1. CONJUNTOS
GENERADORES E
INDEPENDENCIA LINEAL

2. ¿QUÉVAMOS APRENDER?
DESARROLLAR PROCEDIMIENTOS PARA REPRESENTAR CADAVECTOR EN
UN ESPACIOVECTORIAL COMO UNA COMBINACION LINEAL DE UN
NUMERO SELECTO DEVECTORES EN EL ESPACIO.
Combinación lineal
Conjuntos generadores
Dependencia e Independencia lineal

3. DEFINICIÓN DE COMBINACIÓN LINEAL DE
VECTORES
Un vector v en un espacio vectorialV se denomina combinación lineal de los
vectores u1,u2,……..,uk enV si v puede expresarse como v=c1u1+c2u2+….+ckuk,
donde c1,c2,…..ck son escalares.

4. Ejemplo 1
• Para el siguiente conjunto de vectores en R3
S={(1,3,1),(0,1,2),(1,0,-5)} v1 es una combinación lineal de v2 y v3.

5. EJEMPLO 2

6. EJEMPLO 3
• Exprese el vector w=(1-2,-2) como una combinación lineal de vectores en el
conjunto S dado S={(1,2,3),(0,1,2),(-1,0,1)}

7. CONJUNTOS GENERADORES
Si todo vector en un espacio vectorial dado puede expresarse como una
combinación lineal de vectores en un conjunto S dado, entonces se dice que S
es un conjunto generador del espacio vectorial

8. Definición de Conjunto generador
• Sea S={v1,v2,……..,vk } un subconjunto del espacioVectorialV.El conjunto S se
denomina conjunto generador deV si todo vector enV puede expresarse
como una combinación lineal de vectores en S.
En estos casos se dice que S genera aV.

9. EJEMPLO

10. EJEMPLO

11. EJEMPLO

12. Definición Espacio generado por S
• El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de un
conjunto S se denomina espacio generado por S y se denota por Lin (S).

13. Teorema Lin (s) es un subespacio deV
• Si S={v1,v2,……..,vk } es un conjunto de vectores en un espacio vectorialV,
entonces lin (s) es un subespacio deV además ,lin (s) es el menor subespacio
deV que contiene a S, en el sentido de que cualquier otro subespacio deV
que contenga a S debe contener a Lin (s)
• Recuerde El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de
un conjunto S se denomina espacio generado por S y se denota por Lin (S).

14. Dependencia Lineal e Independencia Lineal
Para un conjunto de vectores S={v1,v2,……..,vk } en un espacio vectorialV, la ecuación
vectorial c1v1+c2v2+….+ckvk =0 siempre tiene dos opciones de solución:
La trivial c1 =0 c2 =0 ….ck=0 forma parte siempre de la solución.
Algunas veces soluciones no triviales es decir soluciones de c1 ≠0 c2 ≠0 ….ck≠0
Si la única solución es la trivial , entonces el conjunto S sería linealmente
independiente.
Y si tiene soluciones , además ,diferentes a la trivial , entonces el conjunto S sería
linealmente dependiente.

15. Definición de Dependencia Lineal e
Independencia Lineal
• Un conjunto de vectores S={v1,v2,……..,vk } en un espacio vectorialV se
denomina linealmente independiente si la ecuación vectorial
c1v1+c2v2+….+ckvk =0 tiene solamente la solución trivial c1 =0 c2 =0 ….ck=0 .
• Si también hay soluciones no triviales c1 ≠0 c2 ≠0 ….ck≠0 entonces S se
denomina linealmente dependiente.

16. Comprobación para la dependencia e
independencia lineal
Sea S={v1,v2,……..,vk } un conjunto de vectores en un espacio vectorialV
.Para determinar si S es linealmente independiente o dependiente, se
efectúa los pasos siguientes.
1. A partir de la ecuación vectorial c1v1+c2v2+….+ckvk =0 ,escriba un
sistema homogéneo de ecuaciones lineales en las variables c1,c2,......
Y ck =0 .
2. Use la eliminación de Gauss-Jordan para resolver el sistema para
c1,c2,......Y ck .
3.Si el sistema tiene solamente la solución trivial c1 =0 c2 =0 ….ck=0 ,
entonces el conjunto S es linealmente independiente .Si el sistema
también tiene solución no tirvial, entonces S es linealmente
dependiente.

17. Ejemplo
• Determine si el siguiente conjunto de vectores en P2 es linealmente
independiente o dependiente.
S={1 + 𝑥 − 2𝑥2, 2 + 5𝑥 − 𝑥2, 𝑥 + 𝑥2}

18. Ejemplo
• Determine si el siguiente conjunto de vectores 𝑀4,1 es linealmente
independiente o dependiente.
𝑠 = {
1
0
−1
0
,
1
1
0
2
,
0
3
1
−2
,
0
1
−1
2
}

19. TEOREMA:UNA PROPIEDAD DE LOS
CONJUNTOS LINEALMENTE DEPENDIENTES
• Un conjunto S={v1,v2,……..,vk },k≥2, es linealmente dependiente si y solo si
por lo menos uno de los vectores vj puede expresarse como una
combinación lineal de los demás vectores en S.
COROLARIO:
Dos vectores u y v en un espacio vectorialV son linealmente dependientes si y
solo si si uno de ellos es un múltiplo escalar del otro.