1. Regla de Ruffini
Como a nosotros nos gusta todo fácil y cómodo (por eso es que inventan tantas cosas. Para darnos
comodidad), la regla de Ruffini se usa en la división de un polinomio entre un binomio de la forma
con
(esto es que es un número cualquiera que pertenece a los números reales).
Y es que es mejor hacer una división de este tipo, por un método rápido y sencillo (que algunos
textos llaman división sintética) a hacerla por un método bien largo y aburridor.
Por ejemplo, si tenemos la división:
, efectuarla por la forma larga
es muy tedioso y entre más grande sea el polinomio (el polinomio es el que está a la izquierda del
signo
más tedioso se vuelve. Veamos, pues, en qué consiste la regla de Ruffini.
La anterior es la forma larga de hacer la división, donde el polinomio que está en el óvalo es el
cociente y el número que está en el cuadrito es el residuo (que también es un polinomio, pero de
grado cero).
Regla del residuo:
Cuando tenemos un polinomio
y lo dividimos por un monomio de la forma
podemos conocer el residuo de esa división sin efectuar la división.
Miremos que teníamos el polinomio
(que es el
, nosotros
y que lo dividimos por
del que habla la teoría). Obtuvimos un cociente
que está dentro del óvalo) y obtuvimos el residuo
=
(el
(el que está en el cuadrito). O sea que
y si cambiamos esos polinomios por
los nombres que le dimos (porque si dos cosas son iguales se pude reemplazar una por la otra
. Si en esta igualdad le damos
donde quiera que estén), obtenemos:
a la
como
Amv
el valor , es decir hacemos
, queda que
, la igualdad queda
.
y

2. Quiere decir que si en un polinomio
cambiamos la
por
obtenemos el valor del residuo que obtendría al dividir
el ejemplo:
y efectuamos las operaciones,
por
. Hagamos el ensayo en
. Como dividimos por
y la teoría habla de
,
entonces para estar acordes con ella escribimos (
). Así las cosas,
, que fue lo que nos dio al efectuar la división
por la forma larga.
La regla del residuo nos sirve porque muchas veces necesitamos efectuar una división
exacta (en la cual el residuo es igual a cero), y es muy frustrante hacer la división, tal vez
bien larga, y encontrarnos con que nos queda un residuo, es mejor estar seguros que no
queda residuo y luego hacer la división. Esa división exacta la necesitamos, por ejemplo,
cuando vamos a factorizar un polinomio.
División sintética (o regla de Ruffini):
Efectuaremos por este método, la misma división que efectuamos por el método largo. Los pasos
son los siguientes:
, teniendo en cuenta que se coloca
1. Colocamos en orden los coeficientes del polinomio
primero el de la mayor potencia de y luego los otros en orden decreciente. Cuando falte
una de las potencias, se coloca cero como coeficiente.
Observe que
es el coeficiente de
, como no tengo
coloco cero, -9 es el coeficiente de
,1 es el coeficiente de y 5 es el término independiente.
2. En vez de colocar el divisor completo
Recordemos que para nuestro caso
Amv
, colocamos únicamente .

3. 3. Bajamos el primer coeficiente de la izquierda, lo multiplicamos por (que en nuestro caso
es
) y el resultado de esa multiplicación lo colocamos debajo del segundo coeficiente
para luego sumar (el segundo coeficiente con el resultado de la multiplicación) y esa
respuesta la bajamos.
0
0
-3
1
2
4. El último número de la fila que está en el óvalo es el residuo (que efectivamente nos dio ) y
los otros son los coeficientes del polinomio cociente, que nosotros habíamos llamado
. El primer número de la izquierda va a ser el coeficiente de la con mayor exponente
en el cociente (la
de mayor exponente va a ser menor en una unidad que la
exponente en
). Miremos que:
Es el coeficiente de
(el exponente de
de mayor
es una unidad menor que el exponente de
),
, seguiría pero como su coeficiente es cero quiere decir que no está en
este cociente, el término independiente (el que no lleva ) es 1.
es el coeficiente de
El cociente es, pues:
Amv
y el residuo es 2