.

1. 1
1
NÚMERO REAL
Introducción
A lo largo de nuestra vida nos hemos ido encontrando con algunas estructuras
numéricas. Seguramente el lector conoce desde hace mucho tiempo a los naturales a los enteros y a
los racionales; así como también las diferencias entre ellas y las necesidades no cubiertas por una
estructura que hacen necesario la creación de la siguiente.
¿Cuáles son las insuficiencias de los racionales que hacen necesario presentar una nueva estructura
algebraica? Intentemos plantear una de ellas.
Consideramos un cuadrado de lado 1 (una unidad cualquiera) y pretendemos
“medir” una de sus diagonales tomando al lado como unidad. Si existiese tal
medida en Q ( a la cual llamaremos L) por Pitágoras cumpliría:
2 2 2 2
1 1 2L L   
p
qSí L L   con p y q enteros primos entre si. ( en otras palabras si L es un
racional se puede escribir como una fracción irreducible)
 
2
2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 es par es par 2 ; 4
como 2 sustituyendo nos queda : 2 4 2 es par es par
p p
q q
L p q p p p t t p t
p q q t q t q q
           
     

Por lo tanto si existiese un racional p
qL  que midiera exactamente la diagonal de un cuadrado de
lado 1 tendríamos que: p es par, q es par, p y q enteros primos entre si.
Lo cual es contradictorio.
En consecuencia no existe ningún racional que elevado al cuadrado sea 2 y por lo tanto los
racionales no nos permiten medir la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado uno. Es
inecesario resaltar la importancia que tiene disponer de una estructura con la cual poder medir
cualquier longitud u otra magnitud escalar.
Hemos presentado una de las incapacidades de los racionales; no la única. Elegimos esta por ser la
de mayores consecuencias desde el punto de vista histórico.
Construimos un cuadrado de lado 1
sobre el segmento cuyos vértices son
el origen y el punto de abscisa 1.
Trazamos la diagonal y la trasladamos
al eje. ¿Qué abscisa le asignamos a P?
1
0 1 P

2. 2
2
“Los Pitagóricos enamorados de los números enteros creyeron que todas las cosas podían
derivarse de ellos, empezando por todos los demas números. Se produjo una crisis en esta doctrina
cuando descubrieron que la raíz cuadrada de 2 (La razón entre la diagonal y el lado de un
cuadrado) era irracional, es decir que 2 no puede expresarse de modo preciso como la razón de
dos enteros determinados por grandes que fueran estos números.
Este descubrimiento se llevo a cabo utilizando irónicamente como herramienta el teorema de
Pitágoras. Irracional significaba en principio que un número no podía expresarse como una razón
(cociente) Pero para los Pitagóricos llegó a suponer algo amerazador, un indicio de que su
concepción del mundo podía carecer de sentido, lo cual es la otra acepción que tiene hoy la
palabra irracional” (COSMOS de Carl Sagan)
Para cubrir esta como otras carencias de los racionales presentemos a los números reales. Para ello
existen fundamentalmente dos caminos: El constructivo; crear a los naturales, a partir de ellos a los
enteros, luego a los racionales y a partir de estos últimos generar a los números reales. El otro
camino consiste en crear directamente a los reales siendo los naturales, los enteros y los racionales
subestructuras de los reales.
Esta última opción es la que trabajaremos en primer lugar. Posteriormente trataremos, o al menos
bosquejaremos el camino constructivo.
Cualquiera de los dos caminos implican la utilización del método axiomático. No desarrollaremos
aquí las características de este método por exceder la longitud de este trabajo. Corriendo el riesgo
de caer en una simplificación excesiva diremos que: El método axiomático consiste en la
aceptación de algunas proposiciones como válidas (que llamaremos axiomas), sin necesidad de
demostración, y la deducción del resto de las proposiciones de la teoría a partir de estos.
La característica imprescindible que debe cumplir un sistema axiomático es la consistencia; la no
contradicción de las proposiciones tomadas como axiomas.(téngase en cuenta que en toda
demostración por absurdo se esta utilizando la consistencia del sistema). Otras propiedades como la
independencia o la categoricidad no tienen porqué ser cumplidas por todos los sistemas
axiomáticos.
Le sugerimos amplíe esta información por los medios que considere pertinentes.

3. 3
3
Axioma 1 (Axioma de cuerpo )
En un conjunto que llamaremos de los números reales (al que
anotamos  ) en el cual están definidas dos operaciones que denominamos adición y
multiplicación ( las cuales las anotamos con + y ·· respectivamente que cumplen:
1S ) Asociativa ( ) ( ) , ,a b c a b c a b c      
)S2 Conmutativa ,a b b a a b    
)S3 Neutro 0 ; 0 0a a a a        
)S4 Opuesto ( ) ; ( ) ( ) 0a op a a op a op a a        
)P1 Asociativa .( . ) ( . ). , ,a bc ab c a b c  
)P2 Conmutativa . .ab b a ,a b 
)P3 Neutro 1 1 0 ; .1 1.a a a a       
)P4 Inverso 0 ( ) ; . ( ) ( ). 1a a inv a a inv a inv a a       
SP) Distributiva .( ) . . , ,a b c ab a c a b c    
( ). . , ,b c a b a ca a b c    
Nota 1
En el axioma recién enunciado aparece el término “operación”. ¿Qué entendemos por tal
término? Antes de ir a una definición concreta de “operación” analicemos un caso más que
familiar; la suma en los naturales. En el cual aparecen expresiones como:
2 + 4 = 6
3 + 5 = 8
a b c 
Cuando anotamos por ejemplo 2 + 4 = 6 aparecen en juego tres números naturales cumpliendo
distintos roles (2 y 4 como sumandos y el 6 como resultado). Podemos pensar a la suma de
naturales como una “correspondencia” que al par (2,4) le hace corresponder el 6, al par (3,5) el 8 ....
al par de naturales  ,a b el natural c.
Y no cualquier tipo de correspondencia ya que a cada par ordenado de naturales la suma le hace
corresponder un y solo un natural (el resultado de sumar ambas componentes del par). En definitiva;
podemos considerar a la suma de naturales como un función de   en  .
Obsérvese que una interpretación idéntica puede hacerse con el producto de naturales; que el
producto de enteros puede considerarse como una función que a pares ordenados de enteros hace
corresponder un entero ( o sea una función de     ) ; la suma de vectores como una función
que a pares ordenados de vectores hace corresponder un vector;.....
Concretamente: Siendo A un conjunto no vacío llamamos operación en A (o ley de composición
interna ) a una función de A A A 
Con esta definición podemos determinar una operación en cualquier conjunto no vacío por modesto
que este sea. Definamos una operación (llamémosla *) en el conjunto  ,A a b

4. 4
4
 ( , ),( , ),( , ),( , )A A a a a b b a b b 
Solemos anotar a a a  a b b b a b y b b b      o también presentar una tabla de
doble entrada en lugar de un diagrama de “flechas”.
* a b
a a b
b b b
Ejercicio Definir una operación en  , ,B m n p
Nota Tengamos presente entonces que una operación o una ley de composición interna en un
conjunto no vacío A no es otra cosa que una función de A A A  y por lo tanto si tenemos una
correspondencia entre pares de elementos de un conjunto A y elementos del propio A para poder
afirmar que dicha correspondencia es una operación debe cumplirse:
1) La imagen de cada par (el “resultado de la operación”) debe pertenecer al conjunto A. 2) Y debe
ser única.
Así con esta definición de operación la resta en  no es una operación pues falla la primera
condición. Y tampoco es una operación el producto de un vector por un escalar pues no estamos
operando elementos del mismo conjunto.
Cabe señalar que no es la única definición de operación que puede tomarse. Sino que es la más
restrictiva pues nos obliga a “operar” con elementos del mismo conjunto ( lo cual deja afuera el
producto de un escalar por un vector) y también nos obliga a que el resultado sea del mismo
conjunto del cual son los “operandos” (con lo cual el producto interno de vectores no sería una
operación) Otras definiciones mas amplias permiten “operar” elementos de distinto conjunto y
también que el resultado no pertenezca al mismo conjunto que los elementos operados. Lo que se
exige en casi todas las definiciones de operación que se puede encontrar en diferente bibliografía es
la unicidad del resultado. Nosotros adoptamos esta definición pues ha sido la elegida durante
muchísimo tiempo en los cursos de primer año.
(a,a)
(a,b)
(b,a)
(b,b)
a
b
A A A
*

5. 5
5
Nota Si leemos con atención el axioma 1 percibimos que entre las muchas cosas que este nos dice
esta que el conjunto de los números reales es un conjunto no vacío que tiene al menos dos
elementos: el 0 y el 1 neutros de la suma y el producto.
Nada en este axioma implica que  tenga mas que estos dos elementos; pues si tomamos
 0,1 y la suma y el producto definidos por
+ 0 1 · 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
El lector podrá comprobar que este modelo verifica el axioma 1 Lo cual no solamente sirve como
argumento para lo dicho sino que también para corroborar la consistencia del mismo.
Nota Como recién dijimos el axioma de cuerpo no lleva a que  tenga infinitos elementos como
todos esperamos. Esto será necesariamente cierto recién cuando entre en juego el segundo axioma.
El lector atento también habrá notado que se indica explícitamente en el primer axioma que 0 1 .
Esto se debe a que si tal proposición no es necesariamente cierta tomando  0 y 0+0 = 0 ,
0.0 = 0 tal modelo verifica toda la axiomática que veremos sobre número real; creando un modelo
trivial que no es el que andamos buscando generar.
Veamos ahora algunas proposiciones que se desprenden de manera mas o menos inmediata del
axioma de cuerpo.
Teorema Unicidad de los neutros
1) 0 es el único neutro de la suma. 2) 1 es el único neutro del producto
Dem2)
Supongamos que 1' ; .1' 1'.a a a a      
Entonces
3
1.1' 1 por la suposició
1 1'
1.1' 1' por P
n 
 
 
Y por lo tanto 1 es el único neutro del producto de reales.
Obsérvese que en la última implicación se utilizó que el producto es una operación en  y por lo
tanto el resultado de un mismo producto es único.

6. 6
6
Teorema Cancelativas
1) a b a c b c    
2) . .
0
a b a c
b c
a
 
 
 
Dem 1)
   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b a c op a a b op a a c op a a b op a a c               
0 0b c b c     
Ejercicio 1) Justifique el lector los pasos dados en la demostración anterior 2) Demuestre
justificando detalladamente el punto 2) 3) ¿Por qué en la segunda proposición se exige que el
factor cancelado sea distinto de cero?
Teorema Absorción
.0 0a a  
Dem: 0 .1 (1 0) .1 .0 .0 0 .0 0 .0a a a a a a a a a a a a              
Justifique el lector todos y cada uno de los pasos dados .
Teorema Ausencia de divisores de 0 (Hankeliana)
0
. 0
0
a
a b
b


  
 
Dem: Si a = 0 la proposición es verdadera
Si 0a  cancelativa
por hipótesis . 0
. .0 como además 0 0
por el teorema anterior .0 0
a b
a b a a b
a
 
    
 
Teorema Existencia y unicidad de la diferencia
H) ,a b T)
1) ;
2) es único
c a c b
c
   



Dem: 1)    ( ) ( ) ( ) ( )a c b a op b c b op b a op b c b op b            
( ) 0 ( )a op b c c a op b      

7. 7
7
Para terminar la demostración de la existencia basta tomar ( )c a op b  y realizar c b
aplicando las propiedades ya vistas el lector seguramente llegará a que c b a 
Dem 2) Supongamos que ' ; 'c a c b    Como por lo demostrado en 1) ;c a c b   
entonces canc 'c b c b c c    
Definición
Consideramos ,a b . Llamamos diferencia a b al real c tal que b c a 
La relación de     en la que a cada par de reales  ,x y le corresponde la diferencia x y ,
teniendo en cuenta el teorema inmediato anterior, es una función. Y por lo tanto queda definida una
nueva operación en  a la cual denominaremos sustracción.
Nota
1) En el teorema inmediato anterior no solamente se demostró que existe c tal que b c a 
sino que también se calculó cuanto vale; llegando a que ( )c a op b 
Por lo tanto: ( )a b a op b  
2) Teniendo en cuenta el resultado anterior
0 0 ( ) ( ) ( ) 0x op x op x op x x x        
Lo cual justifica la notación habitual de opuesto ( )op x x 
Teorema Existencia y unicidad del cociente.
H)
,
0
a b
b




T)
1) ; .
2) es único
c a c b
c
  



Demostración a cargo del lector.
Definición
Consideramos , ; 0a b b  . Llamamos cociente
a
b
al real c tal que .b c a
La relación de * *
    en la que a cada par de reales  ,x y le corresponde el cociente
x
y
,
teniendo en cuenta el teorema inmediato anterior, es una función. Y por lo tanto queda definida una
nueva operación en *
 a la cual denominaremos división.
(anotamos *
 al conjunto  0 )

8. 8
8
Nota
1) Cuando demostró el teorema inmediato anterior seguramente llegó a que . ( )c ainv b ;
entonces:
. ( )
a
a inv b
b

2) Por lo tanto
1 1
1. ( ) ( ) ( )inv x inv x inv x
x x
   
Ejercicios
I) Demostrar las siguientes proposiciones en ( , ,·) donde a,b,c,d son números reales.
i)  ( )op op a a ii)  ( )inv inv a a iii) 0a b a b   
iv) 1 ( 0 0)
a
a b a b
b
     v) (0) 0op  vi) (1) 1inv 
vii) 0 0a a    viii) ( )a b a b    ix) ( )a b a b    
x) ( 1).a a   xi) ( . ) ( ). .( )ab a b a b     xii) ( ).( ) .a b ab  
xiii) .( )a b c ab ac   xiv) ( . ) ( ). ( )inv ab inv a inv b xv)
1
a
a
xvi)
a a a
b b b

  

xvii) ( 0 0)
a b
inv a b
b a
 
   
 
xviii)
.
( 0 0)b
c
a a c
b c
b
  
xix) ( 0 0)
a c ad cb
b d
b d bd

    xx) . ( 0 0)
a c ac
b d
b d bd
  
Notas 1) En la propuesta anterior utilizamos indistintamente ( ) oop a a e ( )inv a ó 1
a según
consideramos conveniente. A partir de este momento utilizaremos exclusivamente la notación
habitual (-a y 1
a ).
2) Una vez culminado este ejercicio habrá demostrado muchas de las propiedades usuales del
álgebra elemental de manera relativamente sencilla y transparente utilizando exclusivamente el
axioma de cuerpo y sus primeras consecuencias.

9. 9
9
II) Hallar, justificando el procedimiento, el conjunto de los números reales x que cumplen:
i) 1 1x   ii) 0 x x  iii) x x x  iv) .0 0x  v) .0 1x  vi)  1 0x x  
¿Qué otro título pondría ud. al ejercicio anterior? ¿Cómo denominaría al conjunto hallado? ¿Y a
cada uno de sus elementos?
III) Resolver y discutir según a y b en ( , ,·) la ecuación 0ax b 
ORDEN
A continuación intentaremos introducir en ( , ,·) una relación de orden estricto total (<) y una
relación de orden amplio total   compatible con la suma y el producto. En pocas palabras
intentaremos ordenar al cuerpo de los reales con las características previstas. Lo cual haremos por
intermedio del siguiente axioma.
Axioma 2 Axioma de orden
Existe un subconjunto de los reales a los cuales denominamos reales
positivos (anot. 
 ) que cumple:
1) Todo real x cumple una y solo una de las siguientes proposiciones: i) x 

ii) 0x 
iii) x 
 
2) Si
.
x y
x y
x y

 

  

    
 

 

Nota Cuando en el punto 1) decimos que todo real cumple una y solo una de las siguientes
proposiciones estamos diciendo que todo real necesariamente entra en uno de esos tres “casilleros”
y en solamente uno. En otras palabras queremos expresar que todo real es o positivo o cero o que su
opuesto es positivo; que no hay reales que no entren en una de esas tres categorías. Y además en
una sola de ellas; dicho de otra forma que un mismo real no puede ser simultáneamente positivo y
cero o positivo y su opuesto también o cero y su opuesto positivo.
En el segundo punto estamos diciendo que la suma y el producto de dos reales positivos da como
resultado un real también positivo. Tengamos en cuenta que para nosotros por ahora ser positivo es
pertenecer a ese subconjunto de los reales del cual afirmamos su existencia en el axioma 2 y que
denominamos reales positivos.
Lo que primeramente demostraremos es que el mencionado subconjunto no es vacío.

10. 10
10
Teorema
1 

Dem
Probémoslo por absurdo. Suponemos 1 
 ya que por intermedio del Ax 1 sabemos que
1 0 aplicando la primera proposición del axioma 2 tenemos que:
2 2)1 ( 1).( 1)Ax
 
      
Como demostramos anteriormente   a b ab   ( 1).( 1) 1.1 1 1 
       pero
habíamos supuesto que 1 
 lo cual es contradictorio.
Definición
Consideramos ,a b decimos que:
1) a b b a 
   
2) a b b a  
3)
a b
a b
a b


  
 
4) a b b a  
Observación Notemos que definimos menor a través de los reales positivos cuya existencia está
asegurada por el axioma de orden. Como ocurre habitualmente al definir la relación menor (mayor)
queda definida su relación inversa mayor (menor).
Probemos ahora para nuestra tranquilidad que ser positivo es ser mayor que 0.
Teorema
0x x 
  
Dem
0 0 0x x x x 
        
Definición
Llamamos conjunto de los reales negativos (anotamos 
 ) al conjunto formado por los
opuestos de los reales positivos. Sintéticamente:
 /x x 
     
Con esta definición podemos enunciar de manera mas familiar la primera proposición del axioma de
orden diciendo que: todo real cumple una y una sola de las siguientes proposiciones i) es positivo
ii) es cero ó iii) es negativo.

11. 11
11
Teorema
0x x 
  
Demostración a cargo del lector.
Probemos que las relaciones que acabamos de definir “merecen” el nombre que les dimos.
Teorema < es una relación de orden estricto total en  . O sea cumple:
1) a a a    (Inídentica)
2) a b b a   (Asimétrica)
3)
a b
a c
b c
 
 
 
(Transitiva)
4) Todo par de reales a y b verifica una y solo uno de las siguientes proposiciones:
i) a b ii) a b iii) b a (Tricotomía)
Dem 3)
2 ( ) ( )Ax
a b b a
b a c b
b c c b



    
    
    



como ( ) ( )b a c b c a     entonces c a a c
   
Las demás demostraciones quedan a cargo del lector.
Teorema Monotonías de la suma y el producto (compatibilidad con las operaciones)
1) a b a c b c     (Monotonía de la suma)
2)
a b
a c b d
c d
 
   
 
(Monotonía generalizada de la suma)
3) . .
a b
a c b c
c 
 
 
 
(Monotonía del producto)
4) . .
a b
a c b c
c 
 
 
 

12. 12
12
Dem 3) Debemos probar que: ac bc bc ac 
   
Ax2
Por hipótesis
( ).
a b b a
b a c
c



    
  
 



Como ( ).b a c bc ac   Entonces . . . .bc a c a c bc
   
Proposiciones (Regla de los signos del producto)
1) .a b ab  
     
2) .a b ab  
     
3) .a b ab  
     
Dem 2)
Ax2 .( )
como
b b
a b
a
 


    
  
 
 


Por lo visto en uno de los ejercicios anteriores ( )a b ab  
En consecuencia . .ab ab 
    
( Tengamos presente la definición adoptada de reales negativos )
Teorema Densidad
Dados dos números reales cualesquiera a y b siendo a b se cumple que: /c a c b   
Dem
monot.de (+)
monot.de (+)
monot.del produc.
2 2
2
a b a a a b
a a a b b b a a b b
a b a b b b
a b
a b
     
          
     

  
Efectivamente  2
a b
c c 
   tal que a c b 
Nota En la demostración anterior se utilizó que 2a a a  ¿Qué nos justifica tal afirmación?
1. 1. (1 1). 2.a a a a a a      Por otra parte vimos que 1 1 0 1 1 0 1 1
       

13. 13
13
Entonces 1+1 > 1 > 0 En consecuencia 1+1 es un real distinto del 0 y del 1, por lo tanto tenemos
derecho a “bautizarlo” con un nombre diferente; lo denominamos 2.
Un razonamiento similar nos lleva a 0 , 1 , 2 , 2+1 (que denominamos 3) , 3+1 (4) , 4+1 (5),...
son números reales necesariamente diferentes. Entonces la aceptación del axioma 1 y del axioma 2
nos lleva a que  tiene infinitos elementos; lo cual, como vimos, no es así solamente con el primer
axioma.
Ejercicios
I) Demostrar que en el cuerpo ordenado de los números reales se cumple:
i)
a
a b
b



 
  
 



ii) 1
aa  
    iii) 1
aa  
   
iv) Si 0 0x x 
      v) a a a   (Idéntica)
vi)
a b
a b
b a
 
 
 
(antisimétrica) vii)
a b
a c
b c
 
 
 
(Transitiva)
viii) ,a b  a b b a   (Dicotomía) ix) a b a c b c    
x)
a b
a c b d
c d
 
   
 
xi)
a b
ac bc
c 
 
 
 
xii)
a b
ac bc
c 
 
 
 
xiii)
0
0
a b
ac bd
c d
  
 
  
xiv)
a b
a c
b c
 
 
 
( Las proposiciones v) vi) y vii) nos permiten afirmar que  es una relación de
orden amplio; el cumplimiento además de la proposición viii) nos asegura que
es una relación de orden amplio total.)
II) i) Demostrar 2
0x x   (Entendemos por 2
x al producto .x x )
ii) “ 2 2
0 0a b a b    
iii) Si  , 0a b 
  demostrar que 2 2
a b a b  
iv) Sin la exigencia de que a y b no sean negativos ¿La proposición anterior es válida?
III) i) Probar que 2 2
4 ,x y xy x y   
ii) Sabiendo que , ,a b c 
 y además 1a b c   ; probar:
1) 2
(1 ) 4a bc  2) (1 ).(1 ),(1 ) 8a b c abc   

14. 14
14
Signo de una función de primer grado
Queremos hallar el conjunto de los x tales que:
1) i) 3 2 0x   ii) 3 2 0x   iii)3 2 0x  
2) i) 3 1 0x   ii) 3 1 0x   iv) 3 1 0x  
i)    1 1
.( ) (·) 3 33 2 0 (3 2) ( 2) 0 ( 2) 3 2 .3 .( 2)monot monotx x x x              
2
3x   Por lo tanto  2
3/iS x x   
ii) 2
33 2 0x x     Entonces  2
3iiS  
iii)    1 1 2
3 3 33 2 0 (3 2) ( 2) 0 ( 2) 3 2 .3 .( 2)x x x x x                 
En consecuencia  2
3/iiiS x x   
Si denominamos : ; ( ) 3 2f f x x    , hallamos los conjuntos de los reales cuya imagen es
negativa, cero o positiva.
Resultados que podemos esquematizar: (3 2)Sig x 
Le encargamos al lector la segunda parte.
Signo de : ; ( ) ( 0)f f x ax b a    
Entendemos por estudiar el signo de f en a encontrar el conjunto de los x reales cuyas imágenes
son positivas, el conjunto de los reales cuya imagen es 0 y el conjunto de los reales cuya imagen es
negativa.
monot.(+)0 ( ) ( ) 0 ( )ax b ax b b b ax b           
Como seguramente el lector prevé debemos ahora utilizar la monotonía del producto; para lo cual
nos es necesario discutir si el factor por el cual pretendemos multiplicar la desigualdad  1
a es
positivo o negativo.
Si a > 0    1 1
. . ( ) b
a a aax b ax b x       
Si a < 0    1 1
.( ) b
a a aax b ax b x       
3
2
+
0
_

15. 15
15
0 b
aax b x     (Justificación ya vista)
0 ( ) ( ) 0 ( )ax b ax b b b ax b           
Si a > 0    1 1
. .( ) b
a a aax b ax b x       
Si a < 0    1 1
. .( ) b
a a aax b ax b x       
En resumen: Si a > 0 0 b
aax b x     Si a < 0 0 b
aax b x    
0 b
aax b x     0 b
aax b x    
0 b
aax b x     0 b
aax b x    
Resultados que esquematizamos:
Pasemos ahora a estudiar el signo de la función de segundo grado. Antes algunas proposiciones
previas.
Lema
Siendo a llamamos 2
.a a a Se cumple que: 1) 2 2
( ).( )a b a b a b   
2) 2 2
a b
a b
a b


  
  
Demostración a cargo del lector.
   2
Resolución en , ,·, de 0 0ax bx c a     
2 2 2 2 2 2 2 2
(*)0 4 4 4 4 4 4ax bx c ax bx c a x abx ac a x abx b b ac               
Llamando 2
al número real 4b ac  como además 2 2 2 2
4 4 (2 )a x abx b ax b    tenemos que:
2 2
0 (2 )ax bx c ax b      
Si  > 0  
2
22 2
2
2
(2 ) (3 )
2
b
a
b
a
ax b x
ax b ax b
ax b x
  
  
     
        
     
b
a
0
sig a- sig a
Sig  ax b

16. 16
16
Por lo tanto en este caso
2 2
4 4
,
2 2
b b ac b b ac
S
a a
       
  
  
Si  = 0 2
(2 ` ) 0 2 0
2
b
ax b ax b x
a
       
Entonces si 0
2
b
S
a
 
    
 
Si  < 0 Como 2 2
(2 ) 0 / (2 )x ax b x ax b S             
Nota (*) Multiplicamos ambos miembros por 4a (tengamos presente que 0a  ) con el objetivo
de completar el cuadrado de un binomio. También fue el motivo por el cual sumamos 2
b en el paso
siguiente.
Nota Somos conscientes que hemos utilizado raíz cuadrada sin haberla definido y menos
demostrado que todo positivo tiene una raíz cuadrada. El desarrollo teórico hecho hasta el momento
no nos lo permite (Precisamos para ello eltercer axioma). A pesar de lo dicho utilizamos Δ para
no postergar el estudio del trinomio de segundo grado, lo cual consideramos conveniente desde el
punto de vista didáctico. Preferimos aquí hacer una disgreción desde el punto de vista formal con el
fin de un mejor desarrollo del curso práctico.
Ejercicio Consideramos 2
: ; ( ) ( , , , 0)f f x ax bx c a b c a        vimos que sí
2
4 0b ac    la función f tiene dos raíces reales distintas; a saber
y
2 2
b b
a a
 
     
 
Probar que:
1) .
b c
a a
       2) ( ) .( ).( )f x a x x x     
Signo del trinomio de segundo grado
Consideramos 2
: ; ( ) con , , 0.f f x ax bx c a b c a       
Si 0  Vimos que f acepta dos raíces reales que llamamos y ( )    Además
( ) .( ).( )f x a x x x     

17. 17
17
1 1 1 1/ 0 y 0x x x x           
Entonces si 0a  1 1 1( ) .( ).( ) 0f x a x x      (producto de un positivo por dos negativos)
Si 0a  1 1 1( ) .( ).( ) 0f x a x x      (producto de tres negativos)
Análogamente se prueba que: 2 2/x x     si 20 ( ) 0a f x  
si 20 ( ) 0a f x  
Y que: 3 3/x x     3si 0 ( ) 0a f x  
3si 0 ( ) 0a f x  
2
2 2 2 2 2 2 2 2
(2 )
( ) 4 ( ) 4 4 4 4 4 4 4 ( ) (2 )
ax b
f x ax bx c af x a x abx ac a x abx b b ac af x ax b

                
Si 0  2
4 ( ) (2 ) 4 ( ) 0af x ax b af x x     
Es más  2 24 ( ) 0 ; y 0b b
a aaf x x x f 
    
Por lo tanto: Si 20 4 0 ( ) 0 ; b
aa a f x x x 
       
Si 20 4 0 ( ) 0 ; b
aa a f x x x 
       
Si 0  2 2
0 como ademá (2 ) 0 4 ( ) (2 ) 0s ax b x af x ax b x             
Por lo tanto: si 0 ( ) 0a f x x    
si 0 ( ) 0a f x x    
VALOR ABSOLUTO
Definición
Consideramos un número real a .
Denominamos valor absoluto de a (Anotamos a )
si 0a a a  y si 0a a a  
Ejemplos: 00,3)3(3,44 
Teorema
1) 0x x  
2) 0 0x x  

18. 18
18
3)
22 2
x x x x   
4)
x y
x y
x y


  
  
5) . . ,x y x y x y  
6) , 0
xx
x y y
y y
   
7) x x x x    
8) Siendo r 
 se cumple que: i) x r r x r    
ii)
x r
x r
x r


  
  
(Las proposiciones anteriores son también válidas si intercambiamos  por < y  por > )
9) ,x y x y x y     (Desigualdad triangular)
10) ,x y x y x y    
Dem 7) Si x  0 x x  Por otra parte 0 0x x   
como 0x x x   
Entonces x x x x x x      
Si x < 0 x x x x x x        
Por otra parte como 0x x   y en este caso x < 0 x x 
Entonces también en este caso x x x  
Por lo tanto x x x   x 
Dem 9) Por 7) x x x  
y y y   Sumando nos queda:
  8)ix y x y x y x y x y x y x y x y                

19. 19
19
NÚMERO NATURAL
La idea en “crudo” de la generación de los números naturales ya fue presentada; recordémosla:
Como 0111011101  Por lo tanto el número real 1+1 es necesariamente
distinto del 0 y del 1; mereciendo entonces un “nombre” diferente. Al real 11 lo denominamos 2.
Al ser 01212111212  Entonces el real 2+1 es un número distinto del 0 del
1 y del 2.Lo denominamos 3. Un razonamiento idéntico nos lleva a que 3+1 es un real distinto
(mayor) que el 0, que el 1, que el 2 y que el 3. Denominamos 4 a 3+1. Y así sucesivamente.
Formalicemos esta idea.
Definición
Consideramos: A   Decimos que A es un conjunto inductivo si y solo si se
cumple:
1) 0 A
2) Si 1x A x A   
Ejemplos  es inductivo.

 no lo es pues falla la primera condición. Sí es inductivo  0

El conjunto  1B 
   no es inductivo pues: 1 pero 1 1 0B B      fallando
entonces la segunda condición.
Nota Anotamos  a la familia de todos los conjuntos inductivos. Así , 
  
Observación
0 0 1 1 1 1 2 2 1 3A A A A A A A A                    
Entonces 0,1,2,3,.....  AA Los números reales que identificamos como naturales
pertenecen a todos los conjuntos inductivos.
Definición
Llamamos conjunto de los números naturales (anotamos  ) a la intersección de
todos los conjuntos inductivos. Sintéticamente:
A
A

 
Observaciones:
1) A A   Ya que la intersección de varios conjuntos está incluido en
cada uno de ellos
2) Como 0,1,2,3,... y 0,1,2,3,....A A A A        
(Los números que desde siempre reconocimos como naturales; con la definición
que acabamos de adoptar; son efectiva y tranquilizadoramente números naturales)

20. 20
20
3)   pues yA A     Un razonamiento similar nos lleva a:
4)  0
   En otras palabras 0n n  
Teorema

Demostración a cargo del lector.
Teorema de inducción completa
1)
H) 2) 0
3) Si 1
H
H
x H x H



    

T) H  
Dem
De 2) y 3) H H    como H H   
Observación Al cumplirse que: A A     y además  y  ser conjuntos inductivos
podemos afirmar que  es el “mínimo” y  es el “máximo” de los conjuntos inductivos. (Para
hablar de máximo y mínimo necesitamos previamente una relación de orden que en este caso es la
inclusión amplia de conjuntos)
Nota Según la teoría que venimos desarrollando los naturales son también números reales. Y por lo
tanto se pueden operar como tales.
¿Las operaciones que manejamos en  (suma, producto, resta y división) siguen siendo operaciones
en  ? Y en caso afirmativo que propiedades cumplen. ¿Las mismas que en  ?
Antes de contestar estas preguntas analicemos la situación desde un punto de vista mas general.
Consideramos:( , )A  una estructura algebraica; o sea un conjunto no vacío (A) con una operación
definida en el (*) y ;B A B  
Para que  sea una operación en B debe cumplirse que la restricción de  sobre B B siga siendo
una función. En otras palabras:
 es una operación en B   es una función de
1)
2) es único
x y B
B B B
x y
 
   

Como B es un subconjunto de A y la condición 2) se cumple para todos los elementos de A tenemos
entonces que:  es una operación en B ,x y B x y B     ya que la condición 1) se verifica
automáticamente.
Si  es una operación en B decimos que ( , )B  es una subestructura de ( , )A  .

21. 21
21
Analicemos ahora siendo ( , )B  una subestructura de ( , )A  .la “transmisión” de propiedades de la
estructura madre a la subestructura.
Si ( ; )A  es conmutativa ,x y y x x y A     
Como , , , ( , )x y B x y A x y y x x y B B            es conmutativa.
Tenemos entonces que si una estructura es conmutativa todas sus subestructuras también.
Análogamente se prueba:
Si ( , )A  es asociativa ( , )B  es asociativa
Si ( , )A  tiene neutro n entonces: ( , )B  tiene neutro n B 
Si ( , )A  tiene la propiedad de inverso entonces:
( , )B  cumple inverso 1
x B x B
   
Consideraciones similares pueden realizarse sobre estructuras mas complejas (que tengan por
ejemplo mas de una operación)
Teorema
,a b a b    
Dem Consideramos  ;H x N a x    1) H   por definición de H
2) 0 H ya que 0a a   por hipótesis
3) Si 1x H x H   
Pues si x H a x    
1a x    ya que  es inductivo
1x H  
De 1) 2) y 3) aplicando el teorema de inducción completa tenemos que: H  
Por hipótesis b b H    a b 
Nota Aplicando el teorema y la nota inmediata anterior podemos afirmar que + es una operación en
 que cumple asociativa, conmutativa, neutro (téngase en cuenta que 0 )
También podemos afirmar que no cumple opuesto ya que: si
, 0 0n n n n        
Un razonamiento similar al realizado recién nos lleva a que la diferencia no es una operación en  .
Sin embargo la condición para que la resta de dos naturales sea un natural es muy sencilla y todos
la conocemos (minuendo mayor o igual que el sustraendo). Verifiquemos una vez más que la teoría
que venimos desarrollando coincide con lo que ya conocemos.

22. 22
22
Lema
1
0
a
a
a
 
  
 


Dem Consideramos  ; 0 1H x x x      
1) H   por definición de H
2) 0 H “ “ “ “
3) Si 1x H x H   
Ya que
0 1 1 1 1 0 1
si
1 1 1 1 1 1
x x x x H
x H
x N x x x H
           

  
            


De 1) 2) y 3) aplicando el teorema de inducción completa tenemos que H  . En consecuencia
todos los naturales son elementos de H; y por lo tanto todo natural x es 0 ó 1x   Por lo tanto si
y 0 1a a a     
Teorema
,a b
a b
a b
 
  
 


Dem Sea  ;H x x a a x      
1) H   por definición de H
2) 0 H ya que 0a a  
3) Si 1x H x H   
1 1
pues :si
0 1 1
0 1 ( 1) 1Lema
x a x a x H
x H
a x a x x a x H
a x N ó
a x a x a x N x H



       

  
           
    
             
Estamos pues en condiciones de aplicar el teorema de inducción completa sobre el conjunto H
llegando a que H  . Por lo tanto como b b H   al cumplir además que
b a a b    

23. 23
23
Nota
Antes de encarar las dos operaciones restantes por necesidades técnicas debemos analizar el
orden en  . Un razonamiento similar al realizado en la nota anterior nos lleva a que “<” y ""
cumplen en  todas las propiedades vistas en  a excepción de densidad. Probemos entonces que
 es discreto.
Teorema
/ 0 1n n    
Dem Consideramos  / 0 1H x x x    
1) H   Por definición de H
2) 0 H “ “ “ “·
3)
0 1 1 1 1
Si 1 pues : si
1 1 1 1
x x x H
x H x H x H
x x x H
       

      
       
Aplicando entonces el teorema de inducción completa tenemos que H  y por lo tanto todo
natural esta en H. O sea todo natural o vale 0 o es mayor o igual que 1. En consecuencia no existen
naturales entre 0 y 1.
Teorema
H) T) ; 1a n a n a      
Dem Por absurdo. Suponemos que / 1 0 1n a n a n a        
Como n a n a    Habiendo encontrado entonces un natural entre 0 y 1; lo cual
contradice el teorema anterior.
Teorema
, Si 1a b N a b a b    
Demostración a cargo del lector.
Ejercicio Probar que el producto es una operación en N que cumple: asociativa, conmutativa,
neutro, es distributiva respecto a la suma y no cumple la propiedad de inverso. Demostrar además
que la división no es una operación en  .
Continuemos con el estudio del orden en los naturales. Antes algunas definiciones de carácter
general que nos son necesarias.

24. 24
24
Definición
Consideramos ;A A   decimos que:
1) A está acotado superiormente ;k k a a A     
k se denomina cota superior de A
2) A está acotado inferiormente ;h h a a A     
h se dice cota inferior de A
3) A está acotado  A está acotado superior e inferiormente.
Ejemplos Investiguemos si los siguientes conjuntos están o no acotados superior y/ó inferiormente y
en caso afirmativo determinemos sus cotas.
1)  / 1 7B x x     -1 es cota inferior de B pues 1 x x B    también lo es –2 por
el mismo motivo; es más ; 1h h    h es cota inferior de B
; 7 esk k k   cota superior de B.
Por lo tanto el conjunto B está acotado tanto superior como inferiormente. En pocas palabras B está
acotado
2) 


 está acotado inferiormente por el cero y por todos los reales negativos

 no está acotado superiormente.
¿El motivo por el cual 
 no está acotado superiormente es que es un conjunto infinito (que tiene
infinitos elementos)?
Definición
Consideramos: , yA M m     Decimos que:
1) M es máximo de A
M a a A
M A
  
 

2) m es mínimo de A
m a a A
m A
  
 

-1 7
cotas inferiores
B
cotas superiores

25. 25
25
Ejercicio
1) Demostrar que el máximo (mínimo) de un conjunto si existe es único.
Si M es máximo de A anotamos M = máxA y si m es mínimo lo hacemos: m = mínA.
2) Probar: i) –1 es el mínimo de B ii) B no tiene máximo (sug. hacer una dem por
absurdo) iii) 
 no tiene ni máximo ni mínimo.
Observación
Los ejercicios anteriores nos llevan a que un conjunto esté acotado superior
(inferiormente) no es condición suficiente para que exista máximo (mínimo).
Teorema Principio de buena ordenación
Todo conjunto de naturales no vacío tiene mínimo.
/ mín
K
m N m A
K
 
   
  

Dem
Si 0K Como y 0 0K n N n k k K       
Además teniendo en cuenta que en este caso 0 0 mínK K  
Si 0K Consideramos  /H x x k k K    
La idea consiste en probar que H tiene un “último” elemento 0x y su siguiente 0 1x  es el
mínimo de K.
Es inmediato que 0 H
Suponiendo que 1x H x H    El teorema de inducción completa nos llevaría a H  
Ahora por def de lo cual contradice la hipótesis
Por hipótesis
K H K
H K H K
K K K
    

     
    

 
  
H
...10
  
K

26. 26
26
En consecuencia la proposición 1x H x H    es falsa 0 0; 1x H x H    
Probemos ahora que 0 1 mínx K 
Como 0 0 0 1x H x k k K x k k K         
Por otra parte: 0 01 1x H x k k K       tomando en cuenta la proposición subrayada
anteriormente tenemos que: 0 0 0 0; 1 1k K x k x K      
De ambas proposiciones subrayadas concluimos que 0 1x  es el mínimo de K.
Teorema
Todo conjunto de naturales no vacío y acotado superiormente tiene máximo.
Demostración a cargo del lector. Le sugerimos tomar el conjunto de las cotas superiores naturales;
demostrar que este conjunto tiene mínimo y que este mínimo es el máximo que buscamos.
METODO DE INDUCCIÓN COMPLETA
Entendemos por inducción al proceso que nos conduce de una proposición particular a una general.
Proceso inverso de la deducción que nos lleva de lo general a lo particular. Veamos algunos
ejemplos:
Ejemplo 1
Observemos que:
2
2
2
2
1 3 4 2
1 3 5 9 3
1 3 5 7 16 4
1 3 5 7 9 25 5
  
   
    
     
Parece que:
2
1 3 5 7 ......... (2 1)n n n        
Hemos hecho una inducción. De algunos casos particulares (cuatro) hemos llegado a
una proposición gral.
Ejemplo 2
Consideramos 2
: ; ( ) 41f f x x x    
Observemos que (0) 41, (1) 43, (2) 47 , (3) 53f f f f    ,
y 41, 43, 47 y 53 son primos.
Parece que ( )f n es primo n 

27. 27
27
Calculemos ahora 2
(41) (41) 41 41 1763f     Pero 1763 no es primo ya que es divisible entre
41 y entre 43.Por lo tanto la conclusión a la cual llegamos en el ejemplo 2 es falsa.
Queda claro entonces que el que una proposición sea válida para algunos casos particulares; ello no
implica necesariamente que lo sea en general; pero tampoco necesariamente falsa. Veremos mas
adelante que la conclusión del ejemplo 1 es válida.
Es innecesario resaltar la importancia que tendría el disponer de un procedimiento de inducción que
nos lleve a conclusiones siempre verdaderas.
Ejemplo 3
Disponemos de 10.000 fichas de dominó con las cuales formar una fila. ¿Cómo debemos
proceder para tener la certeza de que se caerán todas.
Observemos que saber que se cayeron las primeras cuatro fichas no implica que necesariamente se
cayeron todas. Es razonable afirmar que si:
1) Se cae la ficha 1
2) Las fichas están dispuestas de tal manera que si se
cae una cualquiera h necesariamente se cae la
siguiente  1h 
Entonces se caerán todas las fichas.
Téngase en cuenta que si falla cualquiera de las dos condiciones no necesariamente se caerán todas
las fichas.
Por otra parte observemos que si sustituimos la condición 1) por 1’) Se cae la ficha 5 llegaríamos a
la conclusión de que se caen todas a partir de la 5º.
En este último ejemplo entró en juego una condición (la 2)) que no lo había hecho en los ejemplos
anteriores. Intentaremos a continuación formalizar esta idea.
Teorema Principio de Inducción Completa.
una proposición referida a los naturales
H) 1) ( ) (La prop. P es verdadera para un natural en particular )
2) ( ) ( 1) ;
P
P k V k
Si P h V P h V h h k



      
T) ( ) ;P n V n N n k  
1 2 3 4 ............................................h h+1.......................................

28. 28
28
Dem Consideramos  / ( )H x P x k V  
1) 0 pues (0 ) ( )H P k P k V  
2) Si 1x H x H   
Ya que si )2)( ) ( 1) 1Hx H P x k V P x k V x H        
De 1) y 2) aplicando el teorema de I.C. tenemos H  
Ahora ; ( ) ( ) ;n n k n k n k H P n k k P n V n n k                
Ejemplo
Demostrar que: 2
1 3 5 ..... 2 1 ; 1n n n n        
1) La proposición es verdadera para n = 1 Efectivamente pues: 2
1 1
El primer miembro al ser una suma y coincidir el primer y el último termino asumimos que tiene un
solo sumando; el 1.
2) H) La proposición es verdadera para n = h 2
1 3 5 ....... 2 1h h     
T) La proposición es verdadera para 1n h  2
1 3 5 ........ 2 1 2 1 ( 1)h h h        
2
2 2
1 3 5 ..... 2 1 2 1 2 1 ( 1)
h
h h h h h

           
De 1) y 2) por el principio de inducción completa tenemos que la proposición es verdadera para
todo natural mayor o igual que 1.
En otras palabras: 2
1 3 5 ..... 2 1 ; 1n n n n        
NÚMERO ENTERO
Definición
Denominamos conjunto de los números enteros (anotamos  ) al conjunto formado por
los naturales y sus opuestos.
 /x x x        
Observación    
Teorema
1)
,
2) .
a b
a b
a b
 
  





29. 29
29
Dem:
Si a b   
. .
a b a b
a b a b
    
 
  
 
 
Si a b    Si comob b b      
Llamemos n b b n     con n.
Entonces a b a n  
Cuando a n a b a n a b         
Cuando ( )a n n a a b a n n a            
Por otra parte: . .( ) .ab a n a n    como . . .a n ab a n     
Si a b    Análogo.
Si a b    Denominamos ym a n b    En este caso ,m n
( ) como
. . .
a b m n m n m n a b
a b m n N a b
           
   
 

Nota El teorema anterior junto con alguna de las observaciones realizadas en número natural nos
permiten afirmar:
1) La suma es una operación en  que cumple:
i) Asociativa
ii) Conmutativa
iii) Neutro (0 0 )   
iv) Opuesto
Si
a a
a
a a
     
 
   
      
 

 
En consecuencia la diferencia también es una operación en  .
2) El producto es una operación en  que verifica:
i) Asociativa
ii) Conmutativa
iii) Distributiva respecto a “+”
iv) Neutro.  1 1   
No cumple la propiedad de inverso. Si 1
/ 2 0 1aa a      1
a  pues entre
0 y 1 no hay naturales ni opuestos de naturales. Un razonamiento similar nos lleva a que la
división no es una operación en Z.

30. 30
30
3) El orden en  verifica todas las propiedades vistas en  a excepción de la densidad.
NÚMERO RACIONAL
Definición
Llamamos conjunto de los números racionales (anotamos  )
 ; con , 0p
qx x p q q      
En otras palabras llamamos racionales al conjunto de las fracciones; entendiendo por fracción el
resultado obtenido de realizar el cociente entre dos enteros.
Observación      
Teorema
1)
,
2) .
a b
a b
a b
 
  




Dem

   


*
*
' ' '
' '
*
' *
'
' . '
' . '
;
; ' '
. . .
p p pq qp
q q qq
p
q
p
q
p p p p
q q q q
a b a b
a Q a p y q
b Q b p y q
a b a b






      
      
 
      
    








 
 

Ejercicio
El teorema recién demostrado nos permite afirmar que “+” y “.” son operaciones en  .
Analizar las propiedades que estas cumplen; así como también el comportamiento de “<”
y "" . En otras palabras: analizar ),.,,Q( 

31. 31
31
COMPLETITUD
Ejercicio Completar la siguiente tabla indicando si las propiedades mencionadas se
cumplen o nó en cada una de las estructuras mencionadas.
Propiedades  , ,·,   , ,·,   , ,·,   , ,·, 
Suma ///////////////////// ///////////////////// /////////////////////// ///////////////////////
Conmutativa
Asociativa
Neutro
Opuesto
Producto ///////////////////// //////////////////// ///////////////////// ///////////////////////
Conmutativa
Asociativa
Neutro
Inverso
Distributiva resp. a “+”
< y  //////////////////// //////////////////// ////////////////////// ///////////////////////
Monotonía de la “+”
Monotonía del “·”
Densidad
En el ejercicio inmediato anterior seguramente el lector no encontró diferencias en cuanto a los
aspectos ya estudiados entre ( , ,·, ) y ( , ,·, ).     Sin embargo, al comenzar el tema,
planteamos un problema no resoluble en los racionales medir la diagonal de un cuadrado de lado 1)
como motivo para introducir a los números reales. Lo cual nos conduce a la conclusión de que la
teoría está sin terminar. En otras palabras; exclusivamente de los dos primeros axiomas no se
desprende ninguna diferencia entre. ( , ,·, ) y ( , ,·, ).     Nos falta un tercer axioma que
marcará la diferencia entre ambas estructuras. Antes de llegar a él necesitamos algunas definiciones.
Definición
Consideramos , ,A L    . Diremos que:
1) L es extremo superior de A  mín /L k k a a A     
2)  es extremo inferior de A  máx /h h a a A      
Dicho de otra forma el extremo superior es la menor de las cotas superiores, así como el extremo
inferior es la mayor de las cotas inferiores.

32. 32
32
Por ser el extremo superior (inf) el mínimo (máx) de un conjunto este es único y en consecuencia
estamos autorizados a hablar de “la” menor (mayor) de las cotas superiores (inf). Anotamos:
L ext A y ext A
Ejercicios
I) Analizar si los siguientes conjuntos están o no acotados, si tienen máximo, mínimo,
extremo superior e inferior. En caso afirmativo, indicar cuáles son.
   
   
        
1 2 3 1 4 2
* *1 1
5 6
( 1) * *
7 8 9
/ 3 8 / 3
/ 2 , / 3 ,
/ , 7, 1,6 / 1 ( 1) ,
n
n n
n
n
A x x A x x A A A A
A x x n A x x n
A x x n A A x x n n
          
         
             
   
   
   
II) Sabiendo que 3A extA   Indicar si las siguientes proposiciones son
verdaderas, falsas o los datos son insuficientes para contestar. Justifique sus respuestas.
1) Todo número mayor que 3 es cota superior de A.
2) 2,98 A
3) 0 0/ 2,98x A x  
4) Todo elemento de A es menor o igual a 3.
5) 3 A
6) A 
 
7) Si max max 3A A  
III) Analizar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
1) Todo conjunto de reales no vació y acotado superiormente tiene máximo.
2) Todo conjunto de naturales no vació y acotado superiormente tiene máximo.
3) Todo conjunto de naturales no vació tiene extremo inferior.
4) Si maxM A necesariamente M extA .
5) Si M extA necesariamente maxM A .
V) Sabiendo que , , cota superior de y cota inferior deA A L A A    . Probar:
1) 0 00 /L extA x A x L        
2) 1 10 /ext A x A x         
Enunciaremos ahora el tercer y último axioma; el cual marcará la diferencia entre
   , ,·, y , ,·,     que como vimos hasta el momento son estructuras aparentemente

33. 33
33
idénticas. Este axioma nos permitirá entre muchas otras cosas resolver el problema de la “medida”
de la diagonal de un cuadrado de lado 1.
Axioma 3 (Axioma de completitud)
Todo conjunto de reales no vacío y acotado superiormente tiene extremo superior.
acotado superiormente
A
A extA
A
 

   



Nota :
Volvamos ahora a intentar encontrar un número cuyo cuadrado sea 2.
Para ello consideramos  2
/ 2A x x
   probaremos:
I) ext A al cual llamaremos L
II) 2
2L 
I) Para este objetivo parcial utilizaremos el axioma de completitud, por lo cual debemos
comprobar que:
i) A   lo cual es cierto por la propia definición del conjunto A
ii) 2
1
pues 1
1 2
A A A

 
      
 

iii) A acotado superiormente.
2 2 2
2 4 4 0x A x x x        
( 2)( 2) 0
2 0
como 2
2 2 es cota superior de
x x
x
x A x x
x x A A
 
    
   
      
    
 
De i) ii) iii) por el axioma de completitud podemos afirmar que extA al que llamamos L.
II) Intentaremos aquí una demostración por absurdo; suponemos que: 2
2L  .
Tenemos pues dos posibles situaciones:
2
Caso 1 2L  Buscamos un número mayor que L  L  que pertenezca al conjunto A
para así producir la contradicción.
Ahora  
2 2 2
2 2 2L A L L L           

34. 34
34
Recordemos que nuestra intención es encontrar un 0  tal que L A  o lo que es equivalente:
hallar un 0  tal que  
2 2 2
2 2L L L       . Con la intención de "despejar"  nos conviene
que no aparezca un término de segundo grado en  .
Ahora si nos limitamos a elegir 0 1  tenemos que
 2 2 2 2 2
2 2 2 1L L L L L L               
Y  
2
2 2
2 1 2 (Justifique que 2 1 0)
2 1
L
L L L
L
 

      

Como supusimos que
2
2 2
2 0
2 1
L
L
L

  

Por densidad de los reales podemos afirmar que
2
0 0
2
/ 0 min ,1
2 1
L
L
 
 
     
 

     
2
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2
2 2 2 1 2 1 2
2 1
L
L L L L L L L L L
L
     

               

0
0
Absurdo
pero
L A
L L extA


   

   
Así que 2
2L 
2
Caso 2 2L  En este caso para generar la contradicción buscamos un número menor
que L  L  que sea cota superior de A .
Teniendo en cuenta que todo real positivo cuyo cuadrado sea mayor que 2 es cota superior de .
buscamos  
2
0 / 2L   
2 2 2 2 2 2
Si 2 como 2 ( )( ) 0k x x A x k x k x k x k x k x A


 
                
 
 

Ahora  
2 2 2
2 2 2L L L       
Nuevamente con la intención de "despejar"  es conveniente que no aparezcan términos de
segundo grado en  .
Como
2
2 2 2 2 2
2 2 y 2 2
2
L
L L L L L L
L
    

       
Ya que en este caso supusimos que
2 2
2
1 1
2 2
2 0 / 0
2 2
L L
L
L L
 
 
       

35. 35
35
Entonces  
2 2 2
1 1 1 1 12 2 2L L L L L L             es cota superior de A.
Pero 1L L extA   lo cual es contradictorio.
Por lo tanto 2
2L  ya que antes probamos que 2
2L  podemos afirmar que 2
2L  .
Considerando que 2
/ 2r r L      
Hemos probado la existencia de un real no racional. A los reales no racionales los
denominaremos irracionales.
Nota 1 Considerando  2
/ 2A x x
    de manera similar a lo realizado con A es posible
demostrar: i) A   ii) A   iii) A acotado superiormente.
Pero extA en  pues si existiese, su cuadrado sería 2 y como vimos anteriormente no existe
ningún racional cuyo cuadrado sea 2.
Tenemos pues un conjunto de racionales no vacío y acotado superiormente que no tiene extremo
superior ( en  ). Podemos afirmar entonces que la diferencia entre las estructuras de los reales
y de los racionales es que la primera es un cuerpo ordenado y completo, y la segunda es también
un cuerpo ordenado pero no completo .
   ¿ , ,·, es completo? ¿Y , ,·, ?    
Nota 2 Es posible demostrar que el sistema axiomático presentado es consistente y categórico; en
otras palabras existe efectivamente un modelo que cumple con los 3 axiomas presentados, lo cual
asegura la consistencia, y cualquier cuerpo ordenado y completo es el de los números reales (salvo
isomorfismos).
Lo primero lo discutiremos posteriormente, la categoricidad creemos escapa en este momento a
nuestras posibilidades.
Veamos ahora algunas otras consecuencias de la completitud de los números reales.
Teorema Todo conjunto de reales no vacío y acotado inferiormente tiene extremo inferior.
acotado inferiormente
A
A extA
A
 

   



Dem.
Consideramos  C x / x a ;a A     . Intentaremos demostrar:

36. 36
36
I) extC al que llamaremos .
II) ext A 
I) Para este primer objetivo utilizaremos el axioma de completitud; para lo cual necesitamos probar:
i) C   Lo cual es cierto por la propia definición de C
ii) 0 0por hipotesisC A a A a C C            
iii) C acotado superiormente
A está acotado inferiormente por hip.  k ; k a a A     
k a a C       k es cota superior de C.
De i) ii) iii) por el axioma de completitud se desprende que ext C al cual denominamos 
II) Queremos probar ahora que -  es el extremo inferior de A; o sea que
 =  cota inferior demáx h / h A    para lo cual hay que
demostrar:
1)  cota inferior de A. 2) h h   cota inferior de A.
1) extC   es cota superior de C a a C a a A          
Entonces  es cota inferior de A.
2) Intentaremos aquí una demostración por absurdo. Suponemos que h cota inferior de A
tal que h 
Si h es cota inferior de A h a a A h a a C h            es cota superior
de C. Pero si h h      . Tendríamos una cota superior de C  h menor que el ext C ,
lo cual es absurdo.
De 1) y 2) tenemos que ext A 
Teorema
El conjunto de los números naturales no está acotado superiormente.
Dem: (por abs) Suponemos que  está acotado superiormente como además sabemos que
y ext         
Ahora 1 que es menor que  no es cota superior de  0 0 1n / n     
0 1n    Pero 0 1n   y ext  lo cual es absurdo.

37. 37
37
Observación: Como consecuencia de este resultado  no está acotado ni superior ni inferiormente.
Teniendo en cuenta que  resulta que  tampoco está acotado superior ni inferiormente.
Teorema (de Arquimedes)
H) a,b 
 T) 0 0n / n a b  
Dem Como  no está acotado superiormente
0 0 0 0
b
n / n n / n a b
a
       
b
a
Discutiremos a continuación la "distribución" de naturales, enteros, racionales e irracionales dentro
de los reales. Lo primero que demostraremos es que todo real se encuentra comprendido entre dos
enteros consecutivos. Más concretamente:
Teorema y es único 1a z / z a z       
Dem. Si 0a  Consideramos  H x / x a   Teniendo en cuenta que
 0 y que está acotado superiormente enH , H H H    
(por cualquier natural mayor que a) buena ordenación mediante podemos
afirmar que máx H al que llamaremos n.
Si máx
1 1
n H n a
n H
n H n a
  
  
    
Por lo tanto si 0a n / n a n     Siendo entonces n el entero
buscado.
Si 0a  y además a el entero buscado es el propio a. En caso de que a
podemos afirmar que a . Además 0a  y por lo demostrado
anteriormente 1n / n a n      como a  
1 1n / n a n n a n            
Por lo tanto en este caso también  1 1z z n / z a z       
La demostración de la unicidad la dejamos a cargo del lector.
Definición
Sea x; llamamos parte entera de x (anotamos  x ) al entero z
tal que 1z x z  

38. 38
38
Ej     22,12,3
2
7






El teorema demostrado anteriormente me asegura que todo real tiene parte entera.
Teorema Densidad de en 
H) a,b ; a b  T) r / a r b   
Dem 1 1a b b a n N / n(b a ) n N / nb na
             
Llamando  z na tenemos que 1z na z   De donde resaltamos 1na z 
Por otra parte 1 1z na z na z z z na           
1 1
1
como 1
z na
nb na z na
nb na
    
     
  
1nb z 
De ambas desigualdades subrayadas tenemos
1
1
z
na z nb a b
n

     
Por lo tanto
1z
r / a r b
n

    
Ejercicios 1-Probar:
1)
2)
3) Si además 0
x y
x
x y
y
x
x x.y
y

   
  
    
   
      

 

 
 
   
2- En el ejercicio anterior nos piden demostrar que el resultado de operar un racional y un
irracional es irracional. ¿Qué ocurre si operamos dos irracionales?
Teorema Densidad de   en 
H) a,b a b  T) c / a c b     
Dem 2 2 2 2 2a b a b r / a r b a r b               
Como r es racional y 2 es irracional 2c r       tal que: a c b 

39. 39
39
Observación: Utilizando reiteradamente la densidad de  en  y de   en  podemos
afirmar que en un intervalo cualesquiera de reales hay infinitos racionales e irracionales. Lo cual
implica que entre dos racionales hay infinitos irracionales y entre dos irracionales hay infinitos
racionales.
En otro capítulo veremos otras consecuencias de la completitud de los reales vinculadas a las
funciones exponenciales y sus inversas las logarítmicas.
Bibliografía consultada para la elaboración de este material:
Cálculus volumen 1 - Tom M. Apostol - Reverte.
Número Real, Rodolfo Louro – C.E.I.
Álgebra I - Armando Rojo - El Ateneo.
Notas de Álgebra I - Daniel Siberio - C.E.I.PA.
I.P.A. - Abril del 2010 - Responsable: Daniel Siberio.