conicas

1. Cónicas

2. Gráficas de cónicas

6. CIRCUNFERENCIA
CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico
de un conjunto de infinitos puntos que
equidistan de un punto situado en el
centro.

7. La Circunferencia
 Definición:
La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano
P(x, y) que son equidistantes de un punto fijo.
 El punto fijo es el centro de la circunferencia y cualquier segmento de recta
cuyos extremos sean un punto cualquiera de la misma y su centro se llama
radio.

8. X
Y

9. La ecuación de una circunferencia cuyo
centro es el punto C(h, k) y radio r:
Si el centro de la circunferencia es el origen
Forma Ordinaria
Forma Canónica

10.  Nota:
Para encontrar la ecuación de la circunferencia necesitamos
conocer la longitud de su radio y las coordenadas de su centro.
Ejemplo 1.
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro
es C(-4, 3) y radio 2.
Ejemplo 2.
Encuentra la ecuación de la circunferencia con
centro en el origen y radio 4.

11. Ejemplo 3.
Determinar la ecuación de la circunferencia que
pasa por el punto (4, -5) y cuyo centro es C(6, -4).
Ejemplo 4.
Hallar la ecuación de la circunferencia si los
extremos de uno de sus diámetros son los puntos
P(6, 2) y Q(-2, -4).
Ejemplo 5.
Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyo
centro es el punto C(2, -1) y es tangente a la recta
3x + 4y - 12=0.

12. Ecuación de la
Circunferencia en forma
General
 Al desarrollar la forma ordinaria, obtenemos:
Forma General

13.  Ejemplo 1:
Determinar si la ecuación
representa o no una circunferencia. En
caso de que lo sea, encuentra:
a) el radio
b) las coordenadas del centro
c) grafica.

14. La Parábola

15. Vértice:
V(h, k)
La Parábola
Foco:
F(x, y)
Eje Focal
Lado Recto
Directriz

16. Ecuación de una Parábola con
vértice en el origen
CASO 1
La ecuación de una Parábola con vértice en el origen, eje focal sobre el eje X y foco en el punto F(a, 0) con a > 0 es:
 Abre a la derecha
 Vértice: V(0, 0)
 Foco: F(a, 0)
 Longitud del Lado Recto:
 Ecuación de la Directriz:

17. Continuación…
 Gráfica:
V(0, 0) F(a, 0)
L(a, 2a)
R(a, -2a)

18. ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL
ORIGEN
CASO 2
 La ecuación de una Parábola con vértice en el origen,
eje focal sobre el eje X y foco en el punto F(a, 0) con a
< 0 es:
 Abre a la izquierda
 Vértice: V(0, 0)
 Foco: F(a, 0)
 Longitud del Lado Recto:
 Ecuación de la Directriz:

19.  Gráfica:
V(0, 0)
F(a, 0)
L(a, -2a)
R(a, 2a)

20. ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL
ORIGEN
CASO 3
 La ecuación de una Parábola con vértice en el origen,
eje focal sobre el eje Y y foco en el punto F(0, a) con a
> 0 es:
 Abre hacia arriba
 Vértice: V(0, 0)
 Foco: F(0, a)
 Longitud del Lado Recto:
 Ecuación de la Directriz:

21. Continuación…
 Gráfica:
V(0, 0)
F(0, a)
L(-2a, a) R(2a, a)

22. ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL
ORIGEN
CASO 4
 La ecuación de una Parábola con vértice en el origen,
eje focal sobre el eje Y y foco en el punto F(0, a) con a
< 0 es:
 Abre hacia abajo
 Vértice: V(0, 0)
 Foco: F(0, a)
 Longitud del Lado Recto:
 Ecuación de la Directriz:

23.  Gráfica:
V(0, 0)
F(0, a)
L(2a, a) R(-2a, a)

24. Eje Focal paralelo al eje X
a > 0 a < 0
Abre a la derecha Abre a la izquierda
Vértice: Vértice:
Foco: Foco:
Directriz: Directriz:
Ecuación de una Parábola con Vértice en el
punto distinto al origen.

25. Continuación…
Eje Focal paralelo al eje Y
a > 0 a < 0
Abre hacia arriba Abre hacia abajo
Vértice: Vértice:
Foco: Foco:
Directriz: Directriz:

26. 3.7 ecuación de una parábola
en forma general
 Si su eje focal es paralelo al eje X:
 Si su eje focal es paralelo al eje Y:

27. EJERCICIO 1


28. EJERCICIO 2


29. EJERCICIO 3
Determine la ecuación de
la parábola con eje de
simetría horizontal que
tiene su vértice en el
punto V(2,2) y que
contiene al punto P(1,1)

30. EJERCICIO 4


31. La Elipse
Durante muchos siglos se consideró que las orbitas de los planetas eran
circunferenciales, con la Tierra como centro. Pero estudiando las
observaciones hechas por Tycho Brahe sobre el movimiento del
planeta Marte, Kepler descubrió en 1610, que los planetas giran
alrededor del Sol de modo que sus trayectorias son elípticas y el sol
ocupa uno de los focos

32. LA ELIPSE
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) cuya ubicación en el
plano es tal que , la suma de sus distancias a dos puntos fijos de él es constante.
Estos dos puntos fijos del plano, se llaman FOCOS y se designan por y
1
F 2
F
P(x,y)
X
Y
O
1
F 2
F
1
V 2
V
1 2
( , ) ( , ) tan
d P F d P F cons te
 

33. Elementos de la elipse
 Los elementos más importantes de la elipse son:
 FOCOS: Los puntos fijos
 RECTA FOCAL: La recta a la que pertenecen los
focos
 RECTA SECUNDARIA: La simetral del segmento
 CENTRO: Punto de intersección de las rectas focal y
secundaria y que equidista de los focos .
 VÉRTICES : Puntos de intersección de la elipse con la
recta focal. Se designan:
1 2
F yF
1 2
VV
1 2
B B 1 2
FF
1 2
V yV

34. • EJE MAYOR: Segmento que se considera de
longitud 2 a: a es el valor del semieje mayor .
• EJE MENOR: Segmento de la recta
secundaria interceptada por la elipse . Se
considera de longitud 2b : b es el valor del
semieje menor.
• DISTANCIA FOCAL: Medida del segmento
Se considera de longitud 2c.
LADO RECTO : Cuerda focal perpendicular a
la recta focal o eje de simetría . Su medida es
1 2
VV
1 2
B B
1 2
FF
1 2
C C
2
2b
a

35. Elementos de la elipse
1
B
2
B
1
V
2
V 1
F 2
F
1
C
2
C
a a
c c
b
En la siguiente elipse identifique los elementos principales de ella

36. Valor de la constante y excentricidad de la elipse
 A toda elipse se le asocia un número real que llamamos
EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE, designado por la letra e, y
cuyo valor es : c
e
a

c
a
Dado que la excentricidad depende de las medidas de c y a, su valor está
asociado con la forma de la respectiva elipse , es así que tenemos elipses
”más o menos achatadas.
La excentricidad de la elipse es un número menor que 1.
Si c tiende a cero, entonces e también tiende a cero, por lo tanto se
forma una circunferencia.
Valor de la constante = 2a
1 2
( , ) ( , ) 2
d P F d P F a
 

37. 1
F 2
F
2
F
3
5
4
-4
-3 3
o
5
1
F
-4 4
5
Elipse de excentricidad e = Elipse de excentricidad e=
4
5
o
Ejemplo:

38. Valor de la constante
1
V 1
F
2
F
   
 
 
 
1 2
1 1 1 2
1 1 1 1 1 2
, , tan
( , ) ,
( , ) ( , ) ( )
( ) ( ) 2 2
d P F d P F cons te
d V F d V F
d V F d V F d F F
a c a c c a
 
 
 
    
P
Luego:
1 2
( , ) ( , ) 2
d P F d P F a
 



39. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE
2 2
2 2
1; ,
x y
a b R
a b

 
1
F
y
X
0
(a
,0)
(-a,0)
(0,b)
(0,-b)
P(x,y)
La ecuación canónica de la elipse es
:
(eje focal en el eje X)
2
F
1( ,0)
F c
2 ( ,0)
F c


40. Ecuación canónica de la elipse
1(0, )
F c
2 (0, )
F c

1
F
2
F
Y
X
(0,a)
(0,-a)
1
V
2
V
(b,0)
(-b,0)
( Eje focal en el eje Y )
2 2
2 2
1
x y
b a
 

41. Ejemplo 1
 Determinar la ecuación de la elipse con
focos (0,6) y (0,-6) y semieje menor 8
Solución: eje focal coincide con el eje Y
Luego
2 2
2 2
1
x y
b a
  c = 6 ; b = 8 y a = 10
La ecuación pedida es :
2 2
1
64 100
x y
 

42. Ejemplo 2
Encontremos los elementos de elipse de ecuación
2 2
1
25 9
x y
 
2 2 2
b c a
 
Tenemos a = 5 y b = 3, además
2 2
2 2
1;
x y
a b
a b
  
C = 4, los elementos de la elipse son :
FOCOS:
1 2
(4,0) ( 4,0)
F yF 
EJE MAYOR : 2 a = 2·5 = 10
EJE MENOR : 2b = 2·3 = 6
LADO RECTO :
2
2 2·9 18
5 5
b
a
 

43. EXCENTRICIDAD:
4
5
c
a

1
V
VERTICES: (5,0) y ( -5,0)
y
X
3
-3
5
-5 4
-4
1
F
2
F
2
V

44. ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA ELIPSE
 Sea el centro de la elipse el punto C(h,k) y el
eje focal paralelo al eje X
1
F
2
F
Picasa 3
h
k O
Y
X
La ecuación principal de la
elipse con centro en C(h,k) es:
2 2
2 2
( ) ( )
1
x h y k
a b
 
 

45. ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
 Al desarrollar los cuadrados de binomio, ordenando la
ecuación principal de la elipse e igualando a cero,
encontramos la ecuación equivalente , llamada
ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
2 2
0
Ax By Cx Dy F
     A<B

46. EJEMPLO 1
Dada la ecuación principal de la elipse 2 2
( 3) ( 1)
1
8 9
x y
 
 
2 2
9 8 54 16 17 0
x y x y
    
Determine la ecuación general de la elipse
Solución :

47. Ejemplo 2
 Determinemos los elementos de la elipse de ecuación:
 Ordenamos la ecuación para completar los cuadrados de
binomio
2 2
5 9 80 54 221 0
x y x y
    
2 2
2 2
2 2
2 2
5 80 9 54 221
5( 16 ) 9( 6 ) 221
5( 16 64) 9( 6 9) 221 320 81
1
5( 8) 9( 3) 180/·
180
x x y y
x x y y
x x y y
x y
    
    
        
   
2 2
( 8) ( 3)
1
36 20
x y
 
 

48.  Luego: h=8 y k =-3, (8,-3)
además 2
2
2 2 2 2
36 6
20 20 2 5
: 16 4
a a
b b
como a b c c c
  
   
     
1 2
2
cos : (12, 3) (4, 3)
: 2 2·6 12
: 2 2·2 5 4 5
2 2·20 40 20
Re
6 6 3
4 2
:
6 3
Fo F yF
EjeMayor a
EjeMenor b
b
Lado cto
a
c
Excentricidad
a
 
 
 
  
 
Como esta elipse ha sido trasladada con respecto a su posición
canónica, su eje focal también se ha trasladado en h=8 unidades. Por lo
tanto, las coordenadas de los focos son:
)
3
,
2
(
)
3
,
14
(
2
1




V
V

49. En forma grafica tenemos:
1
F
2
F

8
-3
4
12
C(8,-3) 1
V
2
V

X
Y

50. Actividad
Resuelva en su cuaderno
1.Determine la ecuación de la elipse con centro en (3,1), uno de sus
vértices es el punto (3,2) y tiene excentricidad
2. Determine la ecuación principal y los elementos de cada una de las
siguientes elipses.
a)
1
3
   
2 2
3 1
: 1
8 9
x y
Solución
 
 
2 2
9 25 18 50 191 0
x y x y
    
   
2 2
1 2
1 2
1 1
: 1; ( 1, 1); (3, 1), ( 5, 1)
25 9
(4, 1), ( 6, 1)
x y
Solución C F F
V V
 
      
  

51. b)
c)
d)
2 2
21 25 42 50 2.054 0
x y x y
    
   
2 2
6 4
: 1
36 16
x y
solución
 
 
0
144
72
48
9
4 2
2




 y
x
y
x
2 2
4 9 8 54 49 0
x y x y
    
   
2 2
1 3
: 1
9 4
x y
solución
 
 
   
2 2
1 1
: 1
100 84
x y
solución
 
 

52. 3. Determine la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos
(x,y) del plano, cuya suma de distancias a los puntos fijos (3,1) y
(-5,1) es 20.
4. Determine la ecuación de la elipse con los elementos dados en cada
caso.
a) C(2,-3); Eje mayor = 8; L.R.= 9/2, Eje focal paralelo al eje Y.
b) Focos (4,1) y (-6,1); Eje mayor = 12
   
2 2
1 1
: 1
100 84
x y
solución
 
 
   
2 2
2 3
1
9 16
x y
 
 
   
2 2
1 1
1
36 11
x y
 
 

53. La Hipérbola

54. V’ V
F´ F
B
B´
oFocos: F y F´
oVértices: V y V´
oEje transverso: VV´
oCentro: C
oEje conjugado: BB´
oLados Rectos:
LR y L´R´.
C
oAsíntotas

55. V’(−a, 0) V(a, 0)
F´(−c, 0) F(c, 0)
B(0, b)
B´(0, −b)
HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y FOCOS EN
EL EJE X

56.  Ecuación: ,
 Centro: C(0, 0)
 Coordenadas de sus vértices: V(a, 0) y V´(-a, 0)
 Coordenadas de los extremos del eje conjugado:
B(0, b) y B´(0, -b)
 Coordenadas de sus focos: F(c, 0) y F´(-c, 0)
 Longitud del eje transverso: VV´= 2a
 Longitud del eje conjugado: BB´=2b
 Longitud de cada lado recto:
 Excentricidad:
 Asíntotas:

57. V’(0, −a)
V(0, a)
F´(0, −c)
F(0, c)
B(b, 0)
B´(−b, 0)
HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y FOCOS EN
EL EJE Y

58.  Ecuación: ,
 Centro: C(0, 0)
 Coordenadas de sus vértices: V(0, a) y V´(0, -a)
 Coordenadas de los extremos del eje conjugado:
B(b, 0) y B´(-b, 0)
 Coordenadas de sus focos: F(0, c) y F´(0, -c)
 Longitud del eje transverso: VV´= 2a
 Longitud del eje conjugado: BB´=2b
 Longitud de cada lado recto:
 Excentricidad:
 Asíntotas:

59. 4.5 Ecuación de la Hipérbola
con Centro en
Eje Focal paralelo al
eje X
Eje Focal paralelo al
eje Y
Ecuación
Centro C(h, k) C(h, k)
Focos
F(c + h, k)
F´(−c + h, k)
F(h, c + k)
F´(h, −c + k)
Vértices
V(a + h, k)
V´(−a + h, k)
V(h, a + k)
V´(h, −a + k)

60. Ecuación general de una
Hipérbola
 La Forma General es:
 Donde A ≠ B y tienen signos diferentes.

61. EJERCICIO 1


62. EJERCICIO 2
