1. Escuela Secundaria General «Justo sierra Méndez»
Matemáticas
3° grado
«Álgebra»
Profesora: L.E.S. Gemma Hernández Escobar

2. «Productos
Notables»

3. Productos Notables
Son Ciertos productos que se efectúan
directamente, basándose en reglas notables
que al memorizarse su aplicación, nos
Productos
Notables:
permiten llegar al resultado sin necesidad de
realizar la multiplicación.

4. Productos Notables
El Producto de la Suma y la Diferencia de
dos Números
Productos El Cuadrado de un
Binomio
Notables
El Cuadrado de un
Polinomio
El Producto de dos
Binomios con Términos
Semejantes
a) Con Término b) Con Término
Común Semejante
El Cubo de un Binomio

5. Productos Notables
El Producto de la Suma y Diferencia de dos Números:
Si tenemos la suma de dos términos multiplicados por su
diferencia, resulta:
2 2 2
(m+n)(m–n) m2 - m n + m n - n = m -
= n
Regla:
«El producto de la suma y la diferencia de dos términos es igual al
cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo
término»
Esta operación, también se denomina: «Producto de Binomios
Conjugados», porque dos términos de éstos son iguales y los otros
son simétricos. Términos
Semejantes 2
2
( 2x + y ) ( 2x - y ) 4x - y
=
Términos Iguales

6. Productos Notables
El Cuadrado de un Binomio:
Elevar el cuadrado el binomio (m + n) ó (m – n), equivale a
multiplicarlo por sí mismo, resultando:
2
2
a) ( m + n ) = ( m + n ) ( m + n = m2 + 2mn +
2 ) n 2
b) ( m - n ) = ( m - n ) ( m - n ) = m2 - 2mn +
n
Regla:
«Al desarrollar el cuadrado de un binomio, se obtiene como
resultado un *Trinomio*», cuyos términos se determinan de
acuerdo a los siguientes pasos:
1. El cuadrado del primer término del binomio.
2. El doble producto del primer término por el segundo término.
3. El cuadrado del segundo término del binomio.

7. Productos Notables
El Cuadrado de un Binomio:
Ejemplos:
2
2 2
a) ( 2a + 3b ) = 4a + 12ab + 9b
Doble
2
2 2 2
b) ( xy + 2z ) x + 4xyz + 4z A estos resultados se les
= Doble y denomina «Trinomio
Cuadrado Perfecto»
2
2
c) ( 4 + 3x ) = 16 + 24x + 9x
Doble
2 2
2 2 2
d) (5ax + by ) 25a x + 10abxy + b y
= Doble

8. Productos Notables
El Cuadrado de un Polinomio:
Elevar el cuadrado de un polinomio, equivale a multiplicarlo por sí
mismo, resultando:
2 2 2 2
a) ( k + l + m ) ( k + l + m ) ( k + l + m = K + kl + km+ kl + l + lm + km + lm + m
= )
2 2 2
= K + l + m + 2kl + 2km + 2lm
2
a) ( p - q + r - s ) (p - q + r - s)(p - q + r -
= s)
2 2 2 2
= p - pq + pr - - pq + - qr + qs + pr - qr + r - rs - ps + qs - rs + s
ps q
2 2 2 2
= p + q + r + s - 2pq + 2pr - 2ps - 2qr + 2qs - 2rs

9. Productos Notables
El Cuadrado de un Polinomio:
Regla:
«Elevar al cuadrado un polinomio, tiene como resultado, la suma de
los cuadrados de cada término del polinomio, más el doble
producto de todos los términos tomados de dos en dos»
Ejemplos:
2 2 2
2
( a + 2b – 3c ) = 2a + 4b + 9c + 4ab - 6ac - 12bc
2 2 2
2
( 2x + 3y – 5z ) =4x + 9y + 25z - 12xy - 20xz +
30yz
2 2 2 2
( u – v + w + 1 ) = u + v + w + 1 - 2uv + 2uw + 2u - 2vw - 2v + 2w

10. Productos Notables
El Producto de dos Binomios con Términos
Semejantes:
a) Producto de Binomios con Término Común:
Tienen la siguiente forma (a + x) (a + y) ó (2 + m) (5 + m), cuyo
producto es:
Término Común
2 2
(a + x) (a + y) =a + ax+ ay+ xy = a + (x + y) a+ xy
Término No Común
2 2
(2 + m) (5 + m) =10+ 2m + 5m + m = m + 7m + 10

11. Productos Notables
a) Producto de Binomios con Término Común:
Regla:
«Al desarrollar el producto de dos binomios con término común, es
igual al cuadrado del término común, más el producto de la
suma algebraica de los términos no comunes por el término
común, más el producto de los términos no comunes»
Ejemplos:
2
(x + 6) (x - 3) = x + 3x - 18
2
(a - 2) (a - 5) = a - 7a - 10
2 2
(3ax + 1) (3ax + 4) =9a x + 15ax + 4
2 2 2
(4 - x y) (6 – x y) =24 - 10x y + x2 y2

12. Productos Notables
b) Producto de Binomios con Término Semejante:
Tienen la siguiente forma (ax + by) (mx + ny) ó (2 + m) (5 +
m), cuyo producto es:
2 2
(ax + by) (mx + ny) =amx + anxy+ bmxy + bny
2 2
= amx + (an + bm) xy + bny

13. Productos Notables
b) Producto de Binomios con Término Semejante:
Regla:
«Al desarrollar el producto de dos binomios con términos
semejantes, se obtiene como resultado un *Trinomio*, cuyos
términos se determinan de acuerdo a los siguientes pasos:»
1. Se multiplican los primeros términos de los binomios dados.
2. Se multiplican los términos extremos y los términos interiores
de los binomios dados: por reducción de términos semejantes,
obtenemos el resultado.
3. Se multiplican los segundos términos de los binomios dados.
Ejemplo: -8xy
2 2
(3x - 4y) (2x - y) = 6x - 11 xy + 4y
-3xy

14. Productos Notables
b) Producto de Binomios con Término Semejante:
Ejemplos:
5ab
2 2
(2a + 5b) (a – 3b) = 2a - ab - 15b
-6ab A estos resultados se
les denomina
- 6mn «Trinomio» que no
son cuadrados
2 2
(7m – 2n) (3m + 4n) = 21m + 22mn + 8n perfectos
28mn
8xy
2
(3 + 4xy) (2 + 3xy) =6 + 17 xy+ 12x y 2
9xy

15. Productos Notables
El Cubo de un Binomio:
Elevar al cubo el binomio (m + n) ó (m – n), equivale a multiplicarlo
por sí mismo tres veces, resultando:
3 2 2
a) ( m + n ) = ( m + n ( m + n ( m + n = ( m + 2mn + n )( m + n
) ) ) )
3 2 2 2 3
= m + m n + 2m n + 2mn + mn2 + n
3 2
= m + 3m2 n+ 3mn + n3

16. Productos Notables
El Cubo de un Binomio:
3 2
a) ( m - n ) = ( m - n ) ( m - n )
2 2
= ( m - n ) ( m - n ) ( m - n ) = ( m - 2mn + n )( m - n )
3 2 2 2 3
= m - m n - 2m n + 2mn + mn2 - n
3 2
= m - 3m2 n+ 3mn - n3

17. Productos Notables
El Cubo de un Binomio:
Regla:
«Al desarrollar el cubo de un binomio, se obtiene como resultado un
«Polinomio de cuatro términos», cuyos términos se determinan
de acuerdo a los siguientes pasos:
1. El cubo del primer término del binomio.
2. El triple producto del cuadrado del primer término por e
segundo término.
3. El triple producto del primer término por el cuadrado del
segundo término.
4. El cubo del segundo término del binomio.
Ejemplo:
3 3
(a-1) = a - 3a 2 + 3a - 1

18. Productos Notables
El Cubo de un Binomio:
Ejemplo:
2 3 6 4 2 2 3
a) ( x - 5y ) x - 15x y+ 75x - 125y
= y
3 3
b) ( 2a + 3 ) 8a + 36a 2 + 54a + 27
=
3 6 4 2 2 2 6
2 2
c) ( -m - n ) - m - 3m n - 3m n -
= n
3 9 6 3 3 6 9
3 3
d) ( a + b ) a + 3a b + 3a b + b
=

19. Productos Notables
Ejercicio:
Contesta correctamente las siguientes preguntas:
1. ¿Qué es un binomio?
2. ¿A qué se le conoce como binomio conjugado?
3. ¿Qué es un trinomio cuadrado perfecto?
4. Escribe la regla para el producto de la suma y la diferencia de
dos términos.
5. Escribe la regla para el cuadrado de un binomio.
6. Escribe la regla para el cuadrado de un polinomio.
7. Escribe la regla para el producto de binomios con término
común.
8. Escribe la regla para el producto de binomios con términos
semejantes.
9. Escribe las reglas para el cubo de un binomio.
10. ¿Elevar al cubo un binomio, equivalente a?

20. Productos Notables
Tarea:
Contesta correctamente los siguientes ejercicios y escribe el
nombre del producto notable:
2
a) ( 7x + 5yz ) e) (11 + pq) (3 + pq) =
=
3
b) ( 3x + 2y ) ( 3x – 2y ) f) ( 2mn - 4 ) =
=
2
c) ( 3m + 2q + z ) =
2 2 2
d) (a2 - x ) (7a + 2x ) =