Matemticas

1. Ejercicios de Suma de Polinomios Resueltos y para Resolver
La suma de polinomios es la operación matemática más fácil que podemos realizar con polinomios. Para
resolver sumas de polinomios, simplemente tenemos que combinar los términos semejantes.
A continuación, veremos un resumen de sumas de polinomios junto con el proceso usado para resolver este tipo
de problemas. Además, exploraremos varios ejercicios de sumas de polinomios resueltos para dominar
completamente este tema.
Resumen de suma de polinomios
La suma de polinomios puede ser realizada simplemente al combinar términos semejantes y considerando el
orden de las operaciones. Lo único que debemos tomar en cuenta es de distinguir los signos “más”
y “menos” en cada polinomio.
Podemos seguir los siguientes pasos para sumar a los polinomios:
Paso 1: Remover todos los paréntesis. Es recomendable escribir el problema verticalmente, ya que esto
hace que sea más fácil visualizar los siguientes pasos. Al sumar, tenemos que distribuir el signo positivo, el
cual no cambia ninguno de los signos.
Paso 2: Combinar términos semejantes. Esto resulta más fácil si tenemos escrito en forma vertical.
Recuerda que, para combinar términos semejantes, las variables y las potencias de cada término deben ser
las mismas.

2. Ejercicios de suma de polinomios resueltos
Los siguientes ejercicios pueden ser usados para dominar el tema de suma de polinomios. Cada ejercicio
tiene una solución detallada que indica el proceso y el razonamiento usados.
EJERCICIO 1
Realiza la suma (3x+4y)+(2x−2y).
Solución
Empezamos eliminando los paréntesis. Esto resulta fácil cuando sumamos polinomios, ya que no
tenemos que cambiar los signos.
Luego, agruparemos términos semejantes de acuerdo con sus variables y finalmente, simplificamos:
(3x+4y)+(2x−2y)
=3x+4y+2x−2y
=3x+2y+4x−2y
=5x+2y
Los dos términos que obtuvimos no son términos semejantes, ya que tienen variables diferentes,
por lo tanto, no podemos combinarlos.

3. Ejercicios de Resta de Polinomios Resueltos y para Resolver
La resta de polinomios es una de las operaciones matemáticas más fáciles que podemos realizar con polinomios.
Para realizar una resta de polinomios, tenemos que identificar los términos semejantes y restar los coeficientes
de los términos semejantes.
A continuación, veremos un resumen de la resta de polinomios y el proceso usado. Además, veremos varios
ejercicios de resta de polinomios resueltos para dominar completamente este tema.
Seguimos los siguientes pasos para restar polinomios:
Paso 1: Eliminar todos los paréntesis. Para facilitar la visualización, es recomendable escribir el problema y
cada proceso de forma vertical. Cuando eliminamos los paréntesis, tenemos que distribuir el signo negativo,
lo cual hará que cada uno de los términos cambie de signo.
Paso 2: Combinar términos semejantes. Si es que escribimos los pasos de forma vertical, la combinación de
términos semejantes resulta más fácil. Recuerda que, los términos semejantes son términos que tienen las
mismas variables con los mismos exponentes.
EJERCICIO 1
Realiza la sustracción de polinomios: (6x+8y)−(3x−2y).
Luego, tenemos que agrupar términos semejantes:
(6x+8y)−(3x−2y)
=6x+8y−3x+2y
=6x−3x+8y+2y
=3x+10y

4. Resta de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x
B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3
9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8
5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10
______________________________

7. TEMA: FACTORIZACIÓN

8.  Factor Común: Características y cuándo aplicarlo
- Se aplica en binomios, trinomios y polinomios de cuatro términos o más. No aplica
para monomios.
- Es el primer caso que se debe inspeccionar cuando se trata de factorizar un
polinomio.
- El factor común es aquello que se encuentra multiplicando en cada uno de los
términos.
- Puede ser un número, una letra, varias letras, un signo negativo, una expresión
algebraica (encerrada en paréntesis) o combinaciones de todo lo anterior.
Cómo realizar la factorización
- De los coeficientes de los términos, se extrae el MCD (Máximo Común Divisor) de
ellos.
- De las letras o expresiones en paréntesis repetidas, se extrae la de menor
exponente.
- Se escribe el factor común, seguido de un paréntesis donde se anota el polinomio
que queda después de que el factor común ha abandonado cada término.

9. Caso 1. Factor común Monomio

10. Caso 1. Factor Común Polinomio

11. Caso 2. Factor Común por agrupación de términos. -
Se aplica en polinomios que tienen 4, 6, 8 o más términos (siempre que el número sea
par) y donde ya se ha verificado que no hay factor común (caso 1)

12. Cómo realizar la factorización:-
Se forman grupos de igual número de términos, buscando que exista alguna familiaridad entre los
términos agrupados (es decir, que tengan rasgos comunes).
- La agrupación se hace colocando paréntesis.
- ¡CUIDADO! Deben cambiarse los signos de los términos encerrados en el paréntesis si éste queda
precedido por signo negativo.
- Se extrae factor común de cada grupo formado (es decir, aplicamos el caso 1 en cada expresión
encerrada en paréntesis).
- Por último, se extrae factor común de toda la expresión (es decir, nuevamente se aplica el caso 1;
en esta ocasión, el factor común es una expresión encerrada en paréntesis).

13. Ejercicio:
Factorizar: px + mx +py +my
Nótese que no existe factor común en este polinomio de cuatro términos. Entonces, formamos grupos de dos
términos: (px + mx) + (py +my)
Extraemos factor común de cada grupo formado: x(p + m) + y(p + m)
Por último, extraemos factor común de toda la expresión: (p + m) + (x + y)
Factorizar: 2ac - 5bd – 2a + 2ad + 5b – 5bc
Nótese que no existe factor común en este polinomio de seis términos. Antes de formar los grupos, es
conveniente reubicar los términos (observe que hay tres que tienen coeficiente 2 y otros tres que tienen
coeficiente 5…¡Eso es un rasgo común!): = 2ac– 2a + 2ad - 5bd + 5b – 5bc
Agrupamos: Los tres primeros términos y los tres últimos: (2ac– 2a + 2ad) - ( 5bc - 5b + 5bd)
Nótese que los signos del segundo paréntesis cambiaron, ya que éste queda precedido de signo negativo. Ahora,
extraemos factor común de cada grupo formado: 2a (c– 1 + d) - 5b (c - 1 – d)
Por último, extraemos factor común de toda la expresiones: (c– 1 + d) (2a–5b)

14. Caso 3. Trinomio Cuadrado Perfecto

15. Definición de diferencia de cuadrados perfectos
En álgebra se define diferencia de cuadrados perfectos si un binomio esta conformado por dos términos
separados por un signo menos y estos se les pueda sacar una raíz cuadrada exacta.
Debes de saber que siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de
sus bases. La manera de factorizar el caso cuatro es muy sencilla observa:
 Abrimos dos paréntesis y colocamos las raíces de ambos términos en los dos paréntesis.
 Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos √x² y √y² = (x-y)(x + y).
 En uno se separa con menos y el otro con mas o lo contrario en uno se separa con mas y el otro con menos,
en eso no hay ningún problema ya que es un producto y el orden no afecta.
 Vamos a comprobar si hemos hecho bien el procedimiento
 Multiplicamos x * x = x² → x * y = xy → -y * x o x * -y es lo mismo =-x y y por ultimo -y * y =y².
 Luego se observa que tenemos dos términos en el medio que son iguales pero con signos diferentes esos
son los que se pueden anular.
 Si el ejercicio quedo bien factorizado tenemos que volver a la expresión original. En este caso se ha
logrado hacer la factorización correcta.
 Bien hecho 🙂 así es como se factoriza una diferencia de cuadrados.

16. Ejercicios

17. CASO V: TriNOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y
SUSTRACCION
Existen algunos trinomios, en los cuales su primer y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz
cuadrada exacta),
pero su segundo términos no es el doble producto de sus raíces cuadradas.
x2 + 2x + 9, no es un trinomio cuadrado perfecto.
Para que un trinomio de estos se convierta en un trinomio cuadrado perfecto, se debe sumar y restar un mismo
número (semejante al segundo término) para que el segundo término sea el doble producto de las raíces
cuadradas del
primer y último término. A este proceso se le denomina completar cuadrados
Ejemplo: m4 + 6m2 + 25.
Para que m4 + 6m2 + 25, sea un trinomio cuadrado perfecto, el segundo término debe ser igual a 10m2. Por esto,
se le
debe sumar y restar al trinomio es 4m2 , pues 6m2 + 4m2 = 10m2 . Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto
por adición
y sustracción, se completan cuadrados y se factoriza la expresión, primero como un trinomio cuadrado perfecto y
después,
como una diferencia de cuadrados
EJERCICIO RESUELTO : Factorizar x4 + 3x2 + 4
SOLUCIÓN x4 + 3x2 + 4
Raíz cuadrada de x4 es x2
Raíz cuadrada de 4 es 2

18. Ejercio resuelto del V caso de factorización
x4 + 3x2 + 4
x4 + 3x2 + 4
+ x2 - x2 Se suma y se resta x2
----------------------------------------
=(x4 + 4x2 + 4) - x2 Se asocia convenientemente
=(x2 + 2)2 - x2 Se factoriza el trinomio cuadrad perfecto
=[(x2 + 2) - x] [(x2 + 2) - x] Se factoriza la diferencia de cuadrados
=(x2 + 2 + x) (x2 + 2 - x) Se eliminan signos de agrupación
=(x2 + x+ 2) (x2 - x + 2) Se ordenan los términos de cada factor.
Entonces: x4 + 3x2 + 4 = (x2 - x+ 2) (x2 - x + 2
TALLER # 5
1. Resuelve los siguientes ejercicios del caso V
a) a4 + a2 + 1 b) m4 + m2n2 + n4
c) x8 + 3x4 + 4 d) a4 + 2a2 + 9
e) a4 - 3a2b2 + b4 f) 4x4 - 29x2 + 25
g) 16m4 – 25m2n2 + 9n4 h) 25a4 + 54a2b2 + 49b4
i) 81m8 + 2m4 + 1 j) 49x8 + 76x4y4 + 100y8