Este documento describe la invariancia del diferencial en cálculo diferencial. Explica que la diferencial de una función representa el cambio principal de la función con respecto a cambios en la variable independiente. Luego, usa ejemplos como u=1-x^2 para demostrar que la diferencial se puede calcular sin importar si la variable es independiente o no. Finalmente, concluye que esto se debe a que la fórmula de la diferencial es la misma independientemente de si la variable es independiente o no, lo que se conoce como la invariancia de la diferencial.

1. INVARIANZA DEL
DIFERENCIAL
Notas de clase Ing. Xavier Silva
Libros de Cálculo
Leithold
Novelli.Elli
Larson

2. En matemática, concretamente en cálculo diferencial,
el diferencial es un objeto matemático que
representa la parte principal del cambio en la
linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a
cambios en la variable independiente. Existen
diversas definiciones de diferencial en diversos
contextos.

3. • Sea la función u= 1 − 𝑥2
• Para u > 0
• Esto se puede expresar como u2 = 1- x2
• Diferenciamos ambos lados
• d (u2) = d(1- x2)
• (u2) dx = (1- x2) dx
• (u2)´dx= (1- x2)´dx
• 2u u´dx= -2x dx
• 2u du= -2x dx

4. Es decir 2udu=-2x dx
Vemos que podemos calcular directamente d (u2) = 2u du, como si u fuera la variable
independiente.
O sea, a partir de u2 = 1- x2 podemos escribir que la diferencial del primer miembro es igual a
la diferencial del segundo miembro, y calcular dichas diferenciales sin tener en cuenta cuál es la
variable independiente.
Esto no es casual.
Consideremos la función compuesta y = f(g(x)), donde y = f(u), u =g(x), son funciones derivables.
Pensando y como función de u resulta dy =f´(u) du
Pensando y como función de x resulta, por la regla de la cadena,
dy= f´(u) g´(x) dx =f´(u) du
dy= f´(u) du

5. No importa si u es la variable independiente o
no. La fórmula vale lo mismo. Esto es lo que
llamamos invariancia de la diferencial.
En las aplicaciones resulta a veces más
conveniente usar la diferencial que la derivada
ya que, dada una relación del tipo
f(u)=y(x) donde u = g(x) o x = h (u)
se puede escribir df(u) = dy(x)
y sucesivamente f´(u) du= y´(x)dx
sin necesidad de establecer cuál de las
variables u o x, es la variable independiente.
Volviendo a la función compuesta y=f(g(x)),
donde y = f(u), u = g(x). Por la invariancia de la
diferencial ( demostrada con la regla de la
cadena ) podemos escribir, sin preocuparnos
por cuáles son las variables independientes, la
identidad
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥

6. • Consideremos ahora la circunferencia
x2+y2= 4
observemos que esta ecuación define dos funciones de x, cuyas
expresiones se obtiene despejando y:
y1(x)=- 4 − 𝑥2
y2(x)= 4 − 𝑥2
•
definidas en el mismo intervalo [-2,2], donde el radicando es no
negativo. La grafica de y1(x) es la semicircunferencia situada debajo del
eje x; la de y2 (x) es la semicircunferencia situada por arriba.
•
Las derivadas de estas funciones son
y1´(x)= -
−2𝑋
2 4−𝑥2
=
𝑋
4−𝑥2
y2´(x)=
−2𝑋
2 4−𝑥2
= -
𝑋
4−𝑥2
•
Se dice que estas funciones están definidas implícitamente en la
ecuación x2+y2= 4.

7. La misma ecuación x2+y2= 4 define también implícitamente dos funciones de y, cuyas expresiones se obtienen
despejando x
x1(y)=- 4 − 𝑦2
x2(y)= 4 − 𝑦2
La grafica de x1 (y) es la semicircunferencia situada a la izquierda del eje y; la de x2 (y) es la semicircunferencia
situada a la derecha.
Ahora bien, sin necesidad de aclarar si la variable independiente es la x o la y de x2+y2= 4, se deduce sucesivamente:
d(x2+y2)= d(4)
2xdx + 2ydy =0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= -
𝑋
𝑦
Y también
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= -
𝑦
𝑥
Tenemos entonces y1´(x)=-
𝑥
𝑦1
=
𝑋
4−𝑥2
y2´(x)=
𝑋
𝑦2
= -
𝑋
4−𝑥2

8. La ventaja del método revisado es la posibilidad de obtener una expresión para la derivada en situaciones en la
que no es posible despejar la y o la x.
Por ejemplo dada la ecuación
y sen x + x ey =
𝜋
2
Se deduce d(y sen x + x ey) = d(
𝜋
2
)
Y por la regla de la diferenciación del producto:
dy sen x +y cos x dx+ dx ey + xeydy = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= -
𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑒 𝑦
𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑥𝑒 𝑦
Vemos sin embargo que en la expresión de la derivada
𝑑𝑦
𝑑𝑥
no aparece solamente la x sino también la y, razón por
la cual, si se quiere calcular dicha derivada en un punto x0 hay que conocer también el correspondiente valor y0,
lo que a veces no es sencillo. Pero si se sabe de antemano que el punto (x0,y0) esta en la curva el problema esta
resuelto.

9. Problema
Escribir la ecuación de la tangente a la curva y sen x + x ey =
𝜋
2
en el punto (
𝜋
2
, 0)
Verificamos que el punto (
𝜋
2
, 0) esta efectivamente en la curva.
0. sin
𝜋
2
+
𝜋
2
e0 =
𝜋
2
Comprobado , por lo que se determina que el punto esta en la curva.
La ecuación de la tangente en (x0,y0) es
y-y0 = f´(x0) (x-x0)
Por lo que
f´(x0) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
-
𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑒 𝑦
𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑥𝑒 𝑦 =
0.cos
𝜋
2
+𝑒0
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
+
𝜋
2
𝑒0
= -
1
1+
𝜋
2
= -
2
2+𝜋
x=x0 x=x0
y=y0 y=y0
Por lo tanto , la tangente buscada tiene una ecuación
y = -
2
2+𝜋
(x -
𝜋
2
) O también 2x + (2+ 𝜋) y - 𝜋 = 0

10. Se resolvió una función y=f(x) definida implícitamente por la ecuación y sen x + x ey =
𝜋
2
.
Se dice también que la f(x) es una función implícita definida por la ecuación y sen x + x ey =
𝜋
2
usando la
regla de la cadena en lugar de usar diferenciales, se deduce
𝑑
𝑑𝑥
(y sen x) +
𝑑
𝑑𝑥
(xey) =
𝑑
𝑑𝑥
𝜋
2
Aplicando la regla de la derivación del producto:
y´sen x + y cos x + ey+ xey y´= 0
Porque
𝑑
𝑑𝑥
(y sen x) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
sen x + y
𝑑𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑑𝑥
= y´senx + y cos x , y análogamente para
𝑑
𝑑𝑥
(xey). Vemos que por la regla de la cadena
𝑑𝑒 𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑒 𝑦
𝑑𝑥
.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= ey y´
De donde y´ = -
𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑒 𝑦
𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑥𝑒 𝑦

11. Podemos decir que para la ecuación x2+y2= 4 resulta derivando ambos miembros respecto a x (con la regla de la
cadena)
2x + 2y y´= 0
De donde y´= -
x
𝑦
EJERCICIOS
Hallar y´=
dy
𝑑𝑥
( en la expresión de la derivada puede quedar la y)
1.- x2 + y2= 3
2.- x2y+ xy+1= 0
3.- y2 - x2 y = 2
4.- 3x+ 2y- 5= 0
5.- x3 - x2y + 3x y2+ y3=4

12. Problema
Tenemos y5+x4y3=2x2 𝑑
𝑑𝑥
vn = nv n-1 v´
Determinar
𝑑𝑦
𝑑𝑥
x´=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
y´=
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 1
𝑑
𝑑𝑥
uv = u´v+uv´
5y4+(x4)´(y3) +(x4)(y3)´ =2(2xx´)
5y4+(4x3x´)(y3) +(x4)(3y2) = 4xx´
5y4+4x3y3x´+3x4y2 = 4xx´
4x3y3x´- 4xx´= -5y4-3x4y2
x´(4x3y3- 4x) = -5y4-3x4y2
X´= −5y4−3x4y2 𝑦
4x3y3− 4x
=
5y4+3x4y2 𝑦
4x−4x3y3
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
1
𝑑𝑦
𝑑𝑥

14. Se uso el método del agotamiento,
averiguando o tratando de averiguar el
área del circulo a través de la inserción de
triángulos cada vez mas pequeños, la
suma de ellos llegaría aproximadamente
al área del circulo.
Cuantos mas se insertaran mas exacta
seria el área calculada