zzz

1. 1
1. Introducción a las ecuaciones diferenciales

2. 2
¿Qué es una ecuación diferencial?
2
1
.
0
)
( x
e
x
y 

2
1
.
0
2
.
0 x
e
x
dx
dy 



y
x
dx
dy


 2
.
0
Imaginemos que nos dan directamente esta ecuación.
Intentaremos contestar preguntas del tipo: ¿Qué función
representa y(x)? ¿Cómo se resuelve semejante ecuación?
Ejemplo de
ecuación
diferencial
Función diferenciable en
(-, ). Su derivada es:

3. 3
¿Qué es una ecuación diferencial (ED)?
Es una ecuación que contiene las derivadas de una
o más variables dependientes, con respecto a una
o más variables independientes.
Las EDs se clasifican por tipo, orden y linealidad.
y
x
dx
dy


 2
.
0
variable dependiente
variable independiente

4. 4
Ecuación diferencial ordinaria (EDO):
Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias
de una o más variables dependientes de una sola
variable independiente.
Ejemplo de EDO:
Una EDO puede contener más de una variable
dependiente:
Clasificación por tipo:
5 e
y
dx
dy x


y
x
dt
dy
dt
dx


 2

5. 5
t
u
t
u
x
u
y
u
x
u














2
0 2
2
2
2
2
2
2
2
Ecuación diferencial parcial (EDP):
Una ecuación que contiene derivadas parciales de
una o más variables dependientes de dos o más
variables independientes.
Ejemplos:

6. 6
Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2,...
Notación con primas: y', y'', y'''… y(n),...
Notación de Newton:
Notación de subíndice: ux , uy , uxx , uyy , uxy , …
En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál
es la variable dependiente y la independiente:
Notaciones
...
,
,
,
...
..
.
x
x
x
5 e
y
dx
dy x



7. 7
x
e
y
dx
dy
dx
y
d











4
5
3
2
2
Clasificación según el orden:
El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o
EDP) es el orden mayor de la derivadas
involucradas en la ecuación.
Ejemplo:
Segundo orden Primer orden
Luego, es una EDO de segundo orden.

8. 8
Nota: A veces escribiremos las EDOs en forma diferencial
0
)
,
(
)
,
( 
 dy
y
x
N
dx
y
x
M
Por ejemplo, supongamos que y es la variable dependiente
y x la independiente en la EDO en forma diferencial:
0
'
4
'
0
4
)
(







xy
x
y
dx
dy
y
xdy
dx
x
y

9. 9
Forma general de orden n de una EDO:
Forma normal de orden n de una EDO:
Por ejemplo, las formas general y normal de la EDO
son respectivamente:
0
)
,
,
'
,
,
(
variables
2
)
(



 

 


n
n
y
y
y
x
F
)
,
,
'
,
,
(
variables
1
)
1
(

 

 





n
n
n
n
y
y
y
x
f
dx
y
d
f(x, y)
x
(x – y)/
y’
x
y)/
y’ - (x –
)
F(x, y, y’




4
0
4
x,
y
xy’ 

4

10. 10
Grado
El grado de una ecuación diferencial es el grado
algebraico de su derivada de mayor orden. Es decir,
el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la
que esta elevada la derivada que nos da el orden de la
ecuación diferencial.
Ejemplo:
La siguiente ecuación
diferencial:
es de primer grado, dado que la segunda derivada, que
nos da el orden de la EDO, está elevada a uno.
x
e
y
dx
dy
dx
y
d








 4
5
3
2
2

11. 11
Ejercicios
Determinar el grado de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
7
3
5 2
5
2
2
2
4
4


























x
dx
dy
dx
y
d
dx
y
d
3
2
2
2
6
2
2
7 
















dx
y
d
x
dx
dy
x
dx
y
d
NOTA: cuando alguna derivada esté dentro de un radical o en polinomio,
que a su vez esté elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que
eliminar dicho radical para determinar el grado de la ecuación diferencial.
1
7 2

 x
dx
dy
3
2
2
dx
dy
x
dx
y
d



12. 12
Ejercicios
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones
diferenciales:
a) b)
c)
d)
y
dx
dy
x
dx
y
d
5
3
3
3








5
3
3
3
3
3
8
18 


















dx
y
d
x
dx
y
d
dx
dy








dx
dy
x
dx
y
d
8
5
3
3
5
3
3
2
2
3
dx
y
d
x
dx
y
d



13. 13
Clasificación según la linealidad:
Se dice que una EDO de orden n es lineal si F
(en la forma general) es lineal en y, y’, y”, …, y(n).
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
1
1
1 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a
dx
y
d
x
a n
n
n
n
n
n 



 

 
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
1
1
1 




 

 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a
dx
y
d
x
a n
n
n
n
n
n 
O bien:
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
2
2
2 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a 


)
(
)
(
)
( 0
1 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a 

Dos casos importantes
para nosotros serán
las EDOs lineales de
primer y segundo
orden.

14. 14
Lineal homogénea:
El término independiente g(x) es nulo.
Lineal con coeficientes constantes:
Los coeficientes a0(x),...,an(x) son constantes.
Lineal con coeficientes variables:
Enfatiza el hecho de que al menos uno de los
coeficientes a0(x),...,an(x) NO es constante.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
1
1
1 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a
dx
y
d
x
a n
n
n
n
n
n 



 

 

15. 15
x
e
y
y
y 

 2
'
)
1
(
0
siny
2
2


dx
y
d
0
2
4
4

 y
dx
y
d
Si no es lineal, es no lineal :-)
Ejemplos de EDOs no lineales:
El coeficiente depende de y.
Función no lineal de y.
En una EDO lineal de orden n:
1) y, y’, y”, …, y(n) son de primer grado.
2) Coeficientes a0, a1, …, dependen solo de la
variable independiente x.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
1
1
1 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a
dx
y
d
x
a n
n
n
n
n
n 



 

 

16. 16
Ejemplos: ¿Lineales o no lineales?
1)
2)
3)
4)
5)
6)
)
(
1
)
(
1
)
(
t
V
RC
t
v
RC
dt
t
dv
s


)
( T
T
K
dt
dT
a 

0


 

 mgsen
kl
ml 


y
y
x
x
dx
dy 2
2




1
)
sin(
' 2
2
3



 x
y
x
y
x
y
0
y
'
y
)
y
1
(
'
'
y 2




)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
1
1
1 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a
dx
y
d
x
a n
n
n
n
n
n 



 

 

17. 17
Comprobar que la función indicada es la solución de
la EDO dada en el intervalo (-, ):
(a) dy/dx = xy1/2. Solución: y = x4/16.
Solución: Existe la derivada dy/dx = x3/4 para todo x de (-, ).
(a) Lado izquierdo :
Lado derecho:
4
16
4
3
3
x
x
dx
dy



4
4
16
3
2
2
/
1
4
2
/
1 x
x
x
x
x
xy 












Ejemplo: comprobación de una solución.
Y la igualdad se cumple para todo x de (-, ).

18. 18
Solución:
(b) Derivando la solución dos veces:
y' = xex + ex
y'' = xex + 2ex :
Nótese que y(x) = 0 también es solución tanto de este
ejemplo como del anterior en el intervalo (-, ).
Se conoce como solución trivial.
x
xe
y
y
y
y 





 ;
0
2
0
)
(
2
)
2
(
2 









 x
x
x
x
x
xe
e
xe
e
xe
y
y
y
Ídem, para (b)

19. 19
Solución de una EDO
Cualquier función  , definida en un intervalo I y con
al menos n derivadas continuas en I, que al
sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de
n-ésimo orden reduce la ecuación a una identidad, se
considera solución de la ecuación en el intervalo.
Siempre hemos de considerar una solución junto a su intervalo I de
definición, también llamado intervalo de existencia, de validez o
dominio de definición.
Al proceso de obtención de las soluciones de una EDO se le
denomina integración de la ecuación.
En otras palabras,  posee al menos n derivadas y cumple:
I
x
x
x
x
x
F n


 0
))
(
,
),
(
'
),
(
,
( )
(


 

20. 20
Una EDO puede tener:
Infinitas soluciones:
Una única solución:
Ninguna solución:
t
Ce
x
y
x
y
y sin
)
(
;
cos
' 

0
)
(
;
0
)
'
( 2
2


 x
y
y
y
0
)
'
( 2
2

 x
y

21. 21
Ejemplo
Comprobar que la y = x2 + C no es solución de la ecuación
diferencial:
x
dx
dy

x
dx
dy
2

Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en la
ecuación diferencial tenemos:
Por lo tanto y = x2 + C no es solución de la ecuación
diferencial
1
2
2

 x
x
x
dx
dy

Solución
Derivando y = x2 + C tenemos

22. 22
Ejercicios Determine si cada ecuación es solución o no de
la ecuación diferencial dada:
y
x
dx
dy
x
Cx
x
y 








 2
2
;
0
25
);
5
cos(
)
5
( 2
2



 y
dx
y
d
x
B
x
Asen
y
  0
8
4
; 2
3
2
















 y
dx
dy
xy
dx
dy
C
x
C
y
 2
4
1
2
'
'
; y
x
xy
y
Cx
C
y 


 
  senx
y
senx
dx
dy
seny
C
y
e x









 cos
;
cos
1
cos
3
2
2
2
5
160
6
;
3
8 x
dx
y
d
C
x
x
y 





23. 23
Ejemplo: Hagámoslo a la inversa.
Encuentre la ED cuya solución general es y = x2 + C.
Solución
Observemos que sólo aparece una constante de integración,
de manera que derivamos una sola vez la solución general
y = x2 + C. Así
Como en esta derivada no aparecen constantes de
integración, quiere decir que esta es la ED de la solución
general propuesta.
x
dx
dy
2


24. 24
Ejemplo
Encuentre la ED cuya solución general es y = C x2.
Cx
dx
dy
2

x
x
y
dx
dy






 2
2
2
x
y
C 
Por lo tanto:
es la ED de la solución general, puesto que ya no
aparecen constantes de integración.
x
y
dx
dy 2

Solución
Observemos que sólo aparece una constante de
integración, de manera que derivamos una sola vez la
solución general y = C x2. Así
Despejamos C de la solución general y se sustituye el valor
encontrado en la ED.

25. 25
Ejercicios Encuentra la ED de cada una de las siguientes
soluciones generales:
x
x
e
C
e
C
y 

 2
1
)
3
tan( C
x
y 

  2
2
2
2
1 C
y
C
x 



26. 26
(a) y = 1/x considerada como una función, tiene
dominio de definición (-, 0) U (0, ).
Es discontinua y no diferenciable en x = 0.
(b) y = 1/x es también solución de xy’ + y = 0. Se
entiende que es solución en algún intervalo I en el
que es diferenciable y cumple la EDO. Por ejemplo,
en (0, ).
La gráfica de una solución  de una
EDO se llama curva solución.
Como  es una función
diferenciable, es continua en su
intervalo de definición I. Puede,
entonces, haber diferencias entre la
gráfica de la función y la solución.
Veamos un ejemplo:
Función vs solución

27. 27
Solución explícita de una EDO:
La variable dependiente está expresada solamente en
términos de variables independientes y constantes.
Por ejemplo, la solución de xy' + y = 0 en (0, ) es
y = (x) = 1/x.
Solución implícita de una EDO
Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una
EDO en un intervalo I, siempre que exista al menos una
función y = (x) que satisface tanto la relación como la
ED en I.
Veamos un ejemplo

28. 28
x2 + y2 = 25 es una solución implícita de dy/dx = − x/y en el intervalo
-5 < x < 5; puesto que al derivar de forma implícita respecto a x:
dx2/dx + dy2/dx = (d/dx)(25), 2x + 2y(dy/dx) = 0;
obtenemos la EDO: dy/dx = -x/y.
Despejando y de la solución implícita podemos encontrar dos
soluciones explícitas:
Ejemplo: Comprobación de una solución implícita.

29. 29
Familia de soluciones o solución general:
Al resolver una EDO de primer orden F(x, y, y') = 0, en
general, se obtiene una solución que contiene una
constante arbitraria o parámetro c. Una solución así,
G(x, y, c) = 0 representa en realidad a un conjunto de
soluciones, llamado familia uniparamétrica de
soluciones.
Cuando se resuelve una ED de orden n, se busca una
familia n-paramétrica de soluciones
G(x, y, c1, c2, …, cn) = 0.
Observemos que el número de constantes arbitrarias en la solución general está
determinado por el orden de la EDO.

30. 30
Solución particular: es una solución libre de
parámetros arbitrarios.
Por ejemplo : y = cx – x cos x es la solución general
de xy’ – y = x2 sin x en (-, ); una familia
uniparamétrica de soluciones.
Tomando c = 0, tenemos: y = x cos x, una solución
particular.

31. 31
Ejemplo: Sin explicitarlo, hemos visto que las variables
independientes y dependientes pueden usar símbolos
distintos a x e y. Por ejemplo:
x = c1cos(4t)
x = c2 sen(4t)
con c1 y c2 constantes o parámetros arbitrarios, son
ambas soluciones de la EDO:
x + 16x = 0.
Podemos comprobar fácilmente que la suma
x = c1cos 4t + c2 sin 4t
es también una solución.

32. 32
Podemos comprobar que la familia uniparamétrica y = cx4
es una solución de xy – 4y = 0 en (-, ).
La función definida a trozos:
es una solución particular donde elegimos c = −1 para x < 0
y c = 1 para x  0.







0
,
0
,
4
4
x
x
x
x
y
Ejemplo: solución definida por partes.

33. 33
Solución singular: Una solución que no puede
obtenerse al especificar los valores de los
parámetros de la familia de soluciones.
Por ejemplo: y = (x2/4 + c)2 es la familia de
soluciones de dy/dx = xy1/2 , sin embargo
y(x) = 0 también es una solución de la ED anterior.
No podemos encontrar ningún valor de c en la
familia de soluciones y = (x2/4 + c)2 que nos
proporcione la solución y = 0, así que llamamos a
y = 0, solución singular.

34. 34
Sistema de EDOs: dos o más ecuaciones con
las derivadas de dos o más funciones
desconocidas de una sola variable
independiente.
Ejemplo de sistema de dos ecuaciones
diferenciales de primer orden:
dx/dt = f(t, x, y)
dy/dt = g(t, x, y)

35. 35
Problemas de valores iniciales (PVI)
Encontrar la solución y(x) de una ED que además
satisfaga condiciones adicionales
en y(x) y en sus derivadas.
Ejemplo: en un intervalo I que contiene a xo
Resolver
con condiciones
A esto se le llama problema de valor inicial.
Y a las condiciones se las llama: condiciones iniciales.
)
,
,
'
,
,
( )
1
( 
 n
n
n
y
y
y
x
f
dx
y
d

1
0
)
1
(
1
0
0
0 )
(
,
,
)
(
'
,
)
( 



 n
n
y
x
y
y
x
y
y
x
y 

36. 36
Resolver:
sujeta a:
Resolver:
sujeta a:
0
0 )
(
:
)
,
(
:
y
x
y
to
subject
y
x
f
dx
dy
solve


1
0
0
0
2
2
)
(
'
,
)
(
:
)
'
,
,
(
:
y
x
y
y
x
y
to
subject
y
y
x
f
dx
y
d
solve



PVIs de primer y segundo orden:
son problemas de valor inicial
de primer y segundo orden,
respectivamente. Fácilmente
interpretables de manera
geométrica, como vemos en
las figuras.

37. 37
Ejemplo:
Sabemos que y = cex es una familia
uniparamétrica de soluciones de la
EDO:
y’ = y en (-, ).
Si y(0) = 3, entonces
3 = ce0 = c. Así y = 3ex es una
solución de este problema de valor
inicial.
Si queremos una solución que pase
por (1, -2), entonces la condición es:
y(1) = -2. De modo que -2 = ce,
c = -2e-1. Y tenemos y = -(2/e)ex.
y = 3ex
y = -(2/e)ex

38. 38
Ejemplo: vimos que x = c1cos(4t) + c2sen(4t) era una
solución de x + 16x = 0.
Hallar una solución del siguiente PVI:
x + 16x = 0, x( /2) = −2, x( /2) = 1.
Solución:
Sustituimos: x( /2) = − 2 en
x = c1cos(4t) + c2sen(4t),
y obtenemos c1 = −2.
De la misma manera, a partir de x( / 2) = 1 obtenemos c2 =
¼. La solución pedida es:
x = −2 cos 4t + ¼ sen 4t

39. 39
Ejemplo: la solución de y’ + 2xy2 = 0 es y = 1/(x2 + c).
Si imponemos y(0) = -1, obtenemos c = -1.
Considérense las siguientes distinciones:
1) Como función, el dominio de y = 1/(x2 - 1)
es el conjunto de todos los números reales
excepto -1 y 1.
2) Como una solución: los intervalos de definición
mayores posibles son (-, 1),
(-1, 1) y (1, ).
3) Como un problema de valor inicial, con
y(0) = -1. El intervalo de definición mayor es (-1, 1).

40. 40
Existencia y unicidad:
¿Existe siempre una solución para un problema de
valor inicial (PVI)? Y si existe una solución, ¿es única?
Ejemplo: Ya que y = x4/16 e y = 0 satisfacen la ED
dy/dx = xy1/2 , y también el valor inicial y(0) = 0, esta ED
tiene al menos dos soluciones:

41. 41
Teorema de existencia de una solución única
Sea R la región rectangular en
el plano xy definida por
a  x  b, c  y  d que
contiene el punto (xo, yo) en su
interior. Si f(x, y) y f/y son
continuas en R, entonces
existe algún intervalo Io:
xo- h < x < xo + h, h > 0,
contenido en a  x  b y una
función única y(x) definida en
Io que es una solución del PVI .
Las condiciones del teorema son suficientes, pero no necesarias...
)
,
(
' y
x
f
y 

42. 42
muestra que son continuas en el
semiplano superior y > 0.
Basándonos en el teorema de
existencia de una solución única,
concluimos que para cada punto
(xo, yo), con yo > 0, existe un
intervalo centrado en xo en el que
esta ED tiene una solución única.
2
/
1
2
/
1
2
y
)
,
(
y
x
y
f
xy
y
x
f 



Vimos que dy/dx = xy1/2 , tenía como soluciones a
y = x4/16 e y = 0. La inspección de las funciones:

43. 43
Intervalo de existencia y unicidad
Suponiendo que y(x) es una solución de un PVI, los
siguientes conjuntos pueden no ser los mismos:
o el dominio de y(x),
o el intervalo de definición de y(x) como solución,
o el intervalo Io de existencia y unicidad.

44. 44
Empezaremos nuestro estudio de EDOs de primer orden
analizando una EDO cualitativamente.
(a) Pendientes: Debido a que la solución y(x) de
dy/dx = f(x,y) es necesariamente una función
diferenciable en I, también es continua. Así, la derivada
dy/dx= f(x,y) proporciona las pendientes de las rectas
tangentes a las curvas solución en los puntos (x,y).
(b) Elementos lineales: Suponemos que
dy/dx = f(x, y(x)). El valor f(x, y) representa la
pendiente de una recta, o un segmento de recta
que llamaremos elemento lineal.
Curvas solución "sin una solución"
dy/dx = 0.2 xy = f(x, y)

45. 45
Si para la EDO dy/dx = f(x, y) se evalúa f en una
red o malla de puntos rectangular en el plano xy,
y se dibuja un elemento lineal en cada nodo (x, y)
de la malla con pendiente f(x, y), obtenemos el
campo de direcciones o campo de pendientes.
Campo de direcciones

46. 46
Ejemplo: El campo de direcciones de
dy/dx = 0.2 xy está representado en la figura (a).
Compárese con la figura (b) donde se han
representado unas curvas de la familia de soluciones.

47. 47
Ejemplo: Use un campo de direcciones para dibujar
una curva solución aproximada para dy/dx = sen y,
con y(0) = −3/2.
Solución:
Apelando a la continuidad de f(x, y) =
sen y y f/y = cos y, el teorema de
existencia y unicidad garantiza la
existencia de una única curva solución
que pasa por algún punto
especificado en el plano. Ahora
dividimos la región que contiene a (-
3/2, 0) en una malla rectangular.
Calculamos el elemento lineal de cada
nodo para obtener la siguiente figura:

48. 48
EDs de primer orden autónomas
dy/dx = f(y)
Una EDO en la que la variable independiente no
aparece de manera explícita es autónoma.
Nota: Recordemos que si dy/dx > 0 para todo x de I, entonces y(x) es
creciente en I. Y si dy/dx < 0 para todo x de I, entonces y(x) es
decreciente en I.

49. 49
Los ceros de f en la EDO autónoma dy/dx = f(y) son
puntos especialmente importantes.
Si f(c) = 0, c es un punto crítico, punto de equilibrio
o punto estacionario.
Si sustituimos y(x) = c en dy/dx = f(y), obtenemos 0 =
0, de modo que si c es un punto crítico, entonces y(x)
= c es una solución de dy/dx = f(y).
Una solución y(x) = c constante, se llama solución de
equilibrio. Los equilibrios son las únicas soluciones
constantes de dy/dx = f(y).
Puntos críticos

50. 50
Ejemplo: La siguiente ED, dP/dt = P (a – bP)
donde a y b son constantes positivas, es autónoma.
De f(P) = P (a – bP) = 0, obtenemos las
soluciones de equilibrio: P(t) = 0 y P(t) = a/b.
Colocamos los puntos críticos en una recta
vertical (recta fase), que la divide en tres
intervalos.
Las flechas en la figura indican el signo
algebraico de f(P) = P (a – bP) en ese intervalo.
Si el signo es positivo o negativo, entonces P es
creciente o decreciente en este intervalo.

51. 51
Curvas solución
Si garantizamos la existencia y unicidad de la EDO
autónoma dy/dx = f(y), (f y f  son continuas en un
intervalo I), por cada punto (x0, y0) en R, pasa una
sola curva solución.

52. 52
Supongamos que la EDO autónoma presenta dos puntos
críticos, c1, y c2, tales que c1 < c2. Las gráficas de las soluciones
de equilibrio y(x) = c1, y(x) = c2 son rectas horizontales y dividen
R en tres regiones, a los que podemos llamar R1, R2 y R3 como
en la figura.

53. 53
(3) Como dy/dx = f(y(x)) es o positiva o
negativa en Ri, cualquier solución y(x)
es monótona en Ri.
(4) Si y(x) está acotada superiormente
por c1, (y(x) < c1), la gráfica de y(x) se
aproximará a la solución de equilibrio
y(x) = c1 cuando x   o x  -. Si
está acotada c1 < y(x) < c2, se
aproximará a y(x) = c1 e y(x) = c2.
cuando x   o x  -. Y por último,
si está acotada inferiormente,
c2 < y(x) , se aproximará a y(x) = c2
cuando x   o x  -. .
(1) Si (x0, y0) está en Ri, i = 1, 2, 3, una solución y(x) que pasa por (x0, y0),
permanecerá en la misma subregión.
(2) Por continuidad de f , f(y) es mayor o menor que cero y no puede
cambiar de signo en una subregión.

54. 54
P = 0 y P = a/b son dos
puntos críticos, por tanto
tenemos tres intervalos
para P:
R1 : (-, 0)
R2 : (0, a/b)
R3 : (a/b, )
Sea P(0) = P0. Cuando una
solución pasa por P0,
tenemos tres tipos de
curvas solución
dependiendo del
intervalo al que pertenece
P0.
En el ejemplo dP/dt = P (a – bP):

55. 55
La ED dy/dx = (y – 1)2 tiene un único punto crítico y = 1.
Desde la gráfica, llegamos a la conclusión de que una
solución y(x) es creciente en
- < y < 1 y 1 < y < , donde - < x < .

56. 56
(a) Cuando ambas flechas apuntan a c, y(x) se aproximará a c. Este
tipo de punto crítico se denomina asintóticamente estable. El
punto c se denomina atractor.
(b) Cuando ambas flechas no apuntan a c, y(x) se alejará de c. Este
tipo de punto crítico se denomina inestable. El punto c se
denomina repulsor o repulsivo.
Atractores y repulsores: hay tres tipos de comportamiento que
y(x) puede exhibir en las cercanías de un punto crítico c.
(c) y (d) Cuando y0 a un lado de c es atraído por c y repelido por el otro lado.
Este tipo de puntos críticos se denomina semiestables.

57. 57
EDO autónomas y campos de direcciones
La figura muestra el
campo de direcciones de
dy/dx = 2y – 2.
Podemos observar que los
elementos lineales que
pasan por los puntos de
cualquier recta horizontal
mantienen la pendiente.
Recordemos que una EDO autónoma es de la forma
dy/dx = f(y), y las pendientes sólo dependen de y.