Espacios vectoriales

1. U4: ESPACIOS VECTORIALES
En las unidades 1 y 4 vimos que el álgebra de
vectores y el álgebra de matrices presentan
similitudes. Esto es porque las propiedades de la
suma (de vectores o de matrices) y del producto
por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.
A continuación, generalizaremos el concepto
de vector a partir de estas propiedades en común,
que verifican los vectores geométricos y las
matrices.

2. Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos,
llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la
suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez
axiomas que se dan a continuación
1. u + v ∈ V
2. u + v = v + u
3. (u + v) + w = u + (v + w)
4. Existe un vector 0∈V tal que v + 0 = v
5. Para cada v en V, existe un opuesto (–v)∈V tal que
v + (-v) = 0
6. k. v ∈ V, k ∈ R
7. α (u + v) = α u + α v
8. (α + β) v= α v + β v
9. α ( β v) = (α β ) v
10. 1v = v

3. EL CONJUNTO V JUNTO A LA OPERACIÓN SUMA (+) DEFINIDA EN V Y JUNTO A LA
OPERACIÓN PRODUCTO ( ∙ ) DE UN ESCALAR DEL CUERPO K=R POR UN
ELEMENTO DE V, EL CUAL VERIFICA LOS 10 AXIOMAS, SE DENOMINA ESPACIO
VECTORIAL.
• u
• v
• -u
• ku
• 0
• u+v
V
Se anota ( V, +, K ,∙ )
Aclaración: La operación multiplicación de un escalar por un elemento de V, se estudiará en este curso,
sobre el cuerpo K de los reales (K=R).

4. EJEMPLOS DE E.V.
Según las propiedades enunciadas para la suma de
matrices y las propiedades del producto de un
escalar por una matriz (unidad 1) , se tiene que
(Mmxn, +, . ) es espacio vectorial . También se escribe
(Rmxn , +, . )
Según las propiedades enunciadas para la suma de
vectores y el producto de un escalar por un vector y
sus propiedades (unidad 4), se tiene que (R2 , +, . ) y
(R3 , + , . ) son espacios vectoriales.

5. Subespacios vectoriales
Definición: Sea V un espacio vectorial y W un
subconjunto no vacío de V. W es
un subespacio de V si W es en sí mismo un
espacio vectorial con las mismas operaciones
suma de vectores y producto por un escalar
definidas en V.
v
u+v
v
w+v
w
0
u
V
W

6. Ejemplo 1: W = {(x, y)∈R2 : y = 4x} ¿es un subespacio de R2?
Primero analicemos el conjunto W. Son todos vectores de R2 tales que la
segunda componente es el cuádruple de la primera:
(x, 4x) = x . (1,4). También es posible observar que W es la recta que
pasa por el origen y tiene vector director (1,4), o sea W es la recta de
ecuación y = 4x, o a través de su ecuación vectorial: (x, y) = t. (1,4) con
t de R. Se puede probar que W es un subespacio de R2.
Ejemplo 2: Consideremos el conjunto
W = {(x, y, z) ∈ R3 : x - y + 3z = 0}. Es decir un plano que pasa por el
origen. ¿Es un subespacio de R3?
De la ecuación del plano se deduce que: x = y –3z.
Por lo tanto los vectores que pertenecen a W responden a la forma
(y-3z, y ,z) con y, z ∈ R. También es fácil determinar que un vector normal
al plano es n =( 1, -1, 3 ). Se puede probar que el plano definido en W
es un subespacio de R3.

7. TEOREMA DE LAS CONDICIONES NECESARIAS Y
SUFICIENTES PARA SUBESPACIOS
Sea W un subconjunto de un espacio
vectorial V (W⊆V). W es subespacio de V si y
sólo si se cumplen las siguientes condiciones:
a. 0 está en W.
b. Si u y v están en W, entonces u + v está en W.
c. Si u está en W y k es un escalar, k u está en W.
Este teorema es una herramienta muy útil para determinar cuándo un conjunto dado
es un subespacio vectorial de un espacio vectorial.

8. Combinación lineal
Definición: Sean v1,v2,…,vr y w vectores de un espacio
vectorial V. Se dice que el vector w es una combinación
lineal de los vectores v1,v2,…,vr si se puede expresar a w
como sigue:
w = k1.v1 + k2.v2 + … + kr.vr
donde k1, k2 ,…, kr son escalares.
Analiza:
¿Es el vector (2,6) combinación lineal de los vectores (1,0),
(3,3)?
Para responder esto debemos buscar si existen escalares k1 ,
k2 tales que: (2,6) = k1 . (1,0) + k2 .(3,3).
K1 y k2 existen y ellos son -4 y 2. Luego (2, 6) es C.L. de los vectores dados.

9. Conjunto generador
Sea {v1,v2,…vr} un conjunto de vectores de un
espacio vectorial V.
Si todo vector del espacio V puede expresarse
como combinación lineal de v1,v2,…,vr,
entonces se dice que {v1,v2,…,vr} es
un conjunto generador de V o también
que v1,v2,…,vr generan al espacio V.
Ej: {(1,0) , (0,1)} es un conjunto generador del
espacio vectorial R2 .

10. Subespacio generado
Definición: Dados los vectores v1,v2,…,vr en V, se
llama subespacio generado por v1,v2,…,vr al
conjunto de todas las combinaciones lineales de estos
vectores. Se anota: gen{v1,v2,…,vr} o
{v ∈ V: v = α1.v1+α2.v2+…+αr.vr, con αi ∈R}
Ejemplo: Las combinaciones lineales del vector (1,5) son
todos los vectores de la forma k.(1, 5) = (k, 5k) con
k ∈ R.
De otra forma: el subespacio generado por (1,5) es la
recta que pasa por el origen y tiene la dirección de
dicho vector. Es decir: (x, y) = k. (1,5), k ∈ R

11. Subespacio generado. Ejemplo.

12. Independencia lineal y dependencia
lineal
Si L = {v1,v2,…,vr} es un conjunto de vectores de un
espacio vectorial V, entonces la ecuación
α1.v1+α2.v2+…+αr.vr = 0
tiene al menos la solución trivial: α1=α2=…=αr = 0.
Si ésta es la única solución, entonces se dice que L es
un conjunto linealmente independiente.
Si hay otras soluciones (además de la trivial) entonces
L es un conjunto linealmente dependiente.

13. Algunas propiedades de dependencia
e independencia lineal
P1: Un conjunto de vectores {v1,v2,…,vr} de un
espacio vectorial V es linealmente dependiente si
y solo sí al menos uno de los vectores puede
expresarse como combinación lineal de los
demás.
P2: Un conjunto formado por un solo vector no
nulo, es linealmente independiente.
P3: Si un conjunto de vectores contiene al vector
nulo, entonces es linealmente dependiente (LD).

14. Independencia lineal y dependencia
lineal. Ejemplos.
El conjunto {(2,2),(2,–1)} en R2, es linealmente independiente y el conjunto
{(2,2),(1,1)} es linealmente dependiente.

15. Base y dimensión de un espacio
vectorial
Definición de Base de un E.V.:
Un conjunto de vectores B={v1,v2,…,vn} de un espacio vectorial V se
denomina base de V si y sólo si:
• B es linealmente independiente
• B genera a V
Ejemplos: a. B={(2,2),(2,–1)} es una base de R2.
b. Otra base de R2 muy usada y conveniente es la que
contiene a los vectores canónicos, es decir, C = {(1,0),(0,1)} , también
llamada base canónica o base estándar de R2.
Definición de dimensión de un E.V.:
La dimensión de un espacio vectorial V es la cantidad de vectores que
contiene una base de V.
Si B={v1,v2,…,vn} es una base de V, la dimensión de V es n y se indica
dim(V) = n.
En el ejemplo anterior, dada B={(2,2),(2,–1)} base de R2 , dim (R2) = 2.

16. Coordenadas de un vector respecto
de una base
• Teorema: Si B={v1,v2,…,vn} es una base del espacio
vectorial V, todo vector de V puede expresarse de
manera única como combinación lineal de los vectores
de la base B.
• Sea B={v1,v2,…,vn} base de V.
Para cada u ∈V, existen escalares únicos α1,α2,…,αn
de R tales que: u = α1v1 + α2v2 +… + αnvn.
Estos escalares se denominan coordenadas del
vector u respecto de la base B. Las coordenadas de un
vector en una base B se indican:

17. Coordenadas de un vector respecto
de una base. Ejemplo.