1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
C o n s i d e r a c i ó n : E n e l g r á f i c o a d ju n to , " θ " e s
CEPUNS e l á n g u lo b a jo e l c u a l s e d i v i s a la t o r re . N o te
q u e d e b e n t r a z a r s e la s d o s v i s u a le s ; u n a h a c i a θ
Ciclo 2012-III
la p a r t e a lt a y la o tr a h a c i a la p a r te b a ja .
L u e g o " θ " e s e l á n g u lo f o r m a d o p o r la s d o s
TRIGONOMETRÍA
v i s u a le s .
“ÁNGULOS HORIZONTALES Y VERTICALES” Semana Nº 15
ÁNGULOS VERTICALES ÁNGULOS HORIZONTALES
Son aquellos ángulos ubicados en un plano
Son aquellos ángulos ubicados en un plano horizontal que, en la práctica, los vamos a ubicar
vertical que, en la práctica, son formados por en la Rosa Náutica.
una línea visual (o línea de mira) y una línea Rosa Náutica: (compás marino), es un
horizontal, como resultado de haberse instrumento de orientación que permitirá
efectuado una observación. Estos resultados se localizar una ciudad, persona o punto; respecto
clasifican en: ángulos de elevación y ángulos de de una referencia, mediante el uso de las
depresión. direcciones:
(ver gráficos). N o r te ( N )
B D
ua
l L í n e a H o r i z o n ta l i re c A
V is β
c ió ió n
ea n ecc
L ín L ín 40º
D ir
30º
α
L í n e a H o r i z o n ta l
H O e ae sV te ( O ) P E s te ( E )
is u
c ió
n
h al 42º R e fe r e n c i a
c
re
Di
C
α : Á n g u lo d e E le v a c i ó n β : Á n g u lo d e D e p r e s i ó n S u r (S )
L ín e a H o r i z o n ta l Note que dichas direcciones en este caso para
β A; B y C; forman con los ejes principales ciertos
L ín ángulos; con quienes se van a denotar dichas
H e a V direcciones.
is u
al Por ejemplo:
"A" se halla el E30ºN de "P" .
"B" se halla al O40ºN de "P" .
β : Á n g u lo d e D e p r e s i ó n "C" se halla al S42ºO de "P" .
C o n s i d e r a c i ó n : E n e l g r á fi c o a d ju n to , " θ " e s
N
e l á n g u lo b a jo e l c u a l s e d i v i s a la t o r r e . N o te Q
P
q u e d e b e n t r a z a r s e la s d o s v i s u a le s ; u n a h a c i a θ 24º
la p a r t e a lt a y la o tr a h a c i a la p a r te b a ja .
L u e g o " θ " e s e l á n g u lo f o r m a d o p o r la s d o s 30º 66º
v i s u a le s . O R E
1 0º
u n to , "θ " e s
t o r r e . N o te S
s ; u n a h a c ia θ
b a ja . S
p o r la s d o s Está al N24º E de "R " Está al O 30º N d e "R "
P Q
Está al E66º N de "R " Está al de "R "
Centro Preuniversitario de la UNS S-15 1 Ingreso Directo

2. Está al S 1 0º E d e "R "
S SITUACIONES COMBINADAS
Está al d e "R "
Cuando los enunciados de los problemas
Ahora bien, algunas direcciones tienen la mencionan ángulos verticales (de elevación o de
particularidad de obtenerse trazando depresión) y ángulos horizontales (uso de
bisectrices sucesivas, a partir de los ejes direcciones, generalmente), al mismo tiempo, la
principales; por lo que su notación será también rosa náutica a emplear asume una posición más
particular. Indicaremos lo que ocurre entre el real; es decir, ubicada en un plano horizontal.
Norte y el Este, y usted concluye los restantes Por ejemplo, grafiquemos la siguiente situación:
por analogía. "Desde un punto en tierra, se divisa al Norte lo
alto de un poste con un ángulo de elevación " α ".
N N
N 1 N E
4 N N E
N E 1 N
4
Si luego nos desplazamos hacia el N60ºE, hasta
N E ubicarnos al Este del poste, el ángulo de
α N E 1 E
elevación para su parte más alta sería " β ".
4
EN E
E 1 N E Ahora, note la representación gráfica:
α 4
O S E O E
S
N N
α
O E O E
β
α
ºE
N 60
α 60º
S S
α = π rad
En cualquiera de los casos: α = 1 1 º 1 5' ó 16
PROBLEMA DE CLASE
3. Un niño y dos árboles se encuentran en una
1. Un poste vertical de 4 3 m se encuentra misma línea. el niño, que está entre los árboles,
observa las partes superiores de dichos árboles
sujeto a una cuerda tensa de 5 3 m que está
con ángulos de elevación x y 2x. si se sabe que
atada a una estaca en el suelo. Si una persona sus respectivas visuales miden 30 y 35m, calcule
observa la parte superior del poste con un la altura del mayor árbol, teniendo en cuenta
ángulo de elevación de 53º y observa la cuerda que, si la distancia a la que se encuentra el niño
en su totalidad con un ángulo de 30º. Calcular de un árbol es igual a la altura del otro árbol y
la distancia en la que se encuentra la persona este ultimo el que se opone a 2x.
de la estaca.
60 10
a) 14 m b) 15 m c) 3 3 m d) 16m e) 15 3 m a) 60/7m b) 40/7m c) m
7
50 10 45 10
2. Una persona observa la parte superior de un d) m e) m
7 7
edificio de 12m de alto con una ángulo de
elevación de de 37º y la parte superior de una
4. Dos móviles parten de un punto, el primero en
antena que se encuentra sobre el edificio (a
dirección en dirección NθE y el segundo con
4m del filo del edificio) con una ángulo de
rumbo S2θE. cuando el primero recorre 20m,
elevación mayor en 2º al anterior. Entonces la
el segundo 21m, la distancia que lo separa es
longitud de la antena será : (considerar tg39º
29m. calcular θ.
= 0,81)
a)10º b) 30º c) 60º d) 45º e) 20º
a) 3,3m b) 3,4m c) 4,2m d) 4,3m e) 4,5m
Centro Preuniversitario de la UNS S-15 2 Ingreso Directo

3. 5. Una avioneta se desplaza horizontalmente a 10. Una hormiga se encuentra en el centro del
una altura H sobre el nivel del suelo, en un piso de una habitación de forma cubica y
determinado instante sufre un desperfecto observo a una de las esquinas del techo con un
cayendo con una depresión angular de 37º, el ángulo de elevación de medida rad.
piloto arregla el desperfecto justo a una Calcular ctg /2
altura h sobre el nivel del suelo y comienza a a) 2sen15º b) 2cos15º c) 2tg15º
elevarse con un ángulo de 16º, llegando a d) e)
ubicarse nuevamente a una altura; si la
velocidad de la avioneta en todo instante es 11. Calcule la altura de un edificio que proyecta
de 1000/21 m/s, ¿Cuánto tiempo perdió la una sombra de 56m a la misma hora que un
avioneta debido al desperfecto en su vuelo árbol de 21m de altura proyecta una sombra
normal? (H – h = 500 m) de 24m.
a) 5s b) 10s c) 15s d) 20s e) 25 s a) 41m b) 48m c) 49m d) 56m e) 64m
6. Un edificio tiene todos sus pisos de igual 12. En una excavación se coloco intencionalmente
altura . desde un punto en tierra; a una un cable tensionado de 5 m de longitud. Un
distancia del edificio, se observa la parte hombre, ubicado en el extremo A del cable
superior del primer piso con un ángulo de divisa un punto ubicado en el fondo de la
elevación de medida . El segundo y tercer excavación con un ángulo de depresión de 74º
piso se visualiza con un ángulo de observación y desde el extremo B se aprecia el mismo
de medida . calcular punto con un ángulo de presión de 69º. Calcule
a) h b) h c) h d) 2h e) 2,5 h la distancia desde el extremo B al punto
divisado.
7. Una torre esta al pie de una colina cuya
inclinación con respecto al plano horizontal es
10º desde un punto de la colina de 12m de
altura respecto al plano horizontal se observa
la torre bajo un ángulo de 45º calcular la
altura de la torre en metros (ctg 10º = 5,67 ) a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
a) 80,04 b) 90,02 c) 92,30 d) 95,32 e) 98,02
13. Dos lanchas parten a las 8:00 horas en forma
8. Desde lo alto de un edificio de 16 pisos se simultánea de un mismo punto, con velocidades
observa un se observa un punto en tierra con de 7km/h y 8km/h y con rumbos SO y S75ºE
un angulo de depresión de medida ; desde lo respectivamente. ¿a qué hora su distancia
alto del noveno piso de dicho edificio se será de 32,5 km?
observa el mismo punto con un angulo de a) 9h30min b) 10:00h c) 10h30min
depresión de medida ; calcular tg d) 11:00h e) 11h 30min
.
a) b) c) d) e) 14. Desde un punto ubicado a 15 m de un poste se
ve su parte más alta con un ángulo de
elevación de 53º. Caminamos 3 m en dirección
9. El ángulo de elevación de la parte alta de un
al poste y el ángulo de elevación para su parte
pedestal mide 68º11`, sobre ella se tiene una
más alta es " α ". Calcular: "Ctg α ".
estatua de 7,2m de altura, la cual forma un
a) 1/5 b) 2/5 c) 3/5 d) 4/5 e)
ángulo de 2º10` a la vista del observador. Si
6/5
tg70º21´ = 2,80 y ctg 68º11` = 0,40. calcular
la altura de pedestal en metros.
a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100
15. Una hormiga observa la copa de un árbol con
un ángulo de elevación de 37º, luego se acerca
Centro Preuniversitario de la UNS S-15 3 Ingreso Directo

4. 7 m y observa el mismo punto con un ángulo de 22. Dos embarcaciones A y B parten de un puerto
elevación de 53º. Calcular la altura del árbol. a un puerto al mismo tiempo; en las
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 20 direcciones ENE y SSE respectivamente,
16. Desde dos puntos separados 52 m se observa después de un cierto recorrido desde B se
lo alto de un poste con ángulos de elevación observa a A en direcciones NE, si en ese
 2
 T gθ = 
instante están separados k,
53º θ y  5  . Si el poste se encuentra
calcular la suma de las distancias recorridas
entre los dos puntos. Determine su altura. por A y B en km.
a) 12 m b) 16 c) 18 d) 9 e) 11 a) 4 b) 6 c) 5 d) 3 e) 2
17. Se observa un poste con ángulo de elevación " 23. Se tiene una torre en el borde de un
θ " nos acercamos "L" y el ángulo de elevación acantilado, cuyas partes alta y baja son vistas
es 45º. Si la altura de poste es "2 L". desde un punto de la superficie horizontal con
Determinar: Tg θ . ángulos de elevación " α " y " θ "
a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) ½ e) 3/2 respectivamente (3T an α = 4 T an θ) . La altura
del acantilado es de 212,31 m.
18. Desde un edificio de 12 m de altura se ¿Cuál es la altura de la torre?
observa un automóvil con ángulo con ángulo de a) 141,54 m b) 28,308 m
 1  c) 159,2325 m d) 70,77 m e) 35,385 m
 T gθ = 
depresión " θ “  3  . Luego se observa
una señal más cerca del edificio con ángulo de 24. Un móvil recorre 150m en dirección E15ºN,
depresión 45º. Determine la distancia entre la luego cambia de dirección al N60ºO, hasta
señal y el automóvil. ubicarse al norte de su punto de partida.
a) 12 m b) 18 c) 24 d) 36 e) 10 Calcular en metros la distancia de su punto de
partida hasta su punto de llegada.
19. Luciano observa a Luciana en la dirección NE y a) b) c)
a de distancia; a su vez Luciana observa a d) e)
Lucio en la dirección E37ºS.
Determine la distancia que separa a Luciano y 25. Se tienen dos faros A y B. el faro B está en la
a Lucio, si Lucio se encuentra al Este de dirección E30ºN con respecto al faro A y la
Luciano. distancia entre ellos es de 12km. A las 2p.m.
a) 41 m b) 40m c) 24m d) 18 m e) 42 m desde A y B se observa un barco I en las
direcciones NE y NO respectivamente. Si
20. Desde una ciudad "A" se divisan a otras dos dicho barco navega en la dirección S30ºE a la
"B" y "C" en las direcciones O80ºN y E40ºN, velocidad de 18km/h. ¿a qué hora cruza la
respectivamente. Además desde "B" se divisa recta que une los faros?
a "C" al E50ºS a una distancia de 173 km. a) 2h10´ b) 2h20´ c) 2h30´
¿Cuál es la distancia entre "A" y "B"? d) 2h40´ e) 2h50´
a) 100 km b) 200 km c) 150 km
d) 273 km e) 300 km 26. Rosita sale de su casa y camina 160m en la
dirección NNE, luego 90m con dirección ESE y
21. ¿Cuál es la dirección de la bisectriz del menor sube a la azotea de un edificio de 30m
ángulo formado por las direcciones N20ºE y observando, en la dirección ESE, un accidente
S80ºO? con un ángulo de depresión de 45º. Calcular en
a) N10ºO b) N20ºO c) N30ºO metros la distancia que separa su casa del
d) N40ºO e) N50ºO accidente.
a) 180 b) 190 c) 200 d) 220 e) 23
Centro Preuniversitario de la UNS S-15 4 Ingreso Directo