Ecuaciones diferenciales

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Ecuaciones diferenciales

  1. 1. CONSIDERACIONES HISTÓRICASEn física, ingeniería y química, y a veces en materias como biología, fisiología yeconomía, es necesario elaborar un modelo matemático para representar ciertosproblemas.A menudo ocurre que estos modelos matemáticos suponen la búsqueda de unafunción desconocida que satisface una ecuación en la que las derivadas de lafunción desconocida desempeñan un importante papel.Tales ecuaciones se conocen como ecuaciones diferencialesEJEMPLOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES: ∂u 2 ∂ u ∂2u  2 dy =h  2 + 2   ∂x (4) = cos x (1) ∂t  ∂y  dx 2 d y d 2i di 1 +k2y =0 (2) L 2 + R + i = Ew cos wt (5) dx 2 dt dt C( x 2 + y 2 )dx − 2 xydy = 0 (3) d 2V d 2V (6) 2 + 2 =0 dx dy
  2. 2. EJEMPLOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES: 3 d w 2 dw 2  − xy dx  +w=0 (7)  dx (8) d 3x dx 3 +x − 4 xy = 0 dy dy 3 d2y  dy  (9) 2 + 7  − 8 y = 0 dx  dx d 2 y d 2x 2 + 2 =x (10)dt dt ∂f ∂f x +y = nf (11) ∂x ∂y
  3. 3. DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍAEcuación diferencial (ED): Es aquella ecuación que contiene las derivadas deuna o más variables dependientes, con respecto a una o más variablesindependientesPara referirse a ellas, se clasifica a las ecuaciones diferenciales por su tipo,orden y linealidad.Clasificación por su tipo: Por su tipo las ecuaciones diferenciales se dividen enordinarias y parciales Si una ecuación contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO) Una EDO puede contener más de Ejemplos: una variable dependiente dy d 2 y dy + 5y = ex 2 − + 6y = 0 dx dy dx dx dx + = 2x + y dt dt
  4. 4. Si una ecuación contiene derivadas parciales de una o más variablesdependientes de dos o más variables independientes se dice que es unaecuación diferencial parcial (EDP) Ejemplos: ∂u ∂u 2 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u ∂v + 2 =0 = 2 −2 =− ∂x 2 ∂y ∂x 2 ∂t ∂t ∂y ∂x En la mayoría de los libros las derivadas ordinarias se escriben con la notación de Leibniz, o bien, con la notación de Prima dy + 5y = e x y′ + 5 y = e x dxVentaja de la notación de Leibniz sobre la notación de PrimaAunque es menos conveniente para escribir y componer tipográficamente, la notaciónde Leibniz tiene una ventaja sobre la notación de Prima en que muestra de maneraclara tanto la variable dependiente como la independiente. Función desconocida o variable dependiente d 2xvariable independiente 2 + 16 x = 0 dt
  5. 5. Clasificación por su orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO oEDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación. Por ejemplo: Segundo orden Primer orden 2 3 d y  dy  + 5  − 4 y = e x dx 2  dx Clasificación por su linealidad: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria deorden n es lineal si F es lineal en todas sus derivadas, es decir, la potencia de cadatermino en que interviene y es 12 Propiedades características de una EDO lineal•La variable dependiente y y todas sus derivadas y´, y´´…..son de primer grado•Los coeficientes a0, a1,…..an de las derivadas dependen solo de la variableindependiente x EDO de Segundo orden EDO de Tercer orden Ejemplos: d3y dy( y − x)dx + 4 xdy = 0 y′′ − 2 y ′ + y = 0 + x − 5y = ex dx 3 dx EDO de Primer orden
  6. 6. ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es simplemente una que es no lineal. Las funciones no lineales de la variable dependiente o sus derivadas, como sen (y) o e y′ , no pueden aparecer en una ecuación lineal por consiguiente: Término no lineal Término no lineal: Término no linealel coeficiente depende de y función no lineal de y potencia diferente de 1 2 d y d4y (1 − y ) y′ + 2 y = e x + seny = 0 + y2 = 0 dx 2 dx 4 Son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de primero, segundo y cuarto orden, respectivamente.
  7. 7. EJERCICIOS PARA LA CARPETA En cada uno de los ejercicios siguientes indique si la ecuación es ordinaria o parcial, lineal o no lineal e indique su orden. 3 dy (1)  d w2 dw = cos x  2  − xy +w=0 (7) dx  dx  dx   d2y (2) + k2y = 0 d 3x dx dx 2 + x − 4 xy = 0 (8) (3) dy 3 dy( x 2 + y 2 )dx − 2 xydy = 0 3 2 d y  dy  ∂u ∂ u ∂ u  2 2 + 7  − 8 y = 0 (9) = h2  2 + 2   ∂x (4) dx 2  dx  ∂t  ∂y  2 2 d y d x d 2i di 1L 2 + R + i = Ew cos wt (5) 2 + 2 =x (10) dt dt C dt dtd 2V d 2V + 2 =0 (6) ∂f ∂fdx 2 dy x +y = nf (11) ∂x ∂y
  8. 8. Solución de una EDOLa función y=x −x 2 es una solución dy = 2x −1de la ecuación diferencial dx
  9. 9. Solución y = x −x+c 2
  10. 10. Solución y = 2e + 1 3x
  11. 11. Solución general y = ce + 1 3x
  12. 12. Solución y = x de la EDO 2xdx − 2 ydy = 0
  13. 13. Solución general y = cx 2

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