ALGEBRA

1. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ALGEBRA
PREUNIVERSITARIA
DESIGUALDADES
Ing. WIDMAR AGUILAR, Msc
mayo 2021

2. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.

3. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
También es útil lo siguiente:

4. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
1) a, b ∈ , :
+ ≥ 2
a, b ∈ → ( − ) ≥ 0 →
2 +
2
−2 ≥ 0
+ ≥ 2
2)
> 0, > 0;
( − ) ≥ 0 →
2 +
2
−2 ≥ 0
+ − 2 ≥ 0 → + + 2 ≥ 4
( + ) ≥ 4 ; > 0
. ( + ) ≥ 4 . →
( ! )( ! )
≥ 4
"
!
# ( + ) ≥ 4
" + # ( + ) ≥ 4
3)
, , $ ∈ !
:
( − ) ≥ 0 → $( − ) ≥ 0 → $ + $ > 2 $ ---(1)
( − $) ≥ 0 → ( − $) ≥ 0 → + $ > 2 $ ---(2)
( − $) ≥ 0 → ( − $) ≥ 0 → + $ > 2 $ --- (3)

5. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
(1) + (2) + (3):
$ + $ + + $ + + $ ≥ 6 $
Sumando 3abc:
( $ + + $) + ( $ + + $ )+( $ + $ +
$) ≥ 9 $
( $ + + $) + ( $ + + $) + $( $ + $ + ) ≥
9 $
( + $ + $) + ( + $ + $) + $( + $ + $) ≥
9 $
(a+b+c)( + $ + $) ≥ 9 $ ; abc >0 →
)
> 0
)
( + + $)( + $ + $) ≥
)
. 9 $
( + + $) (
! )! )
)
) ≥ 9
( + + $) (
)
+ + ) ≥ 9
( + +
)
) ( + + $) ≥ 9
4)
, , $, ∈ !
:
( − ) ≥ 0 → $ ( − ) ≥ 0 → $ + $ > 2 $ ---(1)
( − $) ≥ 0 → ( − $) ≥ 0 → + $ > 2 $ ---(2)
( − $) ≥ 0 → ( − $) ≥ 0 → + $ > 2 $d --- (3)
( − ) ≥ 0 → $( − ) ≥ 0 → $ + $ > 2 $d --- (4)
($ − ) ≥ 0 → ($ − ) ≥ 0 → $ + > 2 $d --- (5)

6. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
( − ) ≥ 0 → $( − ) ≥ 0 → $ + $ > 2 $d --- (6)
(1) + (2) + (3) + (4) + (5) + (6):
$ + $ + + $ + + $ + $ + $ +
$ + + $ + $ ≥ 12 $
Sumando 4abcd:
( $ + $ + $ ) + ( $ + $ + + $ ) +
( $2
+ $2
+ $2
+ $ ) + ( $ + + $ + $ ) ≥
16 $
( $ + + $ + $ ) + ( $ + $ + + $ ) +
$( $ + $ + $ + ) + ( $ + + $ + $)
≥ 16 $
( $ + + $ + $ ) + ( $ + + $ + $ ) +
$( $ + + $ + $ ) + ( $ + + $ + $ )
≥ 16 $
( + + $ + )( $ + + $ + $ )) ≥ 16 $
Multiplicando todo por:
)+
; $ > 0 →
)+
> 0
( + + $ + ) "
)+! +! )! )+
)+
#) ≥ 16 $ .
)+
( + + $ + ) " +
)
+
+
+ # ≥ 16
" + +
)
+
+
# ( + + $ + ) ≥ 16
5)
, ∈ !
: a ≥ → − ≥ 0

7. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
( − ) ≥ 0 → + ≥ 2
+ > 0: ab > 0
+ + ≥ 3
(a-b) ( + + ) ≥ 3 ( − )
,
− ,
≥ 3 − 3
,
+ 3 ≥ ,
+ 3
Además: > 0 → - > 0
-
( ,
+ 3 ) ≥ -
( ,
+ 3 )
+
,
≥
-
- + 3
6)
∈ → > 0 → - > 0
( − 3) ≥ 0
.
− 6 + 9 ≥ 0
.
− 6 + 9 ≥ 0
-
( .
− 6 + 9) ≥ 0
− 6 +
/
- ≥ 0
+
/
- ≥ 6
7)

8. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
, , $ ∈ !
:
( − ) ≥ 0 → + ≥ 2
> 0 → + + 2 ≥ 2 + 2
+ 2 + ≥ 4
( + ) ≥ 4 → + ≥ 2√ -----(a)
( − $) ≥ 0 → + $ ≥ 2 $
$ > 0 → + $ + 2 $ ≥ 2 $ + 2 $
+ 2 $ + $ ≥ 4 $
( + $) ≥ 4 $ → + $ ≥ 2√ $ -----(b)
( − $) ≥ 0 → + $ ≥ 2 $
$ > 0 → + $ + 2 $ ≥ 2 $ + 2 $
+ 2 $ + $ ≥ 4 $
( + $) ≥ 4 $ → + $ ≥ 2√ $ -----(c)
De; (a).(b).(c):
( + )( + $)( + $) ≥ 82( )( $)( $)
( + )( + $)( + $) ≥ 8√ $
( + )( + $)( + $) ≥ 8 $
8)
a ∈ > 0 → ( − 1) ∈
( − 1) ≥ 0 → − 2 + 1 ≥ 0
> 0 → > 0

9. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
. ( − 2 + 1) ≥ 0
− 2 + ≥ 0
+ ≥ 2
9)
, ∈ :
( − ) ≥ 0 -------(a)
+ + ≥ 0 − − − −( )
De; (a)(b):
( − ) ( + + ) ≥ 0
(a-b) (a-b)( + + ) ≥ 0
(a-b) ( ,
− ,) ≥ 0
.
+ .
− ,
− ,
≥ 0
.
+ .
≥ ,
+ ,
,
+ ,
≤ .
+ .
10)
Debe notarse que : − 2 − − − 4
− 2 + 1, 5 6 :

10. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
7
− 1 ∈
− 1 ∈
$ − 1 ∈
→ 7
( − 1) ≥ 0
( − 1) ≥ 0
($ − 1) ≥ 0
( − 1) + ( − 1) + ($ − 1) ≥ 0
− 2 + 1 + − 2 + 1 + $ − 2$ + 1 ≥ 0
+ + $ + 3 ≥ 2 + 2 + 2$
+ + $ + 3 ≥ 2( + + $)
11)
Si 0 < < 1, :
<
> 0 9 < 1
. < 1.
<
12)
, , $, , , : ∈ !
:
Si:
+
<
;
→ < − − − −(1)
+
<
<
)
→ $ < : − − − −(2)
;
<
<
)
→ $ < : − − − −(3)
(1)+ (2) : + $ < + :

11. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
Sumando: ad
+ $ + < + + :
( + + $) < ( + + :)
+
<
+!;!<
! !)
− − − − − (4)
(2)+ (3) : $ + $ < : + :
Sumando: cf
$ + $ + $: < : + : + $:
$( + + :) < : ( + + $)
+!;!<
! !)
<
<
)
− − − − − (5)
Por transitividad: de (4) y (5)
+
<
+!;!<
! !)
<
<
)
13)
, , $ ∈ !
9 ≠ ≠ $:
( − ) > → $( − ) > $ − −(1)
( − $) > $ → ( − $) > $ − − − (2)
($ − ) > $ → ($ − ) > $ − − − (3)
(1)+(2) +(3): $( − ) + ( − $) + ($ − ) > 3 $
Además: sumando ,
+ ,
+ $,
> 0
,
+ ,
+ $,
+ $( − ) + ( − $) + ($ − ) > 3abc
,
+ ,
+ $,
+ $ − 2 $ + $ + − 2 $ + $ +
$ − 2 $ + > 3abc

12. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
,
+ ,
+ $,
+ $ + $ + + $ + $ + > 9abc
( ,
+ + $ ) + ( ,
+ $ + ) + ($,
+ $ + $ )
>
9 $
( + + $) + ( + + $) + $ ( + + $) > 9 $
( + + $)( + + $ ) > 9 $
14)
, , $ ∈ !
; ≠ ≠ $:
7
( − ) > 0
( − $) > 0
( − $) > 0
→ 7
$( − ) > 0
( − $) > 0
( − $) > 0
>
$ + $ > 2 $
+ $ > 2 $
+ $ > 2 $
Sumando las tres expresiones, se tiene:
$ + $ + a + $ + + $ > 6 $
Sumando a toda la expresión: 3 abc
( $ + $) + ( a + $ + $) + ( $ + $ +
$) > 9 $
( $ + $ + ) + ( + $ + $) + $( $ + $ + ) >
9 $
( + + $)( + $ + $) > 9 $
abc >0 →
)
> 0
( + + $) "
! )! )
)
# >
)
. 9 $

13. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
( + + $) "
)
)
+
)
)
+
)
# > 9
( + + $) " + +
)
# > 9
15)
, ∈ ; ≠ 0, ≠ 0
Como la desigualdad desarrollada nos da:
( − 4 + 4 ) , 4 ? :
( − 2 ) ≥ 0 → ( − 2 ).
≥ 0
.
− 8 ,
+ 24 − 32 + 16 .
≥ 0
Como: > 0 → - - > 0
- - ( .
− 8 ,
+ 24 − 32 ,
+ 16 .
) ≥ 0
-
- −
@
+ 24 −
,
+
A -
- ≥ 0
-
- +
A -
- + 24 ≥
@
+
,
16)
, ∈ :
( − ) ≥ 0 → + ≥ 2
+ + + ≥ + 2 +
2 ( + ) ≥ ( + )
2 ≥ ( + )

14. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
( + ) ≤ 2
De: B ≤ → − ≤ B ≤
−√2 ≤ + ≤ √2
17)
, , $ ∈ !
:
( − ) ≥ 0 → + ≥ 2
( − $) ≥ 0 → + $ ≥ 2 $
( − $) ≥ 0 → + $ ≥ 2 $
+ + + $ + + $ ≥ 2( + $ + $)
2( + + $ ) ≥ 2( + $ + $)
( + + $ ) ≥ ( + $ + $)
18)
, , $ ≥ 0:
Del ejercicio anterior:
+ + $ ≥ + $ + $
+ + $ − − $ − $ ≥ 0 -------(1)
De:
,
+ ,
+ $,
= ( + + $)( + + $ − − $ − $) +
3 $

15. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
,
+ ,
+ $,
− 3 $ = ( + + $)( + + $ − −
$ − $)
(1) por (a+b+c) : y a+b+c > 0
(a+b+c) ( + + $ − − $ − $) ≥ 0
,
+ ,
+ $,
− 3 $ ≥ 0
,
+ ,
+ $,
≥ 3 $
3 $ ≤ ,
+ ,
+ $,
19)
D > 0 ; > 0
(2 − 3$) > 0
4 − 12$ + 9$ > 0
4 > 3$(4 − 3$)
$ > 0 →
)
> 0
)
. 4 >
)
. 3$(4 − 3$)
.+-
,)
> (4 − 3$) --------x (1/4)
+-
,)
> −
,)
.
; d> 0 →
+
> 0
+
.
+-
,)
>
+
" −
,)
.
#
+
,)
> 1 −
,)
.+
’

16. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
20)
> 0 , > 0 , ≠
> 0 → √ > 0
> 0 → √ > 0
De: E√ − √ F > 0 → − 2√ + > 0
+ > 2√ →
!
√ √
> 2
√ √
+
√ √
> 2 →
√ √
√ √
+
√ √
√ √
> 2
√
√
+
√
√
> 2
21)
( − ) ≥ 0 → − + >
? G : + > 0
( + )( − + ) ≥ ( + )
( + )( − + ) ≥ +
Recuerde que: ( + ),
= ,
+ 3 + 3 + ,
3( + )( − + ) ≥ 3 + 3
3( ,
+ ,) > 3 + 3
Sumando a toda la expresión: ,
+ ,
,
+ ,
+ 3( ,
+ ,) > ,
+ 3 + 3 + ,

17. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
4( ,
+ ,) ≥ ( + ),
@
. 4( ,
+ ,) ≥
@
( + ),
H! H
≥ (
!
),
22)
De:
( − $) ≥ 0 → + $ ≥ 2 $
( $ − ) ≥ 0 → $ + ≥ 2 $
( $ − $) ≥ 0 → $ + $ ≥ 2 $
Sumando:
+ $ + $ + + $ + $ ≥
2( $ + $ + $ )
2( + $ + $ ) ≥ 2 $( + + $)
+ $ + $ ≥ $( + + $)
23)
, ∈ :
De: a+b = 2
( + ) = 4 → + 2 + = 4
2 = 2 ; = 1
( − ) ≥ 0 → + ≥ 2
+ ≥ 2 − − − − − − − ( )

18. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
(a) al cuadrado: ( + ) ≥ 4
.
+ .
+ 2 ≥ 4
.
+ .
≥ 2
2 ≤ .
+ .
2(1) ≤ .
+ .
.
+ .
≥ 2
24)
, , $ ∈ ; B, 9, I ∈ :
7
( − B) ≥ 0
( − 9) ≥ 0
($ − I) ≥ 0
→ 7
+ B ≥ 2 B
+ 9 ≥ 2 9
$ + I ≥ 2$I
Sumado las desigualdades:
+ B + + 9 + $ + I ≥ 2 x+2by+2cz
( + + $ ) + (B + 9 + I ) ≥ 2( B + 9 + $I)
1 +1 ≥ 2( B + 9 + $I)
2( B + 9 + $I) ≤ 2
B + 9 + $I ≤ 1
25)
Si se observa a la desigualdad, se tiene un factor ,
+ ,
:

19. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
> 0, > 0, > 0 → - - > 0
( − ) ≥ 0 → + ≥ 2
− + ≥ 2 −
− + ≥
Además: a+ b >0
( + ) ( − + ) ≥ (a+b)
,
+ ,
≥ +
- - . ( ,
+ ,) ≥ - -
( + )
- + - ≥ +
26)
, ∈ , <
+ < +
2 a < + → <
!
− − − −(1)
< → + < +
+ < 2
!
< − − − − − −(2)
De (1) y (2) se concluye que:
<
!
<

20. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
27)
, ∈ : > → − > 0
(√ − √ ) ≥ 0 → − 2√ + ≥ 0
+ ≥ 2√
+ > 0 →
!
> 0
!
. (a+ ) ≥ 2√ .
!
1 ≥ 2√ .
!
> 0 → √ > 0
√ ≥ √ . 2√ .
!
√ ≥
!
28)
Se nota que la inecuación da: ( J
− 1)(a-1)
Luego trabajando con:
( − 1) > 0
.
+ ,
+ + + 1 > 0
( − 1) ( .
+ ,
+ + + 1) > 0
( − 1)( − 1)( .
+ ,
+ + + 1) > 0
( − 1)( J
− 1) > 0

21. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
J ( − 1) − ( − 1) > 0
A
− J
> − 1
a > 0 → ,
> 0 → H > 0
H . ( A
− J) > H . ( − 1)
,
− > - − H
,
+ H > + -
29)
, ∈ ; > 0, > 0:
( − ) ≥ 0 → − 2 + ≥ 0
− + ≥ ; + > 0
( + )( − + ) ≥ ( + )
,
+ ,
≥ +
3( ,
+ ,
) ≥ 3 + 3
,
+ ,
+3( ,
+ ,
) ≥ ,
+ 3 + 3 + ,
4( ,
+ ,
) ≥ ( + ),
30)
, $, ∈ :
De desigualdad de Lagrange:
$ + ≤ √ + . √$ +

22. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
La expresión anterior por 2:
2 $ + 2 ≤ 22 + . 2$ +
Sumando
, , $ , 4 $ 45 G ?G ? $ .
+ + $ + + 2 $ + 2 ≤ 2 + + $ +
+ 2√ + . √$ +
+ 2 $ + $ + + 2 + ≤ ( + ) +
2√ + $ . √ + + ($ + )
( + $) + ( + ) ≤ (2( + + √$ + )
2 ( + $) + ( + ) ≤ 2( + + √$ +
31)
, , $, ∈ :
Es sabido que:
( + + $),
= ,
+ ,
+ $,
+ (3 + 3 $ + 3 +
3 $ + 3 $ + 3 $ ) + 6 $ ----------(a)
De:
( − ) ≥ 0 → $( − ) ≥ 0
$ + $ > 2 $ --------(1)
( − $) ≥ 0 → ( − $) ≥ 0
+ $ > 2 $ ---------- (2)

23. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
( − $) ≥ 0 → ( − $) ≥ 0
+ $ > 2 $ − − − − − (3)
Sumando (1) +(2) +(3):
$ + $ + + $ + + $ ≥ 6 $
3$ + 3$ + 3 + 3 $ + 3 + 3 $ ≥ 18 $
De (a):
3$ + 3$ + 3 + 3 $ + 3 + 3 $ =
( + + $),
− 6 $
( + + $),
− ,
− ,
− $,
− 6 $ ≥ 18 $
( + + $),
≥ ( ,
+ ,
+ $,
) + 24 $
Del ejercicio 18, se tiene: 3 $ ≤ ,
+ ,
+ $,
( + + $),
≥ 3abc+24 $
( + + $),
≥ 27 $
32)
De:
( + $ ) + ( − $) = ( + $ )( + )
Como: ( − $) ≥ 0 →
( + $ )( + ) − ( + $ ) ≥ 0
( + $ ) ≥ ( + $ )( + )

24. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
33)
, ∈ :
Tratando de que aparezcan factores a la cuerta, se
tiene:
( − ) ≥ 0 → + ≥ 2
( + ) ≥ 4
.
+ .
+ 2 ≥ 4
.
+ .
≥ 2
Sumando a todo: .
+ .
.
+ .
+ .
+ .
≥ 2 + .
+ .
2( .
+ .
) ≥ ( + )
( .
+ .
) ≥ . ( + ) − − − − − ( )
De:
+ ≥ 2
+ + + ≥ + 2 +
2( + ) ≥ ( + )
4( + ) ≥ ( + ).
( + ) ≥
.
. ( + ).
− − − − − ( )
De (a) y (b):
( .
+ .
) ≥
.
. ( + ).
( .
+ .
) ≥
@
. ( + ).

25. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
34) a,b ∈ !
, 9 + = 4
Demostrar que: ≤ 4
( − ) ≥ 0 → + ≥ 2
De: + = 4
4 ≥ 2
≤ 2 ; . > 0
( ) ≤ 4
≤ 4
35)
7
(B − 9) ≥ 0
9 − I) ≥ 0
(B − I) ≥ 0
→ 7
B + 9 ≥ 2B9
9 + I ≥ 29I
B + I ≥ 2BI
− − − ( )
De ( a ) se obtiene:
B + 9 + 9 + I + B + I ≥ 2B9 + 29I + 2BI
2(B + 9 + I ) ≥ 2(B9 + 9I + BI)
(B + 9 + I ) ≥ (B9 + 9I + BI) − − − −( )
De; B + 9 + I = 6
(B + 9 + I) = 36
B + 9 + I + 2(B9 + 9I + BI) = 36
De (a):
B + 9 + I ≥
,AKL-!M-!N-

26. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
B + 9 + I +
L-!M-!N-
≥ 18
,EL-!M-!N-F
≥ 18
B + 9 + I ≥ 12
36)
De:
( − B) ≥ 0 → + B ≥ 2 B
( − 9) ≥ 0 → + 9 ≥ 2 9
+ B + + 9 ≥ 2( B + 9)
1+1 ≥ 2( B + 9)
2( B + 9) ≤ 2
B + 9 ≤ 1
37)
Del ejercicio 33, se tiene que:
( .
+ .
) ≥
@
. ( + ).
Como : + = 1
( .
+ .
) ≥
@
. (1).
( .
+ .
) ≥
@

27. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
38)
Nuevamente del ejercicio 33:
( .
+ .
) ≥
@
. ( + ).
Como : + = 1
( .
+ .
) ≥
@
. (3).
( .
+ .
) ≥
@
@
39)
, , $, ∈ !
:
(√ − √ ) ≥ 0 → + ≥ 2√
(√$ − √ ) ≥ 0 → $ + ≥ 2√$
+ + $ + ≥ 2√ +2 √$
+ + $ + ≥ 2E√ + √$ F − − − − − ( )
Además:
(2√B − O29) ≥ 0 → √B + 29 ≥ 2O2B9
√ + √$ ≥ 22√ $ -------(b)
De (a) y (b):
+ + $ + ≥ 2. 22√ $

28. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
+ + $ + ≥ 42√ $
! ! )!+
.
≥ √ $
P
40)
, ∈ !
:
( − ) ≥ 0 → + ≥ 2
− + ≥
+ > 0
→ ( + )( − + ) ≥ ( + )
,
+ ,
≥ +
41)
G 4 → BQ
≥ 1 → (BQ
− 1) ≥ 0
B Q
+ 1 ≥ 2BQ
≥
LR
L-R!
LR
L-R!
≤
42)
> 0 9 < ; − < 0
<

29. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
+ < +
(1 + ) < +
<
! S
!S
− − − − − −( )
> 0 ; ∈
<
+ < +
+ < (1 + )
! S
!S
< − − − − − −( )
De (a) y (b):
<
! S
!S
<
43)
, ∈ !
; ≠
( − ) > 0 → + > 2
− + > ; a+b > 0
( + )( − + ) > (a+b)
,
+ ,
> +
> 0 → - - > 0
- - ( ,
+ ,
) > - - ( + )
- + - > +

30. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
44)
Con la finalidad de obtener términos: 2zy, 2xz , ----2zw
(B − 9) ≥ 0 → B + 9 ≥ 2B9
(B − I) ≥ 0 → B + I ≥ 2BI
(B − T) ≥ 0 → B + T ≥ 2BT
(9 − I) ≥ 0 → 9 + I ≥ 29I
(9 − T) ≥ 0 → 9 + T ≥ 29T
(I − T) ≥ 0 → I + T ≥ 2IT
Sumando las desigualdades:
3B + 39 + 3I + 3T ≥ 2(B9 + BI + BT + 9I + 9T + IT)
3(B + 9 + I + T ) ≥ 2(B9 + BI + BT + 9I + 9T + IT)
B + 9 + I + T ≥
,
(B9 + BI + BT + 9I + 9T + IT)
45)
, ∈ !
; ≠
( − ) > 0 → − + >
a +b >0
( + )( − + ) > ( + )
,
+ ,
> ( + )

31. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
( + ) < ,
+ ,
> 0 → > 0
. ( + ) < ( ,
+ ,)
+ <
-
+
-
46)
, , $ ∈ !
; ≠ ≠ $:
Recuerde que:
( + + $) = + + $ + 2 + 2 $ + 2 $
De:
( − ) > 0 → + > 2
( − $) > 0 → + $ > 2 $ --------(a)
( − $) > 0 → + $ > 2 $
Sumando las desigualdades de (a):
2( + + $ ) > 2( + $ + $)
2( + + $ ) > ( + + $) − ( + + $ )
3( + + $ ) > ( + + $)
( + + $) < 3( + + $ )
47)
, ∈ !
, ≠ :
( − ) > 0 → + > 2

32. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
> 0
( + ) > 2
,
+ ,
> 2
SUMANDO: .
+ .
.
+ ,
+ .
+ ,
> .
+ 2 + .
( .
+ ,
) + ( .
+ ,
) > ( + )
,( + ) + ,( + ) > ( + )
( + )( ,
+ ,) > ( + )
48)
B, 9 ∈ , ≠ :
(B − 9) > 0 → B + 9 > 2B9
xy ∈ → B 9 > 0
B 9 (B + 9 ) > 2B,
9,
B.
9 + B 9.
> 2B,
9,
Sumando a todo la desigualdad: BA
+ 9A
BA
+ B.
9 + B 9.
+ 9A
> BA
+ 2B,
9,
+ 9A
(BA
+ B.
9 ) + (B 9.
+ 9A
) > (B,
+ 9,
)
B.(B + 9 ) + 9.(B + 9 ) > (B,
+ 9,
)
(B.
+ 9.)(B + 9 ) > (B,
+ 9,
)
49)

33. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
B, 9, I ∈ !
, ≠ ≠ :
(B − 9) > 0 → I(B − 9) → B I + 9 I > 2B9I − − − (1)
(B − I) > 0 → 9(B − I) → B 9 + 9I > 2B9I − − − (2)
(9 − I) > 0 → B(9 − I) → B9 + BI > 2B9I − − − (3)
(1)+ (2) +(3) :
B I + 9 I + B 9 + 9I + B9 + BI > 6B9I
(B I + BI ) + ( 9 I + 9I ) + (B 9 + B9 ) > 6B9I
BI(B + I) + 9I(9 + I) + B9(B + 9) > 6B9
B9(B + 9) + 9I(9 + I)+ BI(B + I) > 6B9I
50)
( − ) ≥ 0
( + ) ≥ 0
( − ) ( + ) ≥ 0
[( − )( + )] ≥ 0
( − ) ≥ 0
.
+ .
≥ 2
.
+ 2 + .
≥ 2 + 2
( + ) ≥ 4
→ - - > 0
- - ( + ) ≥ - - . 4
( -! -)-
- - ≥ 4
E -! -FE -! -F
- - ≥ 4
( + ).
+
≥ 4
" - + -# ( + ) ≥ 4

34. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
51)
( − ) ≥ 0 → + ≥ 2 − − − −( )
+ ∈ → ( + ) > 0
→ ( + ) ( + ) ≥ 2 ( + ) -----(b)
De (a) : + ≥ 2 → + 2 + ≥ 4
( + ) ≥ 4
ab > 0
2 ( + ) ≥ 8 -----------( c)
De (b) y (c) :
( + ) ( + ) ≥ 8
52)
Del ejercicio anterior 51:
( + ) ( + ) ≥ 8
> 0 → - - > 0
- -. ( + ) ( + ) ≥ - - . 8
- -. ( + ) ( + ) ≥ 8
( + ) . "
-! -
- - # ≥ 8
( + ) " - + -# ≥ 8
- + - ≥
@
( ! )-
52)
W? , ∈ , , ≥ 0
Demostrar que:

35. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
!
! !
≤
!
+
!
De:
≥ 0 → + 1 ≥ 1 → + + 1 ≥ + 1
≥ 0 → + 1 ≥ 1 → + + 1 ≥ + 1
+ + 1 ≥ + 1 →
! !
≤
!
+ + 1 ≥ + 1 →
! !
≤
!
Como a, b ≥ 0:
! !
≤
!
! !
≤
!
Sumando se tiene:
! !
+
! !
≤
!
+
!
!
! !
≤
!
+
!
53) Para todo a,b,c ∈ !
9 ? + + $ = 1
Demostrar que:
(1-a) (1-b)(1-c) ≥ 8 $
De la propiedad:
!
≥ √
? G :
+ ≥ 2√
+ $ ≥ 2 √ $ − − − − − ( )
+ $ ≥ 2√ $
De (a):
( + )( + $)( + $) ≥ 8√ $
( + )( + $)( + $) ≥ 8 $
De: a+b+c =1

36. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
>
+ = 1 − $
+ $ = 1 −
+ $ = 1 −
(1 − $)(1 − )(1 − ) ≥ 8 $
(1 − )(1 − )(1 − $) ≥ 8 $
54)
DE;
( − ) ≥ 0 → + ≥ 2
+ + + ≥ + 2 +
2( + ) ≥ ( + )
á : + 2 + ≥ 4
( + ) ≥ 4 -----------(1)
El desarrollo de: ( + ) + ( + ) = + 2 + - + + 2 +
-
( + ) + ( + ) = + +
-! -
- - + 4
4 G , 5 Y 5 $ (1),
( + ).
≥ 16
2( + )( + ).
≥ 16( + )
( + )( + ) ≥ 8
-! -
- - ≥
@
( ! )-
Como: ( + ) ≥ . ( + )
+ +
-! -
- - ≥ . ( + ) +
@
( ! )-

37. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
+ +
-! -
- - + 4 ≥ . ( + ) +
@
( ! )- + 4
Como a+b=1
+ +
-! -
- - + 4 ≥ . (1) +
@
( )- + 4
+ +
-! -
- - + 4 ≥ + 12
+ +
-! -
- - + 4 ≥
J
+ - + 2 + + - + 2 ≥
J
( +
1
) + ( +
1
) ≥
25
2
55)
, ∈ !
:
( − ) ≥ 0 → + ≥ 2
+ + + ≥ + 2 +
2( + ) ≥ ( + ) --------(a)
á : + 2 + ≥ 4
( + ) ≥ 4 -----------(1)
4 G , 5 Y 5 $ (1),
( + ).
≥ 16
(a)X (1): 2( + )( + ).
≥ 16( + )
( + )( + ) ≥ 8
-! -
- - ≥
@
( ! )-
-
- - +
-
- - ≥
@
( ! )-

38. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
-
- - +
-
- - ≥
@
( ! )-
- + - ≥
@
( ! )-
56)
Si se desarrollara la desigualdad se tiene un factor 2c+d:
< $ 9 $ > 0
2$ + > 0
$ + + > 0
< $ → $ > → ($ − ) > 0
($ − )($ + + ) > 0
($ − )($ + ) + ($ − ) > 0
$ − + $ − > 0
$ + $ > 2
$ + $ + > 3
Como: ($ − ) > 0
($ − )($ + $ + ) > 3 ($ − )
$,
− ,
> 3 ($ − )
)H
,
−
+H
,
> ($ − )
57)
B , B , B,, B. ∈ !
:
(2B − 2B ) ≥ 0 → B + B ≥ 22B B

39. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
(2B, − 2B.) ≥ 0 → B, + B. ≥ 22B,B.
B + B + B, + B. ≥ 2 [ √B B + 2B,B. ---(a)
?éG: a+b ≥ 2 √
√B B + 2B,B. ≥ 2O√B B 2B,B.
√B B + 2B,B. ≥ 2. O2B B B,B.
√B B + 2B,B. ≥ 2 2B B B,B.
P
2(√B B + 2B,B.) ≥ 4. 2B B B,B.
P
-----(b)
De (a) y (b):
B + B + B, + B. ≥ 4. 2B B B,B.
P
2B B B,B.
P
≤
L^!L-! LH!LP
.
58)
B , B , B, ∈ !
:
Del ejercicio 57 se tiene que:
B + B + B, + B. ≥ 4. 2B B B,B.
P
6 G 5?I G ? G :
B + B + B, + B. + − − − + BQ ≥ G. 2B B B,B. … … BQ
R
Como: B . B . B, = 1
B + B + B, ≥ 3. 2B B B,
H
B + B + B, ≥ 3. √1
H

40. ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
B + B + B, ≥ 3