SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 150
Descargar para leer sin conexión
Universidad Nacional
  Federico Villarreal

                                   MATEMATICA
     Facultad de Educación
   Matemática - Física
                                      PURA
CALCULO DIFERENCIAL
                             Toribio Córdova C.




                             TEMAS:
                                LÍMITES
                                CONTINUIDAD
                                DERIVADAS
CALCULO DIFERENCIAL                                    UNFV – BASE 2009




    1.       Definición de límite.


              a) 𝑳𝒊𝒎                          =
                                  𝐱 𝟐 −𝟑𝐱+𝟐       𝟏
                        𝒙⟶𝟏 𝐱 𝟐 −𝟒𝐱+𝟑             𝟐




                         𝑳𝒊𝒎 √ 𝐱 + 𝟑 = 𝟐
                         𝒙⟶𝟏
              b)



             Resolución


                     𝑳𝒊𝒎                =
                           𝒙 𝟐 −𝟑𝒙+𝟐          𝟏
                      𝒙⟶𝟏 𝒙   𝟐 −𝟒𝒙+𝟑         𝟐
            a)



                 Resolución

                 ∀𝜀 > 0 , ∃ 𝛿 > 0 / x ∈ Dom f ⋀ 0< |𝑥 − 1| < 𝛿 ⟺ �𝑓(𝑥) − 2� < 𝜀
                                                                                        1



                 �𝑓(𝑥) − 2� < 𝜀
                              1



                     𝑥 2 − 3𝑥 + 2 1
                 �               − � < 𝜺
                     𝑥 2 − 4𝑥 + 3 2

                   2𝑥 2 − 6𝑥 + 4 − 𝑥 2 + 4𝑥 − 3
                 �                             � < 𝜀
                          2(𝑥 2 − 4𝑥 + 3)

                       𝑥 2 − 2𝑥 + 1
                 �                   � < 𝜀
                     2(𝑥 2 − 4𝑥 + 3)


                      �(𝑥−1)(𝑥−3) � < 𝜺
                 1       (𝑥−1)2
                 2




Toribio Córdova Condori                  UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física   2
CALCULO DIFERENCIAL                                    UNFV – BASE 2009

                      |𝑥 − 1| �         �< 𝜀
                  1               1
                  2               𝑥−3


                 Acotamos con la asíntota

                 𝑥 − 3 = 0 ⇒ 𝑥 = 3 (Asíntota)             �𝑎 – 𝑥 𝑜 �𝜖 < 0,1]

                 |𝟑 − 𝟏| ∉< 0,1] ⟹ 𝛿1 = 1

                 −1 < 𝑥 − 1 < 1

                 0< 𝑥<2

                 −3 < 𝑥 − 3 < −1

                  1   1
                 − >     > −1
                  3  𝑥−3

                  �         �=1
                       1
                      𝑥−3

                 1            1
                   |𝑥 − 1| �     � < 𝜀 ⟹ |𝑥 − 1| < 2𝜖 = 𝛿2
                 2           𝑥−3



                            ∴     𝜹   𝒎𝒊𝒏   = {𝟏, 𝟐𝜺}      Rpta



                  𝑳𝒊𝒎 √ 𝒙 + 𝟑 = 𝟐
                  𝒙⟶𝟏
           b)


                 Resolución
                 ∀𝜀 > 0 , ∃ 𝛿 > 0 / x ∈ Dom f ⋀ 0< |𝑥 − 1| < 𝛿 ⟺ |𝑓(𝑥) − 2| < 𝜀

                |𝑓(𝑥) − 2| < 𝜀

                �√𝑥 + 3 − 2� < 𝜺

                  𝑥+3−4
                �       �< 𝜺
                 √𝑥+3+2




Toribio Córdova Condori                 UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física    3
CALCULO DIFERENCIAL

                  𝑥−1
                                                                              UNFV – BASE 2009

               �      �< 𝜀
                √𝑥+3+2

                                   1
               |𝑥 − 1| �                  �< 𝜺
                           √𝑥+3+2


                Acotamos con el dominio

                 𝑥 + 3 >0

                √𝑥 + 3 > 0

                √ 𝑥 + 3 + 2 >2


                �           � <2
                      1
                    √ 𝑥+3+2

                            1                   𝜀
                |𝑥 − 1| �      � < 𝜀 ⟹ |𝑥 − 1| < = 𝛿1
                         √𝑥+3+2                 2




                     ∴        𝜹         ={ }
                                              𝛆
                                  𝒎𝒊𝒏         𝟐
                                                  Rpta




                                  𝑳𝒊𝒎 𝒇(𝒙) si existe.
                                  𝒙⟶𝟏
    2.       Calcular


                                   𝟒+∥ ∥ �√ 𝒙−∥ 𝒙 ∥�+∥ ∥ − ∥ 𝒙 − 𝟑 ∥ ; 𝒙 < −𝟏
                                          𝟏                           𝟏
                                          𝒙                           𝒙



                                                                 𝟏
              F(x)=

                                   � 𝟏 − (𝒙. 𝒔𝒈𝒏(𝒙)) 𝟐 −           ; 𝒙 ≥ −𝟏 , 𝒙 ≠ 𝟎
                                                                𝒙



             Resolución




Toribio Córdova Condori                 UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física   4
CALCULO DIFERENCIAL                                    UNFV – BASE 2009



                              4+∥ 𝑥 ∥ �√ 𝑥−∥ 𝑥 ∥�+∥ ∥ − 𝑥 ∥ 𝑥 − 3 ∥ ; 𝑥 < −1
                                       1                         1


              F(x)=

                                                                 1
                                       �1 − (𝑥. 𝑠𝑔𝑛(𝑥))2 −         ; 𝑥 ≥ −1 , 𝑥 ≠ 0
                                                                 𝑥




                𝑳𝒊𝒎 ∃ ⟺ 𝑳𝒊𝒎− = 𝑳𝒊𝒎+                                                       𝒙 < −1
               𝒙⟶−𝟏           𝒙⟶−𝟏          𝒙⟶−𝟏
                                                                                      ∥ 𝒙 ∥ = −𝟐
                       𝐿𝑖𝑚 4+∥ 𝑥 ∥ �√ 𝑥−∥ 𝑥 ∥�+∥ ∥ − 𝑥 ∥ 𝑥 − 3 ∥
                                   1                         1
                                                                                          𝟏
                                                                                      ∥     ∥= −𝟏
                      𝑥⟶−1−

                                                                                          𝒙
               i.

                               = 4 + (−1) ��𝑥 − (−2)� +∥ 0𝑥 − 3 ∥
                                                                                           𝟏
                                                                                      ∥−     ∥= 𝟎
                               = 4 − �√ 𝑥 + 2� − 3                                         𝒙

                               = 4 − ��(−1) + 2� − 3

                               =0

                       𝐿𝑖𝑚+�1 − (𝑥. 𝑠𝑔𝑛(𝑥))2 −
                                                        1
                      𝑥⟶−1                              𝑥

                                                                               𝑺𝒈𝒏(𝒙) < 0
              ii.


                    = �1 − �(−1)(−1)� −
                                             2     1
                                                   −1                       ∴ 𝑺𝒈𝒏(𝒙) = −𝟏

                    =√0 + 1


                    = 1



                      𝑪𝒐𝒎𝒐 𝑳𝒊𝒎− ≠ 𝑳𝒊𝒎+
                              𝒙⟶−𝟏          𝒙⟶−𝟏




                               ∴           𝑳𝒊𝒎 = ∄
                                           𝒙⟶−𝟏
                                                            Rpta




Toribio Córdova Condori                UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física            5
CALCULO DIFERENCIAL                                                  UNFV – BASE 2009




    3.      Calcular :

                                √𝟓 + 𝒙 + √ 𝟐𝟔 − 𝒙 + √𝟏𝟓 − 𝒙 + √ 𝒙 + 𝟏 − 𝟕
                       𝑳𝒊𝒎
                                                   𝟑               𝟒                     𝟒


                       𝒙→−𝟏                  √ 𝒙 + 𝟏𝟎 √ 𝒙 + 𝟏 + √ 𝒙 + 𝟏 − 𝟑
                                                       𝟒




                Resolución

                √𝟓 + 𝒙 + √𝟐𝟔 − 𝒙 + √𝟏𝟓 − 𝒙 + √ 𝒙 + 𝟏 − 𝟕
                                              𝟒

         𝑳𝒊𝒎
                            𝟑                              𝟒


         𝒙→−𝟏          √ 𝒙 + 𝟏𝟎 √ 𝒙 + 𝟏 + √ 𝒙 + 𝟏 − 𝟑
                                     𝟒




          �5+𝑥−    2+ �26−𝑥−3+ �15−𝑥−2+ � 𝑥+1−7−7
                       3                 4             4
      =
                    � 𝑥+10−3 � 𝑥+1+� 𝑥+1−3+3
                            4



          �5+𝑥−    2+ �26−𝑥−3+ �15−𝑥−2+ � 𝑥+1−7−7
                       3                 4             4
      =
                    � 𝑥+10−3 � 𝑥+1+� 𝑥+1−3+3
                            4




                   +                                           +                                            + √𝑥+1
          5+𝑥− 4                     26−𝑥−27                                         15−𝑥−16                    4
         √5+𝑥+ 2
                                 2                                               2

    =
                       � √26−𝑥       �+� √26−𝑥�(3)+(32 )               � √15−𝑥       �+� √15−𝑥 �(2)+(22 )
                        3                3                              4               4


                                                         + √𝑥+1+√𝑥+1
                                              𝑥+10−9       4
                                             √    𝑥+10+3




          + 27 + −(𝑥+1)
       𝑥+1 −(𝑥+1)
     = 4           12
                                                                            Racionalización

               𝑥+1                                     ( 𝒂 𝒏 − 𝒃 𝒏 ) = (𝒂 − 𝒃)(𝒂 𝒏−𝟏 +𝒂 𝒏−𝟐 𝒃 + 𝒂 𝒏−𝟑 𝒃 𝟐 + … + 𝒃 𝒏−𝟏 )
                6




      =
            27(𝑥+1)−4(𝑥+1)−9(𝑥+1)
                     108
                     𝑥+1
                      6




Toribio Córdova Condori                  UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                                6
CALCULO DIFERENCIAL                                                               UNFV – BASE 2009



             =               = 18(𝑥+1) = 9
                  14(𝑥+1)
                    108           14(𝑥+1)                           7
                    𝑥+1
                     6




                   ∴        𝑳𝒊𝒎                                                                              =
                                   √𝟓+𝒙+ √ 𝟐𝟔−𝒙+ √𝟏𝟓−𝒙+ √ 𝒙+𝟏−𝟕                                                  𝟕
                                                               𝟑                   𝟒            𝟒

                            𝒙→−𝟏                       √ 𝒙+𝟏𝟎 √ 𝒙+𝟏+√ 𝒙+𝟏−𝟑
                                                                        𝟒                                        𝟗
                                                                                                                     Rpta




    4.       Calcular:


                    𝑳𝒊𝒎
                                               𝝅
                             𝒕𝒈 (𝒙− 𝟒 )
                                       𝝅
                   𝒙→𝝅∕𝟒          𝒙−
             a)
                                       𝟒




             b) 𝑳𝒊𝒎                                                 , 𝒎> 𝒐
                             𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒙)−𝒄𝒐𝒔( 𝒎𝒙)
                    𝒙→𝟎                        𝒙𝟐



             Resolución



                    𝐿𝑖𝑚
                                           𝜋
                             𝑡𝑔 (𝑥− 4 )
                                       𝜋
                  𝑥→𝜋∕4        𝑥− 4
             a)


                  𝑥− = 𝑢           ⟹ 𝑥= 𝑢+                                             𝑥→                    𝑢→0
                        𝜋                                           𝜋                       𝜋
                                                                                                , entonces
                       4                                            4                       4
                                                                            . Si



                            𝑡𝑔 (𝑢 +                    − )
                                                   𝜋           𝜋

                  𝐿𝑖𝑚                          4               4
                               𝑢+                  −
                                           𝜋               𝜋
                  𝑢→0
                                       4                   4



                    ∴       𝐿𝑖𝑚                                    =1
                                               𝑡𝑔 (𝑢)
                            𝑢→0                        𝑢
                                                                                       Rpta



Toribio Córdova Condori            UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                                   7
CALCULO DIFERENCIAL                                                      UNFV – BASE 2009



                    𝐿𝑖𝑚                                      ; 𝑚> 𝑜
                           cos(𝑛𝑥)−cos( 𝑚𝑥)
                    𝑥→0                𝑥2
             b)


                             −2𝑠𝑒𝑛 �                         � 𝑠𝑒𝑛 �                 �
                                                𝑛𝑥+𝑚𝑥                        𝑛𝑥−𝑚𝑥

                     𝐿𝑖𝑚                            2                           2
                     𝑥→0                                     𝑥2


                            2𝑠𝑒𝑛 �                   � 𝑠𝑒𝑛 �                    �
                                        𝑛𝑥+𝑚𝑥                           𝑚𝑥−𝑛𝑥

                     𝐿𝑖𝑚                        2                           2
                     𝑥→0                                𝑥2

                                     𝑥(𝑚+𝑛)        𝑚+𝑛                               𝑚−𝑛 𝑥(𝑚−𝑛)
                                 2     2
                                            𝑠𝑒𝑛 𝑥� 2 �                      𝑠𝑒𝑛𝑥 � 2 �     2


                     𝐿𝑖𝑚
                                         𝑥(𝑚+𝑛)                                     𝑥(𝑚−𝑛)


                                                                       𝑥2
                                             2                                        2
                     𝑥→0



                             2𝑥 �                   � 𝑥�                �
                                        𝑚+𝑛                       𝑚−𝑛

                     𝐿𝑖𝑚                    2                     2
                                                    𝑥2
                                                                                               Propiedad
                                                                                                             𝑨+𝑩         𝑨−𝑩

                     𝑥→0                                                                                      𝟐           𝟐
                                                                                    Cos A + Cos B = - 2sen         sen




                    ∴      𝑳𝒊𝒎                       =
                                      𝒎 𝟐 −𝒏 𝟐                𝒎 𝟐 −𝒏 𝟐
                           𝒙→𝟎              𝟐                      𝟐
                                                                                Rpta




Toribio Córdova Condori              UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                                    8
CALCULO DIFERENCIAL                                                 UNFV – BASE 2009



    5.     Usando límites calcule:

                           𝑨𝒓𝒆𝒂 ∆𝑩𝑻𝑸
                 𝑳𝒊𝒎
                 𝜶→
                   𝝅
                      𝟐
                           𝑨𝒓𝒆𝒂 ∆𝑷𝑩𝑪




             Resolución


           Se pide: L = lim
                                     Area ∆BTQ
                                               ………………(1)
                           π
                            α→       Area ∆PBC
                                 2


                                               cosθ⋅ tg(45º −θ /2)

                                                            N                    secθ
                                           45º −θ /2                     B
                                                      sθ
                                                    co




                                                P                    θ
                                                                                        x2 + y2 =
                                                                                                1
                                                             sθ
                                                           co




                                                                         1
                                           θ




                                                                         α
                                        tg




                                                       1         θ
                                       C                         θ       O
                                                                             1
                                                             1
                                                       θ                 M
                                                T          cosθ                     S


                                                                         θ
                                                                         Q




Toribio Córdova Condori                 UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                   9
CALCULO DIFERENCIAL

              Cálculo de las áreas
                                                                                         UNFV – BASE 2009



              De la figura:

                               BQ ⋅TM                                                PC ⋅NB
              ∗ Area ∆BTQ =           ……………….(2)                     ∗ Area ∆PBC =          ………………….(3)
                                 2                                                     2

              Se observa: BQ 1+ csc θ; TM cosθ; PC tgθ; NB cosθ⋅ tg 45º − 
                                                                          θ
                           =            =        =       =                 

              Reemplazando en (2) y (3):
                                                                                         2



                              (1+ csc θ)⋅cosθ (1+ senθ)⋅cosθ
              ∗ Area ∆BTQ
                  =                 =
                                     2             2senθ

                                            θ              90º −θ 
                          tgθ⋅cosθ⋅ tg 45º −  tgθ⋅cosθ⋅ tg        
              ∗ Area ∆PBC =                 2=             2 
                                    2                     2

                           1− cos(90º −θ) 
                 tgθ⋅cosθ⋅ 
       =
       Area ∆PBC      =     sen(90º −θ)  tgθ⋅cosθ⋅(1− senθ)
                                           


              Sustituyendo en (1):
                             2                   2cosθ



                        (1+ senθ)⋅cosθ           (1+ senθ)⋅cosθ
          Area ∆BTQ          2 senθ                   senθ
   = lim
    L = lim                               = lim
      α→ Area ∆PBC α→ tgθ⋅ cosθ ⋅(1− senθ) α→ senθ ⋅(1− senθ)
        π            π                         π
        2            2                         2
                             2 cosθ              cosθ

       (1+ senθ)⋅cos2 θ      (1+ senθ)⋅(1− sen2 θ)      (1+ senθ)⋅(1+ senθ) (1− senθ)
= lim
 L = lim = lim      2                        2
   α→ (1− senθ)sen θ
     π
                        α→
                           π   (1− senθ)sen θ      α→
                                                      π        (1− senθ) sen2 θ
                     2                         2                        2


                       (1+ senθ)2
               L = lim               Pero: θ 180º −α
                                         =                       Entonces:
                  α→
                     π   sen2 θ
                     2

                                                                            2
                                                               π
                     [1+ sen(180º −α )]    2
                                              [1+ senα] 1+ sen 2  [1+1]2 2
                                                             2
              = lim
              L                        = lim           =         =     = 2= 4
                   π       2
                       sen (180º −α )       π       2
                                                sen α         2 π     12
                α→
                   2
                                         α→
                                            2              sen
                                                                2



                                               𝑨𝒓𝒆𝒂 ∆𝑩𝑻𝑸
                          ∴         𝑳𝒊𝒎                  = 𝟒
                                      𝝅
                                    𝜶→ 𝟐       𝑨𝒓𝒆𝒂 ∆𝑷𝑩𝑪
                                                                            Rpta



         Toribio Córdova Condori                   UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física   10
CALCULO DIFERENCIAL                                                                                   UNFV – BASE 2009




             Calcular:

               𝑳𝒊𝒎 � �
    6.

                                                                   − 𝒙�; si existe
                                       𝟓        𝒙 𝟕 −𝒙 𝟓
               𝒙→∞                                 𝒙 𝟐 +𝟏



          Resolución                                                                          Racionalización

                  𝑥7 − 𝑥5
                                                                                                                                                         Recordar

                �
                                                                                         (𝒂           𝒏 −𝒃 𝒏 )


          𝐿𝑖𝑚 �           − 𝑥�
                        5                                                                                                                                  𝑨

                   𝑥2 + 1
                                                                             (𝒂 𝒏−𝟏 +𝒂 𝒏−𝟐 𝒃+⋯+𝒂𝒃 𝒏−𝟐 +𝒃 𝒏−𝟏 )                                               = 𝟎
                                                                                                                                                           ∞∃ 𝑅
                                                                                                               =               (a-b)
          𝑥→∞
                                                                                      Factor Racionalizante                                                A




                                                                                                  5
              ⎧                                                         � � x2+1 � − (𝑥)5
                                                                                     x7 −x5                                                               ⎫
              ⎪                                                                                                                                           ⎪
                                                                             5


    = Lim
         𝑥→∞ ⎨ 5 7 5                                                                                                                                      ⎬
              ⎪� � x2+1 �                          + �� 2   � 𝑥+ � � x2+1 � 𝑥2 +                                             � � x2 +1 �        𝑥3 + 𝑥4 ⎪
                                               4                                 3                                   2
                 x −x                                     5       x7 −x5                      5   x7 −x5                      5    x7 −x5

              ⎩                                        x +1
                                                                                                                                                          ⎭


             ⎧                                                                                                                                            ⎫
             ⎪                                                                                    − x5                                                    ⎪
                                                                                      x7 −x5

    = Lim                                                                             x2 +1
       𝑥→∞ ⎨ 5 7 5                         4
                                                                   ⎬
                                                                             3                                   2
             ⎪� � 2 � + � � 2 � 𝑥+ � � 2 � 𝑥 2 + � � 2 � 𝑥 3 + 𝑥 4 ⎪
               x −x                                   5 x7 −x5
                                                   5 x7 −x5                               5 x7 −x5

             ⎩   x +1      x +1       x +1           x +1          ⎭



             ⎧                                                                                                                                                ⎫
             ⎪                                                                                                                                                ⎪
                                                                                     𝑥 7 −𝑥 5 −𝑥 5 (𝑥 2 +1)

    = 𝐿𝑖𝑚                                                                                     𝑥 2 +1
         𝑥→∞ ⎨                             4                                     3                                   2
                                                                                                                                                         ⎬
             ⎪��                       � + ��                                � 𝑥+ � �                        � 𝑥2 + � �                        � 𝑥3 + 𝑥4 ⎪
                    5       𝑥 7 −𝑥 5                      5       𝑥 7 −𝑥 5                    5   𝑥 7 −𝑥 5                     5    𝑥 7 −𝑥 5
             ⎩              𝑥 2 +1                                 𝑥 2 +1                          𝑥 2 +1                           𝑥 2 +1               ⎭


                                                                                 𝑥7 − 𝑥5 − 𝑥7 − 𝑥5
    = 𝐿𝑖𝑚                                                     4                           3                              2
       𝑥→∞
             (𝑥 2   + 1) �� �                         � + ��                            � 𝑥+ � �                        � 𝑥2 + � �                    � 𝑥3 + 𝑥4�
                                     5         𝑥 7 −𝑥 5                 5    𝑥 7 −𝑥 5                    5   𝑥 7 −𝑥 5                  5   𝑥 7 −𝑥 5
                                               𝑥 2 +1                            𝑥 2 +1                          𝑥 2 +1                    𝑥 2 +1




Toribio Córdova Condori                                           UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                                                11
CALCULO DIFERENCIAL                                                                              UNFV – BASE 2009

                                                                                      −2𝑥 5

    = 𝐿𝑖𝑚                                                                                    𝑥5
        𝑥→∞
                                                          4                           3                  2
                             5 𝑥7 −𝑥5                           5 𝑥7 −𝑥5                        5 𝑥7 −𝑥5      5                       𝑥7 −𝑥5
                           �� � 2 �                           +� � 2 �                       𝑥+� � 2 � 𝑥 2 + � �                             �𝑥 3 +𝑥 4 �
                  (𝑥 2 +1)      𝑥 +1                               𝑥 +1                            𝑥 +1                                𝑥2 +1

                        𝑥1                                                                            𝑥4
                                                                                           −2𝑥 5

  = 𝐿𝑖𝑚                                                   4                           3
                                                                                             𝑥5
                                                                                                                          2
                   ⎧ 5                                                                                                                                                        ⎫
     𝑥→∞

           � 1 + 1� � �                              � + ��                                      + ��                                   �
                                           𝑥7 −𝑥5                         𝑥7 −𝑥5                               𝑥7 −𝑥5                       𝑥7 −𝑥5

                                                                                   �                                    �         2 + �                �            +
                                                                  5                                    5                               5
            𝑥2   1                          𝑥2 +1                          𝑥2 +1             𝑥                  𝑥2 +1         𝑥2             𝑥2 +1             𝑥3        𝑥4
            𝑥    𝑥 ⎨                          𝑥5                             𝑥5              𝑥                    𝑥5          𝑥                𝑥5              𝑥3        𝑥4 ⎬
                   ⎩                                                                                                                                                          ⎭
                                                                                           −2𝑥 5

    = 𝐿𝑖𝑚                                                 4                              3
                                                                                                 𝑥5
                                                                                                                          2
        𝑥→∞
              �         +          � �� �              � + ��                        �           + ��                 �             + ��               �         +           �
                  𝑥2         1        5     𝑥 7 −𝑥 5              5       𝑥 7 −𝑥 5           𝑥         5   𝑥 7 −𝑥 5           𝑥2       5    𝑥 7 −𝑥 5       𝑥3           𝑥4
                  𝑥   1      𝑥   1          𝑥 7 +𝑥   5                    𝑥 7 +𝑥   5         𝑥             𝑥 7 +𝑥   5         𝑥   2         𝑥 7 +𝑥   5     𝑥   3        𝑥4




                                                                                             −2
    = 𝐿𝑖𝑚                                                     4                                  3                            2
        𝑥→∞
                                             𝑥7      𝑥5                        𝑥7     𝑥5                         𝑥7     𝑥5                   𝑥7      𝑥5

              �𝑥 + 𝑥� ���                                 � + ��                           � + ��                            � + ��                       � + 1�
                            1          5        −                         5       −                        5        −                  5        −
                                             𝑥7      𝑥7                        𝑥7     𝑥7                         𝑥7     𝑥7                   𝑥7      𝑥7
                                              7      𝑥5                         7     𝑥5                          7     𝑥5                    7      𝑥5
                                                +                                 +                                 +                           +
                                             𝑥                                 𝑥                                 𝑥                           𝑥
                                             𝑥7      𝑥7                        𝑥7     𝑥7                         𝑥7     𝑥7                   𝑥7      𝑥7




             −2
    = 𝐿𝑖𝑚
        𝑥→∞ (𝑥)(5)



        −2    1
    =      𝐿𝑖𝑚 = 0
        5 𝑥→∞ 𝑥



                                     ∴               𝑳𝒊𝒎 � �                                 − 𝒙� = 𝟎
                                                                      𝟓       𝒙 𝟕 −𝒙 𝟓
                                                     𝒙→∞                      𝒙 𝟐 +𝟏
                                                                                                                              Rpta




Toribio Córdova Condori                              UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                                                              12
CALCULO DIFERENCIAL                                       UNFV – BASE 2009




    7.         Usando la definición, probar que:


                                                           𝟏− 𝒙
                                              𝑳𝒊𝒎                  = −∞
                                                  𝒙→𝟐   ( 𝒙 − 𝟐) 𝟐


                Resolución
     Se tiene que: Domf ( x ) =¡ −{2} ⇒ x =2 es un punto de acumulación del dominio.

     La definición del límite de f ( x ) =                   cuando f(x) tiende a −∞ , si x tiende a 2 es:
                                                     1− x
                                                   ( x − 2)2

            1− x
      lim              = −∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 / x ∈Domf ( x ) ∧ si 0 < x − 2 < δ ⇒ f ( x ) < − M
      x →2 ( x − 2)2


                                      1− x
                          ⇒ f (x)
                           =                  < − M ……………………………..….(1)
                                    ( x − 2)2

                              1    1         1 1        3
      Si 0 < x − 2 < δ1 =       ⇒ − < x − 2 < ⇒ < x −1<
                              2    2         2 2        2

     Como: ( x − 2)2 > 0; siendo x ≠ 2 ⇒ multiplicamos la expresión anterior por:
                                                                                                      1
                                                                                                  ( x − 2)2

                                    1       x −1       3
                          ⇒               <        <
                               2( x − 2) ( x − 2) 2( x − 2)2
                                        2        2



                                     3       1− x           1
                          ⇒ −              <        <−            …………………...(2)


     De las ecuaciones (1) y (2):
                                         2        2
                                2( x − 2) ( x − 2)     2( x − 2)2



                                     1                       1
                          ⇒ −              < −M    ⇒               >M
                                2( x − 2)2              2( x − 2)2

                                           1                1           1
                          ⇒ 2( x − 2)2 <     ⇒ ( x − 2)2 <    ⇒ x −2 <
                                           M               2M          2M

                                              1
      Si 0 < x − 2 < δ se toma: δ =
                                             2M




Toribio Córdova Condori                    UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                  13
CALCULO DIFERENCIAL                                         UNFV – BASE 2009




                      ∴          𝜹 = { 𝜹 𝟏 ; 𝜹 𝟐 } = 𝒎í𝒏 � ; �                   � Rpta
                                                                    𝟏        𝟏
                                                                    𝟐      𝟐𝑴




    8.     Calcular:

                 (𝒕𝒂𝒏 𝒙 − 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒙) + 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 − (𝒔𝒊𝒏 𝒙) 𝟐 + 𝟎. 𝟓 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙
             𝑳𝒊𝒎
             𝒙→𝟎                   𝒙 𝟑 (𝟏 − 𝒔𝒊𝒏 𝒙 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙)



             Resolución

          Sea f ( x ) = ( tgx − 2senx ) + senx .tgx − sen x + 0, 5sen2x
                                                         2




          Reduciendo la función:
                                        3
                                     x (1 − senx + cosx )




                         1                  senx
                   senx       − 2  + senx .      − sen2 x + 0, 5 × 2senx .cosx
          f (x ) =       cosx               cosx
                                       x 3(1 − senx + cosx )

                         1            senx               
                   senx        −2+         − senx + cosx 
                         cosx         cosx               
          f (x ) =
                             x 3(1 − senx + cosx )

                         1           senx                   
                   senx       − 1+        − 1 − senx + cosx 
                         cosx        cosx                   
          f (x ) =
                              x 3(1 − senx + cosx )

                         1     cosx senx                       
                   senx      −       +       − 1 − senx + cosx 
          f (x ) =       cosx cosx cosx                        
                                 3
                               x (1 − senx + cosx )

                         1 − cosx + senx                      
                   senx                   − (1 − cosx + senx )
                               cosx                           
          f (x ) =               3
                                x (1 − cosx + senx )

                                            1       
                   senx (1 − cosx + senx )       − 1
          f (x ) =                          cosx    
                           3
                         x (1 − cosx + senx )




Toribio Córdova Condori               UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física          14
CALCULO DIFERENCIAL                                               UNFV – BASE 2009

              1 − cosx  senx                       2x 
        senx                 (1 − cosx ) tgx ⋅ 2sen  2 
                cosx  cosx                           
 f (x )
= = =            3                3                3
                          x                      x                     x

                             x            x               x 
                        sen2         sen2            sen2  
                    tgx      2 = x ⋅
                                    tg       2  =tgx ⋅
                                                  1           2
           f (x ) = ⋅
                  2               2                 ⋅
                     x     x 2
                                     x   x 
                                              2
                                                  2 x      x 
                                                                2
                                        4                 


          Reemplazando en el límite:
                                         2               2




                                            x                        x 
                                       sen2                     sen2  
                             1 tgx           2 1      tgx             2  = 1 ⋅ 1⋅ 1
           lim f ( x ) = lim ⋅     ⋅             = lim      ⋅ lim
           x→0           x→0 2  x        x 
                                              2
                                                   2 x→0 x    x→0
                                                                    x 
                                                                         2
                                                                               2
                                                                   
                                         2                        2




                                   ∴         𝑳𝒊𝒎 𝒇( 𝒙) =
                                                                   𝟏
                                              𝒙→𝟎                  𝟐
                                                                            Rpta



   9.         Sea f la función definida por:


                                                                               𝟓
                                               𝐟(𝐱) = |𝐱 + 𝟓| +
                                                                           |𝐱| − 𝟒
              Bosqueje el gráfico de f mostrando sus asíntotas.

              Resolución


        El dominio de la función f(x) será:

        Domf ( x =
                 )   {x ∈ ¡   / x − 4 ≠ 0}
                                         =     {x ∈ ¡   / x ≠ 4} {x ∈ ¡ / x ≠ 4 ∨ x ≠ −4}
                                                               =


        Redefiniendo la función:

        𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −5, 𝑥 = 0 (𝑥 ≠ 0)

        Se tienen 3 intervalos:



Toribio Córdova Condori                   UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física             15
CALCULO DIFERENCIAL                                     UNFV – BASE 2009




       ∗ x < −5 ⇒      x+5 = −( x + 5) ∧          −x
                                                x =

                                        5
            ⇒ f1( x ) = −( x + 5) +          ; x < −5
                                      −x − 4

       ∗ −5≤ x < 0 ⇒         x+5 x + 5 ∧
                              =                    −x
                                                 x =

                                     5
            ⇒ f2 ( x )= x + 5 −         ; − 5 ≤ x < 0 , x ≠ −4
                                   x +4

       ∗ x >0    ⇒          x
                       x+5 = + 5 ∧          x =x

                                     5
            ⇒ f3 ( x ) = x + 5 +        ; x ≥ 0, x ≠ 4


       Luego:
                                   x −4




                                5 
                   −  x + 5 + x + 4  ; x < −5
                                      
                    
                              5
            f ( x= x + 5 −
                 )                      ; − 5 ≤ x < 0 , x ≠ −4
                            x +4
                              5
                   x + 5 +             ; x ≥ 0, x ≠ 4


       Asíntotas verticales:
                            x −4




       Las posibles asíntotas verticales de la gráfica de f(x) serán en los puntos de
       acumulación del dominio (𝑥 = ±4).

                                         5         5
       ∗ lim − f ( x ) =lim −  x + 5 −      =4 +5− − =+∞ =
                                               −        1   +∞
         x →−4          x →−4          x +4       0

                                         5         5
       ∗ lim + f ( x ) =lim +  x + 5 −      =4 +5− + =−∞ =
                                               −        1   −∞


                                         ∴ 𝒙 = −𝟒 es una Asíntota Vertical
         x →−4          x →−4          x +4       0




                                       5        5
       ∗ lim− f ( x ) =lim−  x + 5 +      = +5+ − = −∞ =
                                             4       9    −∞
         x →4          x →4          x −4      0

                                       5        5
       ∗ lim+ f ( x ) =lim+  x + 5 +      = +5+ + = +∞ =
                                             4       9    +∞


                                          ∴ 𝒙 = 𝟒 es una Asíntota Vertical
         x →4          x →4          x −4      0




Toribio Córdova Condori                  UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física   16
CALCULO DIFERENCIAL                                               UNFV – BASE 2009



       Asíntotas horizontales:

                                      5 
       ∗ lim f ( x ) = lim  x + 5 +      = +∞ + 0 = +∞ ∉ ¡
         x →+∞         x →+∞        x −4




                                        5 
       ∗ lim f ( x ) = lim −  x + 5 +      = − ( −∞ + 0 ) = +∞ ∉ ¡


                                                  ∴ No tiene Asíntota Horizontal
         x →−∞         x →−∞          x +4




       Asíntotas oblicuas: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃

        A.O.D:
                                                    5
                                       x +5+
                f (x )                            x −4         5             5      
         = lim = lim
         m                                          =    lim 1 + +               = 1
           x →+∞ x     x →+∞                  x          x →+∞ 
                                                                    x    x( x − 4 ) 
                                                                                     




                                                         5                       5 
        =b       lim f ( x ) − mx 
                                =       lim x + 5 +               −x
                                                                  =      lim 5 +    = 5
                x →+∞                 x →+∞ 
                                                        x −4           x →+∞ 
                                                                                  x − 4
                                                                                        

                                                              ∴     y= x + 5


        A.O.I:
                                                   5
                               −x + 5 +       
                 f (x )                 x + 4  = lim  1 + 5 +  5      
          m= lim        = lim                     −                        =1
                                                                            −
            x →−∞ x      x →−∞        x             x →−∞ 
                                                            x x(x + 4 ) 
                                                                         




                                                    5                                5                   5 
         b=   lim f ( x ) − mx 
                                =   lim −  x + 5 +     + x
                                                            =            lim −x − 5 −        + x  lim  −5 −
                                                                                                 =                 = −5
              x →−∞               x →−∞ 
                                          
                                                   x +4               x →−∞ 
                                                                                       x +4      x →−∞     x − 4
                                                                                                                   



       Gráfico:
                                                          ∴        y = −x − 5




Toribio Córdova Condori                   UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                     17
CALCULO DIFERENCIAL                                UNFV – BASE 2009

                                      X=-4        X=4
                                             y




                                             5




                                                                 x


                                             -5




    10.             Dada la función definida por:

                                   𝑺𝒈𝒏(𝒙 𝟐 − 𝟖) − 𝟑;         𝒙 ≤ −𝟑

                                     𝒙
                  𝒇(𝒙) =          𝒙 � � + 𝟓𝒔𝒈𝒏(𝒙 − 𝟓); −𝟑 < 𝑥 < 𝟎
                                     𝟑

                                      𝒙− 𝟑
                                             ; 𝒙≥ 𝟎
                                   𝒙𝟐 − 𝒙− 𝟔

             Determinar los puntos de discontinuidad. Determinar el

             tipo de discontinuidad y si es posible redefinir la función

             para evitar la discontinuidad.

             Resolución
       Redefiniendo la función f(x). Para ello hallaremos:


       ∗ Si: x ≤ −3 ⇒ x 2 ≥ 9 ⇒ x 2 − 8 ≥ 1 > 0 ⇒ sgn( x 2 − 8 ) =1

                                      𝑥        𝑥
       ∗ 𝑆𝑖: − 3 < 𝑥 < 0 ⟹ −1 <         < 0 ⟹ � � = −1
                                      3        3


Toribio Córdova Condori           UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física   18
CALCULO DIFERENCIAL                                                UNFV – BASE 2009


       ∗ Si: − 3 < x < 0 ⇒       − 8 < x − 5 < −5 ⇒ sgn( x − 5) = 1
                                                                 −


             x −3        x −3           1
       ∗          =               =         ; x ≥ 0, x ≠ 3
            2
           x −x −6  ( x − 3)( x + 2 ) x + 2




       Luego:

                                                                  
                1 − 3 ;              x ≤ −3                       −2 ;       x ≤ −3
                                                                  
       f ( x )= x ( −1) + 5( −1) ; − 3 < x < 0 ⇔        f ( x ) = −x − 5 ; − 3 < x < 0
                 1                                                 1
                        ;            x ≥0                               ;     x ≥ 0, x ≠ 3


       Graficando f(x):
                x + 2                                             x + 2




                                                               y




                                                               1/2
                                                    -3    -2
                                                                          3         x

                                                                     -2



                                                                     -5




           Se observa que la función es discontinua en x=0. El
           tipo de discontinuidad es inevitable. Lo que me indica
           que no es posible redefinir la función para hacerla
           continua en dicho punto.

                                                                                                Rpta




Toribio Córdova Condori                 UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                19
CALCULO DIFERENCIAL                                     UNFV – BASE 2009




    11.              Resolver:
                                         𝟑
                                         � 𝟔+ √ 𝒙 −𝟐
               a) Sea 𝒇(𝒙) =                           ; 𝒙 ≠ 𝟔𝟒; ¿Cómo debe ser definida
                                              𝟔

                                             𝒙−𝟔𝟒

                      f(64), de modo que la función sea continua en x= 64?

               b) Un automóvil viaja de noche por una carretera en

                      forma de parábola con vértice en el origen, el

                      vehículo parte de un punto a 100 m al oeste y a 100

                      m al norte del origen y viaja en                          dirección general

                      hacia el este. Hay una estatua a 100 m al este y 50

                      m al norte de origen ¿en qué punto de la carretera

                      los faros del automóvil la iluminaria?


             Resolución

       a) Debemos redefinir la función en x=64 a fin de hacerla continua en dicho punto.
            Aplicamos límite de una función cuando x tiende a 64:


                                                          (Forma indeterminada)
                                         3
                                           6+ 6 x −2 0
            lim f ( x )
            =                      lim
                                   =


             Levantando la indeterminación:
                      x → 64      x → 64    x − 64   0




                        3
                          6+ 6 x −2        3
                                             6 + 6 x − 2 3 ( 6 + 6 x )2 + 3 6 + 6 x .2 + 22
    = lim
     lim f ( x ) = lim                                  ⋅
    x → 64       x → 64    x − 64   x → 64    x − 64      3
                                                            ( 6 + 6 x )2 + 3 6 + 6 x .2 + 22

                                 6+ 6 x −8                   1
      = lim
      lim f ( x )                          ⋅
            x → 64         x → 64 x − 64     3
                                               ( 6 + 6 x )2 + 2 3 6 + 6 x + 4




Toribio Córdova Condori               UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física        20
CALCULO DIFERENCIAL                                                  UNFV – BASE 2009

                                                  1      x − 2 6 x 5 + 6 x 4 ⋅ 2 + 6 x 3 ⋅ 22 + ... + 25
                                                                           6
  = lim
    lim f ( x )                                        ⋅      ⋅
                         ( 6 + 6 x )2 + 2 3 6 + 6 x + 4 x − 64 6 x 5 + 6 x 4 ⋅ 2 + x 3 ⋅ 22 + ... + 25
   x → 64       x → 64 3                                                           6


                                                 1                    x − 64                    1
= lim
 lim f ( x )                                                           ⋅     ⋅
                                       ( 6 + 6 x )2 + 2 3 6 + 6 x + 4 x − 64 6 x 5 + 6 x 4 ⋅ 2 + x 3 ⋅ 22 + ... + 25
                x → 64        x → 64 3                                                          6


                                              1                  1     1     1
                 lim f ( x ) =                               ⋅     5
                                                                     = ⋅       5
                x →64          3
                                 ( 6 + 2)2 + 2 3 6 + 2 + 4 6 ⋅ 2 3 ⋅ 4 6 ⋅ 2

                                   1
                 lim f ( x ) =
                                 2304

              La función redefinida será:
                x → 64




                                                  3 6 + 6 x −2
                                                               ; x ≠ 64
                                                  
                                        f ( x ) =  x − 64
                                                                                               Rpta
                                                   1          ; x = 64
                                                   2304
                                                  



           b) Graficando:
                                                                                    N
                                                                   y
                                                                               O         E

                                                                                    S



                                              Partida
                                                                100

                                                                  50                     Estatua


                                                  -100                                  100     x
                                                                               P(a,b)



              Ecuación general de la parábola con vértice en el origen:

                                                y = ax 2 ...........................          (1)


              Pero ( −100; 100 ) ∈ Parábola ⇒ En la Ec.(1) : 100 =a( −100 ) ⇒ a =
                                                                           2                             1
                                                                                                        100




    Toribio Córdova Condori               UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                       21
CALCULO DIFERENCIAL                                            UNFV – BASE 2009

                                               1
                                     ⇒      y =x 2 .............................. (2)
                                              100

          Hallando la ecuación de la recta LT de la iluminación en el punto P:

          Para ello consideramos el punto de paso (100; 50): (de la estatua)

                                     y − 50 = m( x − 100 )


                   ⇒ y = mx + 50 − 100m .............................     (3)

          Cálculo de la pendiente “m” con la ecuación de la parábola:

                                             2         1
                                     m =y ¢=    x ⇒ m= x


          Reemplazando en (3):
                                            100       50



                                             1 2
                                   ⇒ y
                                     =         x − 2x + 50 .........................(4)
                                            50

          Igualando las ecuaciones (2) y (4):

                                      1 2    1 2
                                         x=    x − 2x + 50
                                     100    50


                                     0 =2 − 200x + 5000
                                        x


     Resolviendo: x
                                200 ± 2002 − 4(1)( 5000 ) 200 ± 100 2
     =                          =
                                          2                    2


                            x = 100 ± 50 2 ⇒ x 1 = 100 − 50 2 ∨ x 2 = 100 + 50 2



          En la ecuación (2): ⇒ y =
                                              1
                                                 (100 − 50 2 )2 = (10 − 5 2 )2 = 150 − 100 2
                                             100

     Finalmente el punto P pedido es:



           ∴      𝑷(𝒂; 𝒃) = (𝟏𝟎𝟎 − 𝟓𝟎√𝟐; 𝟏𝟓𝟎 − 𝟏𝟎𝟎√𝟐)                              Rpta




Toribio Córdova Condori             UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física             22
CALCULO DIFERENCIAL                                                               UNFV – BASE 2009




            12.                 Hallar c y d para que f(x) sea continua:

                                           x 2 + 8 − 3 x 2 − 24 x + 2 
                                         c                             ; x < −1
                                           3 7 − x + 5− x2 − 4 
                                                                       
                                         
                                          −1
                               f ( x ) = cd                            ; x = −1
                                          −2 5
                                         d          (
                                                31 − x − 6 x − 8
                                                                          ; x > −1
                                                                                       )
                                          3
                                             26 − x − 5x − 8
                                         

                          Resolución

   Sea f1( x )
                x 2 + 8 − 3 x 2 − 24 x + 2                      d −2 ( 5 31− x − 6 x − 8)
  = c                                  =    ; x < −1 ∧ f2 ( x )                           ; x > −1
                3 7− x + 5− x 2 − 4                                3
                                                                        26 − x − 5 x − 8

              La función f(x) será continua en x 0 =1 ⇔ se cumplen las tres condiciones siguientes:
                                           

                                                    −

              i) ∃f ( −1) = −1
                           cd


                                                                  x 2 + 8 − 3 x 2 − 24 x + 2      d −2 ( 5 31− x − 6 x − 8)
              ii) lim f1( x ) =c 
                              lim f2 ( x ) ⇔ lim                                              =lim+ 3
                  x →−1−       x →−1+                 x →−1−      3 7 − x + 5 − x 2 − 4  x→−1           26 − x − 5 x − 8
                                                                                             


                       x 2 + 8 − 3 x 2 − 24 x + 2    ( x 2 + 8 − 3) − ( 3 x 2 − 24 x + 2 − 3)
= lim− c 
 ∗ lim− f1( x ) = c lim−                           
                x →−1 
   x →−1                3
                           7 − x + 5 − x 2 − 4  x →−1    ( 3 7 − x − 2) + ( 5 − x 2 − 2)

                 Multiplicando cada término por sus factores racionalizantes:
                                                  




                                                             x2 +8 +3                                    3
                                                                                                             ( x 2 − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 32
                                          ( x 2 + 8 − 3)⋅                   − ( 3 x 2 − 24 x + 2 − 3)⋅
                                                             x2 +8 +3                                    3
                                                                                                             ( x 2 − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 32
                  lim− f1( x ) = c lim−
                  x →−1          x →−1                                  3
                                                                            (7 − x )2 + 2 3 7 − x + 22                          5− x 2 +2
                                                      ( 3 7 − x − 2)⋅                                    + ( 5 − x 2 − 2)⋅
                                                                        3
                                                                            (7 − x )2 + 2 3 7 − x + 22                          5− x 2 +2




                                            x2 +8 −9                         x 2 − 24 x + 2 − 27
                                                         −
                                             x2 +8 +3        ( x 2 − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 32
                                                             3
                  lim− f1( x ) = c lim−
                  x →−1          x →−1                     [7 − x − 8]               5− x2 − 4
                                                                                 +
                                                   3
                                                     (7 − x )2 + 2 3 7 − x + 22       5− x2 +2




        Toribio Córdova Condori                      UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                                          23
CALCULO DIFERENCIAL                                                                    UNFV – BASE 2009

                                                   x 2 −1                              x 2 − 24 x − 25
                                                              −
                                               x2 +8 +3           ( x 2 − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 9
                                                                  3
                lim− f1( x ) = c lim−
               x →−1             x →−1                            −( x +1)               −( x 2 −1)
                                                                                     +
                                                        3
                                                          (7 − x )2 + 2 3 7 − x + 4       5− x2 +2




                                              ( x +1) ( x −1)                           ( x +1) ( x − 25)
                                                                −
                                                    2
                                                   x +8 +3         ( x − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 9
                                                                      3         2
                lim− f1( x ) = c lim−
               x →−1             x →−1                           − ( x +1)            ( x +1) ( x −1)
                                                                                    −
                                                        3
                                                          (7 − x )2 + 2 3 7 − x + 4      5− x2 +2




                                                   x −1                                    x − 25
                                                              −
                                                   2
                                               x +8 +3            ( x − 24 x + 2) + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 9
                                                                  3        2               2
                lim− f1( x ) = c lim−
               x →−1             x →−1                               −1                 x −1
                                                                                  −
                                                                  2
                                                        3              3
                                                          (7 − x ) + 2 7 − x + 4       5− x2 +2

              Evaluando el límite:

                                 −2 −26       1 26    17
                                   −         − +
                                 6 3(9)                  68
                lim− f1( x ) =
                             c⋅           = 3 27 = 27 = c
                                          c⋅       c⋅
               x →−1             −1 −2         1 1     5 45
                                    −        − +
                                3(4) 2(2)     12 2    12



                        5
                          31− x − 6 x − 8        ( 5 31− x − 2) − 6( x +1)
= d= d −2 lim+ 3
∗ lim+ f2 ( x ) −2 lim+ 3
  x →−1           x →−1   26 − x − 5 x − 8 x →−1 ( 26 − x − 3) − 5( x +1)




            Multiplicando por sus factores racionalizantes:

                                                                    5
                                                                          (31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24
                                              ( 5 31− x − 2)⋅                                                     − 6( x +1)
                                −2
                                                                    5
                                                                          (31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24
             lim f2 ( x ) = d        lim
             x →−1+                  x →−1+                                 3
                                                                                (26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32
                                                    ( 3 26 − x − 3)⋅                                           − 5( x +1)
                                                                            3
                                                                                (26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32

                                                              31− x − 32
                                                                                         − 6( x +1)
                                −2
                                               5
                                                   (31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24
             lim f2 ( x ) = d        lim
             x →−1+                  x →−1+                  26 − x − 27
                                                                                      − 5( x +1)
                                                     3
                                                       (26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32



     Toribio Córdova Condori                                UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                         24
CALCULO DIFERENCIAL                                                        UNFV – BASE 2009

                                                         − ( x +1)
                                                                                   − 6 ( x +1)
                           −2
                                         5
                                             (31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24
        lim f2 ( x ) = d        lim
       x →−1+                   x →−1+                    − ( x +1)
                                                                                − 5 ( x +1)
                                               3
                                                 (26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32

                                                             −1
                                                                                     −6
                           −2
                                         5
                                             (31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24
        lim f2 ( x ) = d        lim
       x →−1+                   x →−1+                       −1
                                                                                −5
                                               3
                                                 (26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32



       Evaluando el límite:

                              −1              1         481
                                   −6       − −6
                                 4                                481×27
        lim+ f2 ( x ) = −2 ⋅ 5⋅2
                       d              = −2 ⋅ 80
                                       d         = −2 ⋅ 80 = −2 ⋅
                                                  d         d
       x →−1                  −1              1        136        80×136
                                 2
                                   −5       − −5
                             3⋅3             27         27

                                                                     68        481×27
       ⇒ lim f ( x ) = − f1( x ) = + f2 ( x ) ⇒
                      lim         lim                                     d−
                                                                        c =2 ⋅
           x →−1           x →−1                x →−1                45        80×136



                                              68        481×27
     iii) lim f ( x ) = −1 ⇒
                      cd                           d−
                                                 c =2 ⋅         = −1
                                                                cd
           x →−1                              45        80 ×136


          Igualando:

                68                45
           ∗       c = c d −1 ⇒ d =                      Rpta
                45                68


          ∗ 𝑐𝑑 −1 = 𝑑 −2 .                              ⟹ 𝑐= .                        ⟹ 𝑐=         .
                                             481𝑥27                  1 481𝑥27                    68 481𝑥27
                                             80𝑥136                   𝑑 80𝑥136                   45 80𝑥136




                                                        ∴         𝒄=
                                                                          𝟏𝟒𝟒𝟑
                                                                           𝟖𝟎𝟎
                                                                                          Rpta




Toribio Córdova Condori                             UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                25
CALCULO DIFERENCIAL                                   UNFV – BASE 2009



    13.        Halle el área de la región comprendida por la recta

               tangente normal a la curva cuya ecuación es 𝒙 𝟐 + 𝒙𝒚 +

                𝒚 𝟐 = 𝟕 en el punto (1;2) y la asíntota oblicua derecha a



                                             𝟐𝒙 𝟑 + 𝟑𝒙 + 𝟏
               la gráfica de la función:

                                      𝒇(𝒙) =               +� 𝒙𝟐+ 𝟔
                                              𝒙 𝟐− 𝒙− 𝟔




             Resolución

     Sean LT y LN rectas tangente y normal respectivamente a la curva x 2 + xy + y 2 = el
                                                                                     7 en

     punto (1;2).

     Entones:

            LT : y − 2 m( x −1)
                      =             ⇒ y= mx + 2 − m ………………………..                     (1)

                            1                1     1
            LN : y − 2 =−     ( x −1) ⇒ y = x + 2 + ……………………..
                                           −                                        (2)

     Calculando “m”:
                            m                m     m



     Derivando implícitamente la ecuación de la curva x 2 + xy + y 2 =
                                                                     7

            2 x + y + xy ¢ 2 yy ¢= 0 ⇒ ( x + 2 y ) y ¢ - (2 x + y )
                          +                           =

                                                        2x + y
                                       ⇒ y¢ m= -
                                           =
                                                        x +2y


     En (1,2) la pendiente m será: m = -
                                                   2(1) + 2    4
                                                            =−


     Reemplazando en las ecuaciones (1) y (2):
                                                   1+ 2(2)     5



                     4 14           5 3
            LT : y = x +
                   −       ∧ LN : y = +
                                     x


     Calculando ahora, la asíntota oblicua derecha a la gráfica de la función:
                     5   5          4 4




Toribio Córdova Condori                UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física   26
CALCULO DIFERENCIAL                                     UNFV – BASE 2009

                                                            2 x 3 + 3 x +1
                                                    =
                                                    f (x)                  + x2 +6


             Sea la ecuación de la asíntota oblicua derecha de f(x):
                                                               2
                                                             x − x −6

                                                                                           ………….(3)

             Hallando “a” y “b”:
                                                                                = ax + b
                                                                                y




                                 2 x 3 + 3 x +1
                                                + x2 +6            3           2
            = lim
            ∗ a = lim
                     f (x)        x 2 −= lim 2 x + 3 x +1 + x + 6
                                         x −6
                x →+∞ x    x →+∞              x         x →+∞ x ( x 2 − x − 6) x



                                                                                      Evaluando:
                                   3 1         6          3 1
                          x 3  2 + 2 + 3  x 1+ 2       2+ 2 + 3
                 a = lim       x x  = lim+    x          x x + 1+ 6
                    x →+∞       1 6         x    x →+∞   1 6      x2
                           x 3 1− − 2                  1− − 2
                                x x                      x x

                 2+0+0
           =a             + 1+ 0 ⇒ a 3
                                 =
                 1− 0 − 0

                                          2 x 3 + 3 x +1               
              = lim [f ( x= lim  2
              ∗ b         ) − ax ]                        + x 2 + 6 −3x 
                  x →+∞            x →+∞  x − x − 6                    

          2 x 3 + 3 x +1                                 2 x 2 +15 x +1                    x2 +6 + x 
= lim  2
 b                         − 2 x  + ( x 2 + 6 − x ) lim  2
                                   =                                         + ( x 2 + 6 − x )⋅           
   x →+∞  x − x − 6                               x →+∞  x − x − 6
                                                                                               x2 +6 + x 
                                                                                                          

                                                           2  15 1                    
                     2 x 2 +15 x +1 x 2 + 6 − x 2        x 2+ x + x2 
                                                                          +     6      
           = lim  2
            b                       +          = lim 
                                                    x→+∞                                
              x →+∞
                       x − x −6       x2 +6 + x          x 2 1− 1 − 6         6  
                                                                         x  1+ 2 +1 
                                                                x x2           x   


             Evaluando el límite se obtiene: b = +
                                                      2 6
                                                            = +0 ⇒ b =
                                                             2        2

             En la ecuación (3):                (Ecuación de la asíntota oblicua derecha de f(x))
                                                      1 ∞⋅2



             Con las rectas obtenidas, determinamos sus puntos de intersección:
                                    = 3x +2
                                    y




                       4 14           5 3
              LT : y = x +
                     −       ∧ LN : y = +
                                       x                ∧ A.O.D: y =+ 2
                                                                   3x
                       5   5          4 4

             Resolviendo se obtienen: (1;2),  ;  ,  − ; − 
                                              4 50    5 1
                                                            


             Graficando las ecuaciones de rectas halladas:
                                                  19 19   7      7




       Toribio Córdova Condori               UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                27
CALCULO DIFERENCIAL                                                                 UNFV – BASE 2009

                                                          y     A.O.D.
                                                     LT
                                                              B  4 ; 50                LN
                                                                        
                                                                  19 19 

                                                                             A                f (x)
                                                                                 (1;2)




                                               C                                                      x
                                                    5 1
                                                   − ;− 
                                                    7 7




     Finalmente el área sombreada:

                                  AB ⋅ AC
                     Area =               ………………………………(4)
                                    2

                              2            2              2          2
                     4   50                     15   12  3 41
             =
            AB       −1 +  − 2  =                +  =
                     19   19                    19   19   19

                          2            2             2           2
                     5  1                   12   15  3 41
            AC =    1+  +  2 +  =            +  =


     En (1):
                     7  7                  7 7        7




           𝑨𝒓𝒆𝒂 =                          ⟹              ∴          𝑨𝒓𝒆𝒂 =
                          𝟑√𝟒𝟏 𝟑√𝟒𝟏
                           𝟏𝟗
                              . 𝟕                                                               𝟑𝟔𝟗
                                   𝟐                                                            𝟐𝟔𝟔
                                                                                                           Rpta



    14.            Sea

                                 x 3   nπx +1       2  nπx +1 
                         =
                         f (x)        cos  nx  − sen  nx  +1
                               4 + mx                         
                                                                                    1
                   Hallar n m si: xlim f ( x ) = −
                                   2
                                   →+∞                                             24




Toribio Córdova Condori                UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                                28
CALCULO DIFERENCIAL                                   UNFV – BASE 2009

             Resolución
             Transformando f(x):

                     x 3   nπx +1       2  nπx +1  
          =
          f (x)           cos  nx  − sen  nx  +1
                   4 + mx                          

                     x 3   nπx +1      2  nπx +1      2  nπx +1      2  nπx +1
                                                                                        
=f (x)                    cos     − sen          + sen          + cos         
                   4 + mx   nx 
                                            nx             nx             nx    

                     x 3   nπx +1       2  nπx +1 
=f (x)                    cos  nx  + cos  nx 
                   4 + mx                        

                      3
                      x       nπx +1         nπx +1
            f ( x ) =cos  ⋅          1+ cos        
                    4 + mx    nx             nx  

                      x3    nπx +1      2  nπx +1
            f ( x ) = ⋅cos         ⋅2cos         
                    4 + mx  nx             2nx 

                                                            2
                      2x3           1    π 1 
       =f (x)               ⋅cos  π+  ⋅ cos  + 
                     4          nx    2 2nx 
                   x  +m
                     x   

                                                       2
                   2x2         1       1 
            f=
             (x)       ⋅ −cos   ⋅ −sen     
                   4            nx      2nx 
                     +m 
                   x

                                                                 1 
                          2                                sen2      
                    −2 x    1       1  −2        1         2nx 
            f ( x ) = ⋅cos   ⋅sen2       = ⋅cos   ⋅
                     4      nx      2nx  4 + m   nx       1
                       +m
                     x                        x                 x2

                                                                                2
                                          1        1              1 
                                   sen2        − 2            sen 2nx  
                       −2   1           2nx  = ⋅cos  1  ⋅
                                                    2n                   
            f ( x ) = ⋅cos   ⋅                         
                     4      nx  4n2 ⋅ 1  4 + m       nx        1     
                       +m               2 2                              
                     x                  4n x    x             2nx        


          Luego, por condición: lim f ( x ) = −
                                                   1
                                    x →+∞         24
                                                       2
                       1              1 
                    − 2
                           1    sen 2nx      1
            ⇒ lim 2n ⋅cos   ⋅            =−
              x →+∞ 4      nx        1        24
                      +m                     
                    x             2nx        




Toribio Córdova Condori             UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física       29
CALCULO DIFERENCIAL                                                UNFV – BASE 2009

                       1
                  −
              ⇒       2n2 ⋅(1)⋅(1)2 = 1
                                    −
                      m               24




                                  ∴    𝒏 𝟐 𝒎 = 𝟏𝟐                 Rpta




                                                 𝒙 𝟐 √ 𝒙 + 𝟐 − �|𝒙 + 𝟓| − 𝒙
    15.                 Calcular:

                                      𝐥𝐢𝐦
                                                      𝟑


                                      𝒙→−𝟏                �|𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓|


               Resolución
              Dominio |𝑥 2 + 6𝑥 + 5| > 0|𝑥 2 + 6𝑥 + 5| = 𝑥 2 + 6𝑥 + 5

                           𝑥 2 √ 𝑥 + 2 − �|𝑥 + 5| − 𝑥                        𝑥 2 √ 𝑥 + 2 − �|𝑥 + 5| − 𝑥
                  lim                                            = lim+
                             3                                                 3


                  𝑥→−1+          �|𝑥 2 + 6𝑥 + 5|                      𝑥→−1         �|𝑥 + 5||𝑥 + 1|

                           𝑥 → −1+ → 𝑥 > −1                 ∴ 𝑥+5>4                |𝑥 + 5| = 𝑥 + 5

                                                                 𝑥+1 >0            |𝑥 + 1| = 𝑥 + 1

        𝑥 2 √ 𝑥 + 2 − �|𝑥 + 5| − 𝑥                        𝑥 2 � √ 𝑥 + 2 − 1� − �√𝑥 + 5 − 2� − (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
                                                             3

lim                                    = lim+
          3


𝑥→−1+         �|𝑥 2 + 6𝑥 + 5|               𝑥→−1                              �(𝑥 + 5)(𝑥 + 1)

    Dividiendo entre 𝑥 + 1 = �(𝑥 + 1)2

              x 2 � √x + 2 − 1�                      �√x + 5 − 2�                       (x − 2)(x + 1)
                  3

      lim+                         − lim+                                + lim+                          … . (∗)
      x→−1    �(x + 5)(x + 1)         x→−1       �(x + 5)(x + 1)             x→−1   �(x + 5)(x + 1)



                                       𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2
                                       𝑎 = √𝑥 + 2 ∧ 𝑏 = 1
                                                 3




                           𝑥 + 2 − 1 = � √𝑥 + 2 − 1�( �(𝑥 + 2)2 + √𝑥 + 2 + 1)
                                             3                    3                 3




Toribio Córdova Condori                UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                           30
CALCULO DIFERENCIAL

                                                                   𝑥+1
                                                                                      UNFV – BASE 2009

                                   √𝑥 + 2 − 1 =
                                   3

                                                          �(𝑥 + 2)2 + √ 𝑥 + 2 + 1
                                                          3           3




                  𝑥2              𝑥+1                              𝑥 2 �(𝑥 + 1)
lim +                   .3                       = lim +                              =0
𝑥→−1    �(𝑥 + 5)�(𝑥 + 1) �(𝑥 + 2)2 + √ 𝑥 + 2 + 1   𝑥→−1
                                                         �(𝑥 + 5)�(𝑥 + 2)  2+ 3 𝑥+2+1
                                                                               √
                                     3
                                                                 3




                       �(𝑥 + 5) − 2          �(𝑥 + 5) + �(𝑥 + 1)                 �(𝑥 + 5)�(𝑥 + 1)𝑥 + 1
           lim+                          .                           = lim+
          𝑥→−1    �(𝑥 + 5)�(𝑥 + 1) �(𝑥 + 5) + �(𝑥 + 1)                    𝑥→−1
                                                                                      ��(𝑥 + 5) + 2�


                                                              √𝑥+1
                                   = lim+                                        =0
                                        𝑥→−1
                                                   �(𝑥 + 5) ��(𝑥 + 5) + 2�


        lim +                    = lim +                  =0
                 (𝑥−2)(𝑥+1)                       (𝑥−2)
       𝑥→−1 �(𝑥+5)�(𝑥+1)               𝑥→−1 √ 𝑥+5




    En *




                          ∴      𝐥𝐢𝐦                                 = 𝟎− 𝟎− 𝟎= 𝟎
                                         𝒙 𝟐 √𝒙+𝟐−�|𝒙+𝟓|−𝒙
                                              𝟑

                                 𝒙→−𝟏             ��𝒙 𝟐 +𝟔𝒙+𝟓�
                                                                                                 Rpta




    16.                  Calcular.

                  Hallar la derivada de:

                              𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝟑 (�𝟏 − 𝒙)
                                                   𝟑




                 Resolución




Toribio Córdova Condori                  UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física             31
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Ecuaciones diferenciales de cauchy euler
Ecuaciones diferenciales de cauchy eulerEcuaciones diferenciales de cauchy euler
Ecuaciones diferenciales de cauchy eulerJoonser
 
DIAGRAMAS DE ÁRBOL, MÉTODOS DE CONTEO, PERMUTACIONES, COMBINACIONES PRINCI...
DIAGRAMAS DE ÁRBOL, MÉTODOS DE CONTEO, PERMUTACIONES, COMBINACIONES PRINCI...DIAGRAMAS DE ÁRBOL, MÉTODOS DE CONTEO, PERMUTACIONES, COMBINACIONES PRINCI...
DIAGRAMAS DE ÁRBOL, MÉTODOS DE CONTEO, PERMUTACIONES, COMBINACIONES PRINCI...Roza Meza
 
MÉTRICAS Y ESPACIOS MÉTRICOS (1).pptx
MÉTRICAS Y ESPACIOS MÉTRICOS (1).pptxMÉTRICAS Y ESPACIOS MÉTRICOS (1).pptx
MÉTRICAS Y ESPACIOS MÉTRICOS (1).pptxJavier Cornejo
 
DEMIDOVICH problemas y ejercicios de Analisis Matematico
DEMIDOVICH problemas y ejercicios de Analisis MatematicoDEMIDOVICH problemas y ejercicios de Analisis Matematico
DEMIDOVICH problemas y ejercicios de Analisis MatematicoHernan Jesus Quispe Gutierrez
 
Solucionario analisis matematico I
Solucionario analisis matematico ISolucionario analisis matematico I
Solucionario analisis matematico IAmparocecilia
 
Coeficientes indeterminados
Coeficientes indeterminadosCoeficientes indeterminados
Coeficientes indeterminadosRicardo Garibay
 
Metodo de optimizacion
Metodo de optimizacionMetodo de optimizacion
Metodo de optimizacionAngel Jhoan
 
Coeficientes indeterminados
Coeficientes indeterminadosCoeficientes indeterminados
Coeficientes indeterminadosgermane123
 
Sistemas ecuaciones lineales
Sistemas ecuaciones linealesSistemas ecuaciones lineales
Sistemas ecuaciones linealesAlfredo AlMont
 
Transformacion de coordenadas
Transformacion de coordenadasTransformacion de coordenadas
Transformacion de coordenadasElizabeth Alvites
 

La actualidad más candente (20)

Ejercicios combinados
Ejercicios combinadosEjercicios combinados
Ejercicios combinados
 
Ecuaciones diferenciales de cauchy euler
Ecuaciones diferenciales de cauchy eulerEcuaciones diferenciales de cauchy euler
Ecuaciones diferenciales de cauchy euler
 
DIAGRAMAS DE ÁRBOL, MÉTODOS DE CONTEO, PERMUTACIONES, COMBINACIONES PRINCI...
DIAGRAMAS DE ÁRBOL, MÉTODOS DE CONTEO, PERMUTACIONES, COMBINACIONES PRINCI...DIAGRAMAS DE ÁRBOL, MÉTODOS DE CONTEO, PERMUTACIONES, COMBINACIONES PRINCI...
DIAGRAMAS DE ÁRBOL, MÉTODOS DE CONTEO, PERMUTACIONES, COMBINACIONES PRINCI...
 
Ecuaciones cuadraticas
Ecuaciones cuadraticasEcuaciones cuadraticas
Ecuaciones cuadraticas
 
MÉTRICAS Y ESPACIOS MÉTRICOS (1).pptx
MÉTRICAS Y ESPACIOS MÉTRICOS (1).pptxMÉTRICAS Y ESPACIOS MÉTRICOS (1).pptx
MÉTRICAS Y ESPACIOS MÉTRICOS (1).pptx
 
Ecuaciones cuadráticas
Ecuaciones cuadráticasEcuaciones cuadráticas
Ecuaciones cuadráticas
 
Optimización
OptimizaciónOptimización
Optimización
 
DEMIDOVICH problemas y ejercicios de Analisis Matematico
DEMIDOVICH problemas y ejercicios de Analisis MatematicoDEMIDOVICH problemas y ejercicios de Analisis Matematico
DEMIDOVICH problemas y ejercicios de Analisis Matematico
 
Ecuaciones Lineales.
Ecuaciones Lineales.Ecuaciones Lineales.
Ecuaciones Lineales.
 
solucionario eduardo espinosa ramos
solucionario eduardo espinosa ramossolucionario eduardo espinosa ramos
solucionario eduardo espinosa ramos
 
Desigualdades+(1).ppt
Desigualdades+(1).pptDesigualdades+(1).ppt
Desigualdades+(1).ppt
 
Ecuaciones de segundo grado
Ecuaciones de segundo gradoEcuaciones de segundo grado
Ecuaciones de segundo grado
 
Solucionario analisis matematico I
Solucionario analisis matematico ISolucionario analisis matematico I
Solucionario analisis matematico I
 
Coeficientes indeterminados
Coeficientes indeterminadosCoeficientes indeterminados
Coeficientes indeterminados
 
Metodo de optimizacion
Metodo de optimizacionMetodo de optimizacion
Metodo de optimizacion
 
Coeficientes indeterminados
Coeficientes indeterminadosCoeficientes indeterminados
Coeficientes indeterminados
 
Sistemas ecuaciones lineales
Sistemas ecuaciones linealesSistemas ecuaciones lineales
Sistemas ecuaciones lineales
 
Induccion matematica
Induccion matematicaInduccion matematica
Induccion matematica
 
Transformacion de coordenadas
Transformacion de coordenadasTransformacion de coordenadas
Transformacion de coordenadas
 
Ecuacion de la recta
Ecuacion de la rectaEcuacion de la recta
Ecuacion de la recta
 

Destacado

Calculo diferencial
Calculo diferencialCalculo diferencial
Calculo diferencialJGalvez13
 
Calculo Diferencial Tips y conceptos fundamentales
Calculo Diferencial Tips y conceptos fundamentalesCalculo Diferencial Tips y conceptos fundamentales
Calculo Diferencial Tips y conceptos fundamentalesJair Ospino Ardila
 
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (Nivel 1)
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (Nivel 1)CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (Nivel 1)
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (Nivel 1)Jmoron - UAGRM
 
Calculo diferencial
Calculo diferencialCalculo diferencial
Calculo diferencialOscarvalle22
 
Antecedentes del calculo diferencial
Antecedentes del calculo diferencialAntecedentes del calculo diferencial
Antecedentes del calculo diferencialKovo Varo
 
Cálculo diferencial
Cálculo diferencialCálculo diferencial
Cálculo diferencialSilvia Haro
 
Calculo integral (solucionario) granville
Calculo integral (solucionario)   granvilleCalculo integral (solucionario)   granville
Calculo integral (solucionario) granvilleJulioVazquez
 
Introducción al Calculo Diferencial
Introducción al Calculo DiferencialIntroducción al Calculo Diferencial
Introducción al Calculo DiferencialLiliana Guzman
 
Ejercicios de calculo diferencial
Ejercicios de calculo diferencialEjercicios de calculo diferencial
Ejercicios de calculo diferencialJose Ramos
 
Enhanced fast dormancy ran 16
Enhanced fast dormancy ran 16Enhanced fast dormancy ran 16
Enhanced fast dormancy ran 16Nicolae Prisacaru
 
Introducción al calculo diferencial
Introducción al calculo diferencialIntroducción al calculo diferencial
Introducción al calculo diferencialrbolano60
 
Calculo diferencial
Calculo diferencialCalculo diferencial
Calculo diferencialDarío Bone
 
Calculo diferencial
Calculo diferencialCalculo diferencial
Calculo diferencialPaulina Gil
 
Introducción al cálculo
Introducción al cálculoIntroducción al cálculo
Introducción al cálculodanimedcruz
 

Destacado (20)

Calculo Diferencial
Calculo DiferencialCalculo Diferencial
Calculo Diferencial
 
Calculo diferencial
Calculo diferencialCalculo diferencial
Calculo diferencial
 
Calculo Diferencial Tips y conceptos fundamentales
Calculo Diferencial Tips y conceptos fundamentalesCalculo Diferencial Tips y conceptos fundamentales
Calculo Diferencial Tips y conceptos fundamentales
 
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (Nivel 1)
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (Nivel 1)CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (Nivel 1)
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (Nivel 1)
 
Calculo diferencial
Calculo diferencialCalculo diferencial
Calculo diferencial
 
Calculo diferencial
Calculo diferencialCalculo diferencial
Calculo diferencial
 
Antecedentes del calculo diferencial
Antecedentes del calculo diferencialAntecedentes del calculo diferencial
Antecedentes del calculo diferencial
 
Cálculo diferencial
Cálculo diferencialCálculo diferencial
Cálculo diferencial
 
Calculo integral (solucionario) granville
Calculo integral (solucionario)   granvilleCalculo integral (solucionario)   granville
Calculo integral (solucionario) granville
 
CàLculo Diferencial
CàLculo DiferencialCàLculo Diferencial
CàLculo Diferencial
 
Introducción al Calculo Diferencial
Introducción al Calculo DiferencialIntroducción al Calculo Diferencial
Introducción al Calculo Diferencial
 
Calculo integro-diferencial-y-aplicaciones.
Calculo integro-diferencial-y-aplicaciones.Calculo integro-diferencial-y-aplicaciones.
Calculo integro-diferencial-y-aplicaciones.
 
Ejercicios de calculo diferencial
Ejercicios de calculo diferencialEjercicios de calculo diferencial
Ejercicios de calculo diferencial
 
Enhanced fast dormancy ran 16
Enhanced fast dormancy ran 16Enhanced fast dormancy ran 16
Enhanced fast dormancy ran 16
 
Introducción al calculo diferencial
Introducción al calculo diferencialIntroducción al calculo diferencial
Introducción al calculo diferencial
 
Calculo diferencial
Calculo diferencialCalculo diferencial
Calculo diferencial
 
Introducción a la materia
Introducción a la materiaIntroducción a la materia
Introducción a la materia
 
Introducción al Calculo Integral
Introducción al Calculo IntegralIntroducción al Calculo Integral
Introducción al Calculo Integral
 
Calculo diferencial
Calculo diferencialCalculo diferencial
Calculo diferencial
 
Introducción al cálculo
Introducción al cálculoIntroducción al cálculo
Introducción al cálculo
 

Similar a CALCULO DIFERENCIAL

Trabajo de calculo UNY
Trabajo de calculo UNYTrabajo de calculo UNY
Trabajo de calculo UNYheribertotm
 
Ejercicios, gràficas y problemas Tarea 3 B (1).docx
Ejercicios, gràficas y problemas Tarea 3 B (1).docxEjercicios, gràficas y problemas Tarea 3 B (1).docx
Ejercicios, gràficas y problemas Tarea 3 B (1).docxLuis Miguel Torres Barrios
 
Ejercicios de Cálculo Diferencial
Ejercicios de Cálculo DiferencialEjercicios de Cálculo Diferencial
Ejercicios de Cálculo DiferencialJorge Chamba
 
Ejercicios Resueltos de Calculo II
Ejercicios Resueltos de Calculo IIEjercicios Resueltos de Calculo II
Ejercicios Resueltos de Calculo IICarlos Aviles Galeas
 
Unidad i. parte ii.matematica aplicada. terminada
Unidad i. parte ii.matematica aplicada. terminadaUnidad i. parte ii.matematica aplicada. terminada
Unidad i. parte ii.matematica aplicada. terminadaEfrenEscalona
 
Actividad 11
Actividad 11Actividad 11
Actividad 11cbayon
 
Identidades trigonométricas de ángulo simple
Identidades trigonométricas de ángulo simpleIdentidades trigonométricas de ángulo simple
Identidades trigonométricas de ángulo simpleTAFURH
 
Entregable 1 calculo vectorial
Entregable 1 calculo vectorialEntregable 1 calculo vectorial
Entregable 1 calculo vectorialyesivi32
 
Ejercicios gabriela martinez
Ejercicios gabriela martinezEjercicios gabriela martinez
Ejercicios gabriela martinezGabrielaCml
 
2023_1_CALCULO II_CLASE 2_1.pptx
2023_1_CALCULO II_CLASE 2_1.pptx2023_1_CALCULO II_CLASE 2_1.pptx
2023_1_CALCULO II_CLASE 2_1.pptxMarioPomaSalazar
 
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales de primer ordenEcuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales de primer ordenNyckyiret Florez
 

Similar a CALCULO DIFERENCIAL (20)

INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDAINTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDA
 
Corrección prueba n°2
Corrección prueba n°2Corrección prueba n°2
Corrección prueba n°2
 
metodo de trapecio.pdf
metodo de trapecio.pdfmetodo de trapecio.pdf
metodo de trapecio.pdf
 
Expo cálculo 7.pdf
Expo cálculo 7.pdfExpo cálculo 7.pdf
Expo cálculo 7.pdf
 
Corrección prueba n°3
Corrección prueba n°3Corrección prueba n°3
Corrección prueba n°3
 
Trabajo de calculo UNY
Trabajo de calculo UNYTrabajo de calculo UNY
Trabajo de calculo UNY
 
Ejercicios, gràficas y problemas Tarea 3 B (1).docx
Ejercicios, gràficas y problemas Tarea 3 B (1).docxEjercicios, gràficas y problemas Tarea 3 B (1).docx
Ejercicios, gràficas y problemas Tarea 3 B (1).docx
 
100411 300
100411 300100411 300
100411 300
 
Ejercicios de Cálculo Diferencial
Ejercicios de Cálculo DiferencialEjercicios de Cálculo Diferencial
Ejercicios de Cálculo Diferencial
 
Ejercicios Resueltos de Calculo II
Ejercicios Resueltos de Calculo IIEjercicios Resueltos de Calculo II
Ejercicios Resueltos de Calculo II
 
Algebra semana 3-solucion
Algebra   semana 3-solucionAlgebra   semana 3-solucion
Algebra semana 3-solucion
 
Unidad i. parte ii.matematica aplicada. terminada
Unidad i. parte ii.matematica aplicada. terminadaUnidad i. parte ii.matematica aplicada. terminada
Unidad i. parte ii.matematica aplicada. terminada
 
Actividad 11
Actividad 11Actividad 11
Actividad 11
 
Identidades trigonométricas de ángulo simple
Identidades trigonométricas de ángulo simpleIdentidades trigonométricas de ángulo simple
Identidades trigonométricas de ángulo simple
 
ECUACIONESpdf
ECUACIONESpdfECUACIONESpdf
ECUACIONESpdf
 
Entregable 1 calculo vectorial
Entregable 1 calculo vectorialEntregable 1 calculo vectorial
Entregable 1 calculo vectorial
 
Ejercicios gabriela martinez
Ejercicios gabriela martinezEjercicios gabriela martinez
Ejercicios gabriela martinez
 
2023_1_CALCULO II_CLASE 2_1.pptx
2023_1_CALCULO II_CLASE 2_1.pptx2023_1_CALCULO II_CLASE 2_1.pptx
2023_1_CALCULO II_CLASE 2_1.pptx
 
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales de primer ordenEcuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales de primer orden
 
Expresiones algebraicas
Expresiones algebraicasExpresiones algebraicas
Expresiones algebraicas
 

Más de Torimat Cordova

Más de Torimat Cordova (20)

PRIZM PANINI - BRASIL 2014
PRIZM PANINI - BRASIL 2014PRIZM PANINI - BRASIL 2014
PRIZM PANINI - BRASIL 2014
 
CONCYTEC - EUREKA 2013
CONCYTEC - EUREKA 2013CONCYTEC - EUREKA 2013
CONCYTEC - EUREKA 2013
 
CINETICA QUIMICA
CINETICA QUIMICACINETICA QUIMICA
CINETICA QUIMICA
 
ANGULO DIEDRO - POLIEDROS
ANGULO DIEDRO - POLIEDROSANGULO DIEDRO - POLIEDROS
ANGULO DIEDRO - POLIEDROS
 
TRANSFORMACIONES DE GALILEO Y LORENTZ
TRANSFORMACIONES DE GALILEO Y LORENTZTRANSFORMACIONES DE GALILEO Y LORENTZ
TRANSFORMACIONES DE GALILEO Y LORENTZ
 
GASES
GASESGASES
GASES
 
GASES - GUIA DE LABORATORIO
GASES - GUIA DE LABORATORIOGASES - GUIA DE LABORATORIO
GASES - GUIA DE LABORATORIO
 
INDUCCION ELECTROMAGNETICA
INDUCCION ELECTROMAGNETICAINDUCCION ELECTROMAGNETICA
INDUCCION ELECTROMAGNETICA
 
CIRCUITOS DE CC EN SERIE - PARALELO
CIRCUITOS DE CC EN SERIE - PARALELOCIRCUITOS DE CC EN SERIE - PARALELO
CIRCUITOS DE CC EN SERIE - PARALELO
 
DISTRIBUCION T DE STUDENT
DISTRIBUCION T DE STUDENTDISTRIBUCION T DE STUDENT
DISTRIBUCION T DE STUDENT
 
DIEDROS Y POLIEDROS
DIEDROS Y POLIEDROSDIEDROS Y POLIEDROS
DIEDROS Y POLIEDROS
 
TRANSFORMACION DE LA ENERGIA ELECTRICA EN ENERGIA TERMICA
TRANSFORMACION DE LA ENERGIA ELECTRICA EN ENERGIA TERMICATRANSFORMACION DE LA ENERGIA ELECTRICA EN ENERGIA TERMICA
TRANSFORMACION DE LA ENERGIA ELECTRICA EN ENERGIA TERMICA
 
PUENTE DE WEATSTONE
PUENTE DE WEATSTONEPUENTE DE WEATSTONE
PUENTE DE WEATSTONE
 
LEYES DE KIRCHHOFF
LEYES DE KIRCHHOFFLEYES DE KIRCHHOFF
LEYES DE KIRCHHOFF
 
CIRCUITOS DE CC EN SERIE
CIRCUITOS DE CC EN SERIECIRCUITOS DE CC EN SERIE
CIRCUITOS DE CC EN SERIE
 
CIRCUITOS DE CC EN PARALELO
CIRCUITOS DE CC EN PARALELOCIRCUITOS DE CC EN PARALELO
CIRCUITOS DE CC EN PARALELO
 
LEY DE OHM
LEY DE OHMLEY DE OHM
LEY DE OHM
 
EL MULTIMETRO
EL MULTIMETROEL MULTIMETRO
EL MULTIMETRO
 
ELECTROSTATICA
ELECTROSTATICAELECTROSTATICA
ELECTROSTATICA
 
BALNEARIO DE PUCUSANA
BALNEARIO DE PUCUSANABALNEARIO DE PUCUSANA
BALNEARIO DE PUCUSANA
 

Último

BITÁCORA DE ESTUDIO DE PROBLEMÁTICA. TUTORÍA V. PDF 2 UNIDAD.pdf
BITÁCORA DE ESTUDIO DE PROBLEMÁTICA. TUTORÍA V. PDF 2 UNIDAD.pdfBITÁCORA DE ESTUDIO DE PROBLEMÁTICA. TUTORÍA V. PDF 2 UNIDAD.pdf
BITÁCORA DE ESTUDIO DE PROBLEMÁTICA. TUTORÍA V. PDF 2 UNIDAD.pdfsolidalilaalvaradoro
 
HISPANIDAD - La cultura común de la HISPANOAMERICA
HISPANIDAD - La cultura común de la HISPANOAMERICAHISPANIDAD - La cultura común de la HISPANOAMERICA
HISPANIDAD - La cultura común de la HISPANOAMERICAJesus Gonzalez Losada
 
Acuerdo 05_04_24 Lineamientos del CTE.pdf
Acuerdo 05_04_24 Lineamientos del CTE.pdfAcuerdo 05_04_24 Lineamientos del CTE.pdf
Acuerdo 05_04_24 Lineamientos del CTE.pdfmiriamguevara21
 
ENSEÑAR ACUIDAR EL MEDIO AMBIENTE ES ENSEÑAR A VALORAR LA VIDA.
ENSEÑAR ACUIDAR  EL MEDIO AMBIENTE ES ENSEÑAR A VALORAR LA VIDA.ENSEÑAR ACUIDAR  EL MEDIO AMBIENTE ES ENSEÑAR A VALORAR LA VIDA.
ENSEÑAR ACUIDAR EL MEDIO AMBIENTE ES ENSEÑAR A VALORAR LA VIDA.karlazoegarciagarcia
 
DIGNITAS INFINITA - DIGNIDAD HUMANA; Declaración del dicasterio para la doctr...
DIGNITAS INFINITA - DIGNIDAD HUMANA; Declaración del dicasterio para la doctr...DIGNITAS INFINITA - DIGNIDAD HUMANA; Declaración del dicasterio para la doctr...
DIGNITAS INFINITA - DIGNIDAD HUMANA; Declaración del dicasterio para la doctr...Martin M Flynn
 
Desarrollo de habilidades del siglo XXI - Práctica Educativa en una Unidad-Ca...
Desarrollo de habilidades del siglo XXI - Práctica Educativa en una Unidad-Ca...Desarrollo de habilidades del siglo XXI - Práctica Educativa en una Unidad-Ca...
Desarrollo de habilidades del siglo XXI - Práctica Educativa en una Unidad-Ca...Carol Andrea Eraso Guerrero
 
TEMA 13. LOS GOBIERNOS DEMOCRÁTICOS (1982-2018)
TEMA 13. LOS GOBIERNOS DEMOCRÁTICOS (1982-2018)TEMA 13. LOS GOBIERNOS DEMOCRÁTICOS (1982-2018)
TEMA 13. LOS GOBIERNOS DEMOCRÁTICOS (1982-2018)jlorentemartos
 
programa PLAN ANUAL TUTORIA 3° SEC-2024.docx
programa PLAN ANUAL TUTORIA 3° SEC-2024.docxprograma PLAN ANUAL TUTORIA 3° SEC-2024.docx
programa PLAN ANUAL TUTORIA 3° SEC-2024.docxCram Monzon
 
libro grafismo fonético guía de uso para el lenguaje
libro grafismo fonético guía de uso para el lenguajelibro grafismo fonético guía de uso para el lenguaje
libro grafismo fonético guía de uso para el lenguajeKattyMoran3
 
PÉNSUM ENFERMERIA 2024 - ECUGENIUS S.A. V2
PÉNSUM ENFERMERIA 2024 - ECUGENIUS S.A. V2PÉNSUM ENFERMERIA 2024 - ECUGENIUS S.A. V2
PÉNSUM ENFERMERIA 2024 - ECUGENIUS S.A. V2Eliseo Delgado
 
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdfCuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdflizcortes48
 
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdf
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdfMEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdf
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdfJosé Hecht
 
4° UNIDAD 2 SALUD,ALIMENTACIÓN Y DÍA DE LA MADRE 933623393 PROF YESSENIA CN.docx
4° UNIDAD 2 SALUD,ALIMENTACIÓN Y DÍA DE LA MADRE 933623393 PROF YESSENIA CN.docx4° UNIDAD 2 SALUD,ALIMENTACIÓN Y DÍA DE LA MADRE 933623393 PROF YESSENIA CN.docx
4° UNIDAD 2 SALUD,ALIMENTACIÓN Y DÍA DE LA MADRE 933623393 PROF YESSENIA CN.docxMagalyDacostaPea
 
Programa sintetico fase 2 - Preescolar.pdf
Programa sintetico fase 2 - Preescolar.pdfPrograma sintetico fase 2 - Preescolar.pdf
Programa sintetico fase 2 - Preescolar.pdfHannyDenissePinedaOr
 
Salvando mi mundo , mi comunidad , y mi entorno
Salvando mi mundo , mi comunidad  , y mi entornoSalvando mi mundo , mi comunidad  , y mi entorno
Salvando mi mundo , mi comunidad , y mi entornoday561sol
 
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 3
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 3Apunte de clase Pisos y Revestimientos 3
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 3Gonella
 
PROGRAMACIÓN CURRICULAR - DPCC- 5°-2024.pdf
PROGRAMACIÓN CURRICULAR - DPCC- 5°-2024.pdfPROGRAMACIÓN CURRICULAR - DPCC- 5°-2024.pdf
PROGRAMACIÓN CURRICULAR - DPCC- 5°-2024.pdfMaritza438836
 
Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.
Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.
Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.monthuerta17
 

Último (20)

BITÁCORA DE ESTUDIO DE PROBLEMÁTICA. TUTORÍA V. PDF 2 UNIDAD.pdf
BITÁCORA DE ESTUDIO DE PROBLEMÁTICA. TUTORÍA V. PDF 2 UNIDAD.pdfBITÁCORA DE ESTUDIO DE PROBLEMÁTICA. TUTORÍA V. PDF 2 UNIDAD.pdf
BITÁCORA DE ESTUDIO DE PROBLEMÁTICA. TUTORÍA V. PDF 2 UNIDAD.pdf
 
HISPANIDAD - La cultura común de la HISPANOAMERICA
HISPANIDAD - La cultura común de la HISPANOAMERICAHISPANIDAD - La cultura común de la HISPANOAMERICA
HISPANIDAD - La cultura común de la HISPANOAMERICA
 
Acuerdo 05_04_24 Lineamientos del CTE.pdf
Acuerdo 05_04_24 Lineamientos del CTE.pdfAcuerdo 05_04_24 Lineamientos del CTE.pdf
Acuerdo 05_04_24 Lineamientos del CTE.pdf
 
Acuerdo segundo periodo - Grado Septimo.pptx
Acuerdo segundo periodo - Grado Septimo.pptxAcuerdo segundo periodo - Grado Septimo.pptx
Acuerdo segundo periodo - Grado Septimo.pptx
 
ENSEÑAR ACUIDAR EL MEDIO AMBIENTE ES ENSEÑAR A VALORAR LA VIDA.
ENSEÑAR ACUIDAR  EL MEDIO AMBIENTE ES ENSEÑAR A VALORAR LA VIDA.ENSEÑAR ACUIDAR  EL MEDIO AMBIENTE ES ENSEÑAR A VALORAR LA VIDA.
ENSEÑAR ACUIDAR EL MEDIO AMBIENTE ES ENSEÑAR A VALORAR LA VIDA.
 
DIGNITAS INFINITA - DIGNIDAD HUMANA; Declaración del dicasterio para la doctr...
DIGNITAS INFINITA - DIGNIDAD HUMANA; Declaración del dicasterio para la doctr...DIGNITAS INFINITA - DIGNIDAD HUMANA; Declaración del dicasterio para la doctr...
DIGNITAS INFINITA - DIGNIDAD HUMANA; Declaración del dicasterio para la doctr...
 
Desarrollo de habilidades del siglo XXI - Práctica Educativa en una Unidad-Ca...
Desarrollo de habilidades del siglo XXI - Práctica Educativa en una Unidad-Ca...Desarrollo de habilidades del siglo XXI - Práctica Educativa en una Unidad-Ca...
Desarrollo de habilidades del siglo XXI - Práctica Educativa en una Unidad-Ca...
 
TEMA 13. LOS GOBIERNOS DEMOCRÁTICOS (1982-2018)
TEMA 13. LOS GOBIERNOS DEMOCRÁTICOS (1982-2018)TEMA 13. LOS GOBIERNOS DEMOCRÁTICOS (1982-2018)
TEMA 13. LOS GOBIERNOS DEMOCRÁTICOS (1982-2018)
 
programa PLAN ANUAL TUTORIA 3° SEC-2024.docx
programa PLAN ANUAL TUTORIA 3° SEC-2024.docxprograma PLAN ANUAL TUTORIA 3° SEC-2024.docx
programa PLAN ANUAL TUTORIA 3° SEC-2024.docx
 
libro grafismo fonético guía de uso para el lenguaje
libro grafismo fonético guía de uso para el lenguajelibro grafismo fonético guía de uso para el lenguaje
libro grafismo fonético guía de uso para el lenguaje
 
PÉNSUM ENFERMERIA 2024 - ECUGENIUS S.A. V2
PÉNSUM ENFERMERIA 2024 - ECUGENIUS S.A. V2PÉNSUM ENFERMERIA 2024 - ECUGENIUS S.A. V2
PÉNSUM ENFERMERIA 2024 - ECUGENIUS S.A. V2
 
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdfCuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
 
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdf
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdfMEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdf
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdf
 
4° UNIDAD 2 SALUD,ALIMENTACIÓN Y DÍA DE LA MADRE 933623393 PROF YESSENIA CN.docx
4° UNIDAD 2 SALUD,ALIMENTACIÓN Y DÍA DE LA MADRE 933623393 PROF YESSENIA CN.docx4° UNIDAD 2 SALUD,ALIMENTACIÓN Y DÍA DE LA MADRE 933623393 PROF YESSENIA CN.docx
4° UNIDAD 2 SALUD,ALIMENTACIÓN Y DÍA DE LA MADRE 933623393 PROF YESSENIA CN.docx
 
Acuerdo segundo periodo - Grado Sexto.pptx
Acuerdo segundo periodo - Grado Sexto.pptxAcuerdo segundo periodo - Grado Sexto.pptx
Acuerdo segundo periodo - Grado Sexto.pptx
 
Programa sintetico fase 2 - Preescolar.pdf
Programa sintetico fase 2 - Preescolar.pdfPrograma sintetico fase 2 - Preescolar.pdf
Programa sintetico fase 2 - Preescolar.pdf
 
Salvando mi mundo , mi comunidad , y mi entorno
Salvando mi mundo , mi comunidad  , y mi entornoSalvando mi mundo , mi comunidad  , y mi entorno
Salvando mi mundo , mi comunidad , y mi entorno
 
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 3
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 3Apunte de clase Pisos y Revestimientos 3
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 3
 
PROGRAMACIÓN CURRICULAR - DPCC- 5°-2024.pdf
PROGRAMACIÓN CURRICULAR - DPCC- 5°-2024.pdfPROGRAMACIÓN CURRICULAR - DPCC- 5°-2024.pdf
PROGRAMACIÓN CURRICULAR - DPCC- 5°-2024.pdf
 
Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.
Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.
Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.
 

CALCULO DIFERENCIAL

  • 1. Universidad Nacional Federico Villarreal MATEMATICA Facultad de Educación Matemática - Física PURA CALCULO DIFERENCIAL Toribio Córdova C. TEMAS:  LÍMITES  CONTINUIDAD  DERIVADAS
  • 2. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 1. Definición de límite. a) 𝑳𝒊𝒎 = 𝐱 𝟐 −𝟑𝐱+𝟐 𝟏 𝒙⟶𝟏 𝐱 𝟐 −𝟒𝐱+𝟑 𝟐 𝑳𝒊𝒎 √ 𝐱 + 𝟑 = 𝟐 𝒙⟶𝟏 b) Resolución 𝑳𝒊𝒎 = 𝒙 𝟐 −𝟑𝒙+𝟐 𝟏 𝒙⟶𝟏 𝒙 𝟐 −𝟒𝒙+𝟑 𝟐 a) Resolución ∀𝜀 > 0 , ∃ 𝛿 > 0 / x ∈ Dom f ⋀ 0< |𝑥 − 1| < 𝛿 ⟺ �𝑓(𝑥) − 2� < 𝜀 1 �𝑓(𝑥) − 2� < 𝜀 1 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 1 � − � < 𝜺 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 2 2𝑥 2 − 6𝑥 + 4 − 𝑥 2 + 4𝑥 − 3 � � < 𝜀 2(𝑥 2 − 4𝑥 + 3) 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 � � < 𝜀 2(𝑥 2 − 4𝑥 + 3) �(𝑥−1)(𝑥−3) � < 𝜺 1 (𝑥−1)2 2 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 2
  • 3. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 |𝑥 − 1| � �< 𝜀 1 1 2 𝑥−3 Acotamos con la asíntota 𝑥 − 3 = 0 ⇒ 𝑥 = 3 (Asíntota) �𝑎 – 𝑥 𝑜 �𝜖 < 0,1] |𝟑 − 𝟏| ∉< 0,1] ⟹ 𝛿1 = 1 −1 < 𝑥 − 1 < 1 0< 𝑥<2 −3 < 𝑥 − 3 < −1 1 1 − > > −1 3 𝑥−3 � �=1 1 𝑥−3 1 1 |𝑥 − 1| � � < 𝜀 ⟹ |𝑥 − 1| < 2𝜖 = 𝛿2 2 𝑥−3 ∴ 𝜹 𝒎𝒊𝒏 = {𝟏, 𝟐𝜺} Rpta 𝑳𝒊𝒎 √ 𝒙 + 𝟑 = 𝟐 𝒙⟶𝟏 b) Resolución ∀𝜀 > 0 , ∃ 𝛿 > 0 / x ∈ Dom f ⋀ 0< |𝑥 − 1| < 𝛿 ⟺ |𝑓(𝑥) − 2| < 𝜀 |𝑓(𝑥) − 2| < 𝜀 �√𝑥 + 3 − 2� < 𝜺 𝑥+3−4 � �< 𝜺 √𝑥+3+2 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 3
  • 4. CALCULO DIFERENCIAL 𝑥−1 UNFV – BASE 2009 � �< 𝜀 √𝑥+3+2 1 |𝑥 − 1| � �< 𝜺 √𝑥+3+2 Acotamos con el dominio 𝑥 + 3 >0 √𝑥 + 3 > 0 √ 𝑥 + 3 + 2 >2 � � <2 1 √ 𝑥+3+2 1 𝜀 |𝑥 − 1| � � < 𝜀 ⟹ |𝑥 − 1| < = 𝛿1 √𝑥+3+2 2 ∴ 𝜹 ={ } 𝛆 𝒎𝒊𝒏 𝟐 Rpta 𝑳𝒊𝒎 𝒇(𝒙) si existe. 𝒙⟶𝟏 2. Calcular 𝟒+∥ ∥ �√ 𝒙−∥ 𝒙 ∥�+∥ ∥ − ∥ 𝒙 − 𝟑 ∥ ; 𝒙 < −𝟏 𝟏 𝟏 𝒙 𝒙 𝟏 F(x)= � 𝟏 − (𝒙. 𝒔𝒈𝒏(𝒙)) 𝟐 − ; 𝒙 ≥ −𝟏 , 𝒙 ≠ 𝟎 𝒙 Resolución Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 4
  • 5. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 4+∥ 𝑥 ∥ �√ 𝑥−∥ 𝑥 ∥�+∥ ∥ − 𝑥 ∥ 𝑥 − 3 ∥ ; 𝑥 < −1 1 1 F(x)= 1 �1 − (𝑥. 𝑠𝑔𝑛(𝑥))2 − ; 𝑥 ≥ −1 , 𝑥 ≠ 0 𝑥 𝑳𝒊𝒎 ∃ ⟺ 𝑳𝒊𝒎− = 𝑳𝒊𝒎+ 𝒙 < −1 𝒙⟶−𝟏 𝒙⟶−𝟏 𝒙⟶−𝟏 ∥ 𝒙 ∥ = −𝟐 𝐿𝑖𝑚 4+∥ 𝑥 ∥ �√ 𝑥−∥ 𝑥 ∥�+∥ ∥ − 𝑥 ∥ 𝑥 − 3 ∥ 1 1 𝟏 ∥ ∥= −𝟏 𝑥⟶−1− 𝒙 i. = 4 + (−1) ��𝑥 − (−2)� +∥ 0𝑥 − 3 ∥ 𝟏 ∥− ∥= 𝟎 = 4 − �√ 𝑥 + 2� − 3 𝒙 = 4 − ��(−1) + 2� − 3 =0 𝐿𝑖𝑚+�1 − (𝑥. 𝑠𝑔𝑛(𝑥))2 − 1 𝑥⟶−1 𝑥 𝑺𝒈𝒏(𝒙) < 0 ii. = �1 − �(−1)(−1)� − 2 1 −1 ∴ 𝑺𝒈𝒏(𝒙) = −𝟏 =√0 + 1 = 1 𝑪𝒐𝒎𝒐 𝑳𝒊𝒎− ≠ 𝑳𝒊𝒎+ 𝒙⟶−𝟏 𝒙⟶−𝟏 ∴ 𝑳𝒊𝒎 = ∄ 𝒙⟶−𝟏 Rpta Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 5
  • 6. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 3. Calcular : √𝟓 + 𝒙 + √ 𝟐𝟔 − 𝒙 + √𝟏𝟓 − 𝒙 + √ 𝒙 + 𝟏 − 𝟕 𝑳𝒊𝒎 𝟑 𝟒 𝟒 𝒙→−𝟏 √ 𝒙 + 𝟏𝟎 √ 𝒙 + 𝟏 + √ 𝒙 + 𝟏 − 𝟑 𝟒 Resolución √𝟓 + 𝒙 + √𝟐𝟔 − 𝒙 + √𝟏𝟓 − 𝒙 + √ 𝒙 + 𝟏 − 𝟕 𝟒 𝑳𝒊𝒎 𝟑 𝟒 𝒙→−𝟏 √ 𝒙 + 𝟏𝟎 √ 𝒙 + 𝟏 + √ 𝒙 + 𝟏 − 𝟑 𝟒 �5+𝑥− 2+ �26−𝑥−3+ �15−𝑥−2+ � 𝑥+1−7−7 3 4 4 = � 𝑥+10−3 � 𝑥+1+� 𝑥+1−3+3 4 �5+𝑥− 2+ �26−𝑥−3+ �15−𝑥−2+ � 𝑥+1−7−7 3 4 4 = � 𝑥+10−3 � 𝑥+1+� 𝑥+1−3+3 4 + + + √𝑥+1 5+𝑥− 4 26−𝑥−27 15−𝑥−16 4 √5+𝑥+ 2 2 2 = � √26−𝑥 �+� √26−𝑥�(3)+(32 ) � √15−𝑥 �+� √15−𝑥 �(2)+(22 ) 3 3 4 4 + √𝑥+1+√𝑥+1 𝑥+10−9 4 √ 𝑥+10+3 + 27 + −(𝑥+1) 𝑥+1 −(𝑥+1) = 4 12 Racionalización 𝑥+1 ( 𝒂 𝒏 − 𝒃 𝒏 ) = (𝒂 − 𝒃)(𝒂 𝒏−𝟏 +𝒂 𝒏−𝟐 𝒃 + 𝒂 𝒏−𝟑 𝒃 𝟐 + … + 𝒃 𝒏−𝟏 ) 6 = 27(𝑥+1)−4(𝑥+1)−9(𝑥+1) 108 𝑥+1 6 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 6
  • 7. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 = = 18(𝑥+1) = 9 14(𝑥+1) 108 14(𝑥+1) 7 𝑥+1 6 ∴ 𝑳𝒊𝒎 = √𝟓+𝒙+ √ 𝟐𝟔−𝒙+ √𝟏𝟓−𝒙+ √ 𝒙+𝟏−𝟕 𝟕 𝟑 𝟒 𝟒 𝒙→−𝟏 √ 𝒙+𝟏𝟎 √ 𝒙+𝟏+√ 𝒙+𝟏−𝟑 𝟒 𝟗 Rpta 4. Calcular: 𝑳𝒊𝒎 𝝅 𝒕𝒈 (𝒙− 𝟒 ) 𝝅 𝒙→𝝅∕𝟒 𝒙− a) 𝟒 b) 𝑳𝒊𝒎 , 𝒎> 𝒐 𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒙)−𝒄𝒐𝒔( 𝒎𝒙) 𝒙→𝟎 𝒙𝟐 Resolución 𝐿𝑖𝑚 𝜋 𝑡𝑔 (𝑥− 4 ) 𝜋 𝑥→𝜋∕4 𝑥− 4 a) 𝑥− = 𝑢 ⟹ 𝑥= 𝑢+ 𝑥→ 𝑢→0 𝜋 𝜋 𝜋 , entonces 4 4 4 . Si 𝑡𝑔 (𝑢 + − ) 𝜋 𝜋 𝐿𝑖𝑚 4 4 𝑢+ − 𝜋 𝜋 𝑢→0 4 4 ∴ 𝐿𝑖𝑚 =1 𝑡𝑔 (𝑢) 𝑢→0 𝑢 Rpta Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 7
  • 8. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 𝐿𝑖𝑚 ; 𝑚> 𝑜 cos(𝑛𝑥)−cos( 𝑚𝑥) 𝑥→0 𝑥2 b) −2𝑠𝑒𝑛 � � 𝑠𝑒𝑛 � � 𝑛𝑥+𝑚𝑥 𝑛𝑥−𝑚𝑥 𝐿𝑖𝑚 2 2 𝑥→0 𝑥2 2𝑠𝑒𝑛 � � 𝑠𝑒𝑛 � � 𝑛𝑥+𝑚𝑥 𝑚𝑥−𝑛𝑥 𝐿𝑖𝑚 2 2 𝑥→0 𝑥2 𝑥(𝑚+𝑛) 𝑚+𝑛 𝑚−𝑛 𝑥(𝑚−𝑛) 2 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥� 2 � 𝑠𝑒𝑛𝑥 � 2 � 2 𝐿𝑖𝑚 𝑥(𝑚+𝑛) 𝑥(𝑚−𝑛) 𝑥2 2 2 𝑥→0 2𝑥 � � 𝑥� � 𝑚+𝑛 𝑚−𝑛 𝐿𝑖𝑚 2 2 𝑥2 Propiedad 𝑨+𝑩 𝑨−𝑩 𝑥→0 𝟐 𝟐 Cos A + Cos B = - 2sen sen ∴ 𝑳𝒊𝒎 = 𝒎 𝟐 −𝒏 𝟐 𝒎 𝟐 −𝒏 𝟐 𝒙→𝟎 𝟐 𝟐 Rpta Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 8
  • 9. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 5. Usando límites calcule: 𝑨𝒓𝒆𝒂 ∆𝑩𝑻𝑸 𝑳𝒊𝒎 𝜶→ 𝝅 𝟐 𝑨𝒓𝒆𝒂 ∆𝑷𝑩𝑪 Resolución Se pide: L = lim Area ∆BTQ ………………(1) π α→ Area ∆PBC 2 cosθ⋅ tg(45º −θ /2) N secθ 45º −θ /2 B sθ co P θ x2 + y2 = 1 sθ co 1 θ α tg 1 θ C θ O 1 1 θ M T cosθ S θ Q Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 9
  • 10. CALCULO DIFERENCIAL Cálculo de las áreas UNFV – BASE 2009 De la figura: BQ ⋅TM PC ⋅NB ∗ Area ∆BTQ = ……………….(2) ∗ Area ∆PBC = ………………….(3) 2 2 Se observa: BQ 1+ csc θ; TM cosθ; PC tgθ; NB cosθ⋅ tg 45º −  θ = = = =   Reemplazando en (2) y (3):  2 (1+ csc θ)⋅cosθ (1+ senθ)⋅cosθ ∗ Area ∆BTQ = = 2 2senθ  θ  90º −θ  tgθ⋅cosθ⋅ tg 45º −  tgθ⋅cosθ⋅ tg  ∗ Area ∆PBC =  2=  2  2 2 1− cos(90º −θ)  tgθ⋅cosθ⋅  = Area ∆PBC =  sen(90º −θ)  tgθ⋅cosθ⋅(1− senθ)  Sustituyendo en (1): 2 2cosθ (1+ senθ)⋅cosθ (1+ senθ)⋅cosθ Area ∆BTQ 2 senθ senθ = lim L = lim = lim α→ Area ∆PBC α→ tgθ⋅ cosθ ⋅(1− senθ) α→ senθ ⋅(1− senθ) π π π 2 2 2 2 cosθ cosθ (1+ senθ)⋅cos2 θ (1+ senθ)⋅(1− sen2 θ) (1+ senθ)⋅(1+ senθ) (1− senθ) = lim L = lim = lim 2 2 α→ (1− senθ)sen θ π α→ π (1− senθ)sen θ α→ π (1− senθ) sen2 θ 2 2 2 (1+ senθ)2 L = lim Pero: θ 180º −α = Entonces: α→ π sen2 θ 2 2  π [1+ sen(180º −α )] 2 [1+ senα] 1+ sen 2  [1+1]2 2 2 = lim L = lim =  = = 2= 4 π 2 sen (180º −α ) π 2 sen α 2 π 12 α→ 2 α→ 2 sen 2 𝑨𝒓𝒆𝒂 ∆𝑩𝑻𝑸 ∴ 𝑳𝒊𝒎 = 𝟒 𝝅 𝜶→ 𝟐 𝑨𝒓𝒆𝒂 ∆𝑷𝑩𝑪 Rpta Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 10
  • 11. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 Calcular: 𝑳𝒊𝒎 � � 6. − 𝒙�; si existe 𝟓 𝒙 𝟕 −𝒙 𝟓 𝒙→∞ 𝒙 𝟐 +𝟏 Resolución Racionalización 𝑥7 − 𝑥5 Recordar � (𝒂 𝒏 −𝒃 𝒏 ) 𝐿𝑖𝑚 � − 𝑥� 5 𝑨 𝑥2 + 1 (𝒂 𝒏−𝟏 +𝒂 𝒏−𝟐 𝒃+⋯+𝒂𝒃 𝒏−𝟐 +𝒃 𝒏−𝟏 ) = 𝟎 ∞∃ 𝑅 = (a-b) 𝑥→∞ Factor Racionalizante A 5 ⎧ � � x2+1 � − (𝑥)5 x7 −x5 ⎫ ⎪ ⎪ 5 = Lim 𝑥→∞ ⎨ 5 7 5 ⎬ ⎪� � x2+1 � + �� 2 � 𝑥+ � � x2+1 � 𝑥2 + � � x2 +1 � 𝑥3 + 𝑥4 ⎪ 4 3 2 x −x 5 x7 −x5 5 x7 −x5 5 x7 −x5 ⎩ x +1 ⎭ ⎧ ⎫ ⎪ − x5 ⎪ x7 −x5 = Lim x2 +1 𝑥→∞ ⎨ 5 7 5 4 ⎬ 3 2 ⎪� � 2 � + � � 2 � 𝑥+ � � 2 � 𝑥 2 + � � 2 � 𝑥 3 + 𝑥 4 ⎪ x −x 5 x7 −x5 5 x7 −x5 5 x7 −x5 ⎩ x +1 x +1 x +1 x +1 ⎭ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ 𝑥 7 −𝑥 5 −𝑥 5 (𝑥 2 +1) = 𝐿𝑖𝑚 𝑥 2 +1 𝑥→∞ ⎨ 4 3 2 ⎬ ⎪�� � + �� � 𝑥+ � � � 𝑥2 + � � � 𝑥3 + 𝑥4 ⎪ 5 𝑥 7 −𝑥 5 5 𝑥 7 −𝑥 5 5 𝑥 7 −𝑥 5 5 𝑥 7 −𝑥 5 ⎩ 𝑥 2 +1 𝑥 2 +1 𝑥 2 +1 𝑥 2 +1 ⎭ 𝑥7 − 𝑥5 − 𝑥7 − 𝑥5 = 𝐿𝑖𝑚 4 3 2 𝑥→∞ (𝑥 2 + 1) �� � � + �� � 𝑥+ � � � 𝑥2 + � � � 𝑥3 + 𝑥4� 5 𝑥 7 −𝑥 5 5 𝑥 7 −𝑥 5 5 𝑥 7 −𝑥 5 5 𝑥 7 −𝑥 5 𝑥 2 +1 𝑥 2 +1 𝑥 2 +1 𝑥 2 +1 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 11
  • 12. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 −2𝑥 5 = 𝐿𝑖𝑚 𝑥5 𝑥→∞ 4 3 2 5 𝑥7 −𝑥5 5 𝑥7 −𝑥5 5 𝑥7 −𝑥5 5 𝑥7 −𝑥5 �� � 2 � +� � 2 � 𝑥+� � 2 � 𝑥 2 + � � �𝑥 3 +𝑥 4 � (𝑥 2 +1) 𝑥 +1 𝑥 +1 𝑥 +1 𝑥2 +1 𝑥1 𝑥4 −2𝑥 5 = 𝐿𝑖𝑚 4 3 𝑥5 2 ⎧ 5 ⎫ 𝑥→∞ � 1 + 1� � � � + �� + �� � 𝑥7 −𝑥5 𝑥7 −𝑥5 𝑥7 −𝑥5 𝑥7 −𝑥5 � � 2 + � � + 5 5 5 𝑥2 1 𝑥2 +1 𝑥2 +1 𝑥 𝑥2 +1 𝑥2 𝑥2 +1 𝑥3 𝑥4 𝑥 𝑥 ⎨ 𝑥5 𝑥5 𝑥 𝑥5 𝑥 𝑥5 𝑥3 𝑥4 ⎬ ⎩ ⎭ −2𝑥 5 = 𝐿𝑖𝑚 4 3 𝑥5 2 𝑥→∞ � + � �� � � + �� � + �� � + �� � + � 𝑥2 1 5 𝑥 7 −𝑥 5 5 𝑥 7 −𝑥 5 𝑥 5 𝑥 7 −𝑥 5 𝑥2 5 𝑥 7 −𝑥 5 𝑥3 𝑥4 𝑥 1 𝑥 1 𝑥 7 +𝑥 5 𝑥 7 +𝑥 5 𝑥 𝑥 7 +𝑥 5 𝑥 2 𝑥 7 +𝑥 5 𝑥 3 𝑥4 −2 = 𝐿𝑖𝑚 4 3 2 𝑥→∞ 𝑥7 𝑥5 𝑥7 𝑥5 𝑥7 𝑥5 𝑥7 𝑥5 �𝑥 + 𝑥� ��� � + �� � + �� � + �� � + 1� 1 5 − 5 − 5 − 5 − 𝑥7 𝑥7 𝑥7 𝑥7 𝑥7 𝑥7 𝑥7 𝑥7 7 𝑥5 7 𝑥5 7 𝑥5 7 𝑥5 + + + + 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥7 𝑥7 𝑥7 𝑥7 𝑥7 𝑥7 𝑥7 𝑥7 −2 = 𝐿𝑖𝑚 𝑥→∞ (𝑥)(5) −2 1 = 𝐿𝑖𝑚 = 0 5 𝑥→∞ 𝑥 ∴ 𝑳𝒊𝒎 � � − 𝒙� = 𝟎 𝟓 𝒙 𝟕 −𝒙 𝟓 𝒙→∞ 𝒙 𝟐 +𝟏 Rpta Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 12
  • 13. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 7. Usando la definición, probar que: 𝟏− 𝒙 𝑳𝒊𝒎 = −∞ 𝒙→𝟐 ( 𝒙 − 𝟐) 𝟐 Resolución Se tiene que: Domf ( x ) =¡ −{2} ⇒ x =2 es un punto de acumulación del dominio. La definición del límite de f ( x ) = cuando f(x) tiende a −∞ , si x tiende a 2 es: 1− x ( x − 2)2 1− x lim = −∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 / x ∈Domf ( x ) ∧ si 0 < x − 2 < δ ⇒ f ( x ) < − M x →2 ( x − 2)2 1− x ⇒ f (x) = < − M ……………………………..….(1) ( x − 2)2 1 1 1 1 3 Si 0 < x − 2 < δ1 = ⇒ − < x − 2 < ⇒ < x −1< 2 2 2 2 2 Como: ( x − 2)2 > 0; siendo x ≠ 2 ⇒ multiplicamos la expresión anterior por: 1 ( x − 2)2 1 x −1 3 ⇒ < < 2( x − 2) ( x − 2) 2( x − 2)2 2 2 3 1− x 1 ⇒ − < <− …………………...(2) De las ecuaciones (1) y (2): 2 2 2( x − 2) ( x − 2) 2( x − 2)2 1 1 ⇒ − < −M ⇒ >M 2( x − 2)2 2( x − 2)2 1 1 1 ⇒ 2( x − 2)2 < ⇒ ( x − 2)2 < ⇒ x −2 < M 2M 2M 1 Si 0 < x − 2 < δ se toma: δ = 2M Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 13
  • 14. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 ∴ 𝜹 = { 𝜹 𝟏 ; 𝜹 𝟐 } = 𝒎í𝒏 � ; � � Rpta 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝑴 8. Calcular: (𝒕𝒂𝒏 𝒙 − 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒙) + 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 − (𝒔𝒊𝒏 𝒙) 𝟐 + 𝟎. 𝟓 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 𝑳𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒙 𝟑 (𝟏 − 𝒔𝒊𝒏 𝒙 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙) Resolución Sea f ( x ) = ( tgx − 2senx ) + senx .tgx − sen x + 0, 5sen2x 2 Reduciendo la función: 3 x (1 − senx + cosx )  1  senx senx  − 2  + senx . − sen2 x + 0, 5 × 2senx .cosx f (x ) =  cosx  cosx x 3(1 − senx + cosx )  1 senx  senx  −2+ − senx + cosx   cosx cosx  f (x ) = x 3(1 − senx + cosx )  1 senx  senx  − 1+ − 1 − senx + cosx   cosx cosx  f (x ) = x 3(1 − senx + cosx )  1 cosx senx  senx  − + − 1 − senx + cosx  f (x ) =  cosx cosx cosx  3 x (1 − senx + cosx )  1 − cosx + senx  senx  − (1 − cosx + senx )  cosx  f (x ) = 3 x (1 − cosx + senx )  1  senx (1 − cosx + senx )  − 1 f (x ) =  cosx  3 x (1 − cosx + senx ) Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 14
  • 15. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009  1 − cosx  senx 2x  senx   (1 − cosx ) tgx ⋅ 2sen  2   cosx  cosx   f (x ) = = = 3 3 3 x x x x  x  x  sen2   sen2   sen2   tgx 2 = x ⋅ tg  2  =tgx ⋅ 1 2 f (x ) = ⋅ 2 2 ⋅ x x 2 x x  2 2 x x  2 4    Reemplazando en el límite: 2 2 x  x  sen2   sen2   1 tgx  2 1 tgx  2  = 1 ⋅ 1⋅ 1 lim f ( x ) = lim ⋅ ⋅ = lim ⋅ lim x→0 x→0 2 x x  2 2 x→0 x x→0 x  2 2     2 2 ∴ 𝑳𝒊𝒎 𝒇( 𝒙) = 𝟏 𝒙→𝟎 𝟐 Rpta 9. Sea f la función definida por: 𝟓 𝐟(𝐱) = |𝐱 + 𝟓| + |𝐱| − 𝟒 Bosqueje el gráfico de f mostrando sus asíntotas. Resolución El dominio de la función f(x) será: Domf ( x = ) {x ∈ ¡ / x − 4 ≠ 0} = {x ∈ ¡ / x ≠ 4} {x ∈ ¡ / x ≠ 4 ∨ x ≠ −4} = Redefiniendo la función: 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −5, 𝑥 = 0 (𝑥 ≠ 0) Se tienen 3 intervalos: Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 15
  • 16. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 ∗ x < −5 ⇒ x+5 = −( x + 5) ∧ −x x = 5 ⇒ f1( x ) = −( x + 5) + ; x < −5 −x − 4 ∗ −5≤ x < 0 ⇒ x+5 x + 5 ∧ = −x x = 5 ⇒ f2 ( x )= x + 5 − ; − 5 ≤ x < 0 , x ≠ −4 x +4 ∗ x >0 ⇒ x x+5 = + 5 ∧ x =x 5 ⇒ f3 ( x ) = x + 5 + ; x ≥ 0, x ≠ 4 Luego: x −4   5  −  x + 5 + x + 4  ; x < −5     5 f ( x= x + 5 − ) ; − 5 ≤ x < 0 , x ≠ −4  x +4  5 x + 5 + ; x ≥ 0, x ≠ 4 Asíntotas verticales:  x −4 Las posibles asíntotas verticales de la gráfica de f(x) serán en los puntos de acumulación del dominio (𝑥 = ±4).  5  5 ∗ lim − f ( x ) =lim −  x + 5 −  =4 +5− − =+∞ = − 1 +∞ x →−4 x →−4  x +4 0  5  5 ∗ lim + f ( x ) =lim +  x + 5 −  =4 +5− + =−∞ = − 1 −∞ ∴ 𝒙 = −𝟒 es una Asíntota Vertical x →−4 x →−4  x +4 0  5  5 ∗ lim− f ( x ) =lim−  x + 5 +  = +5+ − = −∞ = 4 9 −∞ x →4 x →4  x −4 0  5  5 ∗ lim+ f ( x ) =lim+  x + 5 +  = +5+ + = +∞ = 4 9 +∞ ∴ 𝒙 = 𝟒 es una Asíntota Vertical x →4 x →4  x −4 0 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 16
  • 17. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 Asíntotas horizontales:  5  ∗ lim f ( x ) = lim  x + 5 +  = +∞ + 0 = +∞ ∉ ¡ x →+∞ x →+∞  x −4  5  ∗ lim f ( x ) = lim −  x + 5 +  = − ( −∞ + 0 ) = +∞ ∉ ¡ ∴ No tiene Asíntota Horizontal x →−∞ x →−∞  x +4 Asíntotas oblicuas: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃  A.O.D: 5 x +5+ f (x ) x −4  5 5  = lim = lim m = lim 1 + + = 1 x →+∞ x x →+∞ x x →+∞   x x( x − 4 )    5   5  =b lim f ( x ) − mx  = lim x + 5 + −x = lim 5 + = 5 x →+∞   x →+∞   x −4  x →+∞   x − 4  ∴ y= x + 5  A.O.I:   5 −x + 5 +  f (x )  x + 4  = lim  1 + 5 + 5  m= lim = lim − =1 − x →−∞ x x →−∞ x x →−∞   x x(x + 4 )     5    5   5  b= lim f ( x ) − mx  = lim −  x + 5 + + x = lim −x − 5 − + x  lim  −5 − = = −5 x →−∞   x →−∞    x +4  x →−∞   x +4  x →−∞  x − 4  Gráfico: ∴ y = −x − 5 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 17
  • 18. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 X=-4 X=4 y 5 x -5 10. Dada la función definida por: 𝑺𝒈𝒏(𝒙 𝟐 − 𝟖) − 𝟑; 𝒙 ≤ −𝟑 𝒙 𝒇(𝒙) = 𝒙 � � + 𝟓𝒔𝒈𝒏(𝒙 − 𝟓); −𝟑 < 𝑥 < 𝟎 𝟑 𝒙− 𝟑 ; 𝒙≥ 𝟎 𝒙𝟐 − 𝒙− 𝟔 Determinar los puntos de discontinuidad. Determinar el tipo de discontinuidad y si es posible redefinir la función para evitar la discontinuidad. Resolución Redefiniendo la función f(x). Para ello hallaremos: ∗ Si: x ≤ −3 ⇒ x 2 ≥ 9 ⇒ x 2 − 8 ≥ 1 > 0 ⇒ sgn( x 2 − 8 ) =1 𝑥 𝑥 ∗ 𝑆𝑖: − 3 < 𝑥 < 0 ⟹ −1 < < 0 ⟹ � � = −1 3 3 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 18
  • 19. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 ∗ Si: − 3 < x < 0 ⇒ − 8 < x − 5 < −5 ⇒ sgn( x − 5) = 1 − x −3 x −3 1 ∗ = = ; x ≥ 0, x ≠ 3 2 x −x −6 ( x − 3)( x + 2 ) x + 2 Luego:   1 − 3 ; x ≤ −3 −2 ; x ≤ −3   f ( x )= x ( −1) + 5( −1) ; − 3 < x < 0 ⇔ f ( x ) = −x − 5 ; − 3 < x < 0  1  1  ; x ≥0  ; x ≥ 0, x ≠ 3 Graficando f(x): x + 2 x + 2 y 1/2 -3 -2 3 x -2 -5 Se observa que la función es discontinua en x=0. El tipo de discontinuidad es inevitable. Lo que me indica que no es posible redefinir la función para hacerla continua en dicho punto. Rpta Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 19
  • 20. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 11. Resolver: 𝟑 � 𝟔+ √ 𝒙 −𝟐 a) Sea 𝒇(𝒙) = ; 𝒙 ≠ 𝟔𝟒; ¿Cómo debe ser definida 𝟔 𝒙−𝟔𝟒 f(64), de modo que la función sea continua en x= 64? b) Un automóvil viaja de noche por una carretera en forma de parábola con vértice en el origen, el vehículo parte de un punto a 100 m al oeste y a 100 m al norte del origen y viaja en dirección general hacia el este. Hay una estatua a 100 m al este y 50 m al norte de origen ¿en qué punto de la carretera los faros del automóvil la iluminaria? Resolución a) Debemos redefinir la función en x=64 a fin de hacerla continua en dicho punto. Aplicamos límite de una función cuando x tiende a 64: (Forma indeterminada) 3 6+ 6 x −2 0 lim f ( x ) = lim = Levantando la indeterminación: x → 64 x → 64 x − 64 0 3 6+ 6 x −2 3 6 + 6 x − 2 3 ( 6 + 6 x )2 + 3 6 + 6 x .2 + 22 = lim lim f ( x ) = lim ⋅ x → 64 x → 64 x − 64 x → 64 x − 64 3 ( 6 + 6 x )2 + 3 6 + 6 x .2 + 22 6+ 6 x −8 1 = lim lim f ( x ) ⋅ x → 64 x → 64 x − 64 3 ( 6 + 6 x )2 + 2 3 6 + 6 x + 4 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 20
  • 21. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 1 x − 2 6 x 5 + 6 x 4 ⋅ 2 + 6 x 3 ⋅ 22 + ... + 25 6 = lim lim f ( x ) ⋅ ⋅ ( 6 + 6 x )2 + 2 3 6 + 6 x + 4 x − 64 6 x 5 + 6 x 4 ⋅ 2 + x 3 ⋅ 22 + ... + 25 x → 64 x → 64 3 6 1 x − 64 1 = lim lim f ( x ) ⋅ ⋅ ( 6 + 6 x )2 + 2 3 6 + 6 x + 4 x − 64 6 x 5 + 6 x 4 ⋅ 2 + x 3 ⋅ 22 + ... + 25 x → 64 x → 64 3 6 1 1 1 1 lim f ( x ) = ⋅ 5 = ⋅ 5 x →64 3 ( 6 + 2)2 + 2 3 6 + 2 + 4 6 ⋅ 2 3 ⋅ 4 6 ⋅ 2 1 lim f ( x ) = 2304 La función redefinida será: x → 64 3 6 + 6 x −2  ; x ≠ 64  f ( x ) =  x − 64 Rpta  1 ; x = 64  2304  b) Graficando: N y O E S Partida 100 50 Estatua -100 100 x P(a,b) Ecuación general de la parábola con vértice en el origen: y = ax 2 ........................... (1) Pero ( −100; 100 ) ∈ Parábola ⇒ En la Ec.(1) : 100 =a( −100 ) ⇒ a = 2 1 100 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 21
  • 22. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 1 ⇒ y =x 2 .............................. (2) 100 Hallando la ecuación de la recta LT de la iluminación en el punto P: Para ello consideramos el punto de paso (100; 50): (de la estatua) y − 50 = m( x − 100 ) ⇒ y = mx + 50 − 100m ............................. (3) Cálculo de la pendiente “m” con la ecuación de la parábola: 2 1 m =y ¢= x ⇒ m= x Reemplazando en (3): 100 50 1 2 ⇒ y = x − 2x + 50 .........................(4) 50 Igualando las ecuaciones (2) y (4): 1 2 1 2 x= x − 2x + 50 100 50 0 =2 − 200x + 5000 x Resolviendo: x 200 ± 2002 − 4(1)( 5000 ) 200 ± 100 2 = = 2 2 x = 100 ± 50 2 ⇒ x 1 = 100 − 50 2 ∨ x 2 = 100 + 50 2 En la ecuación (2): ⇒ y = 1 (100 − 50 2 )2 = (10 − 5 2 )2 = 150 − 100 2 100 Finalmente el punto P pedido es: ∴ 𝑷(𝒂; 𝒃) = (𝟏𝟎𝟎 − 𝟓𝟎√𝟐; 𝟏𝟓𝟎 − 𝟏𝟎𝟎√𝟐) Rpta Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 22
  • 23. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 12. Hallar c y d para que f(x) sea continua:   x 2 + 8 − 3 x 2 − 24 x + 2  c   ; x < −1   3 7 − x + 5− x2 − 4      −1 f ( x ) = cd ; x = −1  −2 5 d ( 31 − x − 6 x − 8 ; x > −1 )  3  26 − x − 5x − 8  Resolución Sea f1( x )  x 2 + 8 − 3 x 2 − 24 x + 2  d −2 ( 5 31− x − 6 x − 8) = c =  ; x < −1 ∧ f2 ( x ) ; x > −1  3 7− x + 5− x 2 − 4  3 26 − x − 5 x − 8 La función f(x) será continua en x 0 =1 ⇔ se cumplen las tres condiciones siguientes:   − i) ∃f ( −1) = −1 cd  x 2 + 8 − 3 x 2 − 24 x + 2  d −2 ( 5 31− x − 6 x − 8) ii) lim f1( x ) =c  lim f2 ( x ) ⇔ lim =lim+ 3 x →−1− x →−1+ x →−1−  3 7 − x + 5 − x 2 − 4  x→−1 26 − x − 5 x − 8    x 2 + 8 − 3 x 2 − 24 x + 2  ( x 2 + 8 − 3) − ( 3 x 2 − 24 x + 2 − 3) = lim− c  ∗ lim− f1( x ) = c lim−  x →−1  x →−1 3 7 − x + 5 − x 2 − 4  x →−1 ( 3 7 − x − 2) + ( 5 − x 2 − 2) Multiplicando cada término por sus factores racionalizantes:   x2 +8 +3 3 ( x 2 − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 32 ( x 2 + 8 − 3)⋅ − ( 3 x 2 − 24 x + 2 − 3)⋅ x2 +8 +3 3 ( x 2 − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 32 lim− f1( x ) = c lim− x →−1 x →−1 3 (7 − x )2 + 2 3 7 − x + 22 5− x 2 +2 ( 3 7 − x − 2)⋅ + ( 5 − x 2 − 2)⋅ 3 (7 − x )2 + 2 3 7 − x + 22 5− x 2 +2 x2 +8 −9 x 2 − 24 x + 2 − 27 − x2 +8 +3 ( x 2 − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 32 3 lim− f1( x ) = c lim− x →−1 x →−1 [7 − x − 8] 5− x2 − 4 + 3 (7 − x )2 + 2 3 7 − x + 22 5− x2 +2 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 23
  • 24. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 x 2 −1 x 2 − 24 x − 25 − x2 +8 +3 ( x 2 − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 9 3 lim− f1( x ) = c lim− x →−1 x →−1 −( x +1) −( x 2 −1) + 3 (7 − x )2 + 2 3 7 − x + 4 5− x2 +2 ( x +1) ( x −1) ( x +1) ( x − 25) − 2 x +8 +3 ( x − 24 x + 2)2 + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 9 3 2 lim− f1( x ) = c lim− x →−1 x →−1 − ( x +1) ( x +1) ( x −1) − 3 (7 − x )2 + 2 3 7 − x + 4 5− x2 +2 x −1 x − 25 − 2 x +8 +3 ( x − 24 x + 2) + 3 3 x 2 − 24 x + 2 + 9 3 2 2 lim− f1( x ) = c lim− x →−1 x →−1 −1 x −1 − 2 3 3 (7 − x ) + 2 7 − x + 4 5− x2 +2 Evaluando el límite: −2 −26 1 26 17 − − + 6 3(9) 68 lim− f1( x ) = c⋅ = 3 27 = 27 = c c⋅ c⋅ x →−1 −1 −2 1 1 5 45 − − + 3(4) 2(2) 12 2 12 5 31− x − 6 x − 8 ( 5 31− x − 2) − 6( x +1) = d= d −2 lim+ 3 ∗ lim+ f2 ( x ) −2 lim+ 3 x →−1 x →−1 26 − x − 5 x − 8 x →−1 ( 26 − x − 3) − 5( x +1) Multiplicando por sus factores racionalizantes: 5 (31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24 ( 5 31− x − 2)⋅ − 6( x +1) −2 5 (31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24 lim f2 ( x ) = d lim x →−1+ x →−1+ 3 (26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32 ( 3 26 − x − 3)⋅ − 5( x +1) 3 (26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32 31− x − 32 − 6( x +1) −2 5 (31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24 lim f2 ( x ) = d lim x →−1+ x →−1+ 26 − x − 27 − 5( x +1) 3 (26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 24
  • 25. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 − ( x +1) − 6 ( x +1) −2 5 (31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24 lim f2 ( x ) = d lim x →−1+ x →−1+ − ( x +1) − 5 ( x +1) 3 (26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32 −1 −6 −2 5 (31− x )4 + 5 (31− x )3 .2 + ... + 24 lim f2 ( x ) = d lim x →−1+ x →−1+ −1 −5 3 (26 − x )2 + 3 3 26 − x + 32 Evaluando el límite: −1 1 481 −6 − −6 4 481×27 lim+ f2 ( x ) = −2 ⋅ 5⋅2 d = −2 ⋅ 80 d = −2 ⋅ 80 = −2 ⋅ d d x →−1 −1 1 136 80×136 2 −5 − −5 3⋅3 27 27 68 481×27 ⇒ lim f ( x ) = − f1( x ) = + f2 ( x ) ⇒ lim lim d− c =2 ⋅ x →−1 x →−1 x →−1 45 80×136 68 481×27 iii) lim f ( x ) = −1 ⇒ cd d− c =2 ⋅ = −1 cd x →−1 45 80 ×136 Igualando: 68 45 ∗ c = c d −1 ⇒ d = Rpta 45 68 ∗ 𝑐𝑑 −1 = 𝑑 −2 . ⟹ 𝑐= . ⟹ 𝑐= . 481𝑥27 1 481𝑥27 68 481𝑥27 80𝑥136 𝑑 80𝑥136 45 80𝑥136 ∴ 𝒄= 𝟏𝟒𝟒𝟑 𝟖𝟎𝟎 Rpta Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 25
  • 26. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 13. Halle el área de la región comprendida por la recta tangente normal a la curva cuya ecuación es 𝒙 𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐 = 𝟕 en el punto (1;2) y la asíntota oblicua derecha a 𝟐𝒙 𝟑 + 𝟑𝒙 + 𝟏 la gráfica de la función: 𝒇(𝒙) = +� 𝒙𝟐+ 𝟔 𝒙 𝟐− 𝒙− 𝟔 Resolución Sean LT y LN rectas tangente y normal respectivamente a la curva x 2 + xy + y 2 = el 7 en punto (1;2). Entones: LT : y − 2 m( x −1) = ⇒ y= mx + 2 − m ……………………….. (1) 1 1 1 LN : y − 2 =− ( x −1) ⇒ y = x + 2 + …………………….. − (2) Calculando “m”: m m m Derivando implícitamente la ecuación de la curva x 2 + xy + y 2 = 7 2 x + y + xy ¢ 2 yy ¢= 0 ⇒ ( x + 2 y ) y ¢ - (2 x + y ) + = 2x + y ⇒ y¢ m= - = x +2y En (1,2) la pendiente m será: m = - 2(1) + 2 4 =− Reemplazando en las ecuaciones (1) y (2): 1+ 2(2) 5 4 14 5 3 LT : y = x + − ∧ LN : y = + x Calculando ahora, la asíntota oblicua derecha a la gráfica de la función: 5 5 4 4 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 26
  • 27. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 2 x 3 + 3 x +1 = f (x) + x2 +6 Sea la ecuación de la asíntota oblicua derecha de f(x): 2 x − x −6 ………….(3) Hallando “a” y “b”: = ax + b y 2 x 3 + 3 x +1 + x2 +6 3 2 = lim ∗ a = lim f (x) x 2 −= lim 2 x + 3 x +1 + x + 6 x −6 x →+∞ x x →+∞ x x →+∞ x ( x 2 − x − 6) x Evaluando:  3 1 6 3 1 x 3  2 + 2 + 3  x 1+ 2 2+ 2 + 3 a = lim  x x  = lim+ x x x + 1+ 6 x →+∞  1 6  x x →+∞ 1 6 x2 x 3 1− − 2  1− − 2  x x  x x 2+0+0 =a + 1+ 0 ⇒ a 3 = 1− 0 − 0  2 x 3 + 3 x +1  = lim [f ( x= lim  2 ∗ b ) − ax ] + x 2 + 6 −3x  x →+∞ x →+∞  x − x − 6   2 x 3 + 3 x +1    2 x 2 +15 x +1 x2 +6 + x  = lim  2 b − 2 x  + ( x 2 + 6 − x ) lim  2 = + ( x 2 + 6 − x )⋅  x →+∞  x − x − 6   x →+∞  x − x − 6  x2 +6 + x    2  15 1    2 x 2 +15 x +1 x 2 + 6 − x 2   x 2+ x + x2   + 6  = lim  2 b + = lim   x→+∞  x →+∞  x − x −6 x2 +6 + x   x 2 1− 1 − 6   6     x  1+ 2 +1    x x2   x  Evaluando el límite se obtiene: b = + 2 6 = +0 ⇒ b = 2 2 En la ecuación (3): (Ecuación de la asíntota oblicua derecha de f(x)) 1 ∞⋅2 Con las rectas obtenidas, determinamos sus puntos de intersección: = 3x +2 y 4 14 5 3 LT : y = x + − ∧ LN : y = + x ∧ A.O.D: y =+ 2 3x 5 5 4 4 Resolviendo se obtienen: (1;2),  ;  ,  − ; −   4 50  5 1   Graficando las ecuaciones de rectas halladas:  19 19   7 7 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 27
  • 28. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 y A.O.D. LT B  4 ; 50  LN    19 19  A f (x) (1;2) C x  5 1 − ;−   7 7 Finalmente el área sombreada: AB ⋅ AC Area = ………………………………(4) 2 2 2 2 2  4   50   15   12  3 41 = AB  −1 +  − 2  =   +  =  19   19   19   19  19 2 2 2 2  5  1  12   15  3 41 AC = 1+  +  2 +  =   +  = En (1):  7  7 7 7 7 𝑨𝒓𝒆𝒂 = ⟹ ∴ 𝑨𝒓𝒆𝒂 = 𝟑√𝟒𝟏 𝟑√𝟒𝟏 𝟏𝟗 . 𝟕 𝟑𝟔𝟗 𝟐 𝟐𝟔𝟔 Rpta 14. Sea x 3   nπx +1 2  nπx +1  = f (x) cos  nx  − sen  nx  +1 4 + mx       1 Hallar n m si: xlim f ( x ) = − 2 →+∞ 24 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 28
  • 29. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 Resolución Transformando f(x): x 3   nπx +1 2  nπx +1   = f (x) cos  nx  − sen  nx  +1 4 + mx       x 3   nπx +1 2  nπx +1 2  nπx +1 2  nπx +1  =f (x) cos   − sen   + sen   + cos   4 + mx   nx    nx   nx   nx    x 3   nπx +1 2  nπx +1  =f (x) cos  nx  + cos  nx  4 + mx      3 x  nπx +1   nπx +1 f ( x ) =cos  ⋅  1+ cos   4 + mx  nx    nx   x3  nπx +1 2  nπx +1 f ( x ) = ⋅cos   ⋅2cos   4 + mx  nx   2nx  2 2x3  1    π 1  =f (x) ⋅cos  π+  ⋅ cos  +  4   nx    2 2nx  x  +m x  2 2x2   1    1  f= (x) ⋅ −cos   ⋅ −sen  4  nx     2nx  +m  x  1  2 sen2   −2 x  1  1  −2  1  2nx  f ( x ) = ⋅cos   ⋅sen2   = ⋅cos   ⋅ 4  nx   2nx  4 + m  nx  1 +m x x x2 2  1  1   1  sen2   − 2  sen 2nx   −2  1  2nx  = ⋅cos  1  ⋅ 2n   f ( x ) = ⋅cos   ⋅   4  nx  4n2 ⋅ 1  4 + m  nx   1  +m  2 2   x  4n x  x  2nx  Luego, por condición: lim f ( x ) = − 1 x →+∞ 24 2 1   1  − 2  1  sen 2nx   1 ⇒ lim 2n ⋅cos   ⋅   =− x →+∞ 4  nx   1  24 +m   x  2nx  Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 29
  • 30. CALCULO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009 1 − ⇒ 2n2 ⋅(1)⋅(1)2 = 1 − m 24 ∴ 𝒏 𝟐 𝒎 = 𝟏𝟐 Rpta 𝒙 𝟐 √ 𝒙 + 𝟐 − �|𝒙 + 𝟓| − 𝒙 15. Calcular: 𝐥𝐢𝐦 𝟑 𝒙→−𝟏 �|𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓| Resolución Dominio |𝑥 2 + 6𝑥 + 5| > 0|𝑥 2 + 6𝑥 + 5| = 𝑥 2 + 6𝑥 + 5 𝑥 2 √ 𝑥 + 2 − �|𝑥 + 5| − 𝑥 𝑥 2 √ 𝑥 + 2 − �|𝑥 + 5| − 𝑥 lim = lim+ 3 3 𝑥→−1+ �|𝑥 2 + 6𝑥 + 5| 𝑥→−1 �|𝑥 + 5||𝑥 + 1| 𝑥 → −1+ → 𝑥 > −1 ∴ 𝑥+5>4 |𝑥 + 5| = 𝑥 + 5 𝑥+1 >0 |𝑥 + 1| = 𝑥 + 1 𝑥 2 √ 𝑥 + 2 − �|𝑥 + 5| − 𝑥 𝑥 2 � √ 𝑥 + 2 − 1� − �√𝑥 + 5 − 2� − (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) 3 lim = lim+ 3 𝑥→−1+ �|𝑥 2 + 6𝑥 + 5| 𝑥→−1 �(𝑥 + 5)(𝑥 + 1) Dividiendo entre 𝑥 + 1 = �(𝑥 + 1)2 x 2 � √x + 2 − 1� �√x + 5 − 2� (x − 2)(x + 1) 3 lim+ − lim+ + lim+ … . (∗) x→−1 �(x + 5)(x + 1) x→−1 �(x + 5)(x + 1) x→−1 �(x + 5)(x + 1) 𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 𝑎 = √𝑥 + 2 ∧ 𝑏 = 1 3 𝑥 + 2 − 1 = � √𝑥 + 2 − 1�( �(𝑥 + 2)2 + √𝑥 + 2 + 1) 3 3 3 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 30
  • 31. CALCULO DIFERENCIAL 𝑥+1 UNFV – BASE 2009 √𝑥 + 2 − 1 = 3 �(𝑥 + 2)2 + √ 𝑥 + 2 + 1 3 3 𝑥2 𝑥+1 𝑥 2 �(𝑥 + 1) lim + .3 = lim + =0 𝑥→−1 �(𝑥 + 5)�(𝑥 + 1) �(𝑥 + 2)2 + √ 𝑥 + 2 + 1 𝑥→−1 �(𝑥 + 5)�(𝑥 + 2) 2+ 3 𝑥+2+1 √ 3 3 �(𝑥 + 5) − 2 �(𝑥 + 5) + �(𝑥 + 1) �(𝑥 + 5)�(𝑥 + 1)𝑥 + 1 lim+ . = lim+ 𝑥→−1 �(𝑥 + 5)�(𝑥 + 1) �(𝑥 + 5) + �(𝑥 + 1) 𝑥→−1 ��(𝑥 + 5) + 2� √𝑥+1 = lim+ =0 𝑥→−1 �(𝑥 + 5) ��(𝑥 + 5) + 2� lim + = lim + =0 (𝑥−2)(𝑥+1) (𝑥−2) 𝑥→−1 �(𝑥+5)�(𝑥+1) 𝑥→−1 √ 𝑥+5 En * ∴ 𝐥𝐢𝐦 = 𝟎− 𝟎− 𝟎= 𝟎 𝒙 𝟐 √𝒙+𝟐−�|𝒙+𝟓|−𝒙 𝟑 𝒙→−𝟏 ��𝒙 𝟐 +𝟔𝒙+𝟓� Rpta 16. Calcular. Hallar la derivada de: 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝟑 (�𝟏 − 𝒙) 𝟑 Resolución Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 31