Resolucion de ecuaciones diferenciales por metodo de variables separables

1. Universidad Autónoma de Baja California UABC
Facultad de Ingeniería Mexicali
1.4 Variables Separables
Una clase sencilla de ecuaciones diferenciales que se pueden resolver utilizando
integración es la de las ecuaciones separables. Este método es considerado por
muchos el más sencillo, sin embargo, la sencillez lleva sus limitantes, veamos un
concepto importante.
DEFINICION Ecuación separable
Si el segundo miembro de una ecuación expresada de la forma
dy
= f ( x, y )
dx
se puede expresar como una función que depende solamente de x, multiplicada por una
función que depende solamente de y; entonces, la ecuación diferencial se llama
separable.
De acuerdo a lo anterior, una ecuación diferencial es separable solo si se puede escribir
en la siguiente forma
dy
= g ( x) p( y )
dx
Por ejemplo, veamos la ecuación
dy 2 x + xy
= 2
dx y +1
es separable ya que factorizando el numerador, podemos obtener lo siguiente:
2 x + xy ⎛ 2+ y ⎞
= (x )⎜ 2
⎜ y + 1 ⎟ = g ( x) p( y )
⎟
y +1
2
⎝ ⎠
Sin embargo, la ecuación
dy
= 1 + xy
dx
no admite tal factorización en el segundo miembro y , por consiguiente, no es separable.
Método para resolver ecuaciones separables
Para resolver una ecuación diferencial de la forma:
dy
= g ( x) p( y )
dx
Pasamos el término p(y) al primer miembro de la ecuación de tal manera que nos queda
así:
1 dy
= g ( x)
p ( y ) dx
1
Por conveniencia expresaremos el término como h(y); lo que nos queda así:
p( y)
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2. Universidad Autónoma de Baja California UABC
Facultad de Ingeniería Mexicali
dy
h( y ) = g ( x)
dx
Ahora procedemos a hacer un particular paso; la terminología de la primera derivada la
separaremos en dos entidades diferentes, dy y dx, de tal manera que separándolas
nuestra ecuación queda de la siguiente manera:
h( y )dy = g ( x)dx
Luego se integran ambos miembros
∫ h( y)dy = ∫ g ( x)dx
para finalmente obtener lo siguiente:
H ( y ) = G ( x) + C
La ecuación obtenida es generalmente una solución implícita.
Notas importantes:
1) Observe claramente que se distingue entre h(y) y H(y), indicando la letra
mayúscula la función ya integrada.
2) A pesar que el separar la terminología de la primera derivada en dos entidades
diferentes no tiene sentido alguno, este paso es necesario para indicar la etapa
de integración en el método.
3) No olvide la constante de integración al finalizar la resolución de la ecuación
diferencial
Ejemplos:
Resolver:
1
dy x – 5 ⎛ 3x 2
⎞ 3
= 2 Solución: y = ⎜
⎜ 2 – 15 x + 3C ⎟
⎟
dx y ⎝ ⎠
Resolver:
dy y – 1
= Solución: y = 1 + C ( x + 3)
dx x + 3
Resolver:
dy 6 x 5 – 2 x + 1
= Solución: seny + e y = x 6 – x 2 + x + C
dx cos y + e y
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