1. Teorema de Tales de Mileto “Proporcionalidad” y “Semejanzas”
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
TRIANGULOS OBLICUÁNGULOS
Facilitador: Ing. Rossy Acosta
Marzo 12, 2014.

2. Competencias
 El estudiante interpreta y cuantifica modelos
matemáticos relacionados con las funciones
trigonométricas, y las aplica en la resolución de los
modelos matemáticos, en los que se representan
situaciones reales, hipotéticas o formales mediante
triángulos rectángulos.

3. Rectas paralelas cortadas por una
recta secante
 Transversal o secante.- recta que corta dos o mas
rectas.
 Dadas las rectas R y R’ , T y T’ , y S y S’ es una recta
secante, se forman los siguientes ángulos:
R R’
T T’
S
S’
1 2
34
5 6
8 7
ANGULOS ALTERNOS INTERNOS
ANGULOS INTERNOS, NO ADYACENTES,
SITUADOS EN DISTINTO LADO DE LA
SECANTE. LOS ANGULOS ALTERNOS
INTERNOS SON IGUALES. 3 Y 5 4 Y 6
ANGULOS ALTERNOS EXTERNOS
ANGULOS EXTERNOS NO ADYACENTES,
SITUADOS EN UN MISMO LADO DE LA SECANTE
LOS ANGULOS ALTERNOS EXTERNOS SON
IGUALES.

4. Indicadores de tú desempeño
 Identificas los problemas matemáticos en los que se
representan situaciones reales, hipotéticas o
formales, mediante triángulos rectángulos.
 Reconoces que un triangulo rectángulo se puede
resolver cuando se conocen al menos un lado y uno se
sus ángulos agudos , o dos de sus lados.
 Utilizas las funciones trigonométricas para resolver
problemas con triángulos rectángulos.

5. EJERCICIO 1) En una torre de 40 m que esta sobre un peñasco
de 65 m de alto junto a una laguna, se encuentra un observador
que mide el ángulo de depresión de 20° de un barco situado en la
laguna. ¿ A que distancia de la orilla del peñasco se encuentra el
barco?
20°
40 m
65 m
d=?

6. EJERCICIO 2) A una distancia de 10 m de la base de un árbol, la
punta de éste se observa bajo un ángulo de 23°. Calcular la altura
del árbol.
10 m
23°
h=?

7. EJERCICIO 3): Una persona cuyos ojos están a 1.20 m del
suelo, observa una pintura que se encuentra a 1 m del suelo y mide 1.50
m. Dicha persona se encuentra a 2 m de distancia de la pintura.
¿Cuál es el ángulo de visión?
1 m
1.50 m
2 m
1.20 m

8. EJERCICIO 3): Una persona cuyos ojos están a 1.20 m del
suelo, observa una pintura que se encuentra a 1 m del suelo y mide 1.50
m. Dicha persona se encuentra a 2 m de distancia de la pintura.
¿A que distancia se debe parar la persona para que el ángulo de visión
sea de 45°?
1 m
1.50 m
2 m
1.20 m

9. EJERCICIO 4) Un niño tiene un papalote, el cual hace volar sosteniendo
una cuerda a 1 m del suelo. La cuerda se tensa formando un ángulo de
45°, con respecto a la horizontal. Hallar la altura del papalote con
respecto al suelo si el niño suelta 20 m de cuerda.
45°
20 m

10. EJERCICIO 5) Hallar el ángulo de elevación del sol, sabiendo que
un poste de 2.56 m proyecta una sombre de 1.85 m
2.56 m
1.85 m
??

11. EJERCICIO 6) Un globo de aire caliente sube con un ángulo de elevación
con respecto a un punto A de 46°10’ . Hallar la altura a la que se
encuentra el globo, con respecto a un punto P del suelo, sabiendo que la
distancia de este al punto A, es de 50 m.
A
46°10’
P 50 m
h = ?

12. Conceptos nuevos importantes
 El ángulo de elevación es el que se forma por la
horizontal y una línea que va desde el observador a una
línea que se encuentra enfrente de éste.
 Si el Angulo esta por debajo de la horizontal del
observador , el Angulo formado por la horizontal y la
línea que va del observador al objeto, se llama ángulo
de depresión.

13. Dudas?
TAREA:
 Para la próxima clase traer :
 Ley de senos
 Ley de cosenos
 Escritas en su cuaderno y memorizadas.
 Examen Oral de funciones trigonométricas y sus co-
funciones.

14. TRIANGULOS OBLICUANGULOS
 Un triangulo es oblicuángulo cuando sus tres ángulos
son oblicuos, es decir no tiene un ángulo recto.
 Se pueden resolver mediante las siguientes leyes:
 LEY DE SENOS
 LEY DE COSENOS
 LEY DE TANGENTES

15. LEY DE SENOS
a b c
------- = ------- = -------
Sen A Sen B Sen C

16. LEY DE TANGENTES

17. Ley de senos se utiliza cuando:
 Los datos conocidos son los 2 lados y el ángulo opuesto
a uno de ellos.
 Los datos conocidos son 2 ángulos y cualquier lado.

18. Ejemplo 1
 En el triangulo ABC, b = 15 cm, B= 42° y C =
76°, hallar los lados y ángulos restantes:

19. Ejemplo 2
El triangulo MNP, el ángulo P= 76°, p=12 cm y
m= 8cm

20. Ejemplo 3
 En el triangulo ABC, A= 46°, B=59° y a=12 cm.
Determinar los elementos restantes del triangulo.

21. LEY DE COSENOS
a2 = b2 + c2 - 2 b c COS A
b2 = a2 + c2 - 2 a c COS B
c2 = a2 + b2 - 2 a b COS C

22. Como se despeja??
 b2 = a2 + c2 - 2 a c COS B
 Pasos a seguir:

23. Ley de cosenos
 Se utiliza cuando se tiene el valor de 2 lados y el angulo
comprendido entre ellos
 Se tiene el valor de los tres lados

24. Ejemplo 1
El triangulo KJL, el lado a= 15 cm, el lado c= 18 cm y el
ángulo b = 70°. Resolver el triángulo.

25. Ejemplo 2
El triángulo STU, posee las siguientes medidas
s= 50 b= 45 y c = 32.
Resolver el triángulo:

26. Tarea ejercicio 42 pag. 217
 Libro azul
 Geometría y Trigonometría
 Matemáticas simplificadas volumen III