clasificación de ecuaciones diferenciales y curvas solución.

3. CONSIDERACIONES HISTÓRICAS
En física, ingeniería y química, y a veces en materias como biología, fisiología y
economía, es necesario elaborar un modelo matemático para representar ciertos
problemas.
A menudo ocurre que estos modelos matemáticos suponen la búsqueda de una
función desconocida que satisface una ecuación en la que las derivadas de la
función desconocida desempeñan un importante papel.
Tales ecuaciones se conocen como ecuaciones diferenciales
EJEMPLOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES:
x
dx
dy
cos=
02
2
2
=+ yk
dx
yd
02)( 22
=−+ xydydxyx






∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
2
y
u
x
u
h
t
u
wtEwi
Cdt
di
R
dt
id
L cos
1
2
2
=++
02
2
2
2
=+
dy
Vd
dx
Vd
(1)
(2)
(3) (6)
(5)
(4)

4. EJEMPLOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES:
0
3
2
2
=+−





w
dx
dw
xy
dx
wd
043
3
=−+ xy
dy
dx
x
dy
xd
087
3
2
2
=−





+ y
dx
dy
dx
yd
x
dt
xd
dt
yd
=+ 2
2
2
2
nf
y
f
y
x
f
x =
∂
∂
+
∂
∂
(11)
(10)
(9)
(8)
(7)

5. DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA
Ecuación diferencial (ED): Es aquella ecuación que contiene las derivadas de
una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables
independientes
Para referirse a ellas, se clasifica a las ecuaciones diferenciales por su tipo,
orden y linealidad.
Clasificación por su tipo: Por su tipo las ecuaciones diferenciales se dividen en
ordinarias y parciales
Si una ecuación contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables
dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una
ecuación diferencial ordinaria (EDO)
Ejemplos:
x
ey
dx
dy
=+ 5 062
2
=+− y
dx
dy
dx
yd
yx
dt
dy
dt
dx
+=+ 2
Una EDO puede contener más de
una variable dependiente

6. Si una ecuación contiene derivadas parciales de una o más variables
dependientes de dos o más variables independientes se dice que es una
ecuación diferencial parcial (EDP)
Ejemplos:
02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u
t
u
t
u
x
u
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
22
2
2
2
x
v
y
u
∂
∂
−=
∂
∂
En la mayoría de los libros las derivadas ordinarias se escriben con la
notación de Leibniz, o bien, con la notación de Prima
x
ey
dx
dy
=+5
x
eyy =+′ 5
Ventaja de la notación de Leibniz sobre la notación de Prima
Aunque es menos conveniente para escribir y componer tipográficamente, la notación
de Leibniz tiene una ventaja sobre la notación de Prima en que muestra de manera
clara tanto la variable dependiente como la independiente.
0162
2
=+ x
dt
xd
Función desconocida
o variable dependiente
variable independiente

7. Clasificación por su orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o
EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación. Por ejemplo:
x
ey
dx
dy
dx
yd
=−





+ 45
3
2
2
04)( =+− xdydxxy 02 =+′−′′ yyy
Segundo orden Primer orden
Clasificación por su linealidad: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de
orden n es lineal si F es lineal en todas sus derivadas, es decir, la potencia de cada
termino en que interviene y es 1
2 Propiedades características de una EDO lineal
•La variable dependiente y y todas sus derivadas y´, y´´…..son de primer grado
•Los coeficientes a0, a1,…..an de las derivadas dependen solo de la variable
independiente x
Ejemplos:
x
ey
dx
dy
x
dx
yd
=−+ 53
3
EDO de Segundo orden
EDO de Primer orden
EDO de Tercer orden

8. ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES
Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es simplemente una que es no
lineal. Las funciones no lineales de la variable dependiente o sus derivadas,
como sen (y) o , no pueden aparecer en una ecuación lineal por consiguiente:y
e ′
x
eyyy =+′− 2)1( 02
2
=+ seny
dx
yd
02
4
4
=+ y
dx
yd
Son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de primero,
segundo y cuarto orden, respectivamente.
Término no lineal:
función no lineal de y
Término no lineal
el coeficiente depende de y
Término no lineal
potencia diferente de 1

9. x
dx
dy
cos=
02
2
2
=+ yk
dx
yd
02)( 22
=−+ xydydxyx






∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
2
y
u
x
u
h
t
u
wtEwi
Cdt
di
R
dt
id
L cos
1
2
2
=++
02
2
2
2
=+
dy
Vd
dx
Vd
(1)
(2)
(3)
(6)
(5)
(4)
EJERCICIOS PARA LA CARPETA
En cada uno de los ejercicios siguientes indique si la ecuación es ordinaria o
parcial, lineal o no lineal e indique su orden.
0
3
2
2
=+−





w
dx
dw
xy
dx
wd
043
3
=−+ xy
dy
dx
x
dy
xd
087
3
2
2
=−





+ y
dx
dy
dx
yd
x
dt
xd
dt
yd
=+ 2
2
2
2
nf
y
f
y
x
f
x =
∂
∂
+
∂
∂
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)

10. Solución de una EDOSolución de una EDO
La función es una soluciónLa función es una solución
de la ecuación diferencialde la ecuación diferencial
xxy −= 2
12 −= x
dx
dy

11. SoluciónSolución cxxy +−= 2

12. SoluciónSolución 12 3
+= x
ey

13. Solución generalSolución general 13
+= x
cey

14. Solución de laSolución de la
EDOEDO
2
xy =
02 =− ydyxdx

15. Solución generalSolución general
2
cxy =