INTRODUCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIA

1. ECUACIONES
DIFERENCIALES
ADALBERTO TALAIGUA

2. 2
ecuación diferencial
2
1
.
0
)
( x
e
x
y 
2
1
.
0
2
.
0 x
e
x
dx
dy

y
x
dx
dy
2
.
0

Suponiendo que nos dan directamente esta ecuación (ED)
el objetivo es obtener la función y(x) que la satisfaga
Ejemplo de
ecuación
diferencial
Función diferenciable en
(-, ). Su derivada es:

3. 3
¿Qué es una ecuación diferencial (ED)?
Es una ecuación que contiene las derivadas de una
o más variables dependientes, con respecto a una
o más variables independientes.
y
x
dx
dy
2
.
0

variable dependiente
variable independiente

4. Ecuación Diferencial
Se dice que una ecuación que contiene las
derivadas de una o más variables dependientes, con
respecto a una o más variables independientes, es
una ecuación diferencial.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
se utilizan en la descripción matemática de sistemas
físicos en el dominio del tiempo.

5. Dónde se usan ?

6. 6
Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2,...
Notación primada: y', y'', y'''… y(n),...
Notación de Newton:
Notación de subíndice: ux , uy , uxx , uyy , uxy , …
En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál
es la variable dependiente y la independiente:
Notaciones
...
,
,
,
...
..
.
x
x
x
5 e
y
dx
dy x



7. Las ecuaciones diferenciales se clasifican en función
de:
– TIPO.
– ORDEN.
– GRADO.
– LINEALIDAD.
Clasificación de las ec. diferenciales

8. 8
Ecuación diferencial ordinaria (EDO):
Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias de una o
más variables dependientes de una sola variable independiente.
Ejemplo de EDO:
Una EDO puede contener más de una variable
dependiente:
Clasificación por tipo:
5 e
y
dx
dy x


y
x
dt
dy
dt
dx


 2 )
(
)
(
2
)
(
)
(
t
y
t
x
dt
t
dy
dt
t
dx




9. 9
t
u
t
u
x
u
y
u
x
u














2
0 2
2
2
2
2
2
2
2
Ecuación diferencial parcial (EDP):
Una ecuación que contiene derivadas parciales de
una o más variables dependientes de dos o más
variables independientes.
Ejemplos:

10. 10
x
e
y
dy
dx
dx
y
d













4
5
3
2
2
Clasificación según el orden:
El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o
EDP) es el orden mayor de la derivadas
involucradas en la ecuación.
Ejemplo:
segundo orden primer orden
Luego, es una EDO de segundo orden.

11. 11
Nota: A veces se escriben las EDOs en forma diferencial
0
)
,
(
)
,
( 
 dy
y
x
N
dx
y
x
M
Por ejemplo, supongamos que y es la variable dependiente
y x la independiente en la EDO en forma diferencial:
0
4
)
( 

 xdy
dx
x
y
x
y
x
dx
dy
dx
dy
x
x
y
4
0
4






12. Forma general de orden n de una EDO:
Forma normal de orden n de una EDO: :
Por ejemplo, las formas general y normal de la EDO
son:
12
0
)
,
,
'
,
,
(
variables
2
)
(



 

 


n
n
y
y
y
x
F
)
,
,
'
,
,
(
variables
1
)
1
(

 

 





n
n
n
n
y
y
y
x
f
dx
y
d
f(x, y)
x
(x – y)/
y’
x
y)/
y’ - (x –
)
F(x, y, y’




4
0
4
x,
y
xy’ 

4

13. 13
Grado
El grado de una ecuación diferencial es el grado
algebraico de su derivada de mayor orden, es decir,
el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la
que esta elevada la deriva que nos dio el orden de la
ecuación diferencial.
Ejemplo:
La siguiente ecuación diferencial:
es de tercer grado, dado que la primera derivada, que
nos da el orden de la EDO, está elevada cubo.
8
7 5
3








x
xy
dx
dy

14. 14
Ejercicios 1
Determinar el grado de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
7
3
5 2
5
2
2
2
4
4


























x
dx
dy
dx
y
d
dx
y
d
3
2
2
2
6
2
2
7 
















dx
y
d
x
dx
dy
x
dx
y
d
NOTA: cuando alguna derivada esté dentro de un radical o en polinomio,
que a su vez esté elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que
eliminar dicho radical para determinar el grado de la ecuación diferencial.
1
7 2

 x
dx
dy
3
2
2
dx
dy
x
dx
y
d



15. 15
Ejercicios 2
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones
diferenciales:
a) b)
c)
d)
y
dx
dy
x
dx
y
d
5
3
3
3








5
3
3
3
3
3
8
18 


















dx
y
d
x
dx
y
d
dx
dy








dx
dy
x
dx
y
d
8
5
3
3
5
3
3
2
2
3
dx
y
d
x
dx
y
d



16. 16
Clasificación según la linealidad:
Se dice que una EDO de orden n es lineal si F
(en la forma general) es lineal en y, y’, y”, …, y(n).
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
1
1
1 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a
dx
y
d
x
a n
n
n
n
n
n 



 

 
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
2
2
2 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a 


)
(
)
(
)
( 0
1 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a 

Dos casos importantes
serán las EDOs lineales
de primer y segundo
orden.

17. 17
Lineal homogénea:
El término independiente g(x) es cero.
Lineal con coeficientes constantes:
Los coeficientes a0(x),...,an(x) son constantes.
Lineal con coeficientes variables:
Enfatiza el hecho de que al menos uno de los
coeficientes a0(x),...,an(x) NO es constante.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
1
1
1 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a
dx
y
d
x
a n
n
n
n
n
n 



 

 

18. 18
x
e
y
y
y 

 2
'
)
1
(
0
siny
2
2


dx
y
d
0
2
4
4

 y
dx
y
d
Ejemplos de EDOs no lineales:
El coeficiente depende de y.
Función no lineal de y.
En una EDO lineal de orden n:
1) y, y’, y”, …, y(n) son de primer grado.
2) Coeficientes a0, a1, …, dependen solo de la
variable independiente x.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
1
1
1 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a
dx
y
d
x
a n
n
n
n
n
n 



 

 

19. Las siguientes ecuaciones diferenciales son NO
lineales:
(1− y) y´+2y=ex El coeficiente de y´ depende de y
d2
y
dx2 +ln y=0 Función Trascendente (no lineal) en y
d5
y 3
dx5 +3y = 2 x Potencia de y diferente de grado 1
Clasificación según la linealidad

20. Clasificación ecuaciones diferenciales
Determine el orden, grado, linealidad y homogeneidad de las
siguientes ecuaciones:
(A
dh(t
)
dt
)
2
2
= Cq a2
(2gh)
L
d2
q
+R
dt2
dq + 1
dt C
q=v(t)
2 ∂2
u
a
∂
2
u
=

21. Determine el orden, grado, linealidad y homogeneidad de las
siguientes ecuaciones:
( dh(t)
)
2
2 2 Orden=1, Grado=2, No lineal
A
dt
= Cq a (2gh) (Grado>1) y Homogénea
d 2
q dq 1
L +R + q=v(t)
dt2 dt C
2
∂2
u ∂ u
a2
=
∂x2
∂t2
Clasificación ecuaciones diferenciales

22. Determine el orden, grado, linealidad y homogeneidad de las
siguientes ecuaciones:
( dh(t)
)
2
2 2 Orden=1, Grado=2, No lineal
A
dt
= Cq a (2gh) (Grado>1) y Homogénea
d 2
q dq 1 Orden=2, Grado=1, Lineal y
L +R + q=v(t)
dt2 dt C NO Homogénea
2
∂2
u ∂ u
a2
=
∂x2
∂t2
Clasificación ecuaciones diferenciales

23. Determine el orden, grado, linealidad y homogeneidad de las
siguientes ecuaciones:
( dh(t)
)
2
2 2 Orden=1, Grado=2, No lineal
A
dt
= Cq a (2gh) (Grado>1) y Homogénea
d 2
q dq 1 Orden=2, Grado=1, Lineal y
L +R + q=v(t)
dt2 dt C NO Homogénea
2
∂
2
u ∂u Orden=2, Grado=1, Lineal y
a2
=
∂
x2
∂
t 2 Homogénea
Clasificación ecuaciones diferenciales

24. 24
Ejemplos: ¿Lineales o no lineales?
1)
2)
3)
4)
5)
6)
)
(
1
)
(
1
)
(
t
V
RC
t
v
RC
dt
t
dv
s


)
( T
T
K
dt
dT
a 

0


 

 mgsen
kl
ml 


y
y
x
x
dx
dy 2
2




1
)
sin(
' 2
2
3



 x
y
x
y
x
y
0
y
'
y
)
y
1
(
'
'
y 2




)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
1
1
1 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a
dx
y
d
x
a n
n
n
n
n
n 



 

 

25. dn
dn− 1
d2
d
an +an−1 2 1 0
dtn
dtn−1 +.. .+ a
dt2 +a
dt
+a
( )y = b0 x(t )
Ecuaciones diferenciales lineales
Entrada
Salida
› El término que hace no homogénea a una ecuación
diferencial es de suma importancia en los sistemas de contr
ya que b0x(t) representa la entrada que se le
› aplica al sistema y la interacción entrada-salida
produce la salida y(t)

26. › El término que hace no homogénea a una ecuación
diferencial es de suma importancia en los sistemas de contr
ya que b0x(t) representa la entrada que se le
› aplica al sistema y la interacción entrada-salida
produce la salida y(t)
(an
d
n
dtn
+an−1
d
n− 1
dtn−1
+...+ a2
d
2
dt2
+a1
d
dt
+a0
)y = b0 x(t )
Ecuaciones diferenciales lineales
Entrada
Salida
Sistema g(t)

27. › El término g(t) representa al sistema y corresponde a la
descripción matemática de las características físicas de un
determinado proceso físico.
› Resolver una ecuación diferencial supone determinar una
expresión para la variable dependiente y(t) libre de
derivadas
(an
d
dtn
+an−1
n n− 1
dtn−1 2
d d
2
dt2
+...+ a +a1
d
dt
+a0
)y = b0 x(t )
Ecuaciones diferenciales lineales
Sistema g(t)

28. ECUACIONES
DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN

29. Clasificación General
EDO de primer orden.- La forma general es
F(x,y,y’)=0
A la forma
y’=f(x,y)
Se le denomina resuelta respecto a la derivada.
También aparecen en la forma:
dy
dx
 fx,y

30. EJEMPLO 1
La rapidez con que un cuerpo se calienta es
proporcional a la diferencia entre la
temperatura del cuerpo T(t) y la temperatura
del ambiente Ta
Donde K es el coeficiente dde transmisión de
calor que depende del material
)
( T
T
K
dt
dT
a 


31. Solución de una ED
 Tarea: a) Para el ejemplo (1). Verificar que la
solución general de la ED es:
b) Si K=0.1°C/seg. ¿Cuánto tiempo tardará en
enfriarse una taza de café hirviendo si la
temperatura ambiente es de Ta=15°C ?
Kt
a
a e
T
T
T
t
T 


 )
(
)
( 0

32. METODOS DE
SOLUCION DE EDO DE
PRIMER ORDEN

33. Separación de variables
La idea más simple de los procedimientos de
solución es reescribir la ecuación como una
ecuación de variables separadas:
Donde f(y) es una función exclusivamente de y y
g(x) es una función exclusivamente de x.
Esta ecuación se resuelve integrando a ambos
lados:
dx
x
g
dy
y
f )
(
)
( 

 
x
x
y
y
dx
x
g
dy
y
f
0
0
)
(
)
(

34. Separación de variables
La ED de la forma
Se denomina ED de variables separables, ya
que es inmediata su reescritura como una ED con
variables separadas:
dy
x
g
y
f
dx
x
g
y
f )
(
)
(
)
(
)
( 2
2
1
1 
dx
x
g
x
g
dy
y
f
y
f
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
2


35. Problemas Resueltos
1) Resolver la EDO propuesta considerando valores de frontera
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥2
+ 1
2 − 2𝑦′
𝑦 −3 = 4, 𝑦 −3 = −2.
2 1 − 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑥2 + 1 𝑑𝑥
2 𝑑𝑦 − 2 𝑦𝑑𝑦 = 𝑥2𝑑𝑥 + 𝑑𝑥
2𝑦 − 𝑦2 =
𝑥3
3
+ 𝑥
𝑦 2 − 𝑦2 =
𝑥3
3
+ 𝑥 → 𝑦 = 2
𝑦 =
𝑥3
3
+ 𝑥 + 𝐶
𝑦 −3 = −4 𝑦 −3 = −2
4 = −9 − 3 + 𝐶 − 2 = −9 − 3 + 𝐶
4 = −12 + 𝐶 10 = 𝐶
𝐶 = 16

36. 𝟐)Resolver la EDO propuesta considerando valor de frontera
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
x
𝑦′
𝑦 1 = 2
𝑦𝑑𝑦 = −𝑥𝑑𝑥
𝑦𝑑𝑦 = − 𝑥𝑑𝑥
𝑦2
2
= −
𝑥2
2
+ 𝐶
𝑦2
= −𝑥2
+ 2𝐶
𝑦(1) = 2
4 = −1 + 2𝐶
5 = 2𝐶 𝐶 =
5
2

37. 𝟑) Resolver la EDO propuesta
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3x + 3xy2
yx2 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
3𝑥 + 3𝑥𝑦2
𝑦𝑥2 + 2𝑦
(𝑦𝑥2 + 2𝑦)𝑑𝑦 = −3𝑥 − 3𝑥𝑦2 𝑑𝑥
𝑦 𝑥2 + 2 𝑑𝑦 = −3𝑥(1 + 𝑦2)𝑑𝑥
𝑦
1 + 𝑦2
𝑑𝑦 =
−3𝑥
𝑥2 + 2
𝑑𝑥
𝑦
1 + 𝑦2
𝑑𝑦 =
−3𝑥
𝑥2 + 2
𝑑𝑥
1
2
1
𝑢
𝑑𝑢 = −
3
2
1
𝑢
𝑑𝑢
1
2
𝑙𝑛 1 + 𝑦2 = −
3
2
𝑙𝑛 𝑥2 + 2 + 𝐶
𝑙𝑛 1 + 𝑦2
1
2 = 𝑙𝑛 𝑥2
+ 2
−3
2 + 𝐶
𝑦 = 𝑥2
+ 2 −
3
2 − 1 + 𝐶

38. 4) Resolver la EDO propuesta
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
x2 + x2y2
y2 + 𝑥2𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥 1 + 𝑦2
𝑦 1 + 𝑥2
𝑦
1 + 𝑦2
𝑑𝑦 =
𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
𝑦
1 + 𝑦2
𝑑𝑦 =
𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
1
2
𝑢−
1
2𝑑𝑢 =
1
2
𝑧−
1
2𝑑𝑧
1 + 𝑦2
1
2 = 1 + 𝑥2
1
2
1 + 𝑦 = 1 + 𝑥 + 𝐶 𝑦 = 𝑥 + 𝐶

39. 5) Resolver la EDO propuesta, considerando valor de frontera
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
x + xy2
4𝑦
𝑦 1 = 0.
4𝑦𝑑𝑦 = 𝑥(1 + 𝑦2
)𝑑𝑥
4𝑦
1 + 𝑦2 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥
4
𝑦
1 + 𝑦2 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥
2
1
𝑢
𝑑𝑢 = 𝑥𝑑𝑥
2𝑙𝑛 1 + 𝑦2 =
𝑥2
2
𝑒𝑙𝑛
1 + 𝑦2 2
=
𝑥2
2
1 + 𝑦4 = 𝑒
𝑥2
2
𝑦4
= 𝑒
𝑥2
2 − 1 + 𝐶, 𝑦 1 = 0 , 𝐶 = 1 − 𝑒
1
2

40. 6) Resolver la EDO propuesta, considere valor de frontera
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −3 𝑦 𝑐𝑜𝑡(𝑥) 𝑦 𝜋/2 = 2
𝑑𝑦
−3𝑦
𝑑𝑦 = cot 𝑥 𝑑𝑥
−
1
3
𝑑𝑦
𝑦
= cot 𝑥 𝑑𝑥
−
1
3
𝑙𝑛𝑦 =
cos(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑑𝑥
−
1
3
𝑙𝑛𝑦 =
du
𝑢
−
1
3
𝑙𝑛𝑦 = ln(𝑠𝑒𝑐𝑥)
𝑦−
1
3 = secx + c
y
𝜋
2
= 2
𝐶 =
1
3
2
− 1

41. 7) Resolver la EDO propuesta, considere valor de frontera
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑠𝑒𝑛2𝑦
cos2 𝑥′
𝑦
𝜋
4
= 𝜋/4
𝑑𝑦
−𝑠𝑒𝑛2𝑦
=
𝑑𝑥
cos2 𝑥
−
𝑑𝑦
𝑠𝑒𝑛2𝑦
=
𝑑𝑥
cos2 𝑥
− csc2
𝑦𝑑 𝑦 = sec2
𝑥 𝑑𝑥
𝑐𝑡𝑔 𝑦 = tan 𝑥 + 𝐶
𝑦
𝜋
4
=
𝜋
4
𝑐𝑡𝑔
𝜋
4
= 𝑡𝑎𝑛
𝜋
4
+ 𝐶 → 𝐶 = 0

42. 8) Resolver la EDO propuesta
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥3𝑦2 + 𝑥3
𝑥3
𝑦2
+ 𝑥3
𝑑𝑦 = −𝑦𝑑𝑥
𝑥3 𝑦2 + 1 𝑑𝑦 = −𝑦𝑑𝑥
𝑦2 + 1
−𝑦
𝑑𝑦 =
𝑑𝑥
𝑥3
−
𝑦2 + 1
𝑦
𝑑𝑦 =
𝑑𝑥
𝑥3
− 𝑦𝑑 𝑦 −
𝑑𝑦
𝑦
= 𝑥−3𝑑𝑥
−
𝑦2
2
− ln(𝑦) =
𝑥−2
−2
+C

43. 9) Resolver la EDO propuesta, considere valor de frontera
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3𝑥+𝑥𝑦2
2𝑦+𝑥2𝑦′
𝑦 2 = 1
2𝑦 + 𝑥2𝑦 𝑑𝑦 = −(3𝑥 + 𝑥𝑦2)𝑑𝑥
𝑦 2 + 𝑥2
𝑑𝑦 = −𝑥(3 + 𝑦2
)𝑑𝑥
𝑦
3 + 𝑦2
𝑑𝑦 =
−𝑥
2 + 𝑥2
𝑑𝑥
𝑦
3 + 𝑦2
𝑑𝑦 =
𝑥
2 + 𝑥2
𝑑𝑥
1
2
1
𝑢
𝑑𝑢 = −
1
2
1
𝑎
𝑑𝑎
1
2
ln 3 + 𝑦2 = −
1
2
ln 2 + 𝑥2
ln 3 + 𝑦2
1
2 = 2 + 𝑥2
−1
2
− 3 3

44. 10) Resolver la EDO propuesta, considere valor de frontera
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑒2𝑟
𝑠𝑒𝑛𝜃
3𝑒𝑟 + 𝑒𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦
𝜋
2
= 0
3𝑒𝑟 + 𝑒𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑟 = (𝑠𝑒𝑛𝜃3𝑥 + 𝑒2𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑑𝜃
𝑒𝑟
3 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑟 = 𝑠𝑒𝑛𝜃(𝑒 + 𝑒2𝑟
)𝑑𝜃
𝑒𝑟
1 + 𝑒2𝑟
𝑑𝑟 =
𝑠𝑒𝑛𝜃
3 + 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑑𝜃
𝑒𝑟
1 + 𝑒2𝑟
𝑑𝑟 =
𝑠𝑒𝑛𝜃
3 + 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑑𝜃
𝑒𝑟
+
1
3
𝑒3𝑟
= − ln 3 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐶
𝑦
𝜋
2
= 0 𝑐 = ln 3 +
4
3

45. ED Lineales de 1er orden
Ejemplo: La ecuación del circuito RC serie
Es una ED lineal de primer orden, por lo tanto, su
solución es
Donde
Si Vs(t)=1, se obtiene:
Por lo tanto
)
(
1
)
(
1
)
(
t
V
RC
t
v
RC
dt
t
dv
s


RC
t
dt
e
)
t
(
c
e
)
t
(
c
)
t
(
v
RC
1





1
RC
t
s
RC
1
c
dt
e
)
t
(
V
)
t
(
c 
 
1
RC
t
c
e
)
t
(
c 

RC
t
1e
c
1
)
t
(
v




46. ED exactas
La ecuación de la forma
tiene de la forma de una diferencial exacta du(x,y)
= 0
y por consiguiente la solución: u(x,y) = c
si cumple la condición de Euler:
En tal caso
y la función u(x,y) se puede obtener integrando M
respecto a x:
y se puede determinar c(y) derivando
x
)
y
,
x
(
N
y
)
y
,
x
(
M





0
dy
)
y
,
x
(
N
dx
)
y
,
x
(
M 

y
)
y
,
x
(
u
)
y
,
x
(
N
,
x
)
y
,
x
(
u
)
y
,
x
(
M






 
 )
y
(
c
dx
)
y
,
x
(
M
)
y
,
x
(
u

47. ED exactas
Ejemplo: La siguiente ED
Es exacta puesto que
Integrando respecto a x
Es decir,
Derivando respecto a y
De donde
Finalmente la solución general es
0
dy
)
3
y
x
(
dx
)
1
y
x
( 2






x
y
x
y
y
x








 )
3
(
)
1
( 2
 


 )
(
)
1
(
)
,
( y
c
dx
y
x
y
x
u
)
(
)
,
( 2
2
y
c
x
xy
y
x
u x




3
)
(
' 2







y
x
y
c
x
y
u
 

 1
2
)
3
(
)
( c
dy
y
y
c
2
3
2 3
)
,
(
3
2
c
y
x
xy
y
x
u y
x







48. Teorema de existencia y
unicidad
Ejemplo: ¿Son ED exactas?
x
x
y
y 2
2
' 2



0
)
(
)
(
)
(
)
( 2
2
1
1 
 dy
y
g
x
f
dx
y
g
x
f
0
)
(
)
( 3
2
3



 dy
y
y
x
dx
xy
x

49. Otro enfoque Ecuaciones
Diferenciales Exactas
Si z = f(x, y) es una función de dos variables con primeras derivadas parciales
continuas en una región R del plano x-y, entonces su diferencial completa es:
𝑑𝑧 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑦
La cual puede ser escrita, en forma de homogénea, considerando que f x, y = c
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Esta expresión diferencial representa a una diferencial exacta en una región R del
plano x-y, si ésta corresponde a la diferencial de alguna función f (x, y) definida en
R. Entonces se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma es
ecuación exacta, si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.

50. › Sean M(x, y) y N(x, y) continuas y que tienen primeras derivadas parciales
continuas. Entonces una condición necesaria y suficiente para que M(x, y) dx +
N(x, y) dy sea una diferencial exacta es que existan:
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
› Dada una ecuación en la forma diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, se
determina si la igualdad de la ecuación es válida. Si es así, entonces existe una
función f para la que:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑀(𝑥, 𝑦)

51. Entonces podemos determinar que la función solución:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦)

52. 2
2
2
2
1. Determine si la EDO es exacta, si lo es resuelva
2
(2 ) ( )
( ) (2 ) 0
( )
2
(2 )
2
dy x y
dx xy y
xy y dy x y dx
x y dx xy y dy
Calculando las derivadas parciales para M y N
M x y
y
y
Exacta
N xy y
y
x




  
    
 
  

 
 

  
 
 

 

 

53. 2 2
2 2
2 2
2 2
2. Determine si la EDO es exacta, si lo es resuelva
2 '
(2 ) ( )
( ) (2 ) 0
Se Calculan las derivadas parciales cruzadas de M y N
( )
2
(2 )
2
( , ) 2
xyy x y
xydy x y dx
x y dx xy dy
M x y
y
y
exacta
N xy
y
x
f x y

 
 
   
 
  

 
 

  

 

 

 
 2 2 2 2 3
1
3
xydx x d y dy x y x y y c
     
  

54. 3. Determine si la EDO es exacta, si lo es resuelva
( ) 0
Se calcula la derivada parcial cruzada de M y N
( )
0
( )
1
dy x
dx x y
xdx x y dy
M x
y
No Exacta
N x y
x



   

 

 

 
  
  
 
 
 

 

55.  
 
4. Determine si la EDO es exacta, si lo es resuelva
cos
( ) cos
cos ( ) 0
Calculando la derivada cruzada de M y N
1
cos
dy x y x
dx senx y
senx y dy x y x dx
x y x dx senx y dy
M
senx ydy
y
No Exacta
N
x y xdx ysenx
y




  
    

 
  
 

 
  

 
 
 

 

57. Ecuación Diferenciales lineales de primer
Orden
› Se dice que una ecuación diferencial de primer
orden de la forma:
es una ecuación lineal en la variable
dependiente y.
› Cuando g(x)=0 se dice que la ecuación lineal
es homogénea; de lo contrario es no
homogénea.
)
(
)
(
)
( x
g
y
x
a
dx
dy
x
a 
 0
1

58. Forma estándar
› Al dividir la ecuación lineal
entre el coeficiente principal a1(x), se obtiene la forma
estándar de la ecuación
)
(
)
(
)
( x
g
y
x
a
dx
dy
x
a 
 0
1
)
(
)
( x
f
y
x
P
dx
dy



59. Propiedad
› La ecuación diferencial
tiene la propiedad de que su solución es la
suma de las dos soluciones y = yc + yp, donde:
yc es una solución de la ecuación homogénea
afín
y yp es una solución particular de la ecuación
no homogénea
)
(
)
( x
f
y
x
P
dx
dy


0

 y
x
P
dx
dy
)
(
).
(
)
( x
f
y
x
P
dx
dy



60. 


 



 






p
c
y
dx
x
P
dx
x
P
y
dx
x
P
dx
x
f
e
e
ce
y 







)
(
)
(
)
(
)
(

61. Método de solución
› El método que se recomienda para resolver
una ecuación diferencial lineal de primer
orden es:
1. Escribir la ecuación lineal de la forma
en la forma estándar
1. Identifique, a partir de la forma estándar, P(x) y
luego determine el factor integrante
)
(
)
( x
f
y
x
P
dx
dy


)
(
)
(
)
( x
g
y
x
a
dx
dy
x
a 
 0
1
 dx
x
P
e
)
(

62. Método de solución…
3. Multiplique la forma estándar por el factor
integrante. El lado izquierdo de la ecuación
resultante es automáticamente la derivada del
factor integrante y y:
4. Integre ambos lados de esta última ecuación.
)
(
)
(
)
(
x
f
e
y
e
dx
d dx
x
P
dx
x
P 






 

63. Solución de una ED de primer orden mediante el
método de variación de parámetros
› Resuelva:
1. Resuelva la ED lineal
homogénea:
2. Resuelva la ED lineal
no homogénea:
3. Resuelva la ED
4. Resuelva la ED
0
5 
 y
dx
dy
10
5 
 y
dx
dy
x
e
x
y
dx
dy
x 6
4 

4
0 


 )
(
y
con
x
y
y