1) El documento presenta conceptos básicos sobre funciones de varias variables como dominio, rango, derivadas parciales, gradiente, derivadas direccionales, máximos y mínimos condicionados y aplicaciones como planos tangentes. 2) Incluye ejercicios para calcular derivadas parciales, derivadas direccionales, gradientes y ecuaciones de planos tangentes de funciones. 3) También contiene problemas de optimización para encontrar máximos y mínimos de funciones sujetas a restricciones.

1. Contenidos de Matemática III – UNEFA – Apure. Prof. Rafael Valdez Funciones de varias variables Sea D un conjunto de pares ordenados del campo de los números reales. Una relación f que asocia a cada pareja (x, y) de D un número real único, denotado por f(x, y), recibe el nombre de función de dos variables. El conjunto de pares ordenado (x, y) de D recibe el nombre G del domino de f, y el rango o recorrido de f consta de todos los valores reales f(x, y). A manera de repaso 1.- Para cada uno de los campo escalares que se dan a continuación, halla las curvas o superficies de nivel según el caso y represéntalos gráficamente en R2 y en R3. 2.- Identificar cada superficie cuya ecuación se da a continuación y haga un bosquejo del gráfico de la misma en el espacio R3. a) 4x2 + 9y2 = 36zb) 25x2 - 225y2 + 9z2 = 225c) 16x2 - 9y2 + 36z2 = 144d) x2 - 16y2 = 4z2 e) 16x2 - 25y2 + 100z2 = 200f) y2 – 9x2 - z2 – 9 = 0g) 16y = x2 + 4z2 h) 4y = x2 - z2 i) 8x2 + 4y2 + z2 = 16j) 4y2 – 25z2 = 100xk) 2x2 + y2 = 4l) y2 + z2 + 6z – 3y= 4m) 4x2 + 16y = z2 – 8xn) x2 + y2 + z2 = 2ñ) 4y2 + 9z2 = 9x2o) 4y2 + 25z2 + 100x = 0p) 16x2 + 100y2 – 25z2 =400q) 36x= 9y2 + z2 r) z2 = 16- xs) y2 + z = 12t) z = 2 cos x 3.- Determine y represente el dominio de las siguientes funciones reales Límites y continuidad Definición de limite: Sea f una función definida en el interior de un circulo con centro (a, b), excepto posiblemente en (a, b) mismo. El límite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) es L, y se expresa Si , entonces; para todo ε > 0 existe un δ > 0, tal que siempre que Cálculo de límites: Para el cálculo de límites de manera algebraica, es recomendable calcular primero los límites iterados si estos resultan iguales, se sospecha la existencia del límite para f. Para asegurar la existencia del limite se recomienda el estudio del limite de f a través de rectas y = x, y = k x. y a través de curvas y = x2, y = k x2, de esta manera obtenemos el mismo valor para el limite de f, entonces podemos asegurar con cierta certeza que el valor obtenido es el límite para f cuando (x, y) tiende a (a, b). Para asegurar su existencia se debe demostrar que realmente el valor obtenido es el límite para f, a través de la definición de límite. Para el caso de límites cuya tendencia es el punto (0, 0) las ecuaciones de las rectas y curvas a usar para su estudio son las descritas anteriormente. Para los casos de limites cuya tendencia sea un punto (a, b) distinto del origen de coordenadas, se recomienda el cálculo de los limites iterados, limites a través de rectas cuya ecuación paramétricas es x = at y y = bt, con t є R, o limites a través de curvas cuya ecuación paramétrica es x = at, y = bt2. Condiciones de continuidad de f en un punto Sea f(x, y) una función definida en un circulo R: x2 + y2 ≤ r2, entonces f es continua en un punto (a, b) de R, si y solamente si. Satisface las siguientes condiciones 1.- La función f está definida en (a, b) y f(a, b) existe 2.- El límite existe 3.- El valor obtenido el 1 y 2 es el mismo. Es decir que Calcule en cada caso el límite planteado 4.- Para cada uno de los casos propuestos a continuación discuta la continuidad de la función f Derivadas parciales Definición: Sea f una función de dos variables. Las primeras derivadas parciales de f con respecto de x y y son las funciones fx y fy definidas como sigue: Siempre que los límites existan. Podemos considerar las segundas derivadas parciales de f: fxx, fxy , fyx , fyy. Calculadas sobre la base de las primeras derivadas de f, en las que las derivadas cruzadas son iguales para funciones analíticas. Es decir que fxy = fyx. Este teorema es conocido como teorema de Schwarz Regla de la cadena: Teorema: Si w = f (u, v), u = g (x, y) y v = h (x, y) siendo f diferenciables y g y h tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces: Derivación implícita: Sí una función f(x, y) = 0 define una función implícita derivable f, de una variable x tal que y = f(x), entonces de manera análoga se procede para funciones de más variables. Gradiente de f: Sea f una función de dos variables, entonces el vector gradiente de f se define como: Derivadas direccionales: Fundamentándose en la idea del gradiente de una función, la deriva direccional de la misma en la dirección del vector unitario y en el punto (x0, y0) viene dada por la expresión: Planos tangentes y normales a una superficie: La ecuación del plano tangente a la gráfica de f (x. y, z) = 0 en el punto (x0, y0, z0) es: Fx (x0, y0, z0) (x - x0) + Fy (x0, y0, z0) (y - y0) + Fz (x0, y0, z0) (z - z0) = 0. La ecuación de la recta normal a la gráfica de f en: Máximo y mínimo de una función de dos variables: Para determinar los valores máximos o mínimos de una función de dos variables sin restricciones adicionales: primero se determinan los valores críticos o extremos de la función. Estos valores se corresponden con los puntos (x0, y0) tales que las primeras derivadas parciales de la función f(x0, y0), se anula; Es decir que verifican las siguientes condiciones: Estos valores pueden ser: Máximo absoluto o local, mínimo absoluto o local o un ensilladura. Criterio de las segundas derivadas para extremos de funciones de dos variables: Sea la función f(x, y) de dos variables, que poseen segundas derivadas continuas un con (x0, y0) Є U, tal que cumple la condición anteriormente descrita. Si (x0, y0) es un punto critico de f y sea el determinante Hessiano Δ, Extremos condicionados (Multiplicadores de Lagrange): Sean f(x, y) y g(x, y) funciones de dos variables diferenciables; Si (x0, y0) es un punto donde hay un extremos de f(x, y) sujeto a la condición g(x, y) = 0 y tal que grad g(x0, y0) ≠ , entonces existe un escalar λ tal que: grad f(x0, y0) + λ grad g(x0, y0) = Por lo que el teorema reduce la búsqueda de los extremos a un problema sin restricción, como es encontrar los puntos críticos de la función: F(x, y) = f(x, y) + λ g(x, y) 1.- Calcule las primeras derivadas parciales de las funciones dadas a continuación mediante la definición de derivada. 2.- Calcule las primeras derivadas parciales (fx, fy) de cada una de las siguientes funciones 3.- Defina el vector gradiente de cada una de las funciones dadas en (1). 4.- Calcule la derivada direccional en P(1, 2), en la dirección del vector = (-4, 3) de las funciones de dos variables dadas en (1) que estén definidas en el punto P indicado. 5.- Calcule las segundas derivadas parciales de cada una del las funciones dadas en (1). fxx, fxy , fyx , fyy y verificar que las segundas derivadas cruzadas son iguales. 6.- Determina la ecuación del plano tangente y la recta normal en el punto P(1, -1, 2) al gráfico de las funciones de tres variables definidas en los ejercicios del 11 al 24. 7. Para cada caso propuesto determine las primeras derivadas parciales aplicando la regla de la cadena y por sustitución y cálculo directo. 8.- Demuestre que: Si W(x, y) = cos (x + y) + cos (x – y), entonces wxx – wyy = 0. 9.- Demuestre que si w = f(x ,y) y x = r cos α, y = r sen α, entonces A) B) 10.- Demuestre que si w = f(x, y) y x = er cos θ, y = er sen θ, entonces 11.- Demuestre que si v = f(x – at) + g(x + at) donde f y g tienen segundas derivadas parciales, entonces v satisface la ecuación de la onda 12.- Demuestre que si w = f(x2+ y2) entonces y (δw/δx) – x (δw/δy) = 0. Sugerencia defina u = x2+ y2 13.- Para cada caso planteado a continuación, calcula las primeras derivadas implícitamente 14.- Considere las funciones implícitas planteadas en 13. Encuentre las ecuaciones del plano tangente y la recta normal en los puntos indicados para cada situación. 13.a) p(-1,1,2)13.b) p(-1,0,2)13.c) p(-1,1,1)13.c) p(1,1,0)13.e) p(-1,1,2) 15.- Determine los puntos críticos e identificarlos según sean máximos o mínimos, de cada una de las siguientes funciones. 16.- Determine los valores extremos de las funciones dadas a continuación sujetas a las restricciones descritas. 17.- Resolver los siguientes problemas (Máximo y mínimo de funciones) 17.1.- Un negocio vende dos marcas de llaves de paso A y B. El dueño del negocio adquiere el producto a por Bs. 30 la unidad y el tipo B a Bs. 40 la unidad. Estima que si vende a Bs. X las llaves de paso tipo A y a Bs. Y las llaves de paso tipo B, entonces podría vender 70-5x+4y unidades A y 80+6x-7y unidades B, en cada día. ¿Cuánto debe cobrar por cada tipo de llave de paso para que el comerciante obtenga el mejor beneficio económico? 17.2.- Una placa circular tiene forma de disco x2 +y2 ≤ 1. la placa, incluyendo su borde se calienta de modo que la temperatura en cualquier punto (x, y) es T(x, y) = x2 +2 y2 –y. Determinar los puntos de la placa más caliente y más frío, halla la temperatura en esos puntos. 17.3.- Encontrar los puntos de la superficie ecuación z2 – x y = 1, que están más próximos al origen. 17.4.- Se desea construir un recipiente con tapa en forma de cilindro circular recto ¿Cuales deben ser las dimensiones relativas para que su volumen sea máximo y el área de la superficie tenga un valor fijo S? 17.5.- Se desea construir una caja rectangular cerrada que tenga un volumen capaz de contener 2 litros. Los precios por decímetro cuadrado de material para los lados, el fondo y la tapa son: Bs. 10, Bs. 20 y Bs. 15 respectiva mente. Calcule las dimensiones de la caja para la cual el costo es mínimo. 17.6.- Calcule el volumen máximo posible de una caja rectangular que tiene tres de sus vértices en los ejes positivos x, y, z respectivamente y el cueto vértice en el peno 2x+3y+4x=12. 17.7.- Una compañía planea fabricar cajas rectangulares cerradas con una capacidad de 8 litros. El material para la base y la tapa cuesta el doble del que es usado para los lados. Calcule las dimensiones de la caja para las cuales el costo es el mínimo. 17.8.- Encuentre las dimensiones del paralelepípedo rectangular de volumen máximo con caras paralelas a los planos coordenados, que se puede inscribir en el elipsoide 16x2 + 4y2 + 9z2 = 144 18.- Problemas de aplicación de la derivada 18.1.- Demostrar que las superficies: F(x, y, z) = x2 + 4y2 – 4z2 – 4 = 0 y G(x, y, z) = x2 + y2 + z2 – 6x – 6y + 2z + 10 = 0. Son tangentes en el punto (2, 1, 1). 18.2.- Demostrar que las superficies F(x, y, z) = xy+ 4yz – 4zx = 0 y G(x, y, z) =3z2 – 5x+y = 0 se cortan ortogonalmente en el punto (1, 2, 1). 18.3.- Demostrar que las superficies: F(x, y, z) = 3x2 + 4y2 + 8z2 – 36 = 0 y G(x, y, z) = x2 + 2y2 – 4z2 – 6 = 0 se cortan formando un ángulo recto. 18.4.- Demostrar que la recta normal a la superficie del elipsoide 25x2 + 9y2 + 25z2 = 225 en cualquier punto P(x, y, z) forman ángulos iguales con las rectas PA y PB, siendo A(0, -4, 0) y B(0, 4,0). 18.5.- Dado la curva de ecuación 3x2 - 2y2 + 4x + 5y – a = 0, encontrar “a” para que la curva pase por el punto (1, 2) y determina la ecuación general de la recta tangente a la curva en el punto indicado. 18.6.- La ecuación cos (x + y) + cos (x + z) = 2 defina x como una función implícita de y, z. Calcula la segunda derivada parcial de x, primero respecto de y, luego respecto de z; en función de x, y, z. 18.7.- Un campo escalar diferenciable F(x, y) tiene en el punto (2, 3) derivada direccional igual a 2, según el vector (1/√2, -1/√2) y derivada direccional igual a -3, según el vector (3/5, 4/5). Determinar F’((2, 3); v) y el grad. F(2, 3), siendo v = (-2/√5, 1/√5) Funciones vectorial Definiciones y Ecuaciones del Cálculo Vectorial La Matemática es una ciencia con un rango de aplicación muy amplio, y asiste a todas las demás ciencias y a la tecnología. En este sentido, a continuación se expresan algunas definiciones, relaciones y ecuaciones propias de la Matemática de aplicación a la Física, en específico a la mecánica de fluidos, la electricidad y el magnetismo, como lo es en ciertas definiciones y ecuaciones del cálculo vectorial. Estas pueden ser asociadas a campos de velocidades, campos de fuerzas, campos de movimientos de fluidos entre otros, bien sean dinámicos o estacionarios. El cálculo vectorial es fuente de importantes herramientas del cálculo mismo y que potencian y amplían la asistencia de esta rama de la Matemática a otras áreas del conocimiento científico. Gradiente de una función: Sea F: Rn →R, una función escalar de n variables diferenciable respecto de cada una de ellas, entonces, el vector gradiente de F se define de la siguiente manera: La dirección del vector gradiente de una función F es aquella según la cual la función varía más rápidamente, y este es perpendicular a la superficie de nivel para funciones en R3. Derivada direccional: Sea F: Rn →R, una función escalar de n variables diferenciables respecto de cada una de ellas, y sea el vector unitario u, entonces la derivada direccional de F en la dirección de u, denotada por DuF(x1,x2,x3,...,xn) está dada por DuF(x1,x2,x3,...,xn)= Si F es un campo de velocidades, la derivada direccional expresa la magnitud del flujo del fluido en la dirección del vector unitario u. Por lo que el máximo de la derivada direccional de un campo escalar F, en un punto x0,se obtiene en la dirección del vector gradiente de la función F en x0. Sea F: URn →Rn, un campo vectorial definido en el abierto U, se dice que F es un campo conservativo, si existe un campo escalar f: U Rn →R, tal que F =f, la función f se llama función potencial de F. La mayoría de los campos vectoriales que se presentan en física clásica son conservativos. Radio de curvatura: Si la curvatura K de una curva C en un punto P no es cero, entonces el circulo de radio ρ = 1/K cuyo centro se encuentra del lado cóncavo de C y que tiene en P la misma tangente que C se llama Circulo de Curvatura C en P. Su radio ρ y su centro se llaman el radio de curvatura y el centro de curvatura de C en P respectivamente. Si C esta determinada por una ecuación cartesiana explicita entonces la ecuación de la curvatura K de C, viene dada por la expresión: Divergencia de un campo vectorial: Sea F: URn →Rn, un campo vectorial F, diferenciable respecto de cada una de sus componentes en el abierto U, entonces la divergencia de F denotada por div.F o , se define mediante el campo escalar, Sea ρ(x, y, z) la densidad de un fluido en el punto P(x, y, z), cuando el fluido es incompresible entonces ρ es constante en todo el fluido; en cambio para un fluido compresible, como es el caso de un gas, la densidad varía de un punto a otro, por lo que el campo de velocidades de un fluido V(x, y, z) y el campo F de flujo de corriente, se relacionan mediante la siguiente ecuación F(x, y, z) = ρ(x, y, z) . V(x, y, z) La densidad de flujo de corriente, indica la cantidad de masa de un fluido que circula por el punto P(x, y, z) en la dirección de la línea de corriente por unidad de área y de tiempo. La ecuación (div F= fuente – sumidero) expresa la tasa de expansión o compresión por unidad de volumen del fluido: Sí div. F < 0, significa que el fluido se está comprimiendo en P por unidad de tiempo t. Sí div. F > 0, significa que el fluido se está expandiendo en P por unidad de tiempo t. Para una corriente de fluido incomprensible (ρ constante); donde no hay fuentes ni sumideros se tiene que en todo punto. div F = = 0 Este tipo de campo recibe el nombre de campos solenoidales o campos tubulares. Rotacional de un campo vectorial: Sea F: URn →Rn, un campo vectorial F, diferenciable respecto de cada una de sus componentes en el abierto U, entonces el rotacional de F, es el campo vectorial denotado por rot. F o y se calcula mediante el desarrollo del siguiente determinante, para una función de tres variables y tres componentes, es decir F: UR3 →R3 El rotacional o rotor de F, admite varias interpretaciones físicas y tiene gran importancia en la mecánica de fluidos y en la electrodinámica. Si F es el campo de velocidades de un fluido incompresible, entonces se cumple que div F =0. Sí colocamos un pequeño disco en el fluido, y por la acción del flujo de este el disco se mueve siguiendo la acción de las líneas del campo F (líneas de corriente); Sí se mueve el disco sin girar, entonces el rot F = 0; sí el disco se mueve y gira por la acción de F, entonces rot F ≠ 0. La divergencia de un rotacional para cualquier campo vectorial F es nula, es decir que div (rot F) = Operador de Laplace : Sí f: U Rn →R, es un campo escalar que admite derivadas parciales de segundo orden, entonces, se llama Laplaciano de f, al campo escalar definido por la divergencia de un campo gradiente Esta función expresa la expansión o la contracción de un campo gradiente. Para un campo de rotores se tiene la siguiente ecuación si el campo es solenoidal o tubular. Función potencial escalar: Elegido un punto (x0, y0, z0) є U, entonces una función potencial escalar f del campo irrotacional F(x, y, z) = F1 i + F2 j + F3 k, esta dada por: usualmente se toma (x0, y0, z0) = (0, 0, 0). Verificándose que; f(x, y, z)= F(x, y, z) Función potencial vectorial: Elegido un punto (x0, y0, z0) є U, entonces una función potencial vectorial V(x, y, z) = V1 i + V2 j + V3 k, del campo solenoidal F(x, y, z) = F1 i + F2 j + F3 k viene dodo por: Integral de línea: Supongamos que una curva C está dada paramétricamente por x=g(t), y=h(t), donde a ≤ t ≤ b y las funciones son lisas en [a, b]. Consideremos F(x, y) donde f es una función continua en la región D que contiene a C. Sean A y B dos puntos de C, determinados por los valores de los parámetros a y b respectivamente, entonces la integral de línea de f sobre C de A a B, es: Aplicaciones de la integral de línea El trabajo W efectuado por una fuerza F cuando la partícula se mueve a lo largo de la trayectoria descrita por C es: T(s) ds = dr = dx i+ dy j+ dz k; es la componente tangencial de F en Q. El trabajo W es independiente de la trayectoria si Un campo con estas características es un campo conservativo, por lo que la integral de línea cerrada definida en una región con estas características es nula, Si F(x, y) es una función escalar de dos variables y r(t) es una expresión paramétrica de una curva C, entonces la integral de línea de f a través de C es: Teorema de Green: Sea C una curva lisa por partes cerrada simple y sea R que consta de C y su interior. Si M y N son continuas y tienen primeras derivadas parciales y continuas en una región de abierta D que contiene a R, entonces: Aplicaciones a la Cinemática (Física) Si r(t) = (x(t), y(t), z(t)) es el vector posición de una partícula en un instante t, entonces la primera derivada de esta función expresa el vector velocidad de la partícula para cualquier instante t. V(t) = r’(t) = (x’(t), y’(t), z’(t)) y la segunda derivada de la función posición expresa la aceleración de la partícula en cualquier instante t; Entonces la aceleración es: a(t) = V’(t) = r’’(t)= (x’’(t), y’’(t), z’’(t)). Si V(t) expresa la velocidad de una partícula entonces su aceleración es: a(t) = V’(t) = (v’x(t), v’y(t), v’z(t)) EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Dibujar un número suficiente de vectores de la función vectorial F(x, y, z) para visualizar la tendencia de los vectores del campo . 2.- Calcule la divergencia y el rotacional de los campos descritos por la función F(x,y,z) en cada caso y el punto indicado. Para cada uno de los casos anteriores calcule: 3.- Encuentre el campo vectorial conservativo (campo gradiente) que tenga el potencial dedo en cada caso Para cada uno de los casos planteados en (3) calcule: 4.- Determine el valor de la matriz jacobiana, la divergencia y el rotacional en el punto indicado, de los campos vectoriales dados a continuación Para cada uno de los casos anteriores calcule: 5.- A continuación sedan varios campos vectoriales, determine en cada caso si son campos gradientes (rot. = 0) en caso afirmativo, encontrar la forma más general de la función potencial del mismo. Para el cálculo de la función potencial escalar: Caso uno: (x0, y0,z0,) = (0, 0, 0). Caso dos (x0, y0,z0,) = (1, 1, 0) 6.- A continuación se dan varios campos vectoriales. Determinar en cada caso si esos campos derivan o no de un potencial vectorial (div. F = 0) en caso afirmativo determine el potencial vectorial de . 7.- Para cada una de las situaciones dadas a continuación en el aparte 8, determina si la integral de línea es independiente de la trayectoria. En caso afirmativo, encuentre una función potencial de f de F. 8.- Demuestre para cada caso que la integral de línea es independiente de la trayectoria y calcule el valor de la integral 9.- Calcule las siguientes integrales de línea a lo largo de las curvas que se especifican 10.- Use el teorema de Green para evaluar las siguientes integrales de línea, en la región acotada por las curva C dada. Integración múltiple Integral doble Definición: Sea f una función de dos variables, definida en una región R. La doble integral de f sobre R, denotada por ∫∫R f(x, y) dA y está dada por , siempre que el limite exista. Propiedades de la integral doble Si existe la integral doble de f sobre R, entonces se dice que f es integrable sobre R. Si R es la región de dos regiones ajenas R y R2 del tipo considerado en la definición anterior, entonces se cumple que Otras propiedades son: Teorema de la evaluación de la integral doble Para resolver una integral doble usando métodos algebraicos, estas usualmente se desarrollan de manera iterada. Si la región R sobre la que está definida la integral es un rectángulo, tal que: Cuando se trata de una integral definida sobre una región rectangular. Si R es una región comprendida entre las gráficas y = g1(x) y y = g2(x) donde g1 y g2 son continuas en [a, b]. Sí f es continua en R entonces Si R es una región comprendida entre las gráficas y = h1(y) y y = h2(y) donde h1 y h2 son continuas en [c, d]. Sí f es continua en R entonces Aplicaciones de la integral doble Para el cálculo del área de una región plana limitada por las funciones f(x) y g(x) en un intervalo cerrado x є [a, b], se considera como un límite de dobles sumas, especificado a continuación: De manera completamente análoga se considera, para las funciones h1(y) y h2(y) en un intervalo cerrado y є [c, d] Para el cálculo de un volumen se considera la función de dos variable f(x, y) definida en la región R, entonces Momentos y centro de masa Sea T una lámina cuya forma está determinada por la región R , supongamos que la densidad por unidad de área está dada por ρ(x, y) donde ρ es una función continua en R, San P = Ri Una partición de R Si |P| → 0, entonces la masa de Ti es ρ(ui, vi) ΔAi donde ΔAi el área de Ri , por tanto la masa de la lámina T es: Suponiendo que la masa de Ti está concentra en (ui, vi), entonces el momento de primer orden TI con respecto el eje x y al eje y viene dada por las expresiones Usando el cuadrado de las distancias a los ejes coordenados, obtenemos los segundos momentos de inercia Ix e Iy de la superficies respecto de los ejes coordenados x y y respectivamente, los cuales se expresan mediante las siguiente ecuaciones De los casos anteriores resultan integrales dobles tal que resulta mucho más sencillo resolverlas considerando un sistema de coordenadas polares es decir que: x = r cos θ, y= r sen θ, siendo r2 = x2 + y2, θ = tang-1(y/x), por tanto la integral doble queda 1.- Evalúe las siguientes integrales 2.- Evalúe cada integral en la región D indicada para cada caso 3.- Dibuje la región y calcule el área limitada por los gráficos de las ecuaciones dadas en cada caso. 4.- Calcúlese las siguientes integrales 4.1.- , donde la región G está limitada por las rectas y = x, x+ y = 2 a, x = 0. 4.2.- , donde la región G está limitada por el trapecio cuyos vértices son los puntos: A(1, 1); B(5, 1); C(10, 2); D(2, 2). 4.3.- , donde la región G está limitada por las curvas x + y = 2, x2 + y2 = 2 y. 4.4.- , donde la región G está limitada por el triángulo cuyos vértices son los puntos: A(0, 0); B(1, 1); C(0, 1). 4.5.- , donde la región G está limitada por las rectas y = x2, y = √x. 4.6.- , donde la región G está limitada por las curvas: y = x tag x, y = x. 5.- Para cada una de las situaciones que se describen a continuación calcule: la masa, el centro de masa y el momento de inercia segundo orden Ix, Iy y I0. 6.- Dibuje el sólido en el primer octante acotado por las gráficas de las ecuaciones dadas y calcule su volumen 7.- Represente el sólido definido en cada caso y calcule el volumen 8.- Calcule el valor de las siguientes integrales en coordenadas polares 9.- Problemas varios 9.1.- Encuentre el momento palar de inercia de una lamina homogénea que tiene la forma de la menor de dos región acotadas por el eje polar, por las gráficas de r=1 y r=2 y la parte de la espiral r.θ =1, comprendida entre θ=1/2 y θ=1. 9.2.- Calcula el volumen V del sólido acotado por el paraboloide z = 4-x2-y2 y el plano xy. 9.3.- Calcule la masa y el entro de masa de la lámina acotada por las regiones r = 2 cos θ; la densidad P (θ, r) es directamente proporcional a la distancia de P al polo. 9.4.- Calcule el momento polar de inercia de una lámina homogénea que tiene la forma de la región acotada por r2 = a sen 2θ. 9.5.- Calcule el volumen del sólido que está fuera del cilindro x2 + y2 = 9 y dentro de la esfera x2 + y2 + z2 = 25. 9.6.- Hállense las coordenadas del centro de masa de la placa homogénea limitada por las curvas ay = x2, x + y =2a ( a>0 ) 9.7.- Hállese el área de la parte del plano x + y + z = a, que está cortada por la lámina parabólica y2 = a (a - x). 9.8.- Hállese el área de la figura limitada por las curvas r= a ( 1 + cos θ) y r= a cos θ ( a > 0) 9.9.- Hállese el área de la parte de la superficie del cilindro x2 + y2 = 2ax, que está cortado por la lámina parabólica z2 = 2a (2a - x). 9.10.- Calcúlese la integral haciendo el cambio de variable apropiado, cundo G está limitada por las curvas y2= a x, y2= b x, x y=p, x y=q ( 0 < a < b, 0 < p < q). Integrales triples El concepto de suma de Riemann para una función de tres variables, se define de manera completamente análoga a la integral doble para funciones de dos variables. Si el límite existe se llama la integral triple de f en Q y se denota por Para una función f(x, y, z) definida en un región del espacio con forma de paralelepípedo, tal que xє [a, b], yє [c, d] y zє [e, f], se define la integral en un sistema de coordenadas cartesianas de la siguiente manera: Donde la integral iterada de la derecha se calcula integrando primero respecto de x, considerando constante y y z, luego se integra respecto de y considerando constante z, y finalmente se integra respecto de z. En particular, si Q es una región limitada por curvas, entonces la integral puede ser definida de cualquiera de las formas siguientes, usualmente se sugiere la forma más sencilla. u otro orden que se considere conveniente, para definir la integral. Integral triple en coordenadas cilíndricas Para una función definida en un sector cilíndrico Q, Donde x= r cos θ; y = r sen θ; z = z y dV = dx dy dz = r dr dθ dz (Jacobiano) Existen otros órdenes de integración posibles. En particular, si Q es una región limitada por curvas, entonces la integral puede ser definida de cualquiera de las formas siguientes, usualmente se sugiere la forma más sencilla. Integral triple en coordenadas esféricas Para una función definida en un sector esférico Q, Donde x = r sen θ cos φ; y = r sen θ sen φ; z = r cos θ dV = dx dy dz = r2 sen φ dr dθ dφ (Jacobiano) Aplicación de la integral triple Volumen de un sólido Si f(x, y, z) = 1 en toda la región Q, entonces la integral triple de f sobre Q se escribe ∫∫∫Q dV, y su valor es el volumen de la región Q, por tanto el volumen de un sólido queda definido a través de la integral triple de la siguiente manera V = ∫∫∫Q dV = ∫∫∫Q dx dy dz para un sólido en coordenadas cartesianas rectangulares. Cálculo de masa Si un sólido tiene la forma de una región tridimensional Q, la densidad en (x, y, z) está dada por ρ(x, y, z) donde ρ es una función continua en Q, entonces la masa del sólido en cuestión es: M = ∫∫∫Q ρ(x, y, z) dV Cálculo de momentos de primer orden: Si una partícula de masa m se encuentra en el punto (x, y, z) entonces se definen los momentos de primer orden, respecto de los planos coordenados, de la siguiente manera: Mxy= ∫∫∫Q z ρ(x, y, z) dV Mxz= ∫∫∫Q y ρ(x, y, z) dV Myz= ∫∫∫Q x ρ(x, y, z) dV Por tanto las coordenadas del centro de masa del sólido (Xc, Yc, Zc) Xc =Myz/M; Yc =Mxz/M; Zc =Mxy/M; Cálculo de momento de inercia de segundo orden Usando el cuadrado de las distancias a los ejes coordenados, obtenemos los segundos momentos de inercia Ix, Iy e Iz del sólido respecto de los ejes coordenados x, y y z, respectivamente, los cuales se expresan mediante las siguiente ecuaciones 1.- Evalúe las integrales iteradas dadas a continuación 2.- Calcule el volumen aplicando integral triple y empleando coordenadas cartesianas 2.1.- Interior de x2 + y2 =9, encima de z = 0, debajo de x + z = 4 2.2.- Limitado por los planos coordenados 6x + 4y + 3z =12 2.3.- El interior a x2 + y2 = 4x, encima de z = 0, debajo de x2 + y2 = 4z 2.4.- La región Q acotada por los planos: x = -1, x = 2, y = 3, z =1, z = 4; f(x, y, z) = x – 2y + z 2.5.- La región Q acotada por los planos: x = 0, x = 1, y = -1, y = 2, z = 0 y z = 5; f(x, y, z) = 3xyz 2.6.- La región Q acotada por el cilindro x2 + y2 = 16 y los planos z = 0, y z =3; f(x, y, z) = xz – yz 2.7.- La región Q acotada por el cilindro y2 + z2 = 9 y los planos x = 0, y z + x =3; f(x, y, z) = 3z-yz 2.8.- La región Q acotada por los cilindro x2 = z y x2 = 4 - z y los planos y = 0, y z +2y = 4; f(x, y, z) = 2x – z 2.9.- La región Q acotada por la superficie z = y /(1+ x2 ) y los planos x = 0, y =0, z = 0 y x + y=1; f(x, y, z) = y + x2 y. 3.- Dibuje la región acotada por los gráficos de las ecuaciones dadas y use la integral triple para calcular su volumen. 1.- z + x2 = 4, y + z = 4, y = 0, z = 0. 2.- z2 + x2 = 4, y2 + z2 = 4. 3.- y = 2 - z2, y = z2, x + z = 4, x = 0 4.- y2 + z2 = 1, x + y + z = 2, x = 0. 5.- z = x2 + y2, y + z = 2 6.- z = ex + y, y = 3x, x = 2, y = 0, z = 0. 4.- Encuentre el volumen y el centro de gravedad del sólido acotado por los gráficos de ecuaciones dadas en cada caso, considere la densidad del sólido constante. 1.- z = x2 + y2, x2 + y2 = 4, z = 0 2.- x2 + y2+ z2 = 0, x2 + y2 = 4 3.- z + x2 = 4, y + z = 4, y = 0, z = 0. 4.- z2 + x2 = 4, y2 + z2 = 4. 5.- y = 2 - z2, y = z2, x + z = 4, x = 0 6.- y2 + z2 = 1, x + y + z = 2, x = 0. 5.- Use coordenadas esféricas para resolver las situaciones planteadas a continuación 5.1.- Calcule el volumen del sólido limitado por los gráficos de las ecuaciones das a continuación: a) Encima del cono z2 = x2 + y2, y dentro de la esfera x2 + y2+ z2 = 4 b) Adentro de la esfera x2 + y2+ z2 = 1 y fuera del cono z2= x2 + y2 c) Limitado por x2 + y2+ z2 = 0, x2 + y2 = 4 6.- Calcula la masa y el centro de masa del sólido en el interior del cilindro x2 + y2 – 2y = 0 como de la esfera x2 + y2+ z2 = 4. Suponiendo que la densidad en cualquiera de sus pontos es directamente proporcional a la distancia al plano xy. 7.- Encuentre la masa del sólido en forma de cono acotado por los gráficos de z= r, z=4, suponiendo que la densidad en cualquier punto P del s{olido es directamente proporcional a la distancia de P al eje z. 8.- Un sólido homogéneo está acotado por los gráfico de z=r, z=r2, encuentre el centro de masa y el momento de inercia de segundo orden respecto del eje z. 9.- Calcula la masa y el momento de primer orden respecto del plano xz, de los sólidos que se describen a continuación: 9.1.- La región Q acotada por los planos: x = 0, x = 1, y = -1, y = 2, z = 0 y z = 5; ρ(x, y, z) = xyz 9.2.- La región Q acotada por el cilindro x2 + y2 = 9 y los planos z = 0, y z =3; ρ(x, y, z) = y + z 9.3.- La región Q acotada por el cilindro y2 + z2 = 25 y los planos x = 0, y z + x =3; ρ(x, y, z) = 2+yz 9.4.- La región Q acotada por los cilindro x2 = z y x2 = 4 - z y los planos y = 0, y z +2y = 4; ρ(x, y, z) = 2x + 1 9.5.- La región Q acotada por la superficie z = y / (1+ x2) y los planos x = 0, y =0, z = 0 y x + y=1; ρ(x, y, z) = y + x2 y. Integral de Superficie Si la proyección de una superficie S sobre un plano coordenado, es un región del tipo que se considera para integrales dobles, entonces decimos que S tiene una proyección rectangular sobre el plano coordenado. Supongamos que S es el gráfico de z=f(x, y), entonces S tiene una proyección rectangular R sobre el plano xy y que f tiene primeras derivadas continuas en R. La integral de superficie de g sobre S está dada por: Sí g(x, y, z) = 1 en toda la superficie S, entonces la integral de superficie de g, definida anteriormente, es igual al área de la superficie de S proyectada sobre el plano xy. Teorema de la Divergencia Uno de los teoremas más importantes en las aplicaciones del cálculo vectorial es el teorema de la divergencia, también conocido como Teorema de Gauss. El teorema se refiere a una superficie S que es frontera completa de una región Q. En esta región n es el vector unitario normal a S que apunta hacia afuera de la región, por lo que recibe el nombre de vector unitario normal exterior a S. Sea la función vectorial: F(x, y, z) = M(x, y, z) i+ N(x, y, z) j + P(x, y, z) k; donde M, N y P tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces se satisface la siguiente expresión En las aplicaciones a la física esta expresión se interpreta como: El flujo de F a través de la superficie S, es igual a la triple integral de la divergencia de F sobre Q. Teorema de Stokes (versión vectorial del teorema de Green) Sea S la superficie generada por el gráficos de z=f(x, y) donde f tiene primeras derivadas parciales continuas y la proyección C’ de C sobre el plano xy, es una curva cerrada que encierra a la región R. Sea T el vector tangente unitario de C que apunta hacia la dirección positiva. Sea F una función vectorial que tiene derivadas parciales continuas en una región R que contiene a S. Entonces se satisface l siguiente expresión La integral de línea de la componente tangencial de F tomada a lo larga de C, una vez en la dirección positiva, es igual a la integral de superficie de la componente normal del rotacional de F sobre la superficie S. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Encuentre el área de la parte del gráfico de z que se proyecta sobre el plano xy: z=9 - x2 - y2. 2.- Evalúe Sx2z dS, donde S es la porción del cono z2=x2+y2 que se encuentra entre los planos z=1 y z=4. 3.- Evalúe la integral Sxzy dS, donde S es la parte del cilindro x=y2 que se encuentra en el primer octante entre los planos z=0, z=5, y=1 y y=4. 4.- Sea S la parte del grafico de z = 9 – x2 – y2 en la cual z ≥ 0 y F(x, y, z) = 3 i+ 3y j + z k. Calcule el flujo de F a través de S. 5.- En los ejercicios evalúe la integral Sfx,y,z dS para los casos 5.1, 5.2 y 5.3. 5.1) F(x, y, z) = x2 ; S es la mitad superior de la esfera x2 + y2 + z2 = a2 5.2) F(x, y, z) = x + y; S es la porción del plano 2x + 3y +z =6, en el primer octante. 5.3) F(x, y, z) = x2 + y2 + z2; S es la parte del plano z= y + 4 que está dentro del cilindro x2+y2 =4. 6.- Sea Q la región acotada por las gráficas de x2 + y2 = 4, z = 0 y z =3. Sea S la frontera de Q y n el vector unitario normal exterior a S. Use el Teorema de la Divergencia para evaluar SF.n dS, suponiendo que F(x, y, z) = x3 i + y3 j + z3 k. f) En los ejercicios f1, f2, f3 y f4, dados a continuación, use el teorema de la divergencia para evaluar la integral SF.n dS donde n es un vector normal unitario exterior a S. f1) F(x, y, z) = y sen x i + y2 z j + (x + 3z) k; S es la frontera de la región acotada por x=±1, y=±1, z=±1. f2) F(x, y, z) = y3 ez i – x y j+ x tag-1 y k; S es la frontera de la región acotada por los planos coordenados y el plano x+y+z=1. f3) F(x, y, z) = (x2 + sen yz) i+ (y – x e- z ) j + z2 k; S es la frontera de la región acotada por los gráficos de x2 + y2 = 4, x + z =2, z = 0. f4) F(x, y, z) = 2yx i+ z cosh x j + (z2 + y sen- 1 x) k; S es la frontera de la región acotada por los gráficos de z = x2 + y2, z =9. g) Sea S la parte del gráfico de z = 9 – x – y en donde z ≥ 0, y sea C la traza de S en el plano xy, verificar el Teorema de Stokes, asumiendo la función vectorial F(x, y, z) = 3z i +4x j+ 2y k. h) Para cada una de las situaciones: h1, h2, h3 y h4, verificar el Teorema de Stokes para el campo F y la superficie S, dados a continuación. h1) F(x, y, z) = y2 i + z2 j + x2 k; S es la parte del primer octante del plano x + 4y +2z = 4 h2) F(x, y, z) = y2 i + z2 j + x2 k; S es la parte del paraboloide z = 4 – x2 – y2 que se encuentra dentro del cilindro x2 + y2 = 1. h3) F(x, y, z) = y2 i + z2 j + x2 k; S es la parte del cono z=(x2 + y2 )1/2 que se encuentra debajo del plano z=1. h4) F(x, y, z) = (3z – sen x) i + (x2 + ey) j + (y3 – cos z) k; S es la curva x= cos t, y = sen t, z=1; 0≤ t ≤ 2π. Ecuaciones Diferenciales Las ecuaciones diferenciales son expresiones matemáticas de uso frecuente y de variadas aplicaciones. Entre estas identificamos; ecuaciones algebraicas que se obtienen igualando a cero un polinomio y tiene tantos soluciones como sea el grado del polinomio; ecuaciones transcendentes (no algebraicas) estas no necesariamente tienen un numero finito de soluciones y otras muchas análogas, así como sistemas de las mismas. Una ecuación es una igualdad en la que se encuentran uno o más valores desconocidos los que reciben el nombre de incógnita. Existen numerosos problemas de matemática, la física, la ingeniera, que conducen a plantear ecuaciones, en la que las incógnitas no son números si no objetos matemáticos: matrices, funciones, aplicaciones lineales, subespacios de Rn,… Entre estas ecuaciones se encuentran las denominadas ecuaciones diferenciales, en las cuales las incógnitas son funciones, y se llaman diferenciales puesto que, en dichas ecuaciones figuran las derivadas de las funciones incógnitas. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD Sea y'=f(x,y) donde f es una función definida en un conjunto D abierto y conexo del plano. Si f es continua y derivable con respecto de y, con derivada continua, entonces por todo punto x0,y0 de D pasa una y solo una solución de esa ecuación diferencial. Es decir, para todo punto x0,y0∈D, existe una y solo una función y=f(x) definida en un intervalo que contiene a x0 que es una solución de la ecuación y'=f(x,y) y además y0=f(x0). ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN Y GRADO UNO: y'=f(x,y) Estas se pueden resolver por cuadraturas, es decir mediante integraciones, las cuales son: Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales homogéneas Ecuaciones diferenciales lineales Ecuaciones diferenciales exactas y con factor integrante. Para muchas otras ecuaciones diferenciales, lo que se hace frecuentemente es a alguno de los tipos anteriores mediante algún cambio de variable 1.- ECUACIONES DIFERENCIALES CON VARIABLES SEPARABLES Caso I: La forma mas simple de esta ecuación es y'=f(x), es decir f depende solamente de x, pues de aquí se obtiene inmediatamente la solución general y=Fx+C mediante integración, donde C es una constante arbitraria y F una primitiva de f. Caso II: Si la ecuación se presenta como un producto de funciones distintas h(x) y g(y), es decir: dydx=hx.gy, entonces en la ecuación se separan las variables a cada miembro de la ecuación, resultando dyg(y)=hx.dx donde g(y)≠0. De donde la solución general se obtiene integrando esta última expresión. Si la ecuación diferencial tiene una condición x0,y0 para este caso particular, se evalúa la solución general en este punto y obtenemos el valor para la constante de integración C por simple despeje, que sustituida en la solución general se obtiene una solución particular de la E.D. 2.- ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS EN X y Y Una función g(x,y) se dice que es homogénea, de grado n, si para todo λ>0, se verifica que: gλx, λy=λn g(x, y). La ecuación diferencial px, ydx+Qx, ydy=0, se dice homogénea si la función obtenida a partir de la ecuación dydx=-P(x, y)Q(x, y) es homogénea de grado cero. Para integrar este tipo de ecuación se realiza el cambio de variable y=u x, así se conserva la variable independiente x, y se considera la nueva variable dependiente u. Siendo y'=u'x+u, así la ecuación diferencial homogénea se reduce a un caso de ecuación diferencial de variables separables, la cual se resuelve como se indico en caso II, anteriormente descrito. Casos de ecuaciones diferenciales que se reducen a homogéneas Las ecuaciones diferenciales del tipo y'=fa1 x+b1 y+c1 a2 x+b2 y+c2 si las rectas son no paralelas es decir que a2a1≠b2b1 se reducen a ecuaciones homogéneas mediante el cambio de variables: x = u + m, y = v + n donde dx=du; dy=dv. m y n se obtienen anulando el término independiente que resulta del cambio de variables en las ecuaciones de las rectas de la E.D, de donde resulta un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. Para así expresar la ecuación diferencial de la forma dvdu=fa1 u+b1 v a2 u+b2 v la cual es homogénea de orden cero y se resuelve de manera completamente análoga a a los casos descritos anteriormente en (2). Si las rectas son paralelas es decir que a2a1=b2b1 la ecuación diferencial se resuelva mediante un cambio de variables: w=ax+by, donde y'=w'-ab La cual es una E.D de variables separables. 3.- ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN UNO En forma general de esta ecuación se expresa Ax y'+Bx y=C(x), la cual puede escribirse y'+px y=qx dividiendo la ecuación anterior por A(x). Caso I: Si qx=0, la ecuación es homogénea incompleta, entonces la ecuación y'+px y=0, se resuelve separando variables e integrando. Caso II: Si la ecuación es no homogénea es decir que qx≠0, entonces la ecuación diferencial es lineal completa y'+px y=q(x), esta no ser separada en variables. A efecto de encontrar la solución general, multiplicamos la ecuación por la función (factor integrante) epxdx , así el primer miembro de la ecuación se expresa como la derivada de un producto de funciones, el cual puede ser integrado, obteniéndose como resultado la solución general de la E.D. lineal no homogénea. Ecuación de Bernoulli: Sea la ecuación diferencial y'+Px y=Qx yn donde n ≠ 0. Es obvio que y = 0, es una solución de la ecuación. Si n=1 la ecuación diferencial es de variables separables. Si y ≠ 0 y n>1, podemos dividir la ecuación por yn obteniendo: y-n y'+Px y1-n=Q(x) Practicando el cambio donde w = y1 – n , siendo sustituyendo en la E.D. ecuación se reduce al caso lineal de primer orden (caso II) Ecuación de Clairaut: Sea la ecuación diferencial y=x fy'+φy' Esta se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo r=y’ y derivando la ecuación resutante respecto de la variable independiente x, para de esta manera completar el cambio de variables haciendo y’=r, luego invirtiendo las variables dependiente e independientes se puede expresar la ED. De forma lineal, la cual puede ser resuelta mediante el método descrito en el caso II. Para hallar una solución particular de esta ecuación se sustituye C=y’, obteniendo la solución general: y = C x + φ(C), derivando esta respeto de C y eliminando C de sistema de ecuaciones formado por la solución general y su derivada, obtenemos de esa manera una solución singular de la ecuación de Clairaut. 4.- ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Y DE FACTOR INTEGRANTE Ecuación diferencial exacta: Consideremos una ecuación diferencial de orden uno escrita en la siguiente forma: Px, y dx+Qx,y dy=0 Donde p y Q son funciones continuas definidas en un conjunto abierto de R2. La ecuación anterior se dice diferencial exacta, si existe una función F(x, y) definida y diferenciable en el abierto D, tal que para todo (x,y) en D se verifica que: dFx,y=Px,y dx+Qx,y dy donde Px,y=∂F(x, y)∂x y Qx,y=∂F(x, y)∂y por lo que F es un potencial escalar del campo (P,Q) , por lo que ∂P∂y=∂Q∂x es la condición necesaria y suficiente para que la Ecuación diferencial (E.D) sea exacta. En este caso la función F (potencial escalar) puede determinarse por la formula: Fx,y=x0xpu,ydu+y0yQx0,u. donde (x0,y0) es un punto de D. Factor integrante: consideremos la ecuación diferencial: Px,ydx+Qx,ydy=0 (☼) supongamos que no es una ecuación diferencial exacta, esto es: ∂P∂y≠∂Q∂x, puede suceder que multiplicando la ecuación (☼) por una función conveniente u(x,y), se convierte en una ecuación diferencial exacta: u .Px,y dx+u . Qx,y dy=0 cuando esto acontece, se dice que la función u(x,y) es un factor integrante de la ecuación px,ydx+Qx,ydy=0. ¿Cómo determinar algún factor integrante? Si u=ux,y es el factor integrante de la ecuación, entonces debe verificar que ∂(u P)∂y=∂(u Q)∂x → u ∂P∂y+P.∂u∂y=u.∂Q∂x+Q.∂u∂x de lo anterior se deduce que u'u=1Q(∂P∂y-∂Q∂x), es el factor integrante usualmente es una función de x: es decir u(x), es posible ensayar funciones de y u(y) o u(x,y). EJERCICIOS PROPUESTOS 1-Demustre que y es una solución de la ecuación diferencial dada. y=c1ex+c2e2x ; y''-3y'+2y=0 , c1c2∈R y=c.e-3x; y'+3y=0, c∈R y=exc1cosx+c2senx; y''-2y'+2y=0 c1,c2∈R y=Acosx+BSenx ; y''+y=0, A,B∈R y=c1e2t+c2e-2t; d2ydt2-4y=0 , c1,c2∈R x3y+x2y+y2=c ; 3x2y+2xy+x3+x2+2yy'=0 , c∈R y=cx3 ; x3y'''+x2y''-3xy'-3y=0 , c∈R x2-y2=c ; yy'=x , c∈R y2-x2-xy=c ; x-2y y'+2x+y=0, c∈R y=cx-23 ; 2xy3dx+3x2y2dy=0, c∈R 2-Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de variable separables 2xy+6x+x2-4y'=01+y2 dx+1+x2 dy=0xy-4x dx+x2y+y dy=0ex+2ydx-e2x-ydy=0y1+x3y'+x21+y2=0x2-y2 dx+2xy dy=0x dy-y dy=0 2y dx+xy+5x dy=0y'=x-1+xy-ycosx dy-y dy=0xy+y' ex2lny=0dxdt+sent.y=0 , y0=32x y'=x-1+xy-ycosx dy-y dy=0xy+y' ex2lny=02y2 dydt+sent.y=0 , y0=32 3.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas y2-xydx+x2dy=0x+3dx+xdy=0x+3dx+xdy=0xdydx-x eyx=y+x, y1=0(x2-y2)dx+2xydy=0ysenyx+xcosyxdx-xsenyxdy=0xy'+xyx-1-y=0dx-y-1x+tag (y-1x)dy=0y-x Cotgxydy+y Cotagxy dx=02x-y dx+x+2y dy=0xdydx-x eyx=y+x , y1=0x2dy+y2-xydx=0x+x2-xyy1=y ; y1=0y'=x34x3-3x2yy'=x+y-12x-y+1x+y+1dx+2x+2y-1dy=02x-y+1dx+2x-y-1dy=0x-ydx+2x+y-4dy=02x-y+1dx+4x-2y-1dy=0-x-y+5dx+2x+2y-1dy=0 4.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de orden uno y'+2y=e2xxy'-x+1y=x2-x3xy'+y+x=exxy'+2y=x3y'+y cotagx=cosecxy'+y cotagx=4x2cosecxx y'+2+3x y=x e-3xxy'-y=x3y4xy'+x+1y=5y'+y tagx=senxxy'+2y=4x4y4xy'+8x+1)=5y'+y+tagx=senxxy'+2y=4x4y4tagx dy+y-senx dx=0 5.- Reducir a forma lineal las siguientes ecuaciones diferenciales y'+2 x-1y=x6y3y'+2 y=e2x y2 y'+y ctag x=csec xy'+2 x y=(x+3)y2y'= y tag x-y2cosxy=x (y')2+y'y=x1+y'22y'y=2xy'+1y'2y=x (y')2+(y')3y=x y'+cosy'y=x y'+ y'+ y'y=12 (xy'+y'lny')y'=y ctag x+ y2sen xy'+ 4xy=2x e-2x y 6.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas x+3ydx+3x-2ydy=0 x2+y2 dx+2xy dy=0 3y+et+3t-2y dydt=0 x+y+1dx+x-y2+3dy=0 lny2+1dx+2yx-1y2+1dy=0 y'=-yx exseny dx+ex.cosy dy=0 lny dx+xy dy=0 7.- Calcule el factor integrante y resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales 3x+6x+3y2dx+2x2+3xydy=0 1-xydx+xy-x2dy=0 2ydx+(1-lny-2x)dy=0 xy-ydx+x2-2x+ydy=0 x4cosx+2ay2xdx-2ax2ydy=0 xy2-y3+1-xy2 y'=0 y dx+x+x2y2 dy=0 , sugerencia ux,y 8.- Problemas de aplicación de las ecuaciones diferenciales 8.1.- Un proyectil inicialmente en el origen, se mueve hacia abajo en un medio fluido de tal manera que su velocidad está dada por v=2600(1-e-0,3 t) mm/s donde se te expresa en segundos. Determine el desplazamiento de la partícula en 2 s. 8.2.- Una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria recta con una aceleración a=(kt3+4) mm/s2 donde es el tiempo expresado en segundos. Determine el valor de la constante k y calcule la velocidad de la partícula cuando t=3s, sabiendo que su velocidad es 120mm/s, cuando t=4s y -100mm/s cuando t=2s. 8.3.- Si se toma en cuenta los efectos de la resistencia atmosférica, un cuerpo cayendo libremente tiene una aceleración definida por la ecuación a=9,81(1-v2 10-4)m/s2 donde v es la velocidad expresado en m/s y la dirección positiva es hacia abajo. Determine el valor de la velocidad a los 5s y calcule el valor máximo de la velocidad alcanzado por el cuerpo. 8.4.- Un proyectil se dispara verticalmente y hacia abajo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60m/s. Si la resistencia del fluido produce una desaceleración dada por a=-0,4 v3 m/s2 don de v se mide en m/s, determine la velocidad y la posición de la partícula cuatro segundos después de su disparo. 8.5.- Se tiene una población de bacterias que se reproducen constantemente de tal manera que su velocidad de crecimiento es proporcional el número de bacterias presente. ¿Cuánto tiempo tardara esta población de bacterias hacerse 20 veces mayor? Sabiendo que se duplicaron en las primeras dos horas. 8.6.- La relación entre el costo C de fabricación por artículo y el número n de artículos fricados es tal que, la tasa de incremento del costo de fabricación a medida que aumenta el número de clases de artículos, es proporcional a C+nn. Hallar la relación entre el costo de fabricación por artículo y el número de tipos de artículos fabricados sabiendo, sabiendo que cuando se produce el primer artículo su costo es 60Bs. Considere a n como una variable continua. 8.7.- Un tanque cuya capacidad es de 200litro, contiene S0 kilogramos de sal disuelta en agua. Supongamos que en cierto instante de tiempo vaciamos en el tanque una salmuera ( agua con sal) que contiene 1/10 de kilogramo de sal por litro y a una tasa de 20 litros por minuto. Suponemos que la mezcla es removida constantemente para homogeneizarla, al mismo tiempo sale la mezcla a la misma tasa de 20 litros por minuto. Determine la concentración al cabo de cualquier instante t, después de iniciado el proceso. 8.8.- La relación entre la utilidad neta P=P(x) y el gasto de propaganda x de una empresa es tal que la tasa de incremento de dicha utilidad, a medida que crece el gasto de propaganda, es proporcional a la diferencia entre una constante A y la utilidad neta. Sabiendo que P(0)=P0, Determinar la función P(x). 8.9.- Un termómetro se mantenía graduado en una habitación cuya temperatura era de 18°C. Diez minutos después de haberlo sacado de la habitación el termómetro marca 26°C. ¿Cuál es la temperatura exterior suponiendo que esta se mantiene constante? 8.10.- Una bola de naftalina de forma esférica y radio R pierde masa por evaporación a una razón que es proporcional al área de su superficie. Si esa bola pierde la mitad de su masa en 60 días. ¿En cuanto tiempo desaparecerá la bola completamente? 8.11.- Cuando un cuerpo se mueve sobre una superficie rugosa sobre este actúa una fuerza de fricción o roce que se opone a su movimiento Fr =µ N donde µ es la contente de proporcionalidad conocida como coeficiente de fricción, y N es la fuerza normal o fuerza que ejerce la superficie sobre el cuerpo. Supongamos que se tiene un cuerpo de 80Kg y que parte del reposo en la parte más alta de un plano inclinado de 30° sobre la horizontal, de tal manera que la resistencia del aire es numéricamente igual a la velocidad del mismo y el coeficiente de fricción con la superficie es µ. Determine la velocidad del cuerpo es cualquier instante t, después de iniciado el deslizamiento. 8.12.-Dos sustancias A y B se combinan para producir una tercera sustancia C de tal manera que, en la reacción resulta que resulta entre las dos sustancias por cada gramo de A se usan 5 gramos de B. Después de 25 minutos se observa que se han formado 60gr de C. Determine la cantidad de C al cabo de un tiempo t sabiendo que inicialmente había 100gr de A 300gr de B, y que la tasa de reacción en cualquier instante, con que se forma C es proporcional a las cantidades de A y B que hay en ese instante. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR A UNO Las ecuaciones diferenciales de orden mayor o igual que dos son bastante difíciles de resolver. De manera particular estudiaremos algunas ecuaciones; las denominadas lineales, para las cuales existe un teorema general a efectos de su integración. Si se quiere una solución particular de una E.D de orden n mayor o igual a dos, debemos dar n condiciones iníciales, lo cual se hace prefijando el valor de la solución y de sus n-1 primeras derivadas en un punto dado x0. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN DOS QUE SE REDUCEN A UNA ECUACIÓN DE ORDEN UNO Caso 1: Ecuaciones de la forma y''=fx Este es el caso más sencillo de una E.D.L de orden dos, ya que se resuelven integrando dos veces. Para determinar una solución particular, se plantean las condiciones iníciales ya=b y y'a=c con lo que se plantea un sistema de ecuaciones obteniéndose los valores de las constantes de integración C1 y C2. Ecuaciones donde falta la variable y o la variable x Caso 2: Falta la variable dependiente y. Fx,y',y''=0, para integrar este tipo de ecuación se considera la ecuación de orden uno en y', es decir haciendo el cambio y'=P → y''=P', d2ydx2=dPdx Caso 3: Falta la variable dependiente x.. Fy,y',y''=0, para integrar este tipo de ecuación, se considera y como la variable independiente, es decir, si y'=P → y''=dPdx=dPdy dydx → y''=PdPdy FORMA GENERAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ORDEN DOS Esta es una ecuación de la forma Axd2ydx2+Bxdydx+Cxy=Dx Donde Ax≠0 dividiendo la expresión por Ax. La E. D adopta la forma y''+Px y'+qx y=fx. Esta es una E.D.L de coeficientes variables. Si la E. D. L a y''+b y'+c y=d , con a, b, c, d son constantes reales, entonces la E. D. L es de coeficientes constantes. Si d=0 entonces la ecuación diferencial lineal es homogénea: a y''+b y'+c y=0 (H) Algunos teoremas acerca de las E. D. L de orden dos 1.- Si y1x, y2(x) son dos soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea, entonces cualquiera sean las constantes C1 y C2, se tiene que la función yx=C1 y1x+C2 y2(x) es también solución de la ecuación. Nota: Esta proposición no es cierta para ecuaciones diferenciales no homogéneas o en ecuaciones diferenciales no lineales. -El conjunto de las soluciones de (H) es el núcleo de la aplicación lineal T del operador diferencial lineal -Si conocemos todas las soluciones y=y(x) de la ecuación homogénea Ax y''+Bx y'+Cx y=0 (H) y una solución particular y=g(x) de la ecuación no homogénea Ax y''+Bxy'+Cx y=D(x) entonces también conocemos todas las soluciones de la ecuación no homogénea (NH) que son las funciones yx+gx. A fin de hallar la solución de una E.D.L no homogénea, debemos encontrar la solución general de la ecuación homogénea (H) y alguna solución particular de la ecuación (NH) no homogénea. -Si y1x, y2x son dos soluciones de (H) definidas en J, tales que el siguiente determinante es no nulo en todo el punto x∈J wy1, y2=y1(x)y2(x)y1'(x)y2'(x)=y1x.y2'x-y2x.y1'x (Wronskiano de y1,y2)entonces la función C1 y1x+C2 y2(x), donde C1 C2 son constantes cualesquiera, es la solución general de la ecuación (H). En estos casos nos limitaremos a los casos de coeficientes constantes donde su resolución es muy sencilla, la cual depende de una ecuación algebraica de segundo grado. Caso 4: Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden dos con coeficientes constantes: Consideremos la ecuación H A y''+B y'+C=0 donde A, B, C son números. Como la solución de H es de la forma yx=eλx al sustituir en H se obtiene la ecuación característica o ecuación auxiliar de H es: A λ2+B λ+C=0 H'. Si λ1 y λ2 son raíces de H' Entonces las funciones y1x=eλ1 x, y2(x)=eλ2 x son soluciones de H sabemos que, siendo A, B, C números reales, la ecuación de segundo grado H' tiene dos raíces λ1 y λ2 que pueden ser Raíces reales distintas : λ1 ≠ λ2, tenemos dos soluciones de (H) y1x=eλ1 x, y2xeλ2 x ∀ x∈R y la solución general de (H) es wy1,y2=yx=C1eλ,x+C2eλ2x donde C1, C2 ∈R. Raíces reales dobles (iguales) : λ1= λ2, las soluciones de (H) son iguales, es decir; y1x=y2x= eλ1 x ∀ x∈R y la solución general de H es : wy1,y2=yx=C1 eλ1 x +C2 x eλ1 x donde C1, C2 ∈R. Raíces Complejas: λ1=a+ib , λ2=λ1 =a-ib , b≠o ,luego las soluciones de H son y1x=ea+ibx, y2x=ea-ibx , recordemos la fórmula de Euler ea+ibx=eaxcosbx+i senbx , por tanto las soluciones de H se escriben y1x=eaxcosbx+isenbx, y2x=eaxcosbx-isenbx por tanto la solución general de H es : wy1,y2=yx=eax C1 cosbx+C2 senbx∴C1,C2ϵR. Caso 5: Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden n con coeficiente constante Sea la E.D.L de orden n: a0 y(n +a1 y(n-1 +a2 y(n-2 +…+an-2 y'' +an-1 y' +any=0 (H) Sean λ1, λ2, …,λn números reales distintos dos a dos, tales que son raíces de la ecuación: a0 λn+a1 λn-1+a2 λn-2+…+an-2 λ2+an-1 a0 λ + an=0 (H’) Entonces la solución general de (H) es yx=C1 eλ1 x+C2 eλ2 x+C2 eλ3 x+…+Cn eλn x siendo C1, C2, C3,…, Cn constantes reales arbitrarias. El caso de que la ecuación diferencial tenga raíces iguales o complejas se procede de manera análoga a los casos planteados en los casos 4.b y 4.c. En caso de tener n raíces iguales la solución parcial a la E.D es yx=C1 eλ x+C2 x eλ x+C2 x2eλ x+…+Cn xneλ x yx=(C1+C2 xn+C3 xn+…+Cn xn) eλ x donde C1, C2, C3,…, Cn constantes reales arbitrarias. Caso 6: Ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficiente constante: Consideremos la E.D.L con coeficiente constante no homogénea (NH): NH A y''+B Y'+C=f(x) a efecto de resolver esta ecuación, primero debemos encontrar una solución particular de las misma, la cual sumamos a la solución general de la correspondiente ecuación homogénea H A y''+B y'+C=0 para determinar la solución general de la E.D.L (NH), existen varios procedimientos, de las cuales estudiaremos tres de ellos: Método de los coeficientes indeterminados o de ensayo de solución Método de variación de perímetros Método de transformación de Laplace Método de los coeficientes indeterminados En primer lugar resolvemos la correspondiente ecuación homogénea, y atendiendo a la estructura de la función f(x) en el segundo miembro de la ecuación (NH) establecemos el tipo de solución a ensayar, según sea la forma de f(x). Se puede ensayar soluciones del tipo: Px, Mxcosβx+Nxsenβx , Ae∝x, o productos de estas. Método de variación de parámetros Este método permite encostrar una solución particular de una E.D.L (NH) a partir del conocimiento de la solución general de la E.D.L homogénea asociada a la misma. Este método, debido a Lagrange, es aplicable tanto a E.D.L con coeficiente constante como a las de coeficiente variable. Si y1=y1x y y2=y2(x) son dos soluciones linealmente independientes de (H), entonces yx=C1 y1+C2 y2 , C1,C2∈R. Es la solución general de (H) para la solución de (NH) ensayamos la solución yx=C1x .y1x+C2x.y2(x) de manera tal que satisfaga el sistema C1'x. y1x+C2' . y2x=0C1'x.y1'x+C2'x. y2'x=f(x)A(x) en los integrantes se asumen las constantes nula, ya que su efecto es agregar una solución de (H). Otra manera de logra una solución particular NH calcular directamente la solución no homogénea a través de la integral yNHx=w1wfx dx+w2wfx dx+w3wfx dx+… siendo la solución general: y = yH + yNH y w, w1, w2,… los respectivos wroskianos para una ecuación diferencial de segundo orden wy1, y2=y1(x)y2(x)y1'(x)y2'(x); w1=0y2(x)1y2'(x); w2=y1(x)0y1'(x)1 donde y1(x) y y2(x) son las soluciones parciales homogéneas de la E.D no homogénea de una ecuación diferencial lineal de segundo orden. w=y1(x)y2(x)y3(x)y1'(x)y2'(x)y3'(x)y1''(x)y2''(x)y'3'(x); w1=0y2(x)y3(x)0y2'(x)y3'(x)1y2''(x)y'3'(x); w2=y1(x)0y3(x)y1'(x)0y3'(x)y1''(x)1y'3'(x) w3=y1(x)y2(x)0y1'(x)y2'(x)0y1''(x)y2''(x)1 donde y1(x), y2(x) y y3(x) son las soluciones parciales homogéneas de la E.D no homogénea de una ecuación diferencial lineal de tercer orden. De manera análoga se procede para E.D no homogéneas de orden superior. 1.- Encuentre la solución general de cada una de las E.D dadas y determine una solución particular de las ecuaciones cuyas condiciones de fronteras se especifican y''-5y'+6y=0y''+x=1y''=y'2y''=senx , yπ=0 , y'π=1y''+1xy'-x=0 , x>0xy''-(y')2=1 , y1=0, y'1=11-xy''=y'y''+8y'+15y=0y''+6y'=0y''+2y'+y=0, y1=0, y'1=0y''+2y'+3y=02y''-4y'+y=0y''+8y'+16y=0, y0=2, y'0=1d2ydx-2dydx+5y=0, y0=2, y'0=1y'''-21y'+20y=0y'''-4y''-y'-3y=0y(IV+y=02y(IV-11y'''+18y''+4y'-8=0y''-3y'+2y=4xe3xy''-10y'+41y=senxy''+4y'+4y=xe-2xy''=6x, y1=2, y'1=0y''-xcosx=0y''y-1=2y'2y''=y'.ey, y0=0 , y'0=1y''+4y=02yy''-(y')2=1y''-2yy'=0y''-4'+4y=02y''-y'-y=0y''-6y'+y=0 , y0=1 , y'0=1y''+4y'+4=0 , y0=0 , y'0=1y''+4y=0, y0=1 , y'0=2d2xdx2+6dydx+2y=0y''+y=0, y0=1, y'0=2y''+4y'+4y=0y(IV-2y'''-y''+2y'=0y(IV-y'''-4y''+4y'=0y(IV-y''=0y(IV-y''+4y=0 y''-3y'-18y=xe4x y''+3y=5cos4x y''+y'-2y=3x2-4x+1 y'''-4y''+3y'=0, y0=0, y'0=0, y''0=1