parabola

1. Departamento de Ciencias
COMPLEMENTO MATEMÀTICO
PARA INGENIEROS
SESIÓN 4: Ecuación de la parábola

2. INTRODUCCIÓN
Telecomunicaciones
Un elemento importante para la transmisión
y recepción de señales son las antenas
parabólicas, las cuales por su geometría
permite amplificar y concentrar señales de
radio frecuencia, para transmitir información
de audio, video y datos.
¿Cómo esta forma parabólica presenta un punto
de concentración?
¿Qué elementos tiene esta estructura parabólica?
¿Qué necesitaremos saber para diseñar una
antena de este tipo?

3. SABERES PREVIOS
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4. LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión el
estudiante resuelve ejercicios y
problemas de contexto real
relacionados a su carrera
haciendo uso de las ecuaciones
de la parábola; de forma
correcta.

5. CONTENIDOS
1. Definición y elementos.
2. Ecuación Canónica.
3. Ecuación Ordinaria..
4. Ecuación general y aplicaciones.

6. Una parábola es el conjunto de puntos en un plano que equidistan de una recta fija ( directriz)
y un punto fijo (foco).
DEFINICIÒN DE UNA PARÀBOLA
Eje de simetría
Foco
F
V
Parámetro
Vértice
P
p
p
Parábola
▪ Vértice : punto medio entre el
Foco y la Directriz .
▪ Eje de simetría ( Eje focal ):
recta que pasa por el foco y es
perpendicular a la directriz.
▪ p : distancia entre el foco y el
vértice se llama distancia focal

7. Ejemplo:
ELEMENTOS DE LA PARÀBOLA
Parábola con parámetro p = 3, foco y su
ecuación de directriz
x
y
Eje
focal
V(3,2)
D: y = -1
F(3,5)
x
y
Eje
focal
V(2,1)
D: y = -1
Parábola con parámetro p = 2, foco y su
ecuación de directriz
F(2,3)

8. ECUACIÒN CANÒNICA-V(0,0)
Eje focal paralelo al eje Y
p > 0 p < 0
Eje focal paralelo al eje X
x
y
F(p; 0)
x = -p
P(x; y)
|p| |p|
𝒚𝟐 = 𝟒𝒑𝒙
y
x
F(p; 0)
x = -p
P(x; y)
|p|
|p|
𝒙𝟐
= 𝟒𝒑𝒚
p > 0 p < 0

9. Ejemplo 1: Determine el foco, la directriz y el ancho focal (lado recto) de
la parábola:
Solución
Parábola
𝑥2 = 6𝑦
𝑥2 = 6𝑦 de:
𝑥2 = 4𝑝𝑦
El ancho focal es
LR = │4p│ , con p en
distancia
Luego: 4p = 6 p = 3/2
vértice: V= (0;0)
Foco : F = ( 0; 3/2)
x
y
Directriz: y = -3/2
F

10. Ejemplo 2: Determine el foco, la directriz y el parámetro de la parábola:
Solución
Parábola
𝑦 = −
1
2
𝑥2
𝑥2 = 4𝑝𝑦
El lado recto o ancho focal
es LR = │4p│ con p en
distancia
Luego: 4p = -2 p = -1/2
vértice: V= (0;0)
Foco : F = ( 0; -1/2)
𝑥2 = −2𝑦
Despejando el término cuadrático
x
y
Directriz: y =1/2
F

11. Ejemplo 3: Determine el foco, la directriz y el ancho focal de la parábola:
Solución
Parábola
𝑦2 = −8𝑥
𝑦2 = −8𝑥 de:
𝑦2 = 4𝑝𝑥
El lado recto o ancho focal
es LR = 4p con p en
distancia
Luego: 4p = - 8 p = -2
vértice: V= (0;0)
Foco : F = ( -2; 0)
Directriz: x = 2
F
x
y

12. ECUACIÒN ORDINARIA-V(h,k)
Eje focal paralelo al eje Y
𝒙 − 𝒉 𝟐
= 𝟒𝒑 𝒚 − 𝒌
P > 0
x
y
Eje
focal
D: y=k -p
V(h, k)
h
k
p
p
F(h, k+p)
x
y
Eje
focal
D: y=k -p
V(h, k)
h
k
p
p
F(h, k+p)
P < 0

13. ECUACIÒN ORDINARIA-V(h,k)
Eje focal paralelo al eje X
𝒚 − 𝒌 𝟐 = 𝟒𝒑 𝒙 − 𝒉
P > 0
x
y
Eje focal
h
k
V(h, k) F(h+p, k)
p
p
D: x=h-p
x
y
Eje focal
h
k
V(h, k)
F(h+p, k)
D: x=h-p
p p
P < 0

14. Ejemplo 4: Halle la ecuación de la parábola con Vértice (2,1) y Foco (2,4)
Solución
Parábola
V: (2; 1)
F: (2; 4)
Vértice (2;1) = (h; k)
Foco (2; 4) = (h; k+p)
h = 2 ; k= 1 ; p = 3
k+p = 4
1+p=4
P=3
Su ecuación tiene la forma:
𝑥 − ℎ 2
= 4𝑝 𝑦 − 𝑘
𝑥 − 2 2
= 12 𝑦 − 1
Reemplazando los valores:
𝑥 − 2 2 = 4 3 𝑦 − 1
Ecuación ordinaria:

15. Ejemplo 5: Halle la ecuación de la parábola con Vértice (3,5) y directriz y = 2
Solución
Parábola
Y = 2
V: (3; 5)
Vértice= (h; k) = ( 3;5 )
directriz y = 2
h = 3 ; k= 5
p = 3 ; p distancia de la directriz al vértice P = 5-2 eje focal paralelo a Y
Reemplazando:
𝑥 − 3 2
= 4 3 𝑦 − 5
𝑥 − 3 2 = 12 𝑦 − 5
Su ecuación tiene la forma:
𝑥 − ℎ 2 = 4𝑝 𝑦 − 𝑘

16. Ejemplo 6: Encuentre la ecuación de la parábolas mostradas:
Solución
Parábola
Eje focal
V(5, 7)
D: x=1
F(9, 7)
𝒚 − 𝟕 𝟐 = 𝟒(𝟒) 𝒙 − 𝟓
P=4
Eje focal
V(10, 5)
F(2, 5)
D: x=18
Solución
𝒚 − 𝟓 𝟐
= 𝟒(−𝟖) 𝒙 − 𝟏𝟎
P=-8
𝒚 − 𝟕 𝟐 = 𝟏𝟔 𝒙 − 𝟓 𝒚 − 𝟓 𝟐 = −𝟑𝟐 𝒙 − 𝟏𝟎

17. Ecuación general de la parábola
Si consideramos una parábola con vértice V(0,0), su
ecuación canónica es
𝒚𝟐 = 𝟒𝒑𝒙
Si le aplicamos una traslación T(h,k), obtenemos la
ecuación ordinaria de la parábola con vértice V(h,k):
𝒚 − 𝒌 𝟐 = 𝟒𝒑 𝒙 − 𝒉
Por efecto de la traslación, el nuevo eje focal se mantiene paralelo al eje X. La ecuación principal permite
conocer de inmediato las coordenadas de su vértice, el valor de p y, por lo tanto, la medida del lado
recto.
Desarrollado los cuadrados de binomios y ordenando la ecuación principal, se obtiene la ecuación
general de la parábola:
𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
D=-4p E=-2k F= 𝒌𝟐 + 𝟒𝒑𝒉
V(h, k)
y
F
h
k

18. • Ejemplo 7: Un abogado decide visitar Estados Unidos y en uno de sus paseos pasa por
el puente Golden Gate, el cual enmarca la entrada a la bahía de San Francisco. Las torres
de 746 pies de altura están separadas por una distancia de 4200 pies. El puente está
suspendido de dos enormes cables que miden 3 pies de diámetro, el ancho de la calzada
es de 90 pies y ésta se encuentra aproximadamente a 220 pies del nivel del agua. Los
cables forman una parábola y tocan la calzada en el centro del puente. Encuentre la
altura de los cables a una distancia de 1 000 pies del centro del puente.
Parábola

19. Parábola
Ubicamos los ejes de coordenadas de modo que el eje X coincida en la calzada Y el
origen coincida en el centro del puente. Entonces, las torres gemelas quedarán a
746-220=526 pies arriba de la calzada y ubicadas a 4200/2=2100 pies del centro.
Los cables de forma parabólica se extenderán desde las torres, abriendo hacia
arriba, y tendrán su vértice en (0,0) como se ilustra en la figura de arriba.

20. Parábola
La ecuación de una parábola es: 𝑥2
= 4𝑝𝑦
Observe los puntos (-2100; 526) y (2100; 526) están en la gráfica parabólica,
entonces:
(2100)2= 4𝑝(526) 4𝑝 =
(2100)2
526
Reemplazando en la ecuación de la
parábola:
𝑥2 =
(2100)2
526
. (y)
Se pide la altura del cable, cuando x=1000 es:
y =
526
(2100)2
(1000)2 ≈ 119,3
Luego, el cable mide 119,3 pies de altura.
Respuesta:
(1000)2 =
(2100)2
526
. (y)

21. APLICACIÓN TECNOLÓGICA
3) 𝑥2 = 4y
1) 𝑥 − 2 2 = 𝑦 + 4
2) 𝑦 + 2 2 = 𝑦 − 2
Graficar las siguientes parábolas
https://www.geogebra.org/classic?lang=es

22. Reglamento de Estudios de Programa Pregrado de
la Universidad Privada del Norte

23. 1. La evaluación es sincrónica, atento a las
indicaciones del docente de teoría.
2. Los temas que intervienen en dicho examen
son los de las semanas 1, 2 y 3
3. El examen consta de 4 preguntas para resolver
4. Tiene una duración de 60 minutos
Éxitos estimados ingenieros
INDICACIONES PARA LA EVALUACIÓN ESCRITA T1

24. TRABAJO EN EQUIPO
Instrucciones
1. Ingrese a la sala de grupos
reducidos asignada.
2. Desarrolle las actividades
asignadas
3. Presente su desarrollo en
el Padlet del curso.

25. METACOGNICIÓN
¿Qué hemos aprendido en esta
sesión?
¿Qué dificultades se
presentaron? ¿Cómo se absolvieron las dificultades
las dificultades encontradas?
¿Qué tipos de problemas se
pueden resolver mediante la
ecuación de la parábola?

26. REFERENCIAS
▪ Ruiz Joaquín (2014). Geometría Analítica:
https://elibronet.eu1.proxy.openathens.net/es/lc/upnorte/titulos/40392
▪ Cò Patricia (2018). Geometría Analítica:
https://usuarios.fceia.unr.edu.ar/~ugarte/Algebra%20y%20Geometria%2
0Analitica/Conicas/Secciones%20%20c%F3nicas_2018.pdf

27. GRACIAS