El documento describe las secciones cónicas, en particular la parábola. Explica que una parábola es el lugar geométrico de los puntos equidistantes a una recta directriz y a un punto foco. Presenta las propiedades geométricas de la parábola como su vértice, lado recto y ecuaciones. Luego describe cómo obtener las ecuaciones de parábolas con diferentes orientaciones del eje y en posiciones generales, incluyendo su relación con la distancia focal. Finalmente, muestra ejemplos de ejercicios sobre par

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Secciones cónicas
Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse como la intersección de
un cono circular con un plano que no contenga al vértice del cono. Las distintas cónicas
aparecen dependiendo de la inclinación del plano respecto del eje del cono. Si el plano es
perpendicular a dicho eje produce una circunferencia; si se lo inclina ligeramente, se obtiene
una elipse; cuando es paralelo a una generatriz del cono se tiene una parábola y si corta a
ambas ramas del cono la curva es una hipérbola.
Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola.
La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca
del año 1000 (Menæchmus) donde las definieron como secciones «de un cono circular
recto». Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perge.
Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones
provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica y la
geometría proyectiva entre otras.
Tipos: Se clasifican en cuatro tipos: elipse. Parábola, hipérbola, circunferencia.
Perspectiva de las secciones cónicas. Las cuatro secciones cónicas en el plano.

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PARÁBOLA
Definición
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada,
llamada directriz, y a un punto exterior a ella, que se denomina foco.
Al punto de intersección de la parábola con tal línea (conocida como eje de la parábola) se le
conoce como vértice de la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima. La
distancia entre el vértice y el foco se conoce como distancia focal o radio focal.
Propiedades geométricas
Diferentes elementos de una parábola Diagrama que muestra la propiedad reflexiva, la directriz (verde), y las
líneas que unen el foco y la directriz de la parábola (azul)
Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz,
se le conoce como lado recto. La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.
Ecuaciones de la parábola
Familia de Parábolas tipo
2
x
a
y  , con 10
1
4
1
,
4,
,
a 1


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Ecuación general de una parábola
Hasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de coordenadas.
De esta forma las fórmulas son funciones de x ó de y. Pero una parábola puede tener su eje
inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales.
La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:
0
2
2





 f
ey
dx
cy
bxy
x
a si y sólo si 0
4
2

 ac
b y los coeficientes a y c no pueden ser
simultáneamente nulos.
Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación
anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma 0
2




 c
x
b
x
a , donde a es
distinto de cero.
Prueba geométrica de la relación 2
x
a
y 
Con la construcción y desarrollo de la geometría analítica se
inició un estudio de las formas geométricas basado en
ecuaciones y coordenadas.
Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide
con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma
2
x
a
y  donde el parámetro a especifica la escala de la
parábola, incorrectamente descrita como la forma de la
parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas
tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la
parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se
abre «hacia abajo».
Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría
analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los
trabajos de Apolonio,
1
y se bosquejará a continuación usando notación moderna.
Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a
la directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la
versión analítica y PV al valor y). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la
base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.
Por el teorema de potencia de un punto: VK
HV
V
Q 2

 Al ser PM paralela a AC, los triángulos
HVP, HKA y BCA son semejantes y así:
AC
BC
KA
HK
PV
HV

 Usando nuevamente los paralelismos:
BA
BC
HA
HK
PA
VK

 Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de 2
V
Q resulta en
PV
AC
BA
PA
BC
BA
PA
BC
AC
PV
BC
VK
HV
V
Q 2
















 





 



2
Pero el valor de
AC
BA
PA
BC










2
es una constante pues
no depende de la posición de V, por lo que haciendo ,
PA
BC
AC
BA
a


 2
arroja la expresión actual 2
x
a
y 

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Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c.
Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la
ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su vértice.
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es  
k
,
h tiene
la forma    2
h
x
a
k
y 

 . Agrupando los términos y reordenando se
obtiene una forma equivalente: La ecuación de una parábola cuyo eje es
vertical es de la forma c
bx
x
a
y 

 2
Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero
intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos: La ecuación de una
parábola cuyo eje es horizontal es de la forma c
by
y
a
x 

 2
.
Ecuación involucrando la distancia focal
Ecuación de una parábola vertical.
Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice (variando el parámetro a) en la
primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe sólo una parábola que los tiene por
vértice y foco ya que la directriz queda automáticamente fija como la perpendicular a la línea que
une el foco con el vértice y a esa misma distancia del último.
Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (0,p). La directriz es por tanto,
la recta horizontal que pasa por (0,-p). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia
focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p.
Con esta configuración se tiene:
 La ecuación de una parábola con vértice en  
0,0 y foco en  
p
0, es py
x 4
2
 .
De forma alterna:
 La ecuación de una parábola con vértice en  
0,0 y foco en  
p
0, es
p
x
y
4
2
 .

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Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de la parábola. Ambas
ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren «hacia arriba». La ecuación de una
parábola que se abre hacia abajo es similar excepto que varía un signo.
En este caso, el foco sería  
0,-p y de esta forma:
 La ecuación de una parábola con vértice en  
0,0 y foco en  
0,-p es py
-
x 4
2

Cuando la parábola es horizontal “hacia la derecha”, se obtiene una ecuación similar
intercambiando los roles de x, y:
 La ecuación de una parábola con vértice en  
0,0 y foco en  
p,0 es px
y 4
2

Obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de las parábolas hacia la izquierda.
Ecuaciones cuando el vértice no está en el centro
Se obtienen mediante una traslación. En el caso común de la parábola vertical hacia arriba se tiene
La ecuación de una parábola con vértice en  
k
h, y foco en 
p
k
h,  es:    
k
-
y
p
h
-
x 4
2
 ,
mientras que para la parábola horizontal se intercambia x con y: La ecuación de una parábola con
vértice en  
k
h, y foco en  
k
p,
h es    
h
-
x
p
k
-
y 4
2

Ejercicios
Determine las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz para cada una de las siguientes
parábolas. Trace su gráfica.
1. y
x
4
1
2
 2
2
1
2 x
y
.  x
y
. 2
3 2

   
5
3
1
4
4
2



 y
x
.   2
6
6 y
2
-
x
9
-
.   2
2
3
1
7 3
-
x
y
. 


0
9
2
6
8 2



 x
y
y
. 4
4
1
9 2


 x
x
y
.    
1
2
1
10
2
2
3



 y
x
.

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Definición de Elipse.
Una elipse es el conjunto de los puntos de un plano tales que la suma de sus distancias a dos
puntos fijos llamados focos es constante.
Puntos de una elipse
Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de
las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud
del diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a).
Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto
P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación: a
PF
PF 2
2
1 
 donde a es la medida del semieje
mayor de la elipse.
Ejes de una elipse
El eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado
constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje
menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son
perpendiculares entre sí.
Excentricidad de una elipse
La excentricidad e de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del
centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se
encuentra entre cero y uno.
a
c
e  , con 1
0 
 e . Dado que 2
2
b
a
c 
 , también vale la relación:
 2
2
2
2
1 a
b
a
b
a
e 


 o el sistema:








2
2
b
a
c
e a
c
La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se
aproxime su excentricidad al valor cero. La designación tradicional de la excentricidad es la letra
griega ε llamada épsilon.

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Ecuación general de una elipse
La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:
0
2
2





 f
ey
dx
cy
bxy
x
a .
Forma estándar de la ecuación de una elipse con focos en  
0
,
c
 y  
0
,
c
2
2
2
2
2
2
1 c
a
b
donde
,
b
y
a
x 2



 Elipse cuyo eje mayor es de longitud 2a, paralela al eje x
Forma estándar de la ecuación de una elipse con centro en  
k
,
h y focos  
k
,
c
h
    2
2
2
2
2
2
1 c
a
b
donde
,
b
k
y
a
h
x 2






Forma estándar de la ecuación de una elipse con centro en  
k
,
h y focos  
c
k
,
h 
    2
2
2
2
2
2
1 c
a
b
donde
,
a
k
y
b
h
x 2






Ejercicios
Determine las coordenadas del centro, los vértices y los focos. Trace su gráfica.
1
16
25
1
2
2


y
x
. 1
9
16
2
2
2


y
x
. 1
4
36
3
2
2


y
x
.
36
9
4 2
2

 y
x
4
. 225
9
5 2
2

 y
x
25
. 144
9
6 2
2

 y
x
16
.
    1
4
2
9
1
7
2
2



 y
x
.
    1
256
1
4
2
8
2
2



 y
x
.
3
26
13
24
9 2
2



 y
y
x
x
4
. 16
72
9
32
10 2
2




 y
y
x
x
16
.
5
9
4
11 2
2


 y
x
x
. 11
26
12
12 2
2




 y
y
y
x
25
.

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La hipérbola
Es el conjunto de todos los puntos en el plano tales que la diferencia de sus distancia a dos puntos
fijos llamados focos es una constante
Ecuaciones de la hipérbola
Forma estándar de la ecuación de una hipérbola con focos en  
0
,
c
 y  
0
,
c
2
2
2
2
2
2
1 c
a
b
donde
,
b
y
a
x 2



 Hipérbola cuyo eje mayor es de longitud 2a, paralela al eje x
Forma estándar de la ecuación de una elipse con centro en  
k
,
h y focos  
k
,
c
h
    2
2
2
2
2
2
1 c
a
b
donde
,
b
k
y
a
h
x 2






Forma estándar de la ecuación de una elipse con centro en  
k
,
h y focos  
c
k
,
h 
    2
2
2
2
2
2
1 c
a
b
donde
,
b
h
x
a
k
y 2






Las asíntotas de una hipérbola con centro en  
k
,
h son:
 
  vertical
es
l
transversa
eje
el
Cuando
h
x
b
a
k
y
horizontal
es
l
transversa
eje
el
cuando
h
x
a
b
k
y








Ejercicios
Determine las coordenadas del centro, los vértices y los focos. Trace su gráfica.
1
16
25
1
2
2


y
x
. 1
9
4
2
2
2


y
x
-
. 1
36
81
3
2
2


y
x
.

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36
9
4 2
2

 y
x
4
. 36
9
5 2
2

 y
x
4
-
. 144
9
6 2
2

 y
25y
.
    1
4
2
9
1
7
2
2



 y
x
.
    1
4
2
100
1
8
2
2



 x
y
.
La circunferencia.
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado
centro
Ecuación Ordinaria de la Circunferencia
Dados las coordenadas del centro de la circunferencia en  
k
,
h y de radio "r" , determinamos la
ecuación general de la forma     2
2
2
r
k
y
h
x 



Ecuación Canónica de la Circunferencia
Sea la circunferencia centra den    
0
0,
k
,
h  y de radio "r", definimos la ecuación canónica
2
2
2
r
y
x 

Ecuación General de la Circunferencia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos obtener la forma general de la
ecuación de la circunferencia, así: 0
2
2




 F
Ey
Dx
y
x
NOTA: Dada la ecuación de la circunferencia 0
2
2




 F
Ey
Dx
y
x se cumple que:
 El centro es:  
2
2
E
D
;
C 


 El radio es:
2
2
2
4
4
F
E
D
r 


Referencias
Bruño, Geometría curso superior, Bruño, Madrid 1944.
Sobel, M. (1998). Precálculo. Original English language Edition Published by Prentice Hall, Inc. Copyright 1995. Printed Mexico
Sánchez-Rubio - Ripollés Amela, Manual de matemáticas para preparación olímpica, Ed. Universitat Jaume I 2000.
TAYLOR, C. Geometrical Conics, MacMillan , London 1863
Rouche - Camberouse.Traité géométrie élémentaire, Gauthier - Villars, Paris 1899.