1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA - AMPLIACIÓN CICLO BÁSICO TÁCHIRA - NÚCLEO TÁCHIRA
CÁTEDRA: CÓDIGO: CARRERA: SEMESTRE:
GEOMETRÍA ANALÍTICA MAT-21524 CICLO BÁSICO DE INGENIERÍA PRIMERO
PROFESOR: UNIDAD:
TEMA: LA PARÁBOLA EN EL PLANO CARTESIANO
Ing. ALVARO VEGA II
AUTORES DE LOS MATERIALES: TITULOS DE LOS MATERIALES:
- CHARLES H. LEHMANN (ENUNCIADO
DEL EJERCICIO) - GEOMETRÍA ANALÍTICA
- FULLER G. (ENUNCIADO DEL - GEOMETRÍA ANALÍTICA, C.E.C.S.A
EJERCICIO)
- Ing. ALVARO VEGA (SOLUCIÓN DE
LOS EJERCICIOS)
LA PARÁBOLA
Repasando lo visto en clase:
• a = Eje de la parábola
• l = Recta directriz y es perpendicular al eje de la parábola
• A = Punto de intersección entre la directriz y el eje de la parábola
• p = Parámetro y es la distancia entre V y P
• V = Vértice y es el punto medio entre A y F
• LL´ = Lado Recto y su valor es I 4p I
• BB´ = Cuerda de la parábola
• CC´ = Cuerda Focal
l
B
C
L
p
a A V a
F
C` F
F
L`
B`
Ing. Alvaro Vega
2. Utilizando las ecuaciones para las parábolas vistas en clase resolvemos los
siguientes ejercicios:
EJERCICIO No. 1
Encontrar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto ( 3 , 2 ) y su foco está
en el punto ( 5 , 2 ).
SOLUCIÓN:
Observando los dos puntos dados, vemos que tanto el vértice como el foco tienen en
común el valor de la ordenada (es decir, el valor de “y”) que es 2. Por tanto
podemos afirmar que como el foco y el vértice pertenecen al eje de la parábola, este
eje es la recta y=2 por lo tanto es una parábola horizontal y su ecuación es de la
forma: ( y – k ) 2 = 4p ( x – h )
Además podemos graficar:
Y
V Eje de la parábola
2 F
X
3 5
p = distancia entre los punto V y F p=5–3 p=2
Sustituyendo el valor del vértice dado y el valor de p calculado en la ecuación de la
parábola horizontal. Tenemos:
Ing. Alvaro Vega
3. ( y – 2 ) 2 = ( 4) (2) ( x – 3 )
( y – 2 )2 = 8 ( x – 3 ) Ecuación canónica de la parábola
Resolviendo para encontrar la ecuación general:
y2 – 4y + 4 = 8x – 24 y2 – 8x – 4y +24 = 0
EJERCICIO No. 2
Hallar las coordenadas del vértice, del foco, la longitud del lado recto, y la ecuación
de la directriz, en una parábola cuya ecuación es: ( x + 6 ) 2 = –24 ( y – 2 )
SOLUCIÓN
La ecuación dada representa una parábola vertical, es decir, su eje es paralelo al eje
“Y”.
Si comparamos la ecuación dada con la ecuación canónica similar:
( x + 6 ) 2 = –24 ( y – 2 ) ( x + h ) 2 = 4p ( y – k )
Tenemos que el vértice será V(–6,2) además podemos decir que 4p = –24,
luego despejando p, para hallar su valor
4p = –24 p = (–24 ) / 4 p= –6
Como la distancia desde el vértice hasta el foco es igual al valor de p, entonces
podemos hallar las coordenadas del foco sumando el valor de p a la ordenada del
vértice y dejando el mismo valor de la abscisa, esto es:
Para la parábola vertical las coordenadas del foco son: F ( h (vértice) , k (vértice) + p )
Ing. Alvaro Vega
4. F [ – 6 , 2 + (– 6) ] F(–6, –4)
La longitud del lado recto LL´ = I 4p I LL´ = | (4) (– 6) |
LL´ = | – 24 | = 24
Para hallar la ecuación de la directriz, sabemos que es una recta perpendicular al eje
de la parábola y para este ejercicio está 6 unidades distante del vértice en sentido
contrario a donde abre la parábola, pues la distancia entre la directriz y el vértice es
igual a la distancia entre el vértice y el foco
Y
Directriz
8
La ecuación de la directriz será:
y=2+6
6
y=8
V 2 y–8=0
X
-6 0
F -4
Eje de la parábola
Ing. Alvaro Vega
5. EJERCICIO No. 3
Dada la ecuación de la parábola 4y2 – 48x – 20y – 71 = 0 ; reduzca la ecuación
dada a la forma canónica, indique si es una parábola horizontal o vertical y hacia a
donde abre, halle las coordenadas del vértice y del foco, también hallar las
ecuaciones de la directriz y del eje y la longitud del lado recto.
SOLUCIÓN:
Primero dividimos la ecuación dada entre 4 para llevar el primer término de la
ecuación a la unidad.
4y2 – 48x – 20y – 71 = 0 dividiendo toda la ecuación entre 4 nos queda
y2 – 12x – 5y – (71 / 4) = 0 luego agrupando términos semejante y ordenando
y2 – 5y = 12x + (71 / 4) completando cuadrados para los términos de “y”
y2 – 5y + (5/2) 2 = 12x + (71 / 4) + (5/2) 2 y2 – 5y + (25/4) = 12x + (71 / 4) + (25/4)
( y – (5/2) ) 2 = 12x + (96/4)
( y – (5/2) ) 2 = 12x + 24 sacando factor al lado derecho de la igualdad
( y – (5/2) ) 2 = 12 ( x + 2) Ecuación canónica de la parábola dada
De la ecuación podemos determinar que la parábola es horizontal y que abre hacia
la derecha porque el valor de 4p = 12. También podemos determinar de la ecuación
canónica que el vértice tiene las coordenadas V( –2 , (5/2) )
Determinem os el valor de p
4p = 12 p = 12 / 4 p=3
Ing. Alvaro Vega
6. Recordando que el foco y el vértice están en el eje de la parábola y como es una
parábola horizontal podemos afirmar que las coordenadas del foco son:
F ( h (vértice) + p , k (vértice) ) F ( –2 + 3 , (5/2) ) F ( 1 , (5/2) )
Para hallar la ecuación de la directriz, sabemos que es una recta perpendicular al eje
de la parábola y para este ejercicio está 3 unidades distante del vértice en sentido
contrario a donde abre la parábola, pues la distancia entre la directriz y el vértice es
igual a la distancia entre el vértice y el foco.
La ecuación de la directriz será:
x = –2 – p x = –2 – 3 x = –2 – 3 x= –5
Por lo tanto la ecuación de la directriz será x+5=0
Como el foco y el vértice están sobre el eje de la parábola, entonces de las
coordenadas de estos dos puntos observamos que el valor de la ordenada ( valor de
“y” para ambos puntos) es el mismo (5/2) por lo tanto la ecuación del eje de la
parábola será:
y = (5/2) y – (5/2) = 0
Finalmente el lado recto es igual a 4p, siendo p = 3 el lado recto vale:
LL´ = | (4) (3) | LL´ = | 12 |
Ing. Alvaro Vega
