,0 ) es llamado Vector Neutro
∃⎛ − v ⎞ ∈ R 3 tal que v + ⎛ − v ⎞ = 0
→ → → → →
4. ∀v∈R , ⎜ ⎟ 3
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ →
⎞
Donde ⎜ − v ⎟ es llamado Vector Inverso Aditivo de v
→
⎝ ⎠
Geométricamente: z
→
2
v
→
v1 = ( x1 , y1 , z1 )
→
1 +
v
→
v2 = (x2 , y 2 , z 2 )
y
x
→ →
Los vectores v1 y v2 sustentan un paralelogramo, el vector de la
diagonal mayor es el Vector Suma y el vector de la diagonal menor es el
Vector Diferencia.
1.4.2 Multiplicación por escalar
→
Sea α ∈ R y v = ( x, y, z ) un vector de R 3
entonces:
→
α v = (αx, αy, αz )
5

6. MOISES VILLENA Vectores en R3
1.4.2.1 Propiedades
⎡α ⎛ v + v ⎞ = α v + α v ⎤
→ → →→ → →
1. ∀α ∈ R, ∀ v1 , v2 ∈ R ⎢ ⎜ 1 2 ⎟
3
2⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎦
1
3⎡ ⎤
→ → → →
2. ∀α , β ∈ R, ∀ v ∈ R ⎢(α + β ) v = α v + β v ⎥
⎣ ⎦
∀α , β ∈ R, ∀ v ∈ R 3 ⎡α ⎛ β v ⎞ = (αβ ) v ⎤
→ → →
3. ⎢ ⎜ ⎟
⎣ ⎝ ⎠ ⎥
⎦
→
Cualquier vector de R3 , v = ( x, y, z ) , puede ser expresado en
→ →
combinación lineal de los vectores i = (1,0,0) , j = (0,1,0) y k = (0,0,1)
→
→
v = ( x, y, z ) = x(1,0,0 ) + y (0,1,0 ) + z (0,0,1)
→ → → →
v = x i + y j+ z k
1.4. 3. Producto Escalar. Producto Punto o Producto Interno
→ →
Sean v1 = ( x1 , y1 , z1 ) y v2 = ( x2 , y2 , z 2 ) vectores
→ →
de R 3 . El Producto escalar de v1 con v2 denotado
→ →
como v1 • v2 se define como:
→ →
v1 • v2 = x1 x2 + y1y2 + z1 z 2
Ejemplo
→ →
Si v1 = (3,1,−2) y v 2 = (− 1,4,0) entonces
→ →
v1 • v 2 = (3)(− 1) + (1)(4) + (− 2)(0) = −3 + 4 + 0 = 1
1.4.3.1 Propiedades
→ →
Sean v1 y v2 vectores de R 3 . Entonces:
→ → → →
1. v1 • v2 = v2 • v1
6

7. MOISES VILLENA Vectores en R3
2. v1 • ⎛ v2 + v3 ⎞ = v1 • v2 + v1 • v2
→ → → → → → →
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ α v ⎞ • ⎛ β v ⎞ = αβ⎛ v • v ⎞
→ → → →
3. ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 1 2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
→
Si v = ( x, y, z ) entonces:
→ →
v • v = ( x, y , z ) • ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 .
→ → → 2 → → →
Por lo tanto v • v = v o también v = v• v
1.4. 4. Producto Vectorial. Producto Cruz
→ →
Sean v1 = ( x1 , y1 , z1 ) y v2 = ( x2 , y2 , z 2 ) vectores
→ →
de R 3 . El Producto Vectorial de v1 con v2
→ →
denotado como v1 × v2 se define como:
→ →
v1× v2 = ( y1 z 2 − z 1 y2 ,−( x1 z 2 − x2 z1 ), x1 y2 − y1 x2 )
Una manera práctica para obtener el resultado de la operación Producto
Cruz entre dos vectores es resolver el siguiente determinante, para la primera
fila:
i j k
→ →
v1 × v2 = x1 y1 z1
x2 y2 z2
Ejemplo.
→ →
Sea v1 = (1,2,−1) y v 2 = (2,−1,0 ) entonces
i j k
→ →
v1 × v 2 = 1 2 − 1 = −i − 2 j − 5k
2 −1 0
7

8. MOISES VILLENA Vectores en R3
1.4.4.1 Propiedades.
→ → →
Sean v1 , v2 y v3 vectores de R 3
1. El vector ⎛ v1× v2 ⎞ es tanto perpendicular a
→ →
⎜ ⎟
⎝ ⎠
→ →
v1 como a v 2
2. El sentido del vector ⎛ v1 × v2 ⎞ se lo puede
→ →
⎜ ⎟
⎝ ⎠
obtener empleando la mano derecha.
→
Mientras los dedos se dirigen desde v1
→
hacia v2 , el pulgar indica la dirección de
⎛v × v ⎞.
→ →
⎜ 1 2⎟
⎝ ⎠
→ →
v1× v2
→
v2
•
• →
v1
3. v1 × v2 = −⎛ v2 × v1 ⎞
→ → → →
⎜ ⎟
⎝ ⎠
→ → →
4. v1 × v1 = 0
→ → → → →
5. Si v1 // v 2 entonces v1 × v 2 = 0
⎛α v ⎞ × ⎛α v ⎞ = α α ⎛ v × v ⎞
→ → → →
6. ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ 2⎜ 1 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1
⎝ ⎠
7. v1 × ⎛ v2 + v3 ⎞ = ⎛ v1 × v2 ⎞ + ⎛ v1 × v3 ⎞
→ → → → → → →
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2 → 2 2
8. v1 × v 2 = v1 v 2 − ⎛ v1 • v 2 ⎞
→ → → → →
⎜ ⎟
⎝ ⎠
De la última expresión, empleando la propiedad del producto escalar, se
obtiene un resultado muy importante:
8

9. MOISES VILLENA Vectores en R3
→ 2 → 2 → 2 2
→
⎛→ →⎞
v1 × v 2 = v1 v2 − ⎜ v1 • v 2 ⎟
⎝ ⎠
2
→ 2 → 2
⎛ → → ⎞
= v1 v2 − ⎜ v1 v 2 cos θ ⎟
⎝ ⎠
→ 2 → 2 → 2 → 2
= v1 v2 − v1 v2 cos 2 θ
[1 − cos θ ]
→ 2 → 2
= v1 v2 2
→ → 2 → 2 → 2
v1 × v 2 = v1 v 2 sen 2θ
Finalmente:
→ → → →
v1 × v 2 = v1 v 2 senθ
1.5 APLICACIONES
1.5.1 CALCULO DEL ÁREA DEL PARALELOGRAMO
SUSTENTADO POR DOS VECTORES.
→ →
Sean v1 y v2 dos vectores, no paralelos. Observe la figura:
→
v1
→
v1
h
θ
→
→ v2
v2
→
Tomando como base a v2 , tenemos:
Area = base • altura
→
= v2 h
h → →
Observe que senθ = →
entonces Area = v 2 v1 senθ
v1
Y por la propiedad del producto cruz:
→ →
Area = v1 × v 2
9

10. MOISES VILLENA Vectores en R3
Ejemplo 1
→
Hallar el área del triángulo sustentado por los vectores v1 = (1, 2,−1) y
→
v 2 = (2,−1, 0 )
SOLUCIÓN:
→ →
El área del triángulo sustentado por dos vectores v1 y v 2 es la mitad del área del
paralelogramo sustentado por los vectores, es decir:
→ →
v1 × v 2
Area Triángulo =
2
i j k
→ →
Como v1 × v 2 = 1 2 − 1 = −i − 2 j − 5k
2 −1 0
entonces
→ →
v1 × v 2
(− 1)2 + (− 2)2 + (− 5)2 30
Area Triángulo = = =
2 2 2
Ejemplo 2
Hallar el área del triángulo que tiene por vértices los puntos (1,−2,0 ) , (1,1,1) y
(− 2,0,1)
SOLUCIÖN:
Primero se forman dos vectores entre los puntos dados, tomando arbitrariamente el
orden de estos puntos; luego se procede de manera análoga a lo mencionado
anteriormente debido a que el área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo.
P2 (1,1,1)
→
v1
P (1,−2,0 ) → P3 (− 2,0,1)
1
v2
→ →
En este caso, v1 = P1 P2 = (1 − 1, 1 − (−2), 1 − 0 ) = (0,3,1)
→ →
v 2 = P2 P3 = (− 2 − 1, 0 − (−2), 1 − 0 ) = (− 3,2,1)
Entonces,
i j k
→ →
v1 × v 2 = 0 3 1 = i − 3 j − 9k
−3 2 1
→ →
v1 × v 2
(1)2 + (− 3)2 + (9)2 91
Area Triángulo = = =
2 2 2
10

11. MOISES VILLENA Vectores en R3
1.5.2 CALCULO DEL VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO
SUSTENTADO POR TRES VECTORES
→ → →
Sean v1 , v2 y v3 tres vectores. Observe la figura.
→ →
v1 × v 2
→ h
v3
h →
v2
•
→
v1
→ →
Tomando como base el paralelogramo sustentado por v1 y v2 , la altura
→ → →
h del paralelepípedo será la proyección escalar v3 sobre v1 × v2 ,
entonces:
Volumen = Area base × altura
→ →
Donde Area base = v1 × v 2
⎛→ →⎞ →
→
⎜ v1 × v 2 ⎟ • v3
altura = h = Pr oy → → v3 = ⎝ → ⎠ →
v1 ×v2
v1 × v 2
Por tanto.
⎛v × v ⎞ • v
→ → →
⎜ 1 2⎟ 3
Volumen = v1 × v2 ⎝ → ⎠
→ →
→
v1 × v2
Finalmente, simplificando resulta:
Volumen = ⎛ v1 × v 2 ⎞ • v3
→ → →
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Esta última expresión es denominada, EL TRIPLE PRODUCTO
→ → →
ESCALAR de los vectores v1 , v 2 y v3 , y su interpretación es el volumen del
→ → →
paralelepípedo sustentado por los vectores v1 , v 2 y v 3 . Observe además que
no importa el orden de operación de los vectores, ¿por qué?.
11

12. MOISES VILLENA Vectores en R3
Ejemplo
→
Hallar el volumen del paralelepípedo sustentado por los vectores v1 = (1,−2,1) ,
→ →
v 2 = (2,0,−1) y v3 = (1,2,3) .
SOLUCIÖN.
Por lo definido anteriormente,
1 −2 1
⎛→ →⎞ →
Volumen = ⎜ v1 × v 2 ⎟ • v3 = 2 0 − 1 = 2 + 14 + 4 = 20u 3
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 2 3
Ejercicios propuestos
→ →
ˆ j ˆ ˆ j ˆ
1. Sean los vectores V1 = 3i − 2 ˆ + 4k y V2 = 3i + 3 ˆ − 2k .
→ →
a) Determinar la proyección vectorial de V1 sobre el vector V2 .
→ →
b) Calcular la componente de V1 perpendicular a V2 .
⎯
⎯→
( )
→
Resp. a) Pr oy → V1 = − 15 ,− 15 , 10
22 22 22
b)
V2
→ →
ˆ j ˆ ˆ j ˆ
2. Sean los vectores A = Ax i − 5 ˆ + 2k y B = −3i + 2 ˆ − B z k . Calcule los valores de Ax y
→ →
Bz para los cuales A× B es paralelo a: a) al eje x b) al eje y
Resp. a) Ax = 15
2
Bz = 4
5
b) Ax = 15
2
Bz = 4
5
3. Calcular el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos (-3,2,4); (2,1,7) ; (4,2,6)
Resp. Area = 174
2
4. Dados tres vectores V1 = (5,2,6) , V2 = (−1,8,3) , V3 = (2,−7,4) forman un tetraedro con
vértice en el origen. Determinar su altura desde el origen. Resp. h = 77
746
5. Un tetraedro tiene por base el triángulo de vértices (3.-6,-1) , (4,4,-2) y (-3,-1,2); Si el vértice
opuesto es el punto (8,10,6) , determine su altura. Resp. h = 938
5459
6. Sean u y v vectores no nulos, diferentes tales que: w1 = u + v , w2 = u − v ,
w3 =1
2
(u + v ) . Hallar w1 • (w2 × w3 ) Resp. 0
→ →
7. Sea V un vector diferente de cero, entonces, demostrar que si U es un vector cualquiera, el
→ →
→ → U•V → →
vector W = U − V es ortogonal a V .
2
→
V
→ → → → → →
8. Demuestre que si U es ortogonal a V y a W , entonces U es ortogonal a c V + d W para
escalares cualquiera cyd.
→ →
9. Demostrar que el área del triángulo, cuyos vértices son los extremos de los vectores A , B y
→ 1 ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞
C , es ⎜ B − A ⎟ × ⎜ C − A ⎟
2⎜⎝
⎟ ⎜
⎠ ⎝
⎟
⎠
→ → → → → →
10. Demostrar que el volumen del tetraedro de aristas A + B , B + C y C + A y es el doble
→ → →
del volumen del tetraedro de aristas A , B y C .
11. Pruebe que las diagonales de un rombo (paralelogramo con lados iguales) son
perpendiculares.
12