2. Trigonometría se refiere a la medida de
los lados y los ángulos de un triángulo.
– Aplicaciones de la TRIGONOMETRIA: topografía,
navegación e ingeniería.
Podemos desarrollar el tema
de trigonometría por medio de
dos enfoques, éstos son:
– El círculo
– El triángulo rectángulo
5. Observaciones importantes sobre los triángulos
rectángulos.
Un triángulo consta de tres lados y de
tres ángulos.
La suma de los tres ángulos es 1800
La suma de la longitud de cualquiera
de dos de los lados del triángulo es
mayor que la longitud del tercer lado.
Sea c la hipotenusa, a y b los catetos,
entonces c2
= a2
+ b2
γ
6. Los ángulos se nombran con letras para
identificarlos. Algunas de las letras que
utilizamos son del alfabeto griego como por
ejemplo;
γ “gamma”; α“alpha” ; β “betha”
7. Podemos relacionar los lados de un triángulo
rectángulo con sus ángulos por medio de las
relaciones trigonométricas.
Por medio de éstas relaciones
trigonométricas podemos hallar información
sobre ya sea un lado o un ángulo que
desconocemos del triángulo.
Las relaciones trigonométricas son seis, tres
de ellas son fundamentales ya que dan
origen a las otras.
8. RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA
UN TRIANGULO RECTANGULO
Relaciones básicas Relaciones recíprocas
adyacentelado
opuestolado
hipotenusa
adyacentelado
hipotenusa
opuestolado
seno
=
=
=
γ
γ
γ
tangente
coseno
opuestolado
hipotenusa
sen
ecante ==
γ
γ
1
cos
adyacentelado
hipotenusa
eno
ante ==
γ
γ
cos
1
sec
opuestolado
adyacentelado
angente ==
γ
γ
tan
1
cot
9. Relaciones trigonométricas de un
triángulo rectángulo
Las tres funciones
trigonométricas básicas
para el ángulo γ
γ
Lado
adyacente
a
“gamma”
Lado
opuesto a
“gamma
”
adyacentelado
opuestolado
hipotenusa
adyacentelado
hipotenusa
opuestolado
seno
=
=
=
γ
γ
γ
tangente
coseno
12. γ
4
3Hallar la medida del ángulo indicado.
La razón seno γ es .8 , si necesito hallar la medida de
γ y conozco el valor de seno γ , la función inversa de
seno me permite encontrar el valor de γ de la siguiente
forma:
)8(.,8. 1−
== senoentoncessenoSi γγ
Calcula una de las relaciones
trigonométricas según la información
que te provea el ejercicio. 8.0
5
4
==γseno
14. ENTRADA EN LA CALCULADORA
.8 SEN-1
=
Pantalla
Radianes
.927
Grado
53.13
Recuerda escoger en tu calculadora la unidad
de medida para el ángulo, (grados o radianes)
antes de hacer los cómputos.
15. 4
3
β
Utiliza la información de la siguiente
figura para contestar las siguientes
preguntas.
PRACTICA 1
1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para β
2. Halla el valor de β , en grados y en radianes,
utilizando la relación coseno.
3. Halla el valor de β , en grados y en radianes,
utilizando la relación tangente.
16. Respuestas -PRACTICA 1
1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para β
75.
4
3
tangente
8.
5
4
coseno
6.
5
3
==
==
==
β
β
βseno
67.1
3
5
cos ==βecante
25.1
4
5
sec ==βante
33.1
3
4
cot ==βangente
2. Halla el valor de β , en grados y en radianes, utilizando la
relación coseno.
87.366435.
)8(.
1
cos8.
5
4
coseno
gradosradianes
eno =
−
==β
3. Halla el valor de β , en grados y en radianes, utilizando la relación
tangente.
0
87.366435.
)75(.
1
tan;75.
4
3
tangente
gradosradianes
γβ =
−
==
17. Compara las relaciones trigonométricas
seno y coseno de γ y β
8.
5
4
coseno
6.
5
3
==
==
β
βseno
β = 36.870γ=53.130
6.0
5
3
coseno
8.0
5
4
==
==
γ
γseno
La suma de γ y β es 900
Por tanto γ y β son ángulos
complementarios.
18. Sean γ y β dos ángulos
complementarios, entonces,
encontramos las siguientes
relaciones:
βγ
βγ
βγ
cottan
seccsc
cos
=
=
= sen
γβ
γβ
γβ
cottan
seccsc
cos
=
=
= sen
19. Utiliza la información de la siguiente
figura para contestar las siguientes
preguntas.
PRACTICA 2
1`. Halla el valor de β , en grados y en radianes.
2. Halla el valor de γ, en grados y en radianes.
2
2
3 γ
β
20. Respuestas -PRACTICA 2
1. Halla el valor de β , en grados y en radianes.
11.498571.
)1547.1(
1
tan1547.1
3
2
tangente
gradosradianes
gente =
−
==β
2. Halla el valor de γ, en grados y en radianes.
En la forma corta tenemos que γ + β= 90,
Por lo tanto γ= 90 - β
γ= 90-49.11=40.89
Utilizando las relaciones trigonométricas tenemos
89.407137.
)866(.
1
tan866.
2
3
tangente
gradosradianes
gente =
−
==β
21. Observación
Si conozco dos de los lados de un
triángulo rectángulo puedo hallar la
medida de sus ángulos.
22. Ejemplo 2
Halla la medida de la hipotenusa del siguiente
triángulo.
40
12
12 es la medida del lado opuesto a 40 grados
12 es la medida del lado adyacente de 50
grados
668.18
6428.
12
12
6428.
12
40
==
=
=
xx
xparadespejamos
x
x
seno
668.18
6428.
12
12
6428.
12
50cos
==
=
=
xx
xparadespejamos
x
x
eno
ó
Como 40 y 50 son complementarios entonces seno 40=coseno 50
23. PRACTICA 1
Halla la medida de los dos catetos del
siguiente triángulo
30
25
b
a
24. Respuestas-PRACTICA 1
Halla la medida de los dos catetos del siguiente
triángulo
30
25
b
a
5.12)25)(5(.
25
25.
25
30
==
=
=
b
bparadespejamos
b
b
seno
65.21)25)(87(.
25
87.
25
30cos
==
=
=
b
bparadespejamos
a
a
eno
25. Estamos cargando una escalera de largo L
por un pasillo de 3 pies de ancho hacia un
area de 4 pies de ancho, según el siguiente
dibujo.
Halla la medida del largo de la
escalera como función del
ángulo θ tal como se ilustra.
3 pies
4 piesθescalera
APLICACION