Integrales triples

INTEGRALES
TRIPLES
Ing. Gabriela Marijan

Sea f una función continua de tres variables
en una región sólida acotada B
Supongamos primero que B es una caja rectangular
(paralelepípedo rectangular)
f : S Ì R3 ® R
B = {( x, y,z) / a £ x £ b,c £ y £ d , p £ z £ q}
B = [a,b]´[c,d]´[ p,q]
Matemática III - S.R.T.-

Primero dividamos el rectángulo B en n subcajas . Para esto dividamos los tres
lados en n partes iguales.
[ ] i 1 i x ,x -
El intervalo [a,b] quedará dividido en n subintervalos, con una ancho
igual a
Dx
[ ] j 1 j y , y - Dy
[ ] k 1 k z ,z - Dz
[c,d] quedará dividido en n subintervalos con ancho igual a
y el intervalo [p,q] en subintervalos con ancho igual a

Cada subcaja Bijk tiene un volumen D V = D x × D y × D z .
Si formamos la suma triple de Riemann
( )
åååf x , y ,z ×DV
= = =
( ) ijk ijk ijk ijk
n
i 1
n
j 1
n
k 1
ijk ijk ijk
donde el punto muestra x , y ,z está en B
Definimos la integral triple como el limite de las sumas triples
riemannianas, para cuando la norma de la partición tiende a cero

Definición: “ La integral triple”
Sea f una función continua de tres variables, definida en una región
sólida acotada B, si
n
lim f (x , y ,z ) V
ååå D
D ® = = =
i 1
n
j 1
n
k 1
ijk ijk ijk
0
existe, decimos que f es integrable en B. Además la
f ( x, y,z )dV
òòò
B
llamada la integral triple de f en B, está dada entonces por
n
f ( x, y,z)dV lim f (x , y ,z ) A
òòò = ååå D D ® = = =
i 1
n
j 1
n
k 1
ijk ijk ijk
0
B

“Integrabilidad”
No toda función de tres variables es integrable en una región sólida B.
“Si f está acotada en la región sólida B y si es continua ahí, excepto en
un número finito de superficies suaves ( es decir sus discontinuidades
están confinadas en gráficas de funciones continuas como x=α(y,z),
y=β(x,z), z=γ(x,y) ) entonces f es integrable en B. En particular si f es
continua en todo B, entonces f es integrable ahí”

“Propiedades de la integral triple”
Sean f y g funciones integrables región sólida B, y sea c una
constante. Entonces f + g y cf son integrables y
òòò[ + ] = òòò + òòò
B B B
f ( x, y,z ) g( x, y,z ) f ( x, y,z )dV g( x, y,z )dV
òòò cf ( x, y,z )dV = c òòò
f ( x, y,z )dV
B B
òòò = òòò + òòò
B B1 B2
f ( x, y,z )dV f ( x, y,z )dV f ( x, y,z )dV
Donde B es la unión de dos regiones sólidas B1 y B2 sin
solapamiento.

“Cálculo de integrales triples ”
Al igual que con las integrales dobles, el método práctico para
evaluar las integrales triples es expresarla como integrales iteradas
Teorema de Fubini para las integrales triples”
“Si f es continua en una caja rectangular
B = [a,b]´[c,d]´[ p,q]
entonces, si existe cualquier integral iterada es igual a la integral
triple”
òòò òòò ò ò ò
f ( x, y,z )dV f ( x, y,z )dxdydz f ( x, y,z )dxdydz
ò ò ò
ò ò ò
= =
=
=
b
a
q
p
d
c
q
p
b
a
d
c
q
p
d
c
b
a
B B
f ( x, y,z )dydxdz
f ( x, y,z )dydzdx
Así sucesivamente (en total hay seis ordenaciones)

Ejercicios
òòò
B
1-Evalúe la integral triple xyz2dV
donde B es la caja
rectangular dada por
B ={( x, y,z) / 0 £ x £1;-1£ y £2;0 £ z £3}
ex+ y+z
2-Integrar sobre la caja
[0,1]´[0,1]´[0,1]

Definición:“La integral sobre regiones elementales”
Sea S un conjunto cerrado y acotado en el espacio
tridimensional. Sea B cualquier caja que contiene a S
Dada f definida y continua en S, definimos una nueva función F
con dominio B mediante
î í ì
f ( x, y,z ) si( x, y,z )está en S
Ï Î
=
0 si (x, y,z) S y (x, y) B
F( x, y )

Definición:“La integral sobre regiones elementales”
Si la integral triple de F existe sobre S, entonces definimos la
integral triple de f sobre S como
òòò =òòò
S B
f ( x, y,z )dV F( x, y,z )dV
Nota: Esta integral existe si f es continua y la frontera de S es
razonablemente suave.

“La integral triple sobre regiones elementales:
Regiones tipo 1
Regiones:“Tipo 1 o z-simples”
Se dice que una región sólida B es de tipo 1 si se halla entre las
gráficas de dos funciones continuas de x e y , es decir
S {( x, y,z) / ( x, y) D , ( x, y ) z ( x, y )} xy 1 2 = Î f £ £ f
donde Dxy es la proyección de S en el plano XY. La frontera
superior del sólido es la superficie de
ecuación en tanto que
la frontera inferior es la sup. de
ecuación
z ( x, y ) 2 = f
z ( x, y ) 1 = f
S

Entonces si S es una región tipo 1
òò ò òòò úû ù
êë é
= f
f ( x, y,z )dV f ( x, y,z )dz dA
f
1 D
xy
( x,y )
( x,y )
2
S
Además, {( si la proyec. Dde S sobre el plano XY es una región tipo1
xy S = x, y,z) / a £ x £ b,g ( x ) £ y £ g ( x ), f ( x, y ) £ z £ f
( x, y )} 1 2 1 2 la ecuación anterior se convierte en
òòò ò ò òf
f ( x, y,z )dV f ( x, y,z )dzdydx
f
= b
a
g ( x )
g ( x )
( x ,y )
( x ,y )
S
2
1
2
1
S
y=g2y=g (x) 1(x)

Si la proyec. Dxy de S sobre el plano XY es una región tipo2
S {( x,y,z) / c x d, h ( y ) x h ( y ), ( x,y ) z ( x,y )} 1 2 1 2 = £ £ £ £ f £ £ f
la ecuación anterior se convierte en
= d
h ( y )
h ( y )
òòò ò ò òf
f ( x, y,z )dV f ( x, y,z )dzdxdy
f
c
( x ,y )
( x,y )
S
2
1
2
1
Ejercicio-Evalúe la integral triple
òòò zdV
donde S es el tetraedro
S
S
sólido acotado por los cuatro planos
x=0 , y=0 , z=0 y x+y+z = 1

Regiones tipo 2
Una región sólida S es de tipo 2 si es de la forma
S {( x, y,z) / ( x, y) D , ( y,z ) x ( y,z )} yz 1 2 = Î f £ £ f
Donde Des el proyección sobre el plano YZ.
yz La superficie de atrás es x = f
( y,z ) 1 , la superficie de enfrente
es x = f
( y,z ) 2 así que tenemos
êë é
= f
f
yz
2
1 D
( y ,z )
( y ,z )
S
f ( x, y,z )dV f ( x, y,z )dx dA

Regiones tipo 3
Una región sólida S es de tipo 3 si es de la forma
S {( x, y,z) / ( x, y) D , ( x,z ) y ( x,z )} xz 1 2 = Î f £ £ f
Donde Des el proyección sobre el plano YZ.
xz La superficie de la izq. es y = f
( x,z ) 1 , la superficie de la
derecha es así que tenemos
y ( x,z ) 2 = f
êë é
= f
f
xz
2
1 D
( x ,z )
( x ,z )
S
f ( x, y,z )dV f ( x, y,z )dy dA

Ejercicios
1
0
x
0
2
x2 y2 dzdydx
1-Evalúe la integral Trazar la región de
integración S e interpretar.
2-Calcular
3- Calcular
ò ò ò +
ò p ò p
2
2
ò 0
x
3
1
sen y2 dzdydx
ò 2
ò x
ò x + y
+ 0
0
0
ex( y 2z )dzdydx

Determinación de los límites de integración
1- La región del primer octante acotado superiormente por el
cilindro z = 1- y2
y comprendida entre los planos verticales
x+y=1 e x+y=3.
2- El hemisferio superior dado por
z = 1- x2 - y2
3- La región limitada inferiormente por el paraboloide
z = x2 + y2 x2 + y2 + z2 = 6
y superiormente por la esfera

Aplicación geométrica: Volumen
Para una región sólida simple S se define su volumen como
= òòò = òòò
V( S ) dxdydz dV
S S
Ejercicios
1-Calcular el volumen de
S = {( x, y,z) / - 2 £ x £ 2, 0 £ y £ 6, 0 £ z £ 4 - x2 }
2- Calcular el volumen del sólido
NOTA:
z = 9 - x2 - y2 , x ³ 0 , y ³ 0 , z ³ 0
a
arcsen u
8
5a 2u a u 3a
8
ò - = ( - ) - + +C
( a u ) du u
4
2 2 2 2 2
2 2 3

Coordenadas cilíndricas:Revisión
En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en el espacio
tridimensional se representa mediante una tripleta ordenada
donde r y son las coordenadas polares de la proyección de P sobre
el plano XY, y z es la distancia desde el plano XY a P.
Las ecuaciones para pasar de coordenadas
cilíndricas a rectangulares son:
Como resultado la función f (x,y,z) se trans-forma
en :
( r,q,z )
q
x =r cosq y =rsenq z = z
f ( x, y,z ) = f ( r cos q,rsenq,z ) = F( r,q,z )

Integrales triples en coordenadas cilíndricas
Para expresar en coordenadas cilíndricas una integral triple, supongamos
que S es una región sólida y f es continua en S.
Dividamos S por medio de una cuadrícula cilíndrica, donde el elemento de
volumen típico tiene la forma de una “cuña cilíndrica” cuyo volumen es
Y la suma que aproxima la integral tiene la forma
k k k z r r ) z , , r ( F D q D D q å=
k K K K entonces, al tomar el límite cuando l:
n
k 1
K k K K K DV = r Dr Dq Dz

Definición: “ La integral triple en coordenadas cilíndricas”
Sea f una función continua de tres variables, definida en una región sólida
acotada S
S = {( x, y,z) / ( x, y) Î D , f ( x, y ) £ z £ f
( x, y )} xy 1 2 cuya proyección Den el plano XY puede describirse en coordenadas
XY polares, es decir Des una región plana r-simple o θ-simple, entonces
XY òò ò òòò úû ù
êë é
( x,y )
( x,y )
= q q f
f ( x, y,z )dV f ( r cos ,rsen ,z )dz dA
f
1 D
xy
2
S
donde la integral doble D = {(se r, q ) calcula en polares.. Si Des r-simple
/ a £ q £b , h ( q ) £ r £ h XY ( q
)} XY 1 2 la integral triple en coordenadas cilíndricas es
= q q q h2( )
òòò ò ò ò b
f ( x, y,z )dV f ( r cos ,rsen ,z )rdzdrd
a
q
q
f
f
h ( )
( x ,y )
( x,y )
S 1
2
1
NOTA:Esto es uno de los seis posibles ordenes de integración.

Para visualizar un orden particular de integración conviene interpretar la
integral triple como una secuencia de tres movimientos de barrido, cada
uno de los cuales añade una dimensión al sólido.
Por ejemplo, si el orden de integración es dr dθ dz
*La primera integración tiene lugar en la
dirección de r, como si un punto barriera
un segmento radial conforme r crece
*Seguidamente, al crecer θ, el segmento recto
Barre un sector
*Finalmente al crecer z, ese sector barre una
cuña sólida

Ejercicios
2
2
4 -
x
+ 2
4 x
ò ò ò -
2
x y
2 2
2 2 2 ( x y )dzdydx
1-Evalúe la integral
- - +
en coordenadas cilíndricas. Trazar la región de integración S
e interpretar.
2-Calcular en coordenadas cilíndrícas el volumen de una
esfera de radio a
3 Aplicando coordenadas cilíndricas calcular el volúmen de la
región
z = 9 - x2 - y2 x ³ 0 y ³ 0 z ³ 0

En el sistema de coordenadas esféricas, un punto P en el espacio
tridimensional se representa mediante una tripleta ordenada
donde r = OP es la distancia del origen a P , q
es el mismo ángulo que
en las coordenadas cilíndricas y f
es el ángulo entre el eje positivo Z
y el segmento de recta OP. Observe que,
r ³ 0 0 £ f £ p
Las ecuaciones para pasar de coordenadas
esféricas a rectangulares son:
Como resultado la función f (x,y,z) se trans-forma
en :
(r,q,z )
Coordenadas esféricas:Revisión
x =rsenfcosq y =rsenfsenq z =rcosf
f ( x, y,z ) = f (rsenfcos q,rsenfsenq,rcos f ) = F(r,q,z )

Integrales triples en coordenadas esféricas
Para expresar en coordenadas esféricas una integral triple, supongamos
que S es una región sólida y f es continua en S.
Dividamos S por medio de una cuadrícula esférica,mediante las esferas
los semiplanos y los semiconos El elemento de volúmen típico
tiene la forma de una “cuña esférica” con dimensiones , (el arco
de un círculo con radio y un ángulo ) y (el arco de un
círculo de radio y un ángulo ). De modo que su volúmen será.
2
K i V sen
D = r f DrDqDf i
Y la suma que aproxima la integral será
r q f r 2
f D r D q D f å=
i
i
n
i 1
i i i F( , , ) sen
i r = r
i q = q i f = f
Dr r Df i
i r Df r f Dq i i sen
i i r senf Dq

Integrales triples en coordenadas esféricas
Entonces, al tomar el límite cuando la norma de la partición tiende a
cero, obtenemos la fórmula para la integración triple en coord.
esféricas
f ( x, y,z )dV b f ( sen cos , sen sen , cos ) 2sen d d d
òòò = ò f
ò b
ò r f q r f q r f r f r q f f
a
a
S
2
1
Donde S es una cuña esférica dada por
{ } 1 2 S = ( r,q,f ) / a £ r £ b , a £ q £ b , f £ f £ f
NOTA: La fórmula anterior dice que convertimos una integral triple, de coordenadas
rectangulares a coordenadas esféricas, al escribir
x =rsenfcosq y =rsenfsenq z =rcosf
Utilizando los límites de integración adecuados y sustituyendo
dV con r2senf dr dq df

Al igual que en coordenadas cilíndricas la integrales triples en
coordenadas esféricas se calculan mediante integrales iteradas.
Se puede visualizar un orden particular de integración, interpretando la
integral triple como una secuencia de tres movimientos de barrido, cada
uno de los cuales añade una dimensión al sólido.
Por ejemplo, para la integral iterada ò 2 p ò p
4
ò 3
r 2sen f d r d q d
f 0
0
0

Ejercicios
ò p p 4 ò 4
ò cos
q r 2sen f cos f d r d q d
f
0
0
1-Calcular la integral iterada
0
2 2 2 3
2- Evalúe donde B es la bola unitaria
òòò + +
B
e( x y z ) dV 2
B = {( x, y,z ) / x2 + y2 + z2 £ 1 }
3- Use las coordenadas esféricas para determinar el volumen
del sólido que está encima del cono z = x2 + y2
y debajo de la
esfera
x2 + y2 + z2 = z

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