Unidad parabola shared

Capítulo II La Parábola
8 MSc. Jorge Wilson Leiva Gonzales: Docente de: UCV. UNASAM-PERU
LA PARÁBOLA
Al finalizar el estudio de este capítulo, el lector
será capa
Definir la c nica como lugares geom t
z de:
1) ó é
2) Recono
ricos del
c
plano.
er la forma de la pará
OBJETIVOS
2 2
bola.
3) ó ó
;
4) Hacer uso del So
Identificar la c nica repre
ftware Libre GEOGEBRA
5) A
sentada por la ecuaci n:
Ax Cy Dx Ey F 0 Ax Cy Dx
plicarlas para resolver situaciones de l
Ey F
a vida real.
0         
LASCÓNICASYSUSAPLICACIONESCONSOFTWARELIBRE
GEOGEBRA
CAPÍTULO
II

Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse como la
intersección de un cono circular con un plano que no contenga al
vértice del cono.
Las distintas cónicas aparecen dependiendo de la inclinación del
plano respecto del eje del cono.
La parábola es la sección producida en una superficie cónica de
revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la
generatriz. α = β
La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.
Cortamos una superficie cónica por un plano que no pase por su
vértice y llamamos α al ángulo que forma el eje del cono con la
generatriz del mismo y, llamamos β al ángulo que forma el plano
con el eje del cono.
Según la relación entre es tos ángulos, ambas superficies se cortarán
en:
 una circunferencia si β = 90º
 una elipse si α < β < 90º •
 una parábola si α = β
 las dos ramas de una hipérbola si α > β
Al término de esta secuencia, podrás adquirir la competencia en:

Conocimiento
- Identificar los ejes de coordenadas y comprender los métodos para
resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
-Interpretar situaciones reales con ecuaciones cuadráticas
incompletas y completas, partiendo del conocimiento de
planteamiento de problemas a través de modelos matemáticos, así
como el empleo de tablas, gráficas, diagramas y textos que apoyen
la toma de decisiones.
-Identificar los tipos de solución que pueden presentarse al resolver
una ecuación cuadrática aplicada a la parábola
- Hacer uso del software libre GEOGEBRA.
Habilidades
-Identificar elementos de la parábola ecuaciones a partir de éstas.
- Desarrollar las distintas ecuaciones de la parábola.
- Expresar los elementos en las ecuaciones algebraicas
- Representar gráficamente estos elementos y viceversa.
-Construir hipótesis, diseñar y aplicar modelos para probar su
validez.
-plantear y resolver problemas de la vida utilizando las diversas
ecuaciones de la parábola.
Actitudes
-Tomar decisiones como consecuencia de la valoración de los
elementos que se presenten en el mal uso de las tecnologías.
-Apreciar la utilidad de expresar matemáticamente regularidades y
patrones.

TEMARIO

1.1 Introducción.
En este segundo capítulo se encargan de definir con claridad los
conceptos básicos de la parábola asociados con las graficas en
GEOGEBRA junto con algunas de sus aplicaciones más
elementales.
Para el lector que se encuentra por primera vez en un curso de
geometría Analítica en particular es secciones cónicas resulta un
tanto confusa la idea de esta clase de cónicas. Es muy probable
que haya escuchado algunas cosas acerca de las aplicaciones
cónicas, como por ejemplo, que son muy importantes, que
aparecen en muchas aplicaciones de ciencia e ingeniería, o que
son algo tan difícil de resolver como la cuadratura del círculo,
pero sólo la experiencia de primera mano nos puede mostrar
cuáles de las cosas que hemos oído son ciertas y cuáles son
simplemente fama inmerecida.
En mi experiencia de poder haber dictado el curso más de 5 años
en la universidad pública y privada, es aquí de damos estos
conceptos en forma más didáctica y sencilla de resolverlos y
además de graficarlos usando uno de los software libres,
representan una herramienta muy valiosa e insustituible para
entender el mundo geométrico y físico, pues ellas llevan en sí
algo que no es fácil de manejar o incluso definir por ningún otro
medio: el cambio. No hablamos aquí de algo intangible o
imaginario que desearíamos que ocurriera en la vida de una
persona o de la sociedad, sino de algo que es posible definir y
manejar, y que nos servirá para determinar de qué manera una
variable (la dependiente) está en función de otra (la
independiente) en casos en que esta dependencia sea demasiado
complicada.
1.2 Definición de la Parábola
Una parábola es el conjunto p(x,y) de todos los puntos en el
plano 2
que equidistan de una recta fija DD' , llamada
directriz, y de un punto fijo, denominado foco, que no pertenece
a la recta. Se denota:
 2
P: p / d( p , F ) d ( p,DD' )  
Además se cumple:

p P PF d ( p,L );A P AF d (A,L)
B P BF d (B,L );V P VF d (V,L )
     
     
1.3 Análisis de los elementos de la parábola
Elementos de la Parábola
a. V: Vértice de la parábola Punto medio entre el foco y la
directriz
b. F: Foco de la parábola es el punto fijo, situado sobre el eje de
simetría a p unidades del vértice.
c. 1L : Eje de simetría. Recta perpendicular a la directriz L y
que pasa por el vértice y el foco
d. DD' L : Directriz: Recta fija perpendicular al eje de
simetría
e. CE : Cuerda. Es el segmento de recta que une dos puntos
cualesquiera de la parábola.
f. p: Parámetro (longitud) del vértice al foco
g. AB Cuerda focal. Segmento de recta que une dos puntos de la
parábola pasando por el foco.
h. LR : Longitud del lado recto. Recta que une dos puntos de la
parábola y pasa por el foco en forma perpendicular
i. PF: Radio vector. Segmento de recta que une el foco con un
punto de la parábola.
Formas cartesianas de la Ecuación de la Parábola:

Primera Forma (Canónica). Consideremos que el vértice de la
parábola es V(0,0) y que su eje de simetría sea el eje x (y = 0), es
decir parábola con vértice en el origen, eje focal sobre el eje “x”
positivo. Llamemos p a la distancia dirigida desde el vértice hasta
la directriz o al foco. Veamos su grafica
Ecuación: 2
P: y 4px ; Vértice : V(0, 0) ; Q(-p,0)
p QV VF  ; Foco: F(p, 0) ; Longitud del lado recto :
LR 4p ;
Ecuación de la directriz L : x = - p; Ramas abren hacia la derecha
Segunda Forma (Canónica). Consideremos ahora una parábola
con vértice en el origen, tal que su eje de simetría coincida con el
eje y
Cuando la parábola abre sobre el eje “x” positivo la
ecuación es: y2
= 4px y cuando es negativa únicamente
cambia el signo por estar en el lado contrario

Ecuación: 2
P: x 4py ; Vértice : V(0, 0) ; Q(0,- p)
p QV VF  ; Foco: F(0, p) ; Longitud del lado recto :
LR 4p ; Ecuación de la directriz L: y = - p; Ramas abren hacia
arriba
Ejemplo 1 Encuentre la ecuación de la parábola con longitud del
lado recto = 8, ramas abren hacia la derecha y vértice en el origen,
determine su foco y la ecuación de la directriz. Realice su grafica.
Solución.
Según datos la ecuación es: 2
P: y 4px , para calcular “p”
Cuando la parábola abre sobre el eje “x” positivo la ecuación
es: y2
= 4px y cuando es negativa únicamente cambia el signo
por estar en el lado contrario

LR 4p 8 p 2;como el foco es F(p,0)
Entonces el foco es: F(2,0)
   
La directriz L : es x = - p , entonces: la directriz L : es x = - 2
Ecuación de la parábola con vértice fuera del origen
Tercera Forma (Ordinaria). Parábola con vértice fuera del origen,
eje focal paralelo al eje “x” y ramas hacia la derecha y tiene por
ecuación:
 
2
P: y k 4p(x h)   ; Vértice : V (h, k); Foco : F (h + p, k)
Longitud del lado recto L : LR 4p
Ecuación de la directriz L : x = h – p ; Ramas abren hacia la
derecha; p = distancia del punto al vértice
Ecuación del eje L1 : y = k; Coordenadas de los extremos del lado
Recto: L( h p,k 2p ); R( h p,k 2p )   
Observa que para calcular el valor de “p” se despeja 4p del lado
recto, que es la distancia que hay del foco al vértice y del vértice
a la directriz

Ejemplo2. Encuentra el vértice, el foco, LR y la ecuación de la
directriz de la parábola  
2
P: y 2 8(x 4)   . Haga la grafica de
la parábola.
Solución.
Empezamos escribiendo la ecuación a la que corresponde
Ecuación:    
2 2
P: y k 4p(x h) y 2 8(x 4)      

Determinar los elementos correspondientes:
h 4 h 4,para k 2 k 2         
8 8
4p 8 p p p 2
4 4
      
Foco: f(h p,k) f( 4 2,2) f( 2,2)     
Vértice: V(h,k) , entonces: V( 4,2)
La directriz L: x h p x 4 2 x 6        
El lado recto: LR 4p 4(2) 8  
Cuarta Forma. Parábola con vértice fuera del origen, eje focal
paralelo al eje “y” y ramas hacia arriba.
Ecuación:  
2
P: x h 4p(y k)    ; Vértice: V (h, k)
Foco: F (h , k + p); Longitud del lado recto: LR 4p
Ecuación de la directriz L: y = k - p ; Ramas abren hacia arriba
p = distancia del punto al vértice; Ecuación del eje L1: x = h
Coordenadas de los extremos del lado Recto:
L( h 2p ,k p ); R( h 2p ,k p )   
Se demuestra de la siguiente forma:
Teorema: La forma canónica de la ecuación de una parábola
con vértice  V h;k y directriz y k p  es
   
2
P: x h 4p y k   Donde foco F está a p unidades
(orientadas) del vértice
Demostración.

Sean P(x,y) punto cualquiera, F(h,k p) su foco,
Q(x,k p) punto en la recta directriz L:y k p  ,
FP PQ
         
2
22 2
x h y k p x x y k p        
       
2
22
x h y k p 0 y k p       
       
2
22
x h y k p y k p      
       
2
22
x h y k p y k p      
         
2
2 2 2 2
x h y k 2p y k p y 2y k p k p          
 
22 2 2 2 2 2
x h y 2ky k 2py 2pk p y 2ky 2py k 2kp p            
     
2 2
x h 4py 4kp P: x h 4p y k      
Ejemplo 3. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el
punto (3. 4) y cuyo foco es el punto (3, 2). Hallar también la
ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. Realiza su
gráfica.
Solución.
Como el vértice V y el foco F de la parábola están paralelos al eje
“y” como es este caso el foco está debajo del vértice, entonces es
una parábola con vértice fuera del origen y ramas hacia abajo.
Ecuación foco Vértice
 
2
P: x h 4p(y k)    ; f ( h, k – p) ; v( h, k )
 
2
x 3 4(2)(y 4)    ; f (3, 2) ; v(3, 4)
 
2
x 3 8(y 4)    k – p = 2 h = 3

4 – p = 2 k = 4
4p = 8 – p = 2 – 4
LR 4p – p = – 2
LR 8 p =
2
Directriz L : y = k + a, entonces: y = 4 + 2 = 6
III. Ecuación general de la parábola
A) Eje focal paralelo al eje “x” y2
+ Dy + Ex + F = 0
B) Eje focal paralelo al eje “y” x2
+ Dx + Ey + F = 0
Ejemplo 4. Encuentra la ecuación general de la parábola con focos
en (0,-2) y directriz la recta: x – 5 = 0.
Solución.
p = 2.5 2
P:(y k) 4p(x h)   
2 2
(y 2) 4(2.5)[x 2.5] y 4y 4 10x 25         
ECUACIÓN: 2
P: y 10x 4y 21 0   

Ejemplo 5. Un arco parabólico tiene una altura de 20m y 20m de
ancho. ¿Cuál es la altura del arco a 5m del centro?
Solución.
2
P:(x h) 4p(y k)    ; V ( h, k ), entonces: V(0,20),como
P(x,y), entonces P(10, 0) reemplazando 100 = -4p (-20),
entonces:100 = 80 p luego el valor de p = 1.25
Sustituimos: x2
= -4 (1.25) (y-20) entonces x2
= -5 (y-20)
Sí x = 5 : 25 = -5y + 100 luego 5y = 100 – 15 = 75
ALTURA: y = 15 m

1.4 Ejercicios Resueltos.
1. Un puente colgante de 120m. de longitud tiene la trayectoria
parabólica sostenida por torres de igual altura si la directriz se
encuentra en la superficie terrestre y el punto más bajo de cada cable
esta a 15m. de altura de dicha superficie, hallar la altura de las torres.
Solución.
Primero hacemos una representación gráfica (01) de la
información proporcionada, trabajando en el plano cartesiano, es
mejor poner el vértice en el origen:
Gráfica (01)
Usaremos la ecuación de la parábola forma : 2P: x 4py
La ecuación de la trayectoria seria : 2 2
x 4(15)y x 60y  
Utilizando la ecuación de la trayectoria determinamos “y” :
h y p h 60 15 h 75m.       Por tanto la altura de las torres
sería: h y p h 60 15 h 75m.      
2. Un depósito de agua tiene sección transversal parabólica,
cuando el nivel AB del agua alcanza una altura de 6m, su longitud

AB mide 24m; cuando el nivel del agua desciende 4m, se pide
calcular la longitud de RT del nivel del agua.
Solución.
Consideremos la gráfica (02) siguiente:
Usaremos la ecuación de la parábola en forma canoníca y es la
ecuación de la sección transversal: 2P: x 4py
Los extremos del nivel AB son: A(-12,6) y B(12,6)
2 2
2
Como B(12,6) P (12) 4p(6), de donde p 6 x 24y
Ahora para T T(x,2) P x 48 x 4 3
Por lotanto: ST 2x 8 3 metros
     
     
 
Gráfica (02)
3. Según la gráfica (03) , hallar la altura de un cable sobre el piso
de una distancia de 300 metros de la base de la torre de amarre. Se
supone que el cable que resiste una carga de igual peso en distancias
horizontales iguales

Gráfica (03)
Solución.
Traza los ejes cartesianos tal que el origen coincida con el punto de
contacto del cable con el piso.
Nota que el cable forma una parábola vertical hacia arriba con
vértices en el origen. Luego es de la forma:
2P: x 4py
. Como el punto (500,100) pertenece a la parábola,
satisface su ecuación, reemplazando:
2
2
2
(500)
(500) 4p(100) 4p 2,500
(100)
Entonces la ecuación es: x 2,500y
   

Observa que deben ser 300 metros desde la base de la torre de
amarre y como del origen a la altura que se busca hay x= 500 -300
= 200. Sustituyendo x = 200 metros, en la ecuación anterior se
obtiene:
2
2 (200)
(200) 2,500y y y 16 metros
(2,500)
    
4. De las distintas formas de puentes son en forma de arco usados
en construcciones, uno tiene la forma de arco parabólico,
como lo muestra la gráfica (04). Determina la ecuación del arco
parabólico cuya altura es 6 metros y su claro o luz 12 metros.

gráfica (04 - a)
Solución
Haces coincidir el vértice del arco parabólico con el origen. La
ecuación del arco parabólico es de la forma: 2P: x 4py 
gráfica (04 - b)
En la gráfica puedes observar que A(- 6,- 6) pertenece a la parábola
por lo que satisface su ecuación:
Y

32( 6) 4p( 6) 36 24p p
2
32 2Luego la ecuación del arco es: (x) 4( )y P : x 6y
2
       
    
5. La gráfica muestra la trayectoria de un proyectil, en el cual
describe una parábola de eje vertical, el proyectil alcanza su máxima
altura V(800,1000) e impacta en la ladera de la colina OBC en el
punto A. Hallar la ecuación de la trayectoria y las coordenadas del
punto de impacto , si B(1600,1400)
gráfica (05)
Solución.
Según los datos consideremos la ecuación de la parábola:
2P: (x h) 4p(y k)    , además el vértice
  2V 800,1000 P (x 800) 4p(y 1000)      . Además el
origen (0,0) pertenece a la trayectoria, entonces:
2(0 800) 4p(0 1000) p 160       , luego la ecuación de la
trayectoria es:
2 2P: (x 800) 640(y 1000) ó P: x 1600x+640y 0.....(1)     
Por otro lado, la ecuación del lado OB es:
7
y x
8

x
0
y
C
A
V(800,100)
B

De donde se obtiene: x 1040 ó y 910  . Por tanto el punto de
impacto es: A(1040,910)
6. Un arco del Templo del Señor de la Soledad es de forma
parabólico tiene aproximadamente 18 metros de altura y 24 metros
de ancho. Si la parte superior del arco es el vértice de la parábola,
¿A qué altura sobre la base tiene la parábola un ancho de 16 metros?
Solución
Hagamos una representación grafica:
gráfica (06)
Sea V = (0, 18) el vértice de la parábola con eje y Luego la ecuación
de la parábola es: 2(x h) 4p(y k)   
El vértice V(0,18) pertenece a la parábola y reemplazando,
obtenemos: 2 2(x 0) 4p(y 18) x 4p(y 18)       
El punto (12, 0) se halla en la parábola y sustituyendo las
coordenadas en la ecuación, calculamos 4p:
21442(12) 4p( 18) 4p 4p 8 P: x 8(y 18)
18
          
Como la parábola es simétrica, la altura buscada es la ordenada del
punto (8, y) de la parábola, remplazando en la parábola se obtiene:

2(8) 8(y 18) 64 8y 144 y 10 metros.        
Por tanto su altura a 16metros es de 10metros.
7. El agua que fluye de un grifo horizontal que esta a 25metros
del piso describe una curva parabólica con vértice en el grifo. Si a
21metros del piso, el flujo del gua se ha alejado 10 metros de la recta
vertical que pasa por el grifo. ¿a qué distancia de esta recta vertical
tocará el agua el suelo?
Solución
Hacemos el siguiente bosquejo con los datos del problema:
gráfica (07)
Sea V = (0, 25) el vértice de la parábola con eje y Luego la ecuación
de la parábola es: 2(x h) 4p(y k)   
El vértice V(0,25) pertenece a la parábola y reemplazando,
obtenemos:
2(x 0) 4p(y 25).....(1)
Como P(10,21) pertenece a la parábola entonces:
252(10) 4p(21 25) p
4
  

   

Sustituyendo en (1) se tiene
252 2x 4( )(y 25) x 25(y 25).....(2)
4

     
Para calcular la distancia “d” basta sustituir las coordenadas del
punto (d , 0) en la ecuación (2)
2d 25(0 25) d 25     
Lo que nos indica que el agua tocara el suelo a 25 metros de la recta
vertical.
8. Cada uno de los cables que sostienen el arco principal del puente
Golden Gate según la gráfica (08), forman una grafica de una
parábola. Si las torres que los sostienen están a 146 metros arriba
del punto medio del cable y la distancia entre dicho punto y una de
las torres es de 1260 metros, entonces ¿Cuál es la ecuación descrita
por uno de los cables?
gráfica (08 - a)
Solución.
Con los datos haciendo una grafica:

gráfica (08 - b)
De la gráfica (08 - b) se observa que la parábola es vertical con
vértice en el origen del plano y con abertura hacia arriba, por lo
tanto la ecuación a utilizar es: P: x2
= 4py.
Uno de los puntos de un cable es P(1260,146) que se sustituye en la
ecuación: (1260)2
= 4p(146)
Se despeja el parámetro “p” de la ecuación y se obtiene su valor:
2
(1260)
p
4(146)
 
198450
p
73

Se sustituye el valor de “p” en la ecuación establecida al principio
de la solución del problema.
2 198450
x 4 y
73
 
  
 
Se simplifica la expresión y se obtiene la ecuación ordinaria
descrita por uno de los cables.
2 793800
P: x y
73

Se iguala la expresión a cero y se obtiene la ecuación general
descrita por uno de los cables: 73x2
– 793800 y = 0
9. Un cable sostenido por dos torres eléctricas tiene forma
parabólica y su punto medio se ubica a 20 metros sobre la carretera.
Si la altura de cada torre es de 50 metros y la distancia entre ambas

es de 300 metros, entonces ¿cuál es la ecuación que describe la
forma del cable?
Solución.
Haciendo una gráfica con los datos:
gráfica (09)
De la gráfica (09) se observa que la parábola es vertical con vértice
V(0,20) y con abertura hacia arriba, por lo tanto la ecuación a
utilizar es de forma parabólica y se denota P: (x – h)2
= 4p(y – k)
Uno de los puntos del cable es P(150,50) el cual se sustituye en la
ecuación junto con las coordenadas del vértice:
(150)2
= 4p(50 – 20)
Se despeja el parámetro “p” de la ecuación y se obtiene su valor:
2
(150)
p
4(30)
 
375
p
2

Se sustituye el valor de “p” y las coordenadas del vértice en la
ecuación establecida al principio de la solución del problema.
2 375
x 4 (y 20)
2
 
  
 
Se simplifica la expresión y se obtiene la ecuación ordinaria
descrita por la forma del cable.
2
P: x 750 (y 20) 
Se iguala la expresión a cero y se obtiene la ecuación general
descrita por la forma del cable y es de forma parabólica.
P: x2
– 750y + 15000 = 0

10. Un espejo parabólico tiene una profundidad de 12cm. en el
centro y un diámetro en la parte superior de 32 cm.. Hallar la
distancia del vértice al foco.
Solución.
Con los datos hacemos una gráfica usando el GEOGEBRA:
gráfica (10)
Los ejes coordenados se eligen de modo que la parábola tenga su
vértice en el origen y su eje a lo largo del eje y: además, se abre
hacia arriba. Por lo tanto, la ecuación de la parábola es de la forma:
2P: x 4py 
Donde “p” centímetros es la distancia del vértice al foco. Como el
punto (16,12) está en la parábola, sus coordenadas han de
satisfacer la ecuación y se tiene así:
162(16) 4p(12) p
3
    . Por tanto la distancia del vértice al
foco es
16
p cm.
3

11. Una pelota describe una curva parabólica alrededor de un foco
F, siendo este foco de la parábola. Cuando la pelota esta a 10metros
de F, el segmento de recta de F a la pelota hace un ángulo de 600
con el eje de la parábola.
a. Hallar la ecuación de la parábola.
b. ¿Qué tan cerca de F pasa la pelota?
Solución.
Con los datos hacemos una grafica usando el GEOGEBRA:

gráfica (11)
Consideremos:
El vértice V(0,0) de la parábola, con foco F(p,0) y directriz:
L: x p  .Ahora calculemos el valor de p.
Por definición de la parábola se tiene para el punto Q.
La distancia de: QF QL 10 QL   . Por otra parte de la figura
se tiene: 0
QL V R F V T F p p+10cos(60 )       
Luego:
1 5
10 2p 10( ) p ( )
2 2
    . Por tanto la ecuación buscada es:
52P: y 10(x )
2
  .
Finalmente la menor distancia de
5
QF a la menor distancia de QL p ( ) metros.
2
  
12. Un arco del túnel de entrada llamada punta olímpica en Ancash
es de forma parabólica tiene 7.50 metros de ancho y 6.50 metros de
altura. Si la parte superior del arco es el vértice de la parábola, ¿A
qué altura de la parte rayada sobre la base tiene la parábola un ancho
de 3 metros a partir del centro? Veamos la grafica.

gráfica (12-a)
Solución
Hagamos una representación su gráfica (12- b ) usando los datos del
problema y usando el software libre GEOGEBRA:
gráfica (12-b)
Sea V = (0, 6.50) el vértice de la parábola con eje y Luego la
ecuación de la parábola es: 2P: (x h) 4p(y k)   
El vértice V(0,6.50) pertenece a la parábola y reemplazando,
obtenemos: 2 2(x 0) 4p(y 6.50) x 4p(y 6.50)       

El punto P (3.75, 0) se halla en la parábola y sustituyendo las
coordenadas en la ecuación, calculamos 4p:
2(3.75) 2252(3.75) 4p( 6.50) 4p 4p 2.1634
6.50 104
       
Siendo su ecuación:
2252P: x (y 6.50)
104
  
Como la parábola es simétrica, la altura buscada es la ordenada del
punto A (3, y) de la parábola, remplazando en la parábola se
obtiene:
2252(3) (y 6.50) 9(104) 225y 1462.5
104
936 1462.5 225y y 2.34 metros
      
    
Por tanto su altura es de 2.34 metros
13. Es necesario encerrar un campo rectangular con una cerca de
120metros de longitud. Determinar la relación existente entre el área
“y” del campo, cuando uno de los lados es “x”, ¿Para qué valor de
x el área es máxima?
Solución.
Si “y” es el área del rectángulo entonces: y L.x , donde
L: largo y x: ancho.
De donde: 2x 2L 120 L 60 x     , luego el área “y” del campo
rectangular cercado es: 2
y (60 x).x o (x 30) (y 900)      , de
donde el valor de “x” que maximiza el área (la ordenada) es x = 30
metros; por tanto el área máxima es 900 metros cuadrados ,veamos
la gráfica (13)

gráfica (13)
14. Se tiene un estante de forma parabólica según gráfica (14 - a)
y se desea colocara un librero de forma rectangular, se desea saber
la altura máxima a colocar dicho librero (en metros).
gráfica (14 - a)
Solución.
Según los datos hacemos su gráfica (14 - b), debemos hallar el valor
de y, además colocando el vértice de la parábola sobre el eje y, la
base sobre el eje x.

Así es una parábola vertical se abre hacia abajo con vértice en
V(0,2.5), por lo tanto su ecuación es: 2P: (x h) 4p(y k)   
gráfica (14 - b)
Luego reemplazando el vértice
2 2V(0,2.5) (x 0) 4p(y 2.5) x 4p(y 2.5)..(1)        
Como el punto (1,0) pertenece a la parábola, lo sustituimos en (1) y
hallamos el valor de 4p. Así.
12(1) 4p(0 2.5) 4p 4p 0.4
2.5
       . Por tanto sustituimos
4p en (1) y obtiene el ancho del librero:
22x 0.4(y 2.5) y 2.5 2.5x ....(2)     
Al observara el grafico; si dividimos el ancho del librero entre dos,
es decir:
1.2
0.6
2
 , obtenemos el valor de x, para el cual la ordenada
del punto (x , y) de la parábola nos da la altura . Sustituimos el valor
de x = 0.6 en la ecuación (2) y se comprueba que y = 1.6. Así, la
altura máxima que puede tener el librero es de 1.6 metros.
15. Se desea diseñar un reflector parabólico con una fuente de luz
en su foco, que está a
9
cm.
4
del vértice. Si el reflector debe tener 10
cm. de profundidad, ¿Cuál debe ser el ancho de su boca y a qué
distancia esta el borde de la fuente de luz ? .Ver gráfica (15 - a)

gráfica (15 - a)
Solución.
Representemos un corte longitudinal del reflector, mostrando el
vértice de la sección longitudinal en el origen y el foco a
9
unidades
4
del vértice sobre el eje x, entonces, el foco es
9
F( ,0)
4
, como se muestra en la gráfica (15 - b):
gráfica (15 - b)
Según su gráfica (15 - b) se tiene por ecuación de la parábola
2P: y 4px
Como
9
p
4
 , entonces: 2 29
y =4( )x y 9x
4
  .Por tanto la
ecuación del reflector es: 2
P: y 9x

Como el reflector debe tener 10 cm. de profundidad, en punto de la
parábola es P(10, k), que representa el borde exterior del reflector.
Sustituyendo el valor de x = 10 e y = k en la ecuación,
2
k 9(10) k 90 cm.El ancho total es: 2 90 cm.  
Por definición de parábola, el radio focal de cualquier punto de la
curva es igual a la distancia de dicho punto a la directriz.
Luego:
9 49
FP x p 10 cm.
4 4
     . Por tanto el borde esta a
49
cm. de la fuente de luz
4
16. Una antena parabólica tiene forma de paraboloide de
revolución según gráfica (16 - a) . Las señales que emanan desde
un satélite llegan a la superficie de la antena y son reflejadas a un
solo punto, donde está colocado el receptor. Si el disco de la antena
mide 8 pies de diámetro en su abertura y 3 pies de profundidad en
su centro,
¿en qué posición debe estar colocado el receptor ?
Solución.
Con los datos del problema, hagamos una representación gráfica (16
- a) usando el Software Libre GEOGEBRA
gráfica (16 - a)

Ahora en el sistema rectangular dibujemos la parábola usada para
construir el disco, de modo que el vértice de la parábola este en el
origen y su foco en el eje positivo del eje y, veamos la gráfica (16 -
b) y la forma de la parábola es: 2P: x 4py
gráfica (16 - b)
Y su foco esta en (0,p), como (4,3) es un punto en la gráfica
(16 - b), tenemos :
42(4) 4p(3) p
3
   . El receptor debe
colocarse en forma precisa a:
1
1 pies de la base del disco, a lo largo del eje de simetria
3
17. Una nave espacial en el espacio exterior es avisada desde la
tierra moviéndose en una ruta parabólica, cuyo foco es nuestro
planeta. Cuando la recta que va de la tierra a la nave espacial forma
un ángulo de 900
con el eje de la parábola, la nave se encuentra a 40
millones de millas.

a. ¿Qué tan cerca pasa de la tierra la nave espacial ? Considere a
la tierra como un foco
b. ¿ Que tan cerca pasará si el ángulo de la recta entre la tierra y
la nave con el eje de la parábola es de 75 0
?
Solución.
a) ¿Qué tan cerca pasa de la tierra la nave espacial ? Considere a
la tierra como un foco
Representado es su gráfica (17 – a), el ejercicio
gráfica (17 – a)
Cuando la recta entra en la nave y la tierra tiene un ángulo de 900
Con el eje de la parábola, esta recta pasa por el foco, por el mismo
lugar donde se ubica el Lado Recto (LR) de la parábola. Si la tierra
es el foco, entonces podemos decir que la distancia entre la tierra ya
la nave espacial es de
LR
2
, o sea que:
LR 2(40) millones de millas LR 80 millones de millas  
Por definición,
LR 80 millones
LR 4p,donde p DF VF p
4 4
     
Luego: p 20 millones de millas

Como el vértice es el lugar más cercano al foco entonces VF será la
menor distancia entre la tierra y la nave espacial
p VF 20 millones de millas 
b) ¿ Que tan cerca pasará si el ángulo de la recta entre la tierra y la
nave con el eje de la parábola es de 75 0
?
Representamos en forma su gráfica (17 – b) al ejercicio:
gráfica (17 – b)
Por definición sabemos que PF PD'
Si tomamos el segmento PF y su proyección sobre el eje de la
parábola podemos determinar qué:
0 0
PD' DF PFcos(75 ) DF PD' PFcos(75 )    
0
DF 40 millones 40 millones cos(75 )
DF 29.64 millones de millas
 

Por definición
DF 29.64 millones de millas
DF 2p p p
2 2
    
p 14.82 millones de millas
18. Un ingeniero civil plantea reconstruir la iglesia de San
Francisco y propone que debe ser de forma parabólica, con eje

vertical y cuyos puntos de apoyo están separados por una distancia
de 30 metros. Si el foco de la parábola debe estar a 8 metros de
altura, ¿Cuál es la altura que debe tener dicho arco ?
Solución.
Consideremos la ecuación del arco parabólico:
2P: (x h) 4p(y k)    ,sea la gráfica (18):
gráfica (18)
Como: F(0,8) F(h,k p) k p 8 p 8 k        . Luego,
2 2(15,0) P (15) 4(8 k)(0 k) 4k 32k 225 0
25 9
Resolviendo: k k
2 2
         

  
Por tanto , la altura del arco de la iglesia es : k = 12.5 metros.
19. La parte superior de la catedral de Otuzco la Libertad según
gráfica (19 - a), tiene la forma de parábola de 9metros de alto y 12
metros de base. Toda la parte superior es una ventana de vidrio cuya
base es paralela al piso y mide 8metros Cuál es la altura máxima de
la ventana?

gráfica (19 - a)
Solución.
Con los datos del problema la ecuación del arco es parabólico:
2P: (x h) 4p(y k)    , haciendo su gráfica (19 - b), con los
datos del problema:
gráfica (19 - b)
Entonces
2V(0,9) P x 4p(y 9),ademas V(6,0) P
2 2entonces (6) 4p(y 9) p 1 P: x 4(y 9)
     
         

Como el púnto 2(4,y) P (4) 4(y 9) y 5      
Luego la altura de la ventana es: h 9 5 4metros.  
20. Encontrar la mayor altura de un vagón de ferrocarril de techo
plano, con un ancho de 10 metros que puede pasar por debajo de un
arco parabólico cuya altura y anchura máximas son de 20 metros.
Solución.
Consideremos la ecuación : 2P: x 4py  , según los datos
hacemos su gráfica (20), debemos hallar el valor de y, además
colocando el vértice de la parábola sobre el eje y, la base sobre el
eje x, abierto hacia abajo.
gráfica (20)
Como el punto (10,-20) pertenece a la parábola, reemplazando:
52 2(10) 4p( 20) p P: x 5y
4
       
Reemplazando el punto P (5 , y) en la parábola:
P: 25 5y y 5 metros.     .Por tanto su altura máxima es :
h = 5 metros.
21. Determinar la ecuación del arco parabólico formado por los
cables que soportan un puente colgante cuando el claro de luz es de
150 metros y la depresión 20 metros.
Solución.

Con los datos hacemos su gráfica (21) , usando el software libre
GEOGEBRA:
Considérenos el vértice en el origen de coordenadas V(0,0)
CD AB 150 metros (claro de luz) 
AC OB BD 20 metros (depresión),de donde D(75,20)  
gráfica (21)
Reemplazando en la parábola: 2P: x 4py , se tiene
21125 11252P: (75) 4p(20) 4p P: x y
4 4
    
22. Si la ecuación de una parábola es: 2y 40x 0  , hallar el área
de la región triangular cuya base es el lado recto de dicha parábola
y por vértice opuesto al origen de coordenadas.
Solución.
Con los datos hagamos su gráfica (22):
Considérenos la ecuación de la parábola: 2P: y 4px 
De 2 2 2y 40x 0 y 40x y 4( 10)x p 10          
Por la distancia del recto: LR 4p LR 4( 10) LR 40u.     

gráfica (22)
Por el grafico OF p 10   , por formula de área de un triangulo:
2 2bxh (40)x( 10)
A 200u A 200u
2 2
 

    
23. Siendo la ecuación de la parábola 2P: x 16y 0  . Hallar el
área de la región triangular que tiene por base el lado recto de dicha
parábola y por vértice opuesto al origen de coordenadas.
Solución.
Con los datos hagamos su grafica (23):
gráfica (23)

Considérenos la ecuación de la parábola: 2P: x 4py 
De 2 2 2x 16y 0 x 16y x 4( 4)y p 4          
Por la distancia del recto: LR 4p LR 4( 4) LR 16u.     
Por el grafico OF p 4   , entonces el F(0,-4) y por fórmula de
área de un triangulo se tiene:
2 2bxh (16)x( 4)
A 32u A 32u
2 2
 

    
24. El túnel de la punta olímpica de Huaraz tiene la forma de un
arco parabólico, que tiene 5metros de ancho y 4 metros de altura.
¿Cuál es la altura máxima que debe tener un vehículo de la mina de
3 metros de ancho, para poder pasar por dicho túnel?
Solución.
Hagamos una ilustración con los datos del problema:
gráfica (24)
La ecuación de esta parábola tiene la forma: 2P: x 4py 
Como los puntos A y B pertenecen a la parábola, entonces estos
puntos satisfacen la ecuación de la parábola, reemplazando:
2 2A(2.5,4) P (2.5) 4p(4) p 0.39 P:(x) 1.56y         

2B(1.5, h) P (1.5) 1.56( h) h 1.44 metros       
Por tanto la altura máxima del vehículo de la mina es:
4 h 4 1.44 2.56 metros.   
25. Un faro guía de barcos del puerto Salaverry tiene la forma de
un paraboloide de de revolución . Si la fuente de luz está colocado
a 2 pies de la base en el eje de simetría y la abertura es de 5 pies de
diámetro, ¿Qué profundidad tiene dicho faro guía de barcos?
Solución.
gráfica (25 - a)
construir el modelo, de modo que el vértice de la parábola este en el
origen y su foco en el eje positivo del eje y, veamos la gráfica (25 -

gráfica (25 - b)
Y su foco esta en (0,p), entonces: F (0,2) , p = 2 pies, es un punto en
la grafica, tenemos : 2 2x 4(2)y P: x 8y   .
Como
6.252A(2.5,y) (2.5) 8y y y 0.7812
(8
P       . Por
tanto su profundidad debe estar a 0.7812pies
26. Un faro para un automóvil tiene forma de paraboloide de
revolución el bulbo, que está colocado en el foco, esta a una pulgada
del vértice . Si la profundidad es de dos pulgadas, ¿Cuál es el
diámetro del faro en su abertura?
Solución.

gráfica (26)
Consideremos la forma de la parábola : 2P: x 4py . Como su
foco esta en (0,p), entonces: F (0,1) , p = 1 pulgada, es un punto en
la grafica, tenemos : 2 2x 4(1)y P: x 4y   .
Como 2P(x,2) P (x) 4(2) x 8 x 2 2 pulgadas       .
Por tanto como nos piden su diámetros D = 2x , entonces:
D 2(2 2) D 4 2 pulgadas   .
27. Un espejo en forma de paraboloide de revolución será usado
para concentrar los rayos del sol en su foco, creando una fuente
calorífica. Si el espejo es de 20 pies de diámetro en su abertura y de
6 pies de profundidad, ¿dónde concentrara la fuente de calor?
Solución.

gráfica (27)
Consideremos la forma de la parábola : 2P: x 4py . Como el
punto: 2P(10,6) P (10) 4p(6) 100 24p p 4.1666      
Entonces p = 4.1666 pies y su foco es F(0,4.7).Por tanto se
concentrara la fuente de calor en dicho foco.
28. Los cables del vano central del puente colgante Baluarte entre
los estados de Durango y Sinaloa ver grafica, tienen la forma de una
parábola. Si las torres tienen una separación de 520 metros y los
cables están atados a ellos 169 metros arriba del piso del puente,
¿Qué longitud debe tener el puntal que está a 60 metros de la torre?

gráfica (28 - a)
Solución.
gráfica (28 - b)
Consideremos la forma de la parábola : 2P: x 4py . Como las
coordenadas de la altura pertenece a la parábola, entonces:
2P(260,169) P (260) 4p(169) 67600 676p p 100      
Entonces p = 100 metros, luego su parábola es: 2P: x 400y
Ahora hallando su altura y, en la parábola reemplazando:
2P(200,y) P (200) 4(100)y y 100 metros.    
Por tanto la altura del puntal que está a 60 metros de la torre es de
10 metros.

29. Un puente de la ciudad de Huaraz está construido en forma de
arco parabólico. El puente tiene una extensión aproximada de 120
metros y una altura máxima de 25 metros. Véase la ilustración.
a. Hallar su ecuación que representa.
b. Seleccione un sistema de coordenadas rectangulares adecuado y
encuentre la altura del arco a las distancias de 10 metros,30 metros
y 50 metros desde el centro.
gráfica (29 - a)
Solución.
En la ilustración ubiquemos los datos correspondientes del
problema:
La ecuación de esta parábola tiene la forma: 2P: x 4py 

gráfica (29 - b)
Como el punto P pertenece a la parábola, reemplazando satisface la
ecuación de la parábola
2 2P(60, 25) P (60) 4p( 25) 4p 144 P:(x) 144y          
Su ecuación representa a una parábola: 2P:(x) 144y 
a) Ahora analizando la altura del arco a las distancias de 10
metros, 30metros y 50 metros desde el centro:
◊ Para la distancia de x = 10 metros, halando su altura y = ?
2A(10, y) P (10) 144( y) y 0.694 metros
Entonces h 25 0.69 24.31 metros
       
  
Por tanto la altura es 24.31 metros.
2A(30, y) P (30) 144( y) y 6.25 metros
       
  
2A(50, y) P (50) 144( y) y 17.3611 metros
       
  
30. Los estudiantes de Ingeniería civil proponen hacer un recolector
o panel de energía solar para calentar agua se construye con una

hoja de acero inoxidable en forma de una parábola (ver ilustración
). El agua fluye a través de un tubo situado en el foco de la parábola.
Hallar su ecuación y ¿ A qué distancia del foco se encuentra dicho
tubo?
gráfica (30 - a)
Solución.
En la ilustración ubiquemos los datos correspondientes del
problema:
gráfica (30 - b)

origen y su foco en el eje positivo del eje y, veamos la grafica (30 -
ecuación de la parábola, es decir:
92 2P(3,1) P (3) 4p(1) p P: (x) 9y
4
       .Por tanto
su ecuación es: 2P: (x) 9y ,como el foco es
9
F(0,p) F(0, )
4

Entonces la distancia del tubo es
9
d metros 2.25 metros.
4
 
31. Un tablón de madera tiene 16 metros de longitud y soporta el
peso de una persona que se encuentra en el centro (ver su
ilustración). Dicho tablón se logra deformar en la parte central 3
centímetros. Suponer que al deformarse adquiere la forma de una
parábola.
a. Encontrar una ecuación de la parábola (suponer que el origen
está en el centro de la parábola)
b. ¿A qué distancia del centro del tablón es de 1 centímetro la
deformación producida?
gráfica (31 - a)
Solución.
Según la ilustración ubiquemos los datos correspondientes del
problema:

gráfica (31 - b)
origen y su foco en el eje positivo del eje y, veamos la grafica (31 -
b) y es de forma de una parábola: 2P: x 4py
a. Como el punto P pertenece a la parábola, reemplazando
satisface la ecuación de la parábola, es decir:
64m. 6400cm.2P(8,3) P (8) 4p(3) p
3cm. 3cm.
64002Entonces su ecuación es: P: (x) y
3
     

.Por tanto
su ecuación es
64002: P: (x) y
3

b. Hallemos su altura y = h, cuando x = 1, según la grafica
(31 - b)
6400 32P(1,y) P (1) (y) y y 0.00046875cm.
3 6400
      
Entonces la distancia del centro del tablón es de 1 centímetro la
deformación producida es y h 0.00046875 centímetros 

32. Cerca al nevado Huascarán se desea ubicar líneas de transmisión
de radio y televisión y se a idealizado con la siguiente ecuación, en
el que la grafica de la parábola 2
y x x  , representa una colina, en
el punto (-1,1), se localiza un transmisor, y al otro lado de la colina,
en el punto 0(x ,0) , se encuentra un receptor ¿Qué tan cerca del
nevado puede ubicarse el receptor para que la señal no se obstruya?
y en qué punto se debe ubicar el campo base.
Solución.
Con los datos correspondientes del problema resolvamos:
construir el modelo de la ecuación dada: 2P: y x x  , hallando
su vértice
b b b 1 1 b 12V ( ,f( )). en P: y x x ;f( )
2a 2a 2a 2( 1) 2 2a 4
    
       

1 1
V ( , )
2 4
 ,y pasa por los puntos la grafica usando el intercepto con
el eje x, haciendo y = 0, entonces
20 x x x(1 x) 0 x 0 x 1,pasa por (0,0) y (1.0)        
.Hagamos su grafica usando el software libre GEOGEBRA:
gráfica (32)
Como se desea hallar el punto 0(x ,0) más cercano al transmisor,
pues dicho punto es B(0,0) y el punto del campo base es P (1,0)

33. Cuando se lanza un balón, la trayectoria que escribe el mismo es
una parábola. El tipo de parábola depende del ángulo con el que se
golpea el balón y de la velocidad inicial con que se lanza el mismo.
Un jugador A ha golpeado un balón hacia su compañero B y ha
conseguido las siguientes distancias.
◊ Altura máxima alcanzada por el balón: 2.75metros.
◊ Distancia hasta el punto donde el balón ha votado: 12.5 metros.
Con estos datos:
A. Escriba la ecuación de la trayectoria tomando una referencia
adecuada.
B. Indica las coordenadas del foco y del vértice, y la ecuación de
la directriz.
C. Si el jugador B se encuentra a 5 metros del A, ¿a qué altura
pasa el balón por su vertical?
Solución.
Con los datos correspondientes del problema hagamos una
ilustración y resolvamos icho problema
gráfica (33)
Tomando como origen el punto A y la ecuación ordinaria de la
parábola es : 2P: (x h) 4p(y k)   , hallando el valor de p.
Como el punto 2(6.25,2.75) P (x 6.25) 4p(y 2.75)    
Además como pasa por el origen de coordenadas, tiene:

2 2P:(0 6.25) 4p(0 2.75) (6.25) 2p p 7.1 metros.       
A. Su ecuación es: 2P: (x 6.25) 14.2(y 2.75)   
B. Hallando las coordenadas del foco y del vértice: Según la grafica
su vértice es: V(6.25,2.75) y el foco es: F(6.25, 0.8) y la
directriz es: d y 6.3 
C. Su altura a 5 metros, se halla reemplazando el punto :
2(5,0) P (5 6.25) 14.2(y 2.75) y 2.64 metros       
34. Un arco forma una parábola con el eje vertical. Su punto más
alto es 18 metros sobre la base, cuya longitud es 36 metros Hallar la
longitud de una cuerda horizontal que pasa a través del arco a 8
metros sobre la base.
Solución.
Con los datos correspondientes del problema grafiquemos y
resolvamos
gráfica (34)
origen y su foco en el eje positivo del eje y, veamos la grafica y la
forma de la parábola es: 2P: x 4py
Como el punto A pertenece a la parábola, reemplazando satisface
la ecuación de la parábola, es decir:

2 2A(18,18) P (18) 4p(18) 4p 18 P: (x) 18y       .Por
tanto su ecuación es: 2P:(x) 18y ,como el P pertenece también
a la parábola, reemplazando:
2P(x,8) P (x) 18(8) x 12,por ser distancia x 12metros.      
Por tanto x es la distancia de la cuerda BP x 12metros 
35. Una liebre corre en forma parabólica cuya ecuación es :
2
y 2x 8   , sale a su encuentro un zorro que recorre según la
ecuación y x 1  , determinar el punto de encuentro en el primer
cuadrante. Si existe.
Solución.
Con los datos correspondientes realicemos su grafica del problema
gráfica (35)
Primero grafiquemos las ecuaciones:
2
y 2x 8   , es una parábola de vértice V(0,8) y sus interceptos
con el eje x es: 2
0 2x 8 x 2 A( 2,0) y A(2,0)       

y x 1  , es una línea recta que pasa por:
y x 1 R(0,1) y S( 1,0)   
Para hallar el punto de encuentro debemos resolver el sistema de
ecuaciones, es decir el valor de CP(x,y) I
2
y 2x 8....(1)
y x 1..........(2)
   

 
, igualando las y:
2 2 2
2x 8 x 1 2x x 7 0 2x x 7 0            
Usando la formula general obtenemos los valores de x:
1 1
1 1 4(2)( 7)
x x 2.14
4
   
   
2 2
1 1 4(2)( 7)
x x 1.64
4
   
   . Por tanto resolviendo el
sistema:
Por tanto el punto de encuentro es: P(x,y) P(1.6374,2.6374)
36. Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie del
mar siguiendo la ecuación y = -x2
+ 6x + 12 donde y es la distancia
al fondo del mar (en metros) y x el tiempo empleado en segundos.
a. Calcula cuándo sale a la superficie y cuándo vuelve a
sumergirse sabiendo que la profundidad del lugar es de 20 metros.

b. ¿A qué profundidad inicia el ascenso?
c. ¿Cuál es su altura máxima que alcanza dicho delfín?
Solución.
De la ecuación notamos que representa a una ecuación de parábola
a. Como y es la distancia al fondo del mar, en la ecuación
reemplazar el valor de y:
y 20 8 0            2 2 2
x 6x 12 x 6x 12 x 6x
,resolviendo 8 0 2seg. 4seg.      2
x 6x x x Por lo
tanto el tiempo al salir del agua es de 2 segundos. y al sumergirse
es de 4 segundos.
b. Para hallar en qué momento inicia su ascenso, debemos hacer
x 0,en la ecuación; 0 (0) 12 y y 12 metros     2
6
c. ¿Cuál es su altura máxima que alcanza dicho delfín?
Debemos hallar su vértice de dicha parábola:
b b
y V( ,f( )); a 1; b 6,reemplazando:
2a 2a
 
       2
x 6x 12
2b (6) 6
3 f(3) (3) 6(3) 12 21 V(3,21)
2a 2( 1) 2
El vèrtice es:V(3,21)
 
         

Por tanto su altura máxima que alcanza dicho delfín es en el
tiempo de 3 segundos con una altura de y = 12 metros. Veamos
su grafica:
gráfica (36)

37. El puente RAIMONDI de la ciudad de Huaraz está construido
su arco en forma parabólica. El puente tiene una extensión de 90
metros y una altura máxima de 18 metros desde el centro y a partir
de su base. Véase la ilustración.
a) Hallar su ecuación que representa dicho arco.
b) Seleccione un sistema de coordenadas rectangulares adecuado
y encuentre la altura del arco a las distancias de 10 metros y 30
metros desde el centro.
gráfica (37- a)
Solución.
En la gráfica (37 - b) ubiquemos los datos correspondientes del
problema:
gráfica (37- b)

a) Hallando su ecuación de esta parábola tiene la forma:
2P: x 4py 
2 2P(45, 18) P (45) 4p( 18) 4p 112.5 P:(x) 112.5y          
Su ecuación representa a una parábola: 2P:(x) 112.5y 
b) Ahora analizando la altura del arco a las distancias de 10
metros, 30metros desde el centro:
2A(10, y) P (10) 112.5( y) y 0.88 h 18 0.88 17.11           
2A(30, y) P (30) 112.5( y) y 8 h 18 8 10           
Por tanto la altura es 10 metros.
38. El puente CALICANDO o SAN GERÓNIMO de la ciudad
de Huaraz está construido en forma de arco parabólico. El puente
tiene una extensión de 16.70 metros de largo y una altura máxima
de 8 metros. Véase la ilustración.
A) Hallar su ecuación que representa.
B) Seleccione un sistema de coordenadas rectangulares adecuado
y encuentre la altura del arco a las distancias de 2 metros desde el
centro.

gráfica (38 - a)
Solución.
A) Hallado su ecuación que representa. Hacemos coincidir el
vértice del arco parabólico con el origen. La ecuación del arco
parabólico es de la forma: 2P: x 4py 
8 82 2P(4, 6) P (4) 4p( 6) 4p P:(x) y
3 3
          
Su ecuación representa a una parábola:
82P:(x) y
3


Y

gráfica (38 - b)
B) Ahora analizando la altura del arco a las distancias de 2
metros, halando su altura y = ?
8 (4) (3)2A(2, y) P (2) ( y) y y 1.5m. 1.5 m.
3 8
x
           
Por tanto la altura es 6-1.5 = 4.5 metros.
39. La puerta de entrada de la iglesia de Marcará tiene la forma
parabólica (véase la ilustración) de 4.86 metros de alto y 3.30
metros de base. Toda la parte superior es una división en alto
relieve cuya imagen representa la crucifixión de Cristo y cuya base
es paralelo al piso y mide 2 metros. ¿Cuál es la altura máxima de
dicha división de alto relieve?

gráfica (39 - a)
Solución.
Ahora en el sistema rectangular dibujemos la grafica (39 - b)
gráfica (39 - b)
parábola usada para construir el modelo de la ecuación dada:
2P: (x h) 4p(y k)    ,como
2V(0,4.86) P P:(x) 4p(y 4.86)...(1),ademas (1.65,0) P
2Entonces : (1.65) 4p ( 0 4.86 ) 4p 0.5601
     
    
hallando su altura y, entonces:

2P(1,y) P P:(1) 0.560(y 4.86) 1 0.560y 2.7216
Entonces el valor de y 3.074 metros
        

Luego, la altura máxima de dicha división de alto relieve es dada
por h = 4.86 – 3.074 0 = 1.786 metros. Veamos la grafica (39- c)
gráfica (39 - c)
40. La fachada de una iglesia tiene la forma parabólica (véase la
ilustración 40-a ) de 9 metros de alto y 12 metros de base. Toda la
parte superior es una ventana de vidrio cuya base es paralelo al piso
y mide 8 metros. ¿Cuál es la altura máxima de dicha división de
vidrio?

gráfica (40 - a)
Solución.
gráfica (40 - b)
Es una parábola abierta hacia abajo y para construir el modelo de

la ecuación es dada por : 2P: (x h) 4p(y k)    ,como
2V(0,9) P P:(x) 4p(y 9)...........................(1)
2Ademas (6,0) P (6) 4p(0 9) p 1
2Remplazando en (1) tenemos: P:(x) 4(y 9)
    
      
  
2P(4,y) P P:(4) 4(y 9) 16 4y 36
Entonces el valor de y 5 metros
        

Luego, la altura máxima de dicha división es dada por:
H = 9 – 5 = 4 metros.
41. Una figura de los interiores de la catedral de Lima (véase el
grafico (41- a )) es de forma parabólica y tiene aproximadamente 6
metros de alto y 4 metros de base. Toda la parte superior es una
división de forma de una parábola y cuya base es paralelo al piso y
mide 2 metros. ¿Cuál es la altura máxima de dicha división ?
gráfica (41 - a)
Solución.

gráfica (41 - b)
Dicha grafica representa a una parábola y usamos para construir el
modelo de la ecuación es dada por : 2P: (x h) 4p(y k)    ,co
2V(0,6) P P:(x) 4p(y 6)...........................(1)
2Ademas (2,0) P (2) 4p(0 6) 4p 0.666...
2Reemplazando en (1) tenemos: P:(x) 0.666(y 6)
    
      
  
2P(1,y) P P:(1) 0.66(y 6) 1 0.66y 3.96
        

Luego, la altura máxima de dicha división es dada por:
H = 6 – 4.484 = 1.515 metros.
42. Se quiere estudiar el arco parabólico superior de la réplica de
la iglesia de Yungay destruida en el terremoto y aluvión de 1970,
tiene una altura aproximada de 4 metros y de base 6 metros. Halla
la ecuación ordinaria, general y la altura de los puntos del arco
situados 2 metros del centro. (veamos la grafica 42 - a)

gráfica (42 - a)
Solución.
Ahora en el sistema rectangular dibujemos la gráfica (42 - b)
gráfica (42 - b)

Dicha grafica representa a una parábola y usamos para construir el
modelo de la ecuación es dada por : 2P: (x h) 4p(y k)   
2V(0,4) P P : (x) 4 p ( y 4 )...........................(1)
2Ademas ( 3 , 0 ) P (3) 4 p ( 0 4 ) p 0.5625
2Reemplazando en (1) tenemos : P : (x) 2.25( y 4 )
    
      
  
2P ( 2 , y ) P P : (2) 2.25 ( y 4 ) 4 2.25y 9
        

Luego, la altura máxima a 2 metros es: H = 2.22 metros.
Hallando su ecuación : 2P: x 2.25(y 4)  
Su ecuación general es: 2P: x 2.25y 8.88 0  
43. Un lanzador de peso puede ser modelado usando la ecuación
2
y 0.0241x x 5.5    donde “x” es la distancia recorrida (en
pies) y “y ”es la altura (también en pies). ¿Qué tan largo es el
tiro? y ¿ determinar su punto máximo de altura que alcanzo ?
Solución.
Ahora en el sistema rectangular dibujemos la gráfica (43)
gráfica (43)

El lanzamiento termina cuando el tiro cae a tierra. La altura y en esa
posición es 0, entonces igualamos la ecuación a 0, es decir:
2 2
y 0.0241x x 5.5 0 0.0241x x 5.5        
Usando la forma cuadrática para resolver dicha ecuación
2
22
1 2
0.0241x x 5.5 0 a 0.0241; b 1; c 5.5
1 ( 1) 4(0.0241)( 5.5)b b 4ac
x
2a 2(0.0241)
1 1 0.5302 1 1.5302 1 1.2370
x
0.0482 0.0482 0.0482
2.237 0.237
Entonces:x 46.4 x 4.9
0.0482 0.0482
        
     
 
   
  

     
 
¿Tienen sentido las raíces? La parábola descrita por la función
cuadrática tiene dos intersecciones en x. Pero el tiro sólo viajó
sobre parte de esa curva.
Una solución, -4.9, no puede ser la distancia recorrida porque es
un número negativo
La otra solución, 46.4 pies, debe ser la distancia del lanzamiento
Por tanto el recorrido es aproximadamente 46.4 pies
44. Luis se encuentra parado en la parte superior de un edificio, y
lanza una pelota hacia arriba desde una altura de 60 pies, con una
velocidad inicial de 30 pies por segundo. Utilice la fórmula
2
0 0
1
h gt v t h
2
   para responder las siguientes preguntas:
a) A partir de su lanzamiento, ¿Cuánto tiempo tardara la pelota
en estar a 25 pies respecto del piso? Responda la respuesta a la
décima más cercana.
b) A partir de su lanzamiento, ¿Cuánto tiempo tardara la pelota
en golpear el suelo?
Solución.
Ahora en el sistema rectangular dibujemos la gráfica (44)

gráfica (44)
a) Según la gráfica, usaremos aquí 0 0g 32;v 30 y h 60    .Se
nos pide determinar el tiempo t, que tarda la pelota en alcanzar una
altura, h, de 25 pies respecto del nivel del piso.
Sustituimos estos valores en la fórmula y después despejamos t.
2 2
0 0
1 1
h gt v t h 25 ( 32)t 30t 60
2 2
       
Ahora escribimos la ecuación cuadrática en forma general y
después despejamos t mediante la fórmula cuadrática
2
22
1 2
16t 30t 35 0 a 16; b 30; c 35
30 ( 30) 4( 16)(35)b b 4ac
t
2a 2( 16)
30 3140
t
32
30 3140 30 3140
Entonces:t 0.8 t 2.7
32 32
        
     
 

 


   
     
 
Como el tiempo no puede ser negativo, la única solución razonable
es 2.7 segundos. Por lo tanto, alrededor de 2.7 segundos después de
su lanzamiento, la pelota estar a 25 pies del piso.
b) Nos piden determinar el momento en que la pelota golpeará el
piso. En ese instante, la distancia entre la pelota y el piso es 0. Por
tanto, sustituimos h = 0 en la formula y despejamos t.

2 2
0 0
1 1
h gt v t h ( 32)t 30t 60 0
2 2
       
2
22
1 2
16t 30t 60 0 a 16; b 30; c 60
30 ( 30) 4( 16)(60)b b 4ac
t
2a 2( 16)
30 4740
t
32
30 4740 30 4740
Entonces:t 1.2 t 3.1
32 32
        
     
 

 


   
     
 
Como el tiempo no puede ser negativo, la única solución razonable
es 3.1 segundos. Por lo tanto, la pelota golpea al piso alrededor de
3.1 segundos después de su lanzamiento.
45. Un jugador de béisbol batea de hit hacia el jardín (vea la
gráfica 45- a ) ; el contacto entre su bate y la bola se da a 3 pies del
suelo. Para este hit en particular , la altura de la bola respecto al
suelo, f (t), en pies, en el instante t , en segundos, puede calcularse
mediante la fórmula: 2
f(t) 16t 52t 3   
a.Determine la altura máxima que alcanza la bola de béisbol.
b.Determine el tiempo que tarda la bola en alcanzar su máxima
altura.
c.Determine el tiempo que tarda la bola en chocar contra el suelo.
gráfica (45- a)
Solución.

Ahora en el sistema rectangular dibujemos la gráfica (45- b)
gráfica (45- b)
a. La bola de béisbol sigue la trayectoria de una parábola que abre
hacia abajo (a < 0); a consecuencia de la gravedad, la bola se
eleva hasta una altura máxima para luego caer hacia el suelo.
Para determinar la altura máxima que alcanza la bola, usamos la
formula
2
4ac b
y
4a

 , de la función cuadrática dada se identifica
2
4( 16)(3) (52)
a 16; b 52; c 3 y
4( 16)
 
     

192 2704 2896
y 45.25
64 64
  
  
 
.Por tanto la bola de béisbol
alcanza una altura máxima de 45.25 pies.
b. La bola de béisbol llega a su altura máxima en
b 52 52 13 5
t 1 1.625 segundos.
2a 2( 16) 32 8 8
  
     
 
c.Cuando la bola de béisbol choca contra el suelo, su altura, y,
respecto de este es cero. Por tanto, para determinar cuándo
golpea el suelo, resolvemos la ecuación cuadrática:
2 2
f(t) 16t 52t 3 0 16t 52t 3;a 16;b 52;c 3            

22
1
2
52 (52) 4( 16)(3)b b 4ac
t
2a 2( 16)
52 2896 52 2896
t ,entonces:t 0.06 segundos
32 32
52 2896
t 3.31 segundos
32
    
 

   
    
 
 
 

El único valor aceptable es 3.31 segundos. La bola de béisbol
choca contra el suelo después de aproximadamente 3.31 segundos.
Observe que en la parte (b) el tiempo que tarda la bola en alcanzar
su altura máxima, 1.625, no es exactamente la mitad del tiempo
total que está en el aire, 3.31 segundos. La razón es que fue
golpeada a una altura de 3 pies, y no al nivel del suelo.
Ejercicios Propuestos

1. Los cables que sostienen un puente colgante adquiere forma
parabólica, como se muestra en la figura. Las torres que sostienen
los cables que están separados 600 pies y son de 80 pies de altura.
Si los cables tocan la superficie de la carretera a la mitad de la
distancia entre las torres. ¿Cuál es la altura del cable en un punto
situado a 150 pies desde el punto medio?
2. Un arco parabólico tiene una altura de 30 metros y una luz
(ancho) de 45 metros. Halla la altura del punto del arco situado a
8 metros del centro. Sol. 26.20m
3. Un arco parabólico tiene una altura de 9 metros y de base 12
metros. Halla la ecuación y la altura de los puntos del arco situados
4 metros del centro.
Sol. 2
x 4(y 9)   , y=5m
4. El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma
de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tienen una
altura de 25m y están separados una distancia de 200m, quedando
el punto más bajo del cable a una altura de 5m sobre la
calzada del puente usando el piso del puente como el eje “x” y
como eje “y” el de simetría de la parábola. Halle la ecuación de
esta. Calcula la altura de un punto situado a 50m del centro del
puente? Sol.- y= 10m
5. El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma
de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tienen una
altura de 30 metros y están separados una distancia de 100 metros,
quedando el punto más bajo del cable sobre la calzada del puente.
Halle la ecuación de esta. Calcula la altura de un
punto situado a 25 metros del centro del puente.
Sol.- y=7.5m
150pies
80pies
600pies
?

6. La distancia entre dos soportes verticales de un puente colgante
es de 100 metros y la flecha del cable es de 15 metros. Obtén la
altura del cable a 30 metros del centro del mismo.
Sol.- y= 5.4m
7. Identifica la gráfica que corresponda a cada una de las
siguientes ecuaciones.
a) y = x2
+ 1 b) y = - x2
– 1 c) y = x2
8. Se lanza un proyectil que describe una trayectoria parabólica de
ecuación
2
x
y x
400
  . Encuentre el punto de impacto y las
coordenadas del punto más alto.
9. Un cable suspendido por soportes a la misma altura, que distan
240 metros entre sí, cuelga en el centro 30 metros. Si el cable tiene
forma de parábola, encuentre su ecuación colocando el origen en

el punto más bajo. Encuentre la amplitud del cable a una altura de
15 metros sobre el punto más bajo.
10.Un cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma
de un arco de parábola, los pilares que lo soportan tienen una altura
de 60 metros y están separados una distancia de 500 metros,
quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10 metros
sobre la calzada del puente. Tomando como eje x la horizontal que
define el puente, y como eje y el de simetría de la parábola, hallar
la ecuación general de ésta. Calcular la altura de un punto situado
a 80 metros del centro del puente.
11. Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie del
mar siguiendo la ecuación y = -x2
+ 6x + 12 donde y es la distancia
al fondo del mar (en metros) y x el tiempo empleado en segundos.
a. Calcula cuándo sale a la superficie y cuándo vuelve a
sumergirse sabiendo que la profundidad del lugar es de 100
metros.
b. ¿A qué profundidad inicia el ascenso?
12. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km) y los
kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación
y = -2x2
+ 4x. A 1 Km del lugar de lanzamiento se encuentra una
montaña cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación y = 6x - 6.
Halla el punto de la montaña donde se producirá el
impacto.(veamos la grafica )

13. Una figura de los interiores de una catedral (véase el grafico
es de forma parabólica y tiene aproximadamente 10 metros de alto
y 8 metros de base. Toda la parte superior es una división de
forma de una parábola y cuya base es paralelo al piso y mide 4
metros. ¿Cuál es la altura máxima de dicha división ? y determinar
su ecuación parabólica.
14. Una figura de los interiores de la catedral de Lima (véase el
grafico) es de forma parabólica y tiene aproximadamente 12
metros de alto y 14 metros de base. Toda la parte superior es una
división de forma de una parábola y cuya base es paralelo al piso
y mide 8 metros. ¿Cuál es la altura máxima de dicha división ?

15. Un arco del túnel de entrada llamada punta olímpica en Ancash
es de forma parabólica tiene 7.50 metros de ancho y 6.50 metros
de altura. Si la parte superior del arco es el vértice de la parábola,
¿Cuál es la altura máxima que debe tener un vehículo de la mina
de 4 metros de ancho, para poder pasar por dicho túnel?. Veamos
la grafica.
16. El puente Golden Gate enmarca la entrada a la bahía de San
Francisco. Sus torres de 746 pies de altura están separadas por una
distancia de 4200 pies. El puente está suspendido de dos enormes

cables que miden 3 pies de diámetro: el ancho de la calzada es de
90 pies y ésta se encuentra aproximadamente a 220 pies del nivel
del agua. Los cables forman una parábola y tocan la calzada en el
centro del puente. Determinar la altura de los cables a una
distancia de 1000 pies del centro del puente. Ver gráfica.
17. La fórmula d(t) = 50-5t2
describe la caída de una piedra desde
un edificio de 50 metros de altura, describir fórmula que permita
calcular la distancia de la piedra hasta el suelo después de t
segundos. Veamos cómo utilizar la fórmula para responder
algunas preguntas:
A. ¿A qué altura se encuentra la piedra después de 2
segundos?
B. ¿En qué instante la piedra toca el suelo?
18. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba, esta sube hasta
cierto punto y luego empieza a caer. La relación entre el tiempo t
(en segundos) que la piedra esta en el aire y la altura s (en metros),
se expresa por la formula: 2
s(t) 5t 20t 10    ¿Cuando la piedra
alcanza el punto más alto y cuál es esa altura?
19. Un lanzador de peso puede ser modelado usando la ecuación
2
y 0.05x x 2.5    donde “x” es la distancia recorrida (en pies)
y “y ”es la altura (también en pies). ¿Qué tan largo es el tiro?

20. Cuando una gota de agua (u otro objeto) desde la parte superior
de la catarata de Honcopampa – Carhuaz- Ancash (Está ubicado a
35 km. de Huaraz a una altura de 3,450 m.s.n.m ), cae a la fosa en
la parte inferior, la altura, h, en pies, con respecto del agua en la
fosa, puede determinarse mediante la ecuación 2
h 16t 308   .
En la ecuación, t es el tiempo, en segundos, a partir de que la gota
cae a la cascada. Determine el tiempo que tarda la gota en llegar
a la parte inferior de la cascada, en la fosa ( cuando h = 0).
Sugerencia usar ( 2
0 0
1
h gt v t h
2
   )
21.Cuando una gota de agua (u otro objeto) desde la parte superior
de la catarata del Niágara cae a la fosa en la parte inferior, la altura,
h, en pies, con respecto del agua en la fosa, puede determinarse
mediante la ecuación 2
h 16t 176   . En la ecuación, t es el
tiempo, en segundos, a partir de que la gota cae a la cascada.
Determine el tiempo que tarda la gota en llegar a la parte inferior
de la cascada, en la fosa ( cuando h = 0)
Sugerencia usar ( 2
0 0
1
h gt v t h
2
   )
22. Una herradura se lanza hacia arriba dese una altura inicial de 80
pies con una velocidad inicial de 60 pies por segundo ¿Cuánto
tiempo después de que se lanza hacia arriba
a. Estará a 20 pies del suelo?

b. Dara contra el suelo?
23.La gravedad en la luna equivale a más o menos a un sexto de la
terrestre. Suponga que Neil Armstrong (primer ser humano en
pisar la Luna el 21 de julio de 1969, en la misión Apolo 11.) se
encuentra en la luna, parado sobre una colina de 60 pies de altura.
Si salta hacia arriba con una velocidad de 40 pies por segundo,
¿Cuánto tardara en tocar el suelo que esta al pie de la colina? .Ver
grafica
24. La distancia entre dos soportes verticales de un puente colgante
es de 200 metros y la flecha del cable es de 30metros. Obtén la altura
del cable a 60 metros del centro del mismo.
25. Si un tanque de guerra dispara desde una altura de 9.8 metros por
arriba suelo, a cierto ángulo, la altura del misil respecto del suelo, h
en metros en el instante t, en segundos, se determina por medio de
la ecuación: 2
h(t) 4.9t 24.5t 9.8   
a. Determine la altura máxima que alcanza el misil del cañón

b. Determine el tiempo que tarda el misil para llegar a su altura
máxima.
c. Determine el tiempo que tarda el misil en chocar contra el
suelo.

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