Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica las definiciones básicas, cómo clasificar las ecuaciones diferenciales según tipo, orden y linealidad, y cómo encontrar soluciones a las ecuaciones diferenciales.

1. CÁLCULO AVANZADO
ESCUELA:
ESCUELA: INGENIERÍA CIVIL
NOMBRE: Ing. Carmen Esparza Villalba
CLASE:
CLASE: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
SEMESTRE: ABRIL 2011 – AGOSTO 2011
SEMESTRE:
CLASE: Nro 1

2. Contenidos
1.1. Definición y terminología.
1.2. Clasificación de las ecuaciones diferenciales.
1.3. Soluciones de una ecuación diferencial

3. 1.1 Definición y terminología
Ecuación Diferencial (ED).-
• Es una ecuación que involucra derivadas de una o
más variables dependientes, con respecto una o más
variables independientes.
• Es aquella ecuación que contiene derivadas de una
función desconocida (Φ) de una o más variables.
Ejemplos:
dy dx dy
+ 2 xy = e − x + = sin x + yt 3 y ' '+2 y '− y = cos 3x
dx dt dt

4. 1.2 Clasificación de las ED
Según el TIPO.-
• Si la ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables
dependientes con respecto de una sola variable independientes se
dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO).
• Si la ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables
dependientes con respecto de una o más variables independientes
se dice que es una ecuación diferencial parcial (EDP).
• “No se incluyen en el concepto de ecuaciones diferenciales aquellas
que son identidades”
d dy
( x * y) = x + y
dx dx

5. 1.2 Clasificación de las ED
Según el TIPO.-
Ejemplos:
d3y d2y dx dy
dy
+ 2y = ex
dy
+ 2 − 3 + 5 xy = cos 3x 2 − = 2x − y
dx dx 3 dx dx dt dt
Son ecuaciones diferenciales ordinarias: están derivadas respecto a
una sola variable independiente
∂ 2 u ∂u ∂ 2 u ∂ 2u ∂u ∂ 2 u ∂u ∂v
+ = −2 = =
∂x 2
∂x ∂t∂x ∂y 2 ∂y ∂t 2 ∂y ∂t
Son ecuaciones diferenciales parciales: están derivadas respecto a
dos o más variables independientes

6. 1.2 Clasificación de las ED
Según el ORDEN.-
• El orden de una ecuación diferencial (EDO ó EDP) es el orden
de la derivada mayor en la ecuación
Ejemplos:
d3y d2y dy
+ 2 − 3 + 5 xy = cos 3x EDO tercer orden
dx 3 dx dx
d ( n ) y d ( n −1) y d ( n − 2 ) y dy
(n)
+ ( n −1) + ( n − 2 ) + ..... + + xy = 2 x EDO n-ésimo orden
dx dx dx dx
4 y ( 4 ) + 16 y ' '+4 y '+8 y = ln x EDO cuarto orden
d 2 y 2  dy 
2
EDO segundo orden
+   − 4y = t 2
dt 2
t  dt 

7. 1.2 Clasificación de las ED
Según el ORDEN.-
• A la ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden de una
variable dependiente, también se puede expresar mediante la
forma general
F (x, y, y ' ,..., y ( n ) ) = 0
Donde F es una función de valores reales de n+2 variables: x,
y, y’,…, y(n)
= f (x, y, y ' ,..., y n −1 )
d (n) y
dx ( n )
a n ( x ) y ( n ) + a n −1 ( x ) y ( n −1) + a n − 2 ( x ) y ( n − 2 ) + L + a 2 ( x ) y '' + a1 ( x ) y ' + a 0 ( x ) y = f ( x)

8. 1.2 Clasificación de las ED
Según la LINEALIDAD.-
• La ecuación diferencial ordinaria (EDO) general:
a n ( x ) y ( n ) + a n −1 (x ) y ( n −1) + a n − 2 ( x ) y ( n − 2 ) + L + a 2 ( x ) y '' + a1 ( x ) y ' + a 0 ( x ) y = g ( x)
donde g ( x), a n (x ), a n −1 (x ),L, a 2 (x ), a1 (x ), a 0 (x ) , son funciones dadas
de x
es lineal si se cumplen dos condiciones
• La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer
grado.
• Los coeficientes de y y de sus derivadas dependen de la variable
independiente x (es decir son funciones exclusivas de x).

9. 1.2 Clasificación de las ED
Según la LINEALIDAD.-
• Una ecuación que no puede escribirse de esta forma se llama
ecuación diferencial no lineal.
Ejemplo:
d2y dy
2 x 2 − 7 + 5 xy = ln x EDO, 2do orden, lineal
dx dx
(cos x − 2 y ) y iv − y '' + 4 y = 2 x EDO, 4to orden, no lineal
16 y ' '+4 y '+8 y = sin y EDO, 2do orden, no lineal
2
d 2 y 2  dy 
+   − 4y = t2 EDO, 2do orden no lineal
dt 2
t  dt 

10. 1.3 Soluciones de una ED
• Una solución de una ED es una función que satisface la ED
sobre algún intervalo abierto I. Así cualquier función Φ
definida en el intervalo I que posee n derivadas continuas en
I, que al sustituirlas en una ecuación diferencial de orden n
reduce la ecuación a una identidad, es una solución de la
ecuación en el intervalo.
• Las funciones solución de una ecuación diferencial pueden
ser: Explícitas, Implícitas, Singulares, Generales, Particulares

11. 1.3 Soluciones de una ED
Ejemplos:
Compruebe que la función dada sea la solución de la ED
• x2 c
y= + ; xy ′ + y = x 2
3 x
x 3 + 3c
y=
3x  1 c   x2 c 
x x − x − 2  +  +  = x 2
y′ =
3x(3x 2 ) − ( x 3 + 3c)(3)  3 x   3 x
 
9x 2
1 2 c x2 c
9 x 3 − 3x 3 − 9c x − x − +
2
+ = x2
y′ = 3 x 3 x
9x 2
1 c x2 = x2
y′ = x − x − 2
3 x

12. 1.3 Soluciones de una ED
1
• y = + ce − x2
; y ′ + 2 xy = x
2
1 2 
y ′ = ce − x (− 2 x ) − 2 xce − x + 2 x + ce − x  = x
2 2
2 
y ′ = −2 xce − x − 2 xce − x + x + 2 xce − x = x
2 2 2
x=x

13. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• ZILL, Dennis G.,2006, Ecuaciones diferenciales con
aplicaciones de modelado, 8ta. Edición. CENGAGE
Learning.
• TRENCH, William F., 2002, Ecuaciones diferenciales
con problemas de valores en la frontera, Thomson
International.
• ESPARZA, Carmen A. 2010, Guía de cálculo avanzado,
UTPL.