Funciones trigonometricas lineales

1. UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA Prof. Juan C. Castro Mancilla
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En
las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede
especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un
procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando
principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es
recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola
función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la
función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función
trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.
Nota: en las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación de las ecuaciones al
tratar de reducirlas), por ejemplo: nos puede resultar un cosx = 2, el que debemos descartar, obviamente,
pues el codominio del coseno se limita a [-1, 1]. También, debemos verificar todas las respuestas obtenidas y
aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original.
Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que tener presente
que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución de una ecuación trigonométrica de la
forma trix = a (donde tri: es una de las seis funciones trigonométricas y a: número cualquiera en el codominio
de la función). Además, debido a que cuando el lado terminal de un ángulo realiza un giro completo se
genera otro ángulo equivalente, es necesario añadir a las soluciones obtenidas un múltiplo de 360°, esto es,
k360°, y k es un entero.
La Ecuaciones Trigonométricas es una igualdad que se cumple para ciertos valores del argumento.
Resolver una ecuación significa encontrar aquel o aquellos ángulos que satisfacen la ecuación.
Ejemplo:
Resolver: sen2
x – 2senx• cosx + cos2
x = 0 , para 0º ≤ x ≤ 90º
Solución: (senx – cosx)2
= 0 factorizando
senx – cosx = 0 extrayendo raíz cuadrada
senx = cosx
senx = sen(90 - x)
x = 90 – x
2x = 90
x = 45º
Ejemplo ilustrativo 1:

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Ejemplo ilustrativo 2:
Ejemplo ilustrativo 3:
Ejercicios propuestos
Encuentre todas las soluciones (raíces) de las siguientes ecuaciones:

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Ejemplos Resueltos
:

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Ejercicios con soluciones

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GUIA DE EJERCICIOS
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones para 0 < x < 2π
a) 2cos x + 3 = 2
b) sen3
x - 2 = -3sen3
x
c) senx(2 - senx) = cos2x
d) cosx - 2sen2
x + 1 = 0
e) sen2
x = senx
f) sen2
x = 0,5sen2
x
g) sen2
x = cos2
x - senx
2.- Resuelve en IR las siguientes ecuaciones:
a) 2sen2
x + 3cosx = 3
b) 2sen2
x - senx = 0
3.- Resuelva las siguientes ecuaciones, donde la incógnita es un ángulo agudo:
a) 3
sen
4
cos
2 2
2
=
+ x
x
b) x
x
x tg
2
)
3
)(tg
1
(tg =
+
−
c) x
x sec
3
2
2
cos
2 =
+
d) ecx
x
x cos
cot
tg =
−
e) 0
cot
12
sec
3
5
tg
6 =
+
− x
x
x