Tema plasticidad resistencia de materiales

Resistencia de Materiales, Elasticidad y Plasticidad Jorge Perelli Botello
RESISTENCIA DE MATERIALES, ELASTICIDAD Y PLASTICIDAD
Autor: Jorge Perelli Botello

Este documento es una recopilación de la teoría aplicada a la resolución de problemas de Resistencia de
Materiales, Elasticidad y Plasticidad.
No tiene, por tanto, el rigor teórico que se puede encontrar en cualquiera de los conocidos y numerosos libros
que tratan de este asunto, ya que su objeto es constituir una guía de la teoría más importante e indispensable
para poder resolver los problemas más habituales de la materia.
Se ha dividido en las tres partes:
 Parte 1: Resistencia de Materiales.
 Parte 2: Plasticidad.
 Parte 3: Elasticidad.
Se ha incluido un anejo con indicaciones de utilidad.
Los problemas pertenecientes a exámenes son siempre de la Escuela de Ingenieros de Caminos, Canales y
Puertos de la Universidad Politécnica de Madrid.
Espero que sea interesante para todos los que lo usen y ruego que sean generosos en perdonar los errores,
que a buen seguro existen.

PLASTICIDAD
Autor: Jorge Perelli Botello

PARTE 2- PLASTICIDAD
CAPÍTULO 1- CONCEPTOS E HIPÓTESIS FUNDAMENTALES.
1.1- Hipótesis fundamentales.
1.2- Material plástico.
1.3- Ecuación constitutiva.
1.4- Ley de Hooke.
1.5- Sólido elastoplástico.
1.6- Sólido elástico perfectamente plástico.
CAPÍTULO 2- CABLES.
2.1- Ecuaciones a utilizar.
CAPÍTULO 3- FLEXIÓN PURA.
3.1- Conceptos fundamentales.
3.2- Régimen elástico.
3.3- Régimen elastoplástico.
3.4- Rotura.
3.5- Factor de forma.
3.6- Curvatura de una pieza.
3.7- Diagrama momento-curvatura.
3.8- Cálculo de movimientos.
CAPÍTULO 4- FLEXIÓN COMPUESTA.
4.2- Régimen elástico.
4.3- Régimen elastoplástico.
4.4- Rotura. Diagrama de interacción.
4.5- Comportamiento de secciones.

CAPÍTULO 5- FLEXIÓN SIMPLE.
5.2- Criterio de plastificación.
5.3- Distribución de tensiones.
5.4- Diagrama de interacción.
CAPÍTULO 6- MECANISMOS DE COLAPSO.
6.1- Introducción.
6.2- Tipos de rotura.
6.3- Método paso a paso.
6.4- Principio de los trabajos virtuales.

CAPÍTULO 1- CONCEPTOS E HIPÓTESIS FUNDAMENTALES
1.1- HIPÓTESIS FUNDAMENTALES DE LA PLASTICIDAD
En Resistencia de Materiales se suponen pequeños movimientos y deformaciones, por lo que se trabaja con
las cargas aplicadas en la estructura sin deformar. Además, se supone que el material tiene una ley tensión-deformación
lineal en carga y descarga. Debido a lo anterior, en Resistencia de Materiales se admite el
Principio de superposición de cargas.
Cuando alguna de las hipótesis anteriores no se cumple, el problema elástico se vuelve no lineal, existiendo
varios tipos de no linealidad:
 No linealidad geométrica: Grandes movimientos o deformaciones.
 No linealidad del material: Ley tensión-deformación no lineal.
En Plasticidad se consideran las siguientes hipótesis:
1. No linealidad del material.
2. Deformaciones y movimientos pequeños, que no alteran la forma de la estructura.
3. Se acepta la hipótesis de Navier: las secciones al deformarse permanecen planas.
4. No se acepta el Principio de superposición. Esto supone que hay que tener en cuenta todas las cargas
y esfuerzos simultáneamente.

1.2- MATERIAL PLÁSTICO
Es aquél que no es elástico, porque sus deformaciones no son totalmente reversibles a partir de un cierto nivel
de tensiones (tensión de plastificación o fluencia).
La ley tensión-deformación no es igual en el proceso de carga que en el de descarga, al pasar de la tensión de
plastificación.
Por lo tanto, se producirá lo siguiente:
 Estructuras isostáticas:
 Deformaciones remanentes tras la descarga.
 Tensiones residuales tras la descarga, si hay flexión.
 Estructuras hiperestáticas:
 Deformaciones remanentes tras la descarga.
 Tensiones residuales tras la descarga, si hay flexión.
 Esfuerzos y reacciones remanentes tras la descarga.

1.3- ECUACIÓN CONSTITUTIVA
Es la ecuación que relaciona tensiones y deformaciones para un material.
N N
La expresión de la deformación unitaria longitudinal es:
Y las ecuaciones constitutivas serán:
L
L
 
( )
f

 
( )
g

 

1.4- LEY DE HOOKE
Relaciona linealmente tensiones y deformaciones.
tg = E
La expresión analítica es:
Donde:
σ : Tensión (MPa o kN/m2).
  E 
E : Módulo de deformación longitudinal del material (MPa o kN/m2).
ε : Deformación unitaria longitudinal (adimensional).

1.5- SÓLIDO ELASTOPLÁSTICO
Es aquél que tiene una ley tensión-deformación de la siguiente manera:
B
A
C
D
E
e
p
r
O p
En esta ley se distinguen los siguientes tramos:
OA: Comportamiento proporcional. Cumple la Ley de Hooke.
OAB: Comportamiento elástico. Recupera deformaciones en la descarga.
BC: Escalón de fluencia.
CD: Endurecimiento por deformación.
E: Rotura del material.
Y los siguientes valores:
εp : Deformación de fluencia.
σp : Límite de proporcionalidad.
σe : Límite elástico.
σr : Tensión de rotura.
En la rama elástica se recupera toda la deformación con la descarga. En la rama plástica, queda una
deformación remanente.

1.6- SÓLIDO ELÁSTICO PERFECTAMENTE PLÁSTICO
Es aquél que se ajusta al siguiente diagrama tensión-deformación:
pt
pt r
pc
pc
En este tipo de material, se consideran las ramas plásticas como horizontales.
La ductilidad es la capacidad que tiene el material para deformarse en el escalón plástico antes de la rotura.


DUCTILIDAD r

p

CAPÍTULO 2- CABLES
2.1- ECUACIONES A UTILIZAR
En los problemas de cables se supone que el esfuerzo axil está aplicado en el centro de gravedad de las
secciones, lo que provoca tensiones uniformes en las piezas.
Las ecuaciones que se utilizan son las siguientes:
 ECUACIÓN CONSTITUTIVA DEL MATERIAL:
  f ( )
Son diferentes en la rama elástica y en la plástica.
 ECUACIONES CINEMÁTICAS:
L
 
i L
i
i
 ECUACIONES DE EQUIVALENCIA ESTÁTICA:
 
Son siempre válidas.
i
T

i
i
 ECUACIONES DE EQUILIBRIO:
0
0
0
H
 
V
 
M
 
 ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE MOVIMIENTOS:
Establecen las relaciones de compatibilidad en la estructura.

Cables 1.
La estructura de la figura consta de una viga horizontal infinitamente rígida que cuelga de tres barras iguales, de
sección A = 2 cm², pero espaciadas desigualmente, que pueden trabajar tanto a tracción como a compresión. La
viga soporta una carga vertical de valor total P repartida como se muestra en dicha figura. Las características del
material de las barras se muestran en la figura adyacente. Se pide calcular esfuerzos, tensiones, deformaciones y
alargamientos en cada una de las barras, para los siguientes valores de P:
1. Carga que pone en fluencia una primera barra.
2. Carga que pone en fluencia una segunda barra.
3. Descarga total tras alcanzarse un valor de P muy próximo, pero inferior, al del apartado anterior.
A B C
0.7P 0.3P
 (MPa)
200
10-3 5.10-3 

Cables 2.
La viga de la figura es de sección rectangular. Su momento plástico es de 800 kNm. Está suspendida en cada
extremo por un conjunto de tres cables de 4 cm² de área, cuyo material tiene un módulo de elasticidad E = 2105
MPa y una tensión de plastificación P = 400 MPa. Se pide:
1. Carga que produce la primera plastificación de una fibra del conjunto.
2. Carga que produce el agotamiento de algún tirante.
3. Carga que produce el agotamiento de la viga.
4. Carga que agotaría todos los tirantes suponiendo que no agotara antes la viga.
5. Carga de agotamiento de la estructura.
6. Deducir esta última directamente, sin usar el cálculo de los estados intermedios ya efectuado.
7. Encontrar la ductilidad mínima que ha de tener el material de los cables para que se pueda alcanzar el valor
de la carga de agotamiento calculado.
60º 60º
q KN/m

Cables 3.
La estructura de la figura consiste en una viga infinitamente rígida simplemente apoyada en su extremo A y que
cuelga de sendos cables en los puntos B y C. La viga soporta la carga P que se muestra en la figura. El área de
los cables y las características del material se anotan también en la figura. Se pide:
1. Determinar el valor de la carga P1 que produce la plastificación de un primer cable.
2. Determinar el valor de la carga P2 que produce la plastificación del segundo cable.
3. Determinar la ductilidad mínima del material para que sea válida la carga encontrada en el apartado 2.
(Examen de marzo de 2001)
A
B
C
B C
A = 2 cm
 = 2.10 kN/m
E = 2.10 kN/m
P
2
P
2
2
5
8

Cables 4.
La viga ABC, que se supone infinitamente rígida, está articulada en A y cuelga de dos tirantes de secciones 8 cm²
el BB’ y 20 cm² el CC’. El módulo de elasticidad del material es E = 2105 MPa, su tensión de fluencia P = 250 MPa
y la deformación de rotura r = 0.005. Sobre la viga ABC actúa una carga uniforme de valor p (kN/m), que aumenta
de valor hasta producir el colapso de la estructura. Se designa por  el ángulo que gira la viga ABC. Se pide
determinar:
1. Cuál es el tirante que plastifica antes, valor de p que lo causa y giro  en ese instante.
2. El valor de p y el giro  cuando plastifica el segundo tirante.
3. Qué tirante rompe antes y el giro  en ese instante.
4. El giro  en el instante de romper el segundo tirante.
C'
B'
B C
A 
p KN/m

Cables 5.
La estructura de la figura consiste en una viga infinitamente rígida que cuelga de tres cables de características
geométricas diferentes, pero del mismo material. La curva tensión-deformación del material hasta la rotura se
adjunta en la figura. Las características geométricas de los cables son:
1 = 2 cm²; L1 = 60 cm; 2 =4 cm²; L2 = 80 cm; 3 = 5 cm²; L3 = 100 cm
Sin embargo, por un error de ejecución, la longitud del cable central es 0.08 cm mayor que la geométricamente
correcta, por lo que este cable queda inicialmente flojo. De la viga rígida cuelga una carga total P, distribuida como
se muestra en la figura, la cual aumentará lentamente desde cero a un valor a determinar. Se pide rellenar una
tabla con los valores de T, ,  e L de cada cable para los valores de carga P correspondientes a los tres sucesos
siguientes:
1. Carga que hace entrar en tensión al cable central.
2. Carga que hace entrar en fluencia a un primer cable.
3. Carga que rompe un primer cable o plastifica un segundo cable (la menor de ellas).
(Examen de septiembre de 1992)
Cable 2
0.31P
Cable 1
4.10-3 
Cable 3
 (MPa)
400
2.10-3
0.69P

Cables 6.
Un peso P cuelga de dos alambres de acero de 2 mm de diámetro los cuales, por un error de ejecución, tienen
longitudes distintas de 4 m y 4.004 m respectivamente. Por ello, para valores pequeños de P el peso gravita sobre
el alambre más corto (alambre 1). Las características del material son las de la figura. Se hace crecer P
lentamente desde cero hasta la rotura de los alambres. Se pide:
1. Preparar una tabla con los valores de P1, L1, P2, L2 y P1 + P2 en los instantes de discontinuidad en los
diagramas P-L de cada alambre. Indicar el tipo de discontinuidad.
2. Calcular el coeficiente de seguridad frente a rotura cuando se alcanza P = 2 KN.
3. Determinar la deformación remanente en los alambres si se descarga cuando se alcanza P = 2 KN. Se
supone que la descarga se efectúa según una rama paralela a la elástica (pendiente E1).
E
1.25.10-3 4.8.10-3 
 (MPa)
250
1.8.10-3
1
2 E
400
=2.105 MPa
=0.5.105 MPa

Cables 7.
La estructura de la figura consiste en una viga infinitamente rígida que cuelga de cuatro barras de longitudes L = 3
m y secciones  = 3 cm², iguales. Los materiales son de dos tipos, con el mismo módulo de elasticidad E = 2·105
MPa, pero de distinta tensión de fluencia, que es el doble en las barras de la derecha, P = 400 MPa, que en las de
la izquierda, P = 200 MPa. Inicialmente se supone una ductilidad infinita en ambos materiales (r  ). La única
acción exterior es una carga puntual P, vertical, centrada sobre la viga. Se pide:
1. Valor de la carga P que pone en fluencia a una primera barra.
2. Valor máximo de la carga P que resiste la estructura y esfuerzos en cada barra en el instante de
agotamiento.
3. Si la ductilidad no fuera infinita, valor mínimo que habría de tener la deformación de rotura r en los dos
materiales para que se mantenga el valor de P encontrado en el apartado anterior.
1 2 3 4
P

CAPÍTULO 3- FLEXIÓN PURA
3.1- CONCEPTOS FUNDAMENTALES
La flexión pura se produce cuando sólo existe momento flector (por ejemplo, en centro de luz de vigas con
sustentación y cargas simétricas, sin axiles ni cargas puntuales en el eje de simetría).
M
G
y
Las expresiones de los esfuerzos son:
(suma de volúmenes de tensiones = 0)


N  0   ( y)  d


M   ( y)  y  d
Se supone que se cumple siempre la hipótesis de Navier-Bernouilli (las secciones planas y perpendiculares a
la directriz antes de actuar los esfuerzos, permanecen planas y perpendiculares a la directriz después de
deformarse).

3.2- RÉGIMEN ELÁSTICO
En régimen elástico, son válidas todas las fórmulas de Resistencia de Materiales.
y
s
i
s
s E
f . n .
i i E
La fórmula de Navier, con los ejes coincidentes en el centro de simetría, es:
y M y 
La fibra neutra es la que tiene deformación nula. En flexión pura, en régimen elástico, la fibra neutra coincide
siempre con la fibra cobaricéntrica.
Se pasa a régimen elastoplástico cuando la fibra más tensionada ymax (la de mayor distancia al c.d.g.) alcance
la deformación de fluencia (εp). En ese instante, el momento se denomina momento elástico (Me).
M 

b h 
En secciones rectangulares, e p
6
2
z I
 ( ) 
p
p
I
M p z
max y
e




3.3- RÉGIMEN ELASTOPLÁSTICO
Cuando el momento actuante es superior al momento elástico, las fibras extremas no pueden aumentar su
tensión, por lo que son las interiores las que deben ir incrementándola. Sigue cumpliéndose la hipótesis de
Navier-Bernouilli (secciones planas y perpendiculares a la directriz antes de la deformación, permanecen
planas y perpendiculares a la directriz después de la deformación).
p
p
p
p
f . n .
p
p
s p
i p
En cambio, ya no tiene validez la fórmula de Navier:
y M y 
z I
 ( ) 
Secciones simplemente simétricas: son las que tienen un único eje de simetría, perpendicular al de flexión
(por ejemplo, secciones en T). En régimen elastoplástico, en flexión pura, la fibra neutra no coincide con la
cobaricéntrica.
Secciones doblemente simétricas: son las que tienen, además del eje de simetría perpendicular al de
flexión, el propio eje de flexión como eje de simetría (por ejemplo, secciones en doble T, rectangulares y
circulares). En régimen elastoplástico, en flexión pura, la fibra neutra coincide con la cobaricéntrica.

3.4- ROTURA
La rotura se produce cuando la fibra más tensionada alcanza εr. Si el material tiene una ductilidad finita:
p
p
p
p
f . n .
p
p
r
r
Mr
p
p r
En caso de ductilidad infinita:
p
p
p
p
Mp
Cuando existe curvatura infinita, como en el caso anterior, al momento de rotura se le denomina plástico. En
M 

b h 
secciones rectangulares, el momento plástico es p p
4
2

3.5- FACTOR DE FORMA
Es el cociente entre el momento plástico y el momento elástico.
p
M
Es un valor adimensional, que depende de la geometría de la sección. Da una idea de si la pieza trabaja mejor
en régimen elástico (si el factor de forma es pequeño) o en régimen plástico (si el factor de forma es grande).
En secciones rectangulares: λ = 1.50
e
M
 

3.6- CURVATURA DE UNA PIEZA
Es la pendiente del plano de deformaciones. La curvatura de una pieza se puede calcular siempre usando la
siguiente fórmula:
Donde: σp : Tensión de plastificación.
 
p
y E  y
 
εp : Alargamiento de plastificación.
ye: distancia de la primera fibra plastificada a la fibra neutra.
E: Módulo de deformación longitudinal.
Χ: Curvatura.
ye
p
p
ye
p
p
f . n .
En régimen elástico:

 
y E y 
En régimen elastoplástico o plástico:
M y
M

E I
 
e
p
e

M
E I
E I y

 


 


3.7- DIAGRAMA MOMENTO-CURVATURA
El diagrama momento-curvatura de una pieza define su comportamiento resistente. Es, de alguna manera, la
generalización a la rebanada del comportamiento tensión-deformación del material.
Se utiliza también para calcular los movimientos de la pieza más allá del régimen elástico.
M
M
M
M
e
p
r
e
1
EI
La parte elástica obedece a la ecuación
M

E I
 

3.8- CÁLCULO DE MOVIMIENTOS
En Plasticidad sólo se suelen calcular movimientos en vigas isostáticas. Se utilizan las fórmulas de Bresse:
B
   
B A    (s) ds
A
B
        
B A A B A A v v  (x x )  (s) (x x ) ds
A
Lo mejor es utilizar el siguiente procedimiento:
1. Dibujar la ley de momentos flectores.
2. Transformar la ley de momentos flectores en ley de curvaturas.
3. Integrar numéricamente las fórmulas de Bresse.

Flexpura 1.
La viga biapoyada de la figura (a) se encuentra sometida a dos cargas P en los extremos de los voladizos.
Su sección en T se muestra en la figura (b) y las características elastoplásticas del material en la figura (c).
Despreciando la influencia de los esfuerzos cortantes, tanto en la plastificación de las secciones como en la
deformación de la viga, se pide:
1. Determinar el momento plástico de la sección.
2. Determinar la flecha en el centro de la viga, para una carga que eleve el máximo momento en la misma al
98% del momento plástico.
3. Encontrar la ductilidad mínima que debe tener el material para permitir la carga del apartado 2.
4. Dibujar el diagrama de tensiones residuales en la sección, cuando se descargue la viga desde la carga del
apartado 2.
P P
 (MPa)
30
1.10-3
E
r  
(a)
(b)
(c)

Flexpura 2.
La ménsula de la figura es de sección rectangular de 0,80 m de canto por 0,50 m de ancho. La curva de tensión –
deformación del material se da en la figura. En ésta se observa que el material exhibe una ductilidad de 5 (es decir
que r = 5 e). Por no ser la ductilidad infinita, la sección rompe antes de alcanzar su momento plástico teórico Mp.
Se pide:
1. Determinar el momento de rotura Mr de la sección y su curvatura r correspondiente.
2. Dibujar la ley de curvaturas de la viga cuando la carga P alcanza un valor muy próximo al de rotura. Se
acotarán en ella las posiciones y curvaturas en los puntos con valores e (curvatura elástica), r y ½(r + e).
3. Dibujar la ley de curvaturas residual tras la descarga y calcular la flecha residual en el extremo de la viga. Se
permite linealizar la ley de curvaturas entre los tres puntos señalados en el párrafo anterior.
(Examen de diciembre de 1997)
P
20
1.10-3 5.10-3 
 (MPa)

Flexpura 6.
En la viga de la figura (a), descargada, se observa la flecha residual que se acota en la propia figura (f = 50 mm).
Se sabe que esta flecha proviene de que anteriormente actuaron sendos momentos M sobre los extremos de la
viga, figura (b).
La sección de la viga es la doble-T de la figura, y la curva tensión-deformación del material se muestra también en
la figura.
Para simplificar el cálculo se adoptará el diagrama momento-curvatura, linealizado, que se presenta a
continuación, en el cual:
* Me, e son los valores del momento elástico y su curvatura.
* Ma, a son los valores del momento que plastifica las alas y su curvatura.
* Mr, r son los valores del momento y la curvatura de rotura de la sección (habida cuenta de la ductilidad
limitada del material).
Se desea conocer:
1. Los valores de Me, e, Ma, a, Mr, r necesarios para acotar el diagrama de momento-curvatura de la sección.
2. Las leyes acotadas de momentos y curvaturas residuales de la viga descargada.
3. La magnitud de momentos M que causaron la flecha residual que se observa.
(a)
f = 50 mm
M
(b)
M
cotas en m
E
10-3 5.10-3 
 (MPa)
30

M
e a r
Mr
Ma
Me

Flexpura 8.
La ménsula de la figura es de sección rectangular de 0.6 m de canto por 0.3 m de ancho. Las características del
material son σp = 20 MPa, E = 2·104 MPa. Se pide:
1. Calcular el máximo valor de la carga P para que ninguna sección plastifique más de la mitad.
2. Determinar el giro y la flecha producidos por dicha carga en el extremo.
3. Determinar el giro y la flecha remanentes tras la descarga.
4. Dibujar el estado tensional de la sección A tras la descarga.
(Examen de junio de 1990)
20
A
E 
10 -3
 (MPa)
B

Flexpura 9.
La figura muestra una viga apoyada como un balancín, sobre un terreno indeformable en montículo de perfil
circular, cuyo radio se acota en la propia figura. La viga es de un acero de módulo de elasticidad E = 2105 MPa y
límite elástico P = 200 MPa. Su sección es rectangular, con las dimensiones acotadas en la figura. Sobre los
extremos de la viga actúan sendas cargas puntuales P, cuyo valor aumentará gradualmente. La viga, al flectar por
efecto de estas cargas, se apoyará progresivamente en el terreno.
Se pide:
1. Dibujar el diagrama de deformaciones y el de tensiones de las secciones que, en un momento dado,
reposan sobre el terreno.
2. Determinar el valor de la carga P que hace que un tercio de la longitud de la viga repose sobre el terreno.
3. Dibujar el diagrama de curvaturas de la viga cuando P alcanza el valor anterior.
4. Calcular la flecha que produce la carga P en el extremo de la viga.
(Examen de junio de 1993 y de diciembre de 2001)
P P

CAPÍTULO 4- FLEXIÓN COMPUESTA
La flexión compuesta se produce cuando existe momento flector y axil.
M
G
y N
El axil y el momento se suponen siempre aplicados en el centro de gravedad.


N   ( y)  d


M   ( y)  y  d
En flexión compuesta, se suelen tomar momentos con respecto a la fibra cobaricéntrica, y no sobre la fibra
neutra. En caso de hacerse esto último, habría que tener en cuenta los momentos provocados por el axil.
Se supone que se cumple siempre la hipótesis de Navier-Bernouilli (las secciones planas y perpendiculares a
la directriz antes de actuar los esfuerzos, permanecen planas y perpendiculares a la directriz después de
deformarse).

4.2- RÉGIMEN ELÁSTICO
En régimen elástico, es válida la fórmula de Navier.
y N M 
y
La distribución de tensiones se suele descomponer, para que sea más sencilla de analizar.
s
i
f . n .
p
p
G N
M
G M
G N
I


 ( ) 

4.3- RÉGIMEN ELASTOPLÁSTICO
Se pasa a régimen elastoplástico cuando la fibra más deformada alcanza la tensión de plastificación.
Hay tres posibilidades.
s
f . n .
i
p
s p
p i p
f . n .
s p
f . n .
i p

4.4- ROTURA. DIAGRAMA DE INTERACCIÓN
En flexión compuesta, se suele suponer ductilidad infinita.
Se tienen infinitos pares de esfuerzos que agotan la sección. Su representación gráfica constituye el
denominado diagrama de interacción.
M
Mp
N p
N
a b
SECCIONES NO BISIMÉTRICAS
SECCIONES BISIMÉTRICAS
Coeficiente de seguridad:
a  b
a
 
 Secciones bisimétricas: El máximo valor del momento es Mp, es decir, el mismo que tiene en ausencia de
axil.
 Secciones no bisimétricas: Una cierta cantidad de axil permite llegar a un momento mayor que Mp.
Mientras que en flexión pura el máximo momento está situando la fibra neutra en la fibra media de la
sección, en flexión compuesta el máximo momento se produce haciendo coincidir la fibra neutra con la
baricéntrica. Para resistir este momento, se precisa un cierto axil.

4.5- COMPORTAMIENTO DE SECCIONES
SECCIONES DOBLEMENTE SIMÉTRICAS:
En flexión pura (M) la fibra neutra coincide siempre con la fibra cobaricéntrica.
En flexión compuesta (M+N) el máximo valor del momento flector es Mp, es decir, el mismo que en flexión pura.
M
Mp
N p
N
SECCIONES SIMPLEMENTE SIMÉTRICAS:
 Flexión pura (M):
 En régimen elástico, la fibra neutra está en la fibra cobaricéntrica.
 En régimen elastoplástico, la fibra neutra no coincide con la cobaricéntrica.
 En régimen plástico, la fibra neutra coincide con la fibra media de la sección (la que
divide la sección en dos partes de igual área).
 Flexión compuesta (M+N):
 El máximo momento flector admisible por la sección es M > Mp, y la fibra neutra
coincidirá en este caso con la fibra cobaricéntrica.
M
Mp
N p
N

Flexcomp 1.
La viga de la figura es de sección rectangular de 0.80 m de canto por 0.40 m de ancho. La tensión de fluencia del
material es de p = 20 MPa y su módulo de elasticidad E = 2104 MPa.
Sobre la viga actúan la carga y el momento que se muestran en la figura. Se pide:
1. Calcular el valor de la carga P que produce la plastificación de los 20 cm superiores de la sección A.
2. Determinar la flecha en C para el valor de P encontrado en el apartado anterior.
3. Calcular la flecha remanente en C, después de descargar completamente la viga.
(Examen de marzo de 2000)
A
C
M = P
B N = P/2
Unidades en KN y m

Flexcomp 2.
La sección rectangular de la figura (a) está formada por dos materiales con el mismo módulo de elasticidad, pero
distintas tensiones de fluencia, que se señalan en la figura.
Se desean obtener cuatro puntos del diagrama de interacción “esfuerzo axil – momento flector”, todos en el
cuadrante de esfuerzos axiles de compresión y momentos flectores positivos.
Los cuatro puntos que se piden son los correspondientes a:
1. Esfuerzo axil nulo.
2. Momento flector máximo.
3. Esfuerzo axil máximo.
4. Momento flector nulo.
Admitiendo para el diagrama de interacción tramos lineales entre los puntos obtenidos, se pide además determinar
la carga de colapso de la estructura de la figura (b), formada por vigas cuya sección es la de la figura (a).
P
5P
q = 40 MPa
q = 20 MPa
(a)
(b)

Flexcomp 3.
La ménsula de la figura está sometida a las cargas indicadas. La viga es de sección rectangular y el material
presenta la curva tensión-deformación, válida tanto a tracción como a compresión, que aparece en la figura. Se
pide:
1. Dibujar y acotar el diagrama de tensiones de la sección D, punto medio de BC.
2. Dibujar y acotar el diagrama de tensiones en la sección A del empotramiento.
3. Calcular los movimientos horizontal y vertical del extremo C.
4. Dibujar y acotar el diagrama de tensiones remanentes en la sección A tras la descarga total.
N = 150 kN C
 (MPa)
30
1.10 -3
E

A
B
Unidades en KN y m
D
M = 27.5 kN.m

Flexcomp 4.
La sección transversal de la estructura de la figura es la doble T indicada. Se sabe que la sección transversal del
extremo A sufre las tensiones del diagrama de la figura y que el módulo de elasticidad del material es de 2104
MPa. Se pide:
1. Dibujar los diagramas de esfuerzos que soporta el tramo AB de la estructura.
2. Calcular el movimiento vertical del punto B.
3. Calcular el coeficiente de seguridad frente a rotura del tramo AB, bajo las hipótesis de que los esfuerzos
crecen proporcionalmente hasta el agotamiento y la deformación de rotura es infinita.
4. Calcular el movimiento remanente del punto B si se descarga por completo la estructura.
A
cotas en m
C
B
20 MPa
20 MPa
N
M

Flexcomp 6.
La columna de la figura, cuya sección transversal en T se muestra en la figura, está formada por un material cuya
tensión de plastificación es P = 20 MPa. Dicha columna soporta en su extremo libre, sobre el centro de gravedad
de la sección, una carga F cuya inclinación  es variable. Se desprecia el peso propio. Se pide:
1. Determinar el máximo valor de F que puede soportar la estructura en el caso de que la carga sea horizontal
( = 0).
2. Determinar el máximo valor de la componente horizontal de F que puede soportar la estructura y la
inclinación  de F correspondiente.
NOTA: Se desprecia el efecto del esfuerzo cortante en la plastificación de la sección.
cotas en m


Flexcomp 7.
La estructura ABC de la figura es un pórtico triarticulado. La sección de sus vigas es rectangular de ancho 1 m y
canto 2 m, y la tensión de fluencia del material es P = 20 MPa. Sobre la viga AB del pórtico actúan la carga
distribuida vertical y la carga puntual inclinada que se muestran en la figura. En el cálculo de agotamiento de la
estructura se tendrá en cuenta la influencia de los esfuerzos axil y flector, pero no la del cortante. Se pide:
1. Suponiendo que la sección que alcanzara antes el agotamiento fuera la del punto medio M de la viga AB,
justificar a qué lado de M (derecha o izquierda) se tendrían los esfuerzos axil y flector de agotamiento.
2. En el supuesto anterior, determinar la carga de agotamiento de la sección M.
3. Dibujar un croquis con la distribución de tensiones que agota la sección considerada, acotando en él la
posición de la fibra neutra.
4. Indicar aproximadamente dónde se encontrará la sección de la estructura que realmente se agotará antes.
A
C
40 P
B
P (total)

Flexcomp 9.
En la ménsula AD de la figura, cuya sección se indica, la tensión de fluencia del material es  = 20 MPa y su
módulo de elasticidad E = 20000 MPa.
En cada uno de los tramos CD, BC y AB las tensiones son constantes, de acuerdo con los esquemas que se
adjuntan.
1. Indicar las cargas que actúan sobre la ménsula.
2. Calcular los desplazamientos remanentes horizontal y vertical del extremo D, tras la descarga total de la
ménsula.
(Examen de mayo de 1997)
A B C D
-20 MPa -20 MPa -20 MPa
20 MPa

Flexcomp 10.
La estructura triangulada ABC está articulada en A y C. Las piezas AB y BC tienen la misma sección, con la forma
y dimensiones de la figura. Sobre el punto D (punto medio del segmento AB) actúa un momento concentrado.
Sobre los puntos B y G actúan sendas cargas puntuales. Se considera un diagrama de comportamiento bilineal
para el material, con una tensión de fluencia de P = 40 MPa, tanto a tracción como a compresión.
Si se desprecia la influencia de los esfuerzos cortantes en la plastificación de las secciones, se pide:
1. Expresión analítica del diagrama de interacción M’P - N’P (momento flector - esfuerzo axil que conjuntamente
agotan la sección) en función de v, que es la distancia desde el eje z-z a la fibra neutra de flexión
compuesta.
2. Utilizando las expresiones anteriores, deducir el valor de P, en kN, que agota la capacidad resistente de la
estructura.
3. Situar la sección o secciones en que se producen la rótula o las rótulas plásticas y dibujar las distribuciones
de tensiones normales en ellas a lo largo de la recta HJ de la figura, acotando las posiciones de las fibras
neutras.
Y
A X
18 P
14.286 P
B
D
H
J
6.429 P
G C
v
Z Z

Flexcomp 11.
La estructura de la figura a) consiste en una ménsula AB con un pescante BC. La sección es la misma para ambas
piezas, y se muestra en la figura b). Las características del material se describen en la figura c).
La estructura soporta la carga concentrada P en su extremo C. Para el valor de P que hace que el máximo
momento flector de la estructura alcance el valor del momento elástico, se pide:
1. Dibujar y acotar la distribución de tensiones en la sección A del empotramiento.
2. Encontrar la ductilidad mínima del material para que se puedan alcanzar los valores anteriores.
3. Calcular el movimiento horizontal del punto B.
NOTA: En la resolución de este problema se habrá de tener en cuenta la interacción entre los esfuerzos axil y
flector. Se recomienda considerar que en la sección A del empotramiento, la plastificación alcanza a una sola
cabeza.
b)
a)
A
B
P
C
c)
30
(MPa)
0.001

r

Flexcomp 12.
La estructura que se ve en la figura es una viga simplemente apoyada, de sección en T.
El apoyo izquierdo lo provee un cable cuya inclinación  está por fijar. El material de la viga tiene una tensión de
fluencia de 20 MPa (tanto a tracción como a compresión), un módulo de elasticidad de 20000 MPa y una ductilidad
infinita. La única carga actuante es la puntual P situada en el centro del vano.
Suponiendo que el cable es suficientemente resistente y considerando únicamente la influencia de los esfuerzos
axil y flector en la plastificación de la viga, se pide:
1. Calcular el valor de la carga crítica P para el caso de un cable vertical ( = 90º).
2. Lo mismo para un cable inclinado con = 60º.
3. Determinar la inclinación óptima del cable que hace máxima la carga crítica P y el valor de ésta.
C D
E
P

cotas en m

Flexcomp 13.
El pórtico triarticulado de la figura a) está formado por vigas cuya sección, constante, rombal, se muestra en la
figura b). Las características elastoplásticas del material se dan en la figura c). Se pide:
1. Obtener la(s) ecuación(es) del diagrama de interacción M’’P -N’’P de los esfuerzos axil (de compresión) y
flector (positivo) que actuando conjuntamente agotan la sección. La variable utilizada será la x definida en la
figura b.
2. Dibujar y acotar las leyes de esfuerzos axil y flector de la estructura dada.
3. Obtener el valor de P que agota la sección H* (inmediatamente por encima del punto de aplicación de la
carga puntual).
4. Obtener el valor de P que agota la sección J.
rótula
q=10P KN/m
Q=24P KN
B
H J
A C
figura a)
figura b)
 (MPa)
20
10-3
E

figura c)
x

Flexcomp 14.
El pórtico triarticulado de la figura tiene una sección cuadrada orientada como se indica. La tensión de fluencia del
material es de 200 MPa, tanto a tracción como a compresión. Se pide:
1. Diagrama de interacción M’p - N’p de los esfuerzos que actuando simultáneamente agotan la sección. Se
obtendrá la expresión analítica y se darán los valores correspondientes a N’p/Np = 0, 1/3, 2/3, y 1.
2. Esfuerzos N y M en función de P en el punto de aplicación de la carga.
3. Valor de la carga P que agota la estructura.
(Examen de febrero de 1996)
A
P
C
B
P

CAPÍTULO 5- FLEXIÓN SIMPLE
La flexión simple se produce cuando existe momento flector y cortante. El momento flector produce tensiones
normales y el esfuerzo cortante tensiones tangenciales.
En secciones sometidas a cortante puro, que suelen ser las de los apoyos, se tiene:
G Q
y
(y)
Y las tensiones tangenciales se distribuyen según la fórmula de Colignon:
Donde:
Q M
y est
 Q: Cortante.
 Mest: Momento estático, con respecto al centro de gravedad, de la zona exterior a la fibra
analizada.
 I: Momento de inercia de la sección.
 b: Ancho de la sección en la fibra analizada.


Q   ( y)  d
I 
b

 ( ) 

5.2- CRITERIO DE PLASTIFICACIÓN
El criterio de plastificación indica cómo se reparten las tensiones normales y tangenciales en una sección.
En general suele ser de la siguiente manera:
2 2 2
p   k  
CRITERIO DE VON MISES: k = 3
CRITERIO DE TRESCA: k = 4
En caso de que no existan tensiones normales:
p
k
p

 

5.3- DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES
En general, la tensión tangencial máxima se produce en la fibra cobaricéntrica, lo que sucede en las secciones
más típicas (rectangular, T, doble T, circular). En las secciones triangulares se producen en la fibra central.
El criterio general es que sólo pueden existir tensiones tangenciales en las fibras que no hayan plastificado por
tensiones normales, y viceversa. Por tanto, el cortante sólo se repartirá en la zona de la sección que
permanece elástica después de aplicar el momento flector y el axil. En este caso, se usa la Fórmula de
Colignon en la parte no plastificada, como si las fibras plastificadas hubieran desaparecido.
Q
M > Me
p
p
En general, es preciso comprobar, con el criterio de plastificación dado, las fibras extremas, la fibra
cobaricéntrica y el resto de fibras más comprometidas (por ejemplo, las fibras de cambio de ancho en las
secciones en T y en doble T).
Aun existiendo en una misma sección algunas fibras plastificadas por momento flector y otras por esfuerzo
cortante, ello no significa que no existan fibras sin plastificar.

5.4- DIAGRAMA DE INTERACCIÓN
Se puede construir un diagrama con parejas de esfuerzos M-Q que agotan la sección. En general, el
agotamiento se produce sin plastificación de todas las fibras de la sección (como ocurría en flexión
compuesta). En una sección en T o en doble T, las alas suelen plastificar por momento flector y el alma por
cortante, pero entre ellas puede haber fibras sin plastificar.
El aspecto típico de un diagrama de interacción M-Q es:
M
Mp
Qp
Q
M'
En una sección rectangular: e M' M
2
1 1
3
  

 
 
Q
M
p p Q
M
M 

b h 
con: p p
4
2
2
Q b h p
k
p

  
3
En general, obtener un diagrama de interacción M-Q de forma analítica es inabordable, por lo que se suelen
tantear los valores más significativos (momento plástico, cortante que acompaña al momento que plastifica las
alas, cortante que acompaña al momento elástico y momento que acompaña al cortante plástico). En cada una
de estas situaciones, es preciso comprobar que ninguna fibra viola el criterio de plastificación, por lo que se
comprueban las habituales (extremas, cobaricéntrica y cambio de ancho).

Flexsimp 1.
La viga de la figura tiene sección constante. Sus características, dimensiones y las cargas actuantes se indican en
la propia figura. Se considera un diagrama bilineal de comportamiento del material, y un criterio de plastificación
p² + 3 p² = 40², expresado en MPa. Se pide:
1. Valor del esfuerzo cortante que por sí solo agota la sección.
2. Valor del momento flector que, igualmente por sí solo, agota la sección.
3. Valor del momento flector máximo que puede acompañar a Qp.
4. Valor máximo del cortante que puede acompañar al momento flector que plastifica las alas.
5. Dibujar el diagrama de interacción M’p - Q’p, linealizando las zonas comprendidas entre los puntos
anteriores.
6. Determinar el valor de P que produce la rotura de la viga, teniendo en cuenta la actuación exclusiva del
momento flector.
7. Lo mismo que en el apartado anterior, pero teniendo en cuenta la actuación conjunta del momento flector y
del cortante.
Se comprobarán las secciones B, C y D.
A B C D E
P (kN)
P (kN/m)
2 P (kN)
Cotas en metros

Flexsimp 3.
La viga biapoyada de la figura tiene la sección T que se indica. El criterio de plastificación del material bajo acción
conjunta de tensiones normales y tangenciales es:
² + 4²  20²
para tensiones normales y tangenciales expresadas en MPa. Se pide:
1. Determinar el cortante de plastificación Qp de la sección.
2. Determinar el valor de M’p que acompaña a Qp en la curva de interacción M’p - Q’p.
3. Suponiendo que la longitud L del voladizo de la figura sea exactamente L = Me/Qp (Me = momento elástico
de la sección), se pide además determinar la carga de colapso de la viga si se desprecia la influencia de las
tensiones tangenciales en la plastificación.
4. Ídem cuando se tiene en cuenta la influencia de las tensiones tangenciales en la plastificación.
P P

Flexsimp 4.
En la viga de la figura cuya sección se muestra, se produce un descenso del apoyo central (apoyo B) que produce
la rotura de la viga. El material posee las propiedades que se observan en la figura. Se pide:
1. Determinar la deformación r de rotura que ha de tener el material para que, al producirse la rotura de la
viga, se encuentren parcialmente plastificadas todas las secciones en una longitud igual a la cuarta parte
de la longitud total de la viga.
2. Dibujar las leyes de momentos flectores y de esfuerzos cortantes en la viga en el instante de la rotura.
3. Calcular el descenso en B que produce la rotura. Se admite hacer lineal la ley de curvaturas entre la
curvatura elástica y la de rotura.
NOTA: Para la resolución de los apartados anteriores se prescindirá de la influencia del esfuerzo cortante.
4. Determinar la máxima tensión tangencial que se producirá en la sección sobre el apoyo B. El criterio de
plastificación es: ² + 3²  20² MPa.
A B C
E
10-3 r 
 (MPa)
20

Flexsimp 5.
Se considera una viga continua 123 de dos vanos 12 y 23 de L = 20 m de luz cada uno, cuya sección es
rectangular de b = 0.80 m de ancho y h = 1.20 m de canto. El diagrama tensión-deformación del material de esta
viga es elastoplástico simétrico para tracción y compresión. La deformación elástica es e = 210-3 y la de rotura es
de r = 610-3. La tensión de plastificación es de P = 40 MPa. Se pide:
1. Ley de momentos y cortantes en la viga cuando la sección 2 experimenta un descenso que produce la rotura
de la viga.
2. Determinar en el instante de la rotura las tensiones en la sección 1 y en la sección media del vano 23.
3. Zona de la viga 123 en la que se produce plastificación en alguna fibra.
4. Descenso de la sección 2 que produce la rotura. Para el cálculo de este descenso se permite la
simplificación de interpolar linealmente la ley de curvaturas entre la curvatura máxima y la curvatura elástica.
5. Razonar si el descenso obtenido mediante la simplificación anterior es mayor o menor que el se obtendría
de un cálculo riguroso.

Flexsimp 6.
La sección de doble T de la figura está constituida por un material cuyo criterio de plastificación es:
2 + 4 2 = (30 000)2
para tensiones normales  y tangenciales  expresadas en kN/m2. La viga de la figura soporta las cargas
mostradas y tiene por sección la doble T de la figura. Se pide:
1. Determinar los cuatro puntos del diagrama de interacción M - Q de la sección de la figura siguientes: el
cortante de plastificación con su momento concomitante, y los momentos elástico, plástico y el momento que
plastifica las alas, con sus cortantes concomitantes.
2. Determinar el valor P de las cargas puntuales que producen el colapso de la viga, considerando que las
secciones plastifican por la actuación conjunta de los esfuerzos cortante y flector.
cotas en m
P P

Flexsimp 7.
Una viga biempotrada de sección constante, en doble T, con las dimensiones indicadas en la figura, está sometida
a una sobrecarga uniforme q (KN/m). La tensión de fluencia del material es P = 20 MPa. Se pide:
1. ¿Entre qué valores está comprendido el factor de forma de una sección cualquiera en doble T?
2. Obtener los valores de Me, Mp y el factor de forma para la sección de la figura.
3. Para la viga de la figura, obtener el valor de q que produce por primera vez la tensión de fluencia en una
fibra, y el valor de q que produce el colapso de la viga.
4. Obtener el valor del esfuerzo cortante que agota la sección, cuando actúa un momento flector que plastifica
las alas. ¿Cuánto vale dicho momento flector?
5. Obtener el valor del máximo momento flector que puede acompañar al cortante que por sí solo agota la
sección. Se utilizará el criterio de plastificación de Von Mises. ¿Cuánto vale dicho esfuerzo cortante?
q (kN/m)
cotas en m.

CAPÍTULO 6- MECANISMOS DE COLAPSO
6.1- INTRODUCCIÓN.
Cuando una sección alcanza su momento plástico (Mp), se convierte en una rótula plástica. Las rótulas
permiten el giro y soportan un momento Mp.
p
M
X
M p
X
M p M p M p M p
En el momento del colapso se desprecian las deformaciones elásticas frente a las plásticas. También se suele
despreciar la influencia de los esfuerzos cortantes y axiles en la plastificación. Se trabaja con un diagrama
momento-curvatura bilineal.
Las rótulas aparecen, por tanto, en las secciones de momento flector máximo que, en general, son:
 Empotramientos.
 Apoyos intermedios.
 En secciones de aplicación de cargas puntuales.
 Nudos.
 En alguna sección donde exista una carga repartida.
Cuando existe una carga repartida, el trabajo se obtiene por el producto de la carga por el área desplazada.
dW  p  ds 
y
           
W dW p ds y p y ds p A
L L L
A = Área que se desplaza por la carga

6.2- TIPOS DE ROTURA
En general, el número de rótulas necesario para colapsar una estructura es:
NÚMERO DE RÓTULAS = GH + 1
Pueden darse varios tipos de mecanismos:
Rotura completa: Se produce cuando se cumple estrictamente la regla anterior.
GH = 3
Numero rótulas = 4
Rotura local: Cuando colapsa sólo una parte de la estructura, con un número de rótulas inferior al de la rotura
completa.
GH = 3
Numero rótulas = 2
Rotura hipercompleta: Cuando se forman más rótulas de las necesarias para tener un mecanismos.
GH = 3
Numero rótulas = 6

6.3- MÉTODO PASO A PASO
El procedimiento de obtención de mecanismos de rotura paso a paso consiste en calcular la ley de momentos
flectores como en Resistencia de Materiales, hasta que aparezca una sección cuyo valor sea Mp.
En el siguiente paso, esa sección tendrá una rótula plástica, y se busca la sección nueva en que se llega a Mp.
Se procede así hasta que se tenga un mecanismo.
Ejemplo: Obtener el mecanismo de colapso de la siguiente estructura.
A
P
B
C
Primer paso: Se halla el valor de P (P1) que forma la primera rótula plástica. La ley de momentos flectores es:
A
B C
M =
3 P L
1
A 16
5 P L
B M = 1
32
Por tanto, como MA > MB, la primera rótula aparecerá en A.
3  P 
M M L 1 A P
16
 
5 p
6
B
M
M


M

16
P p
Segundo paso: Ahora la estructura ha cambiado, ya que se ha formado una rótula plástica en A. Se procede
por incrementos de carga.
L


3
1

A B C
P L
B M = 2
4
2
P 2
La segunda rótula aparecerá en B, ya que es donde el momento suma de los dos estados es mayor.
p
5 M
p
P 
1 2 L 2
M B B B M M M 


  
6 4
Y, por tanto:
M
P P P p 
L
  
6
1 2
M
2
P p
La ley de momentos final se obtiene superponiendo las de los dos estados:
A
B C
M p
M p
Como ya se ha llegado a un mecanismo, la carga de rotura es:
L



3
2
M
P p
CRÍTICA
L


6

6.4- PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
El principio de los trabajos virtuales establece que, en un mecanismo, la energía potencial liberada por las
cargas es igual a la energía elástica de deformación de las rótulas.
Wext U plast
Con este método se sabe qué pasa en el momento del colapso, pero no cómo se comporta hasta entonces. Se
trabaja con un diagrama momento-curvatura de las secciones vertical en el tramo elástico y horizontal en el
plástico.
M
Mp
Las reglas de los movimientos virtuales son:
 Debe haber trabajo positivo de las cargas exteriores. Puede haber alguna con trabajo negativo,
pero la suma de los trabajos de todas las cargas debe ser mayor de cero.
 Debe haber giro en las rótulas plásticas.
 Entre rótulas plásticas hay tramos rectos. Esto es así porque se desprecian las deformaciones
elásticas frente a las plásticas.
TEOREMA DEL MÍNIMO (O DEL MÁXIMO)
De todos los mecanismos de colapso posibles, el correcto es el de menor carga crítica.

NÚMERO DE POSIBLES MECANISMOS
Si existen “m” posibles rótulas plásticas y “n” es el número necesario de rótulas para tener una rotura completa
(GH + 1), el número de posibles mecanismos completos es:
C 
m m n  
, n m n
COMPROBACIONES A REALIZAR
!
!( )!
Una vez obtenida la carga crítica hay que comprobar que, en el mecanismo de colapso verdadero, no se
sobrepasa en ninguna sección el momento plástico Mp.
REGLAS IMPORTANTES
Las reglas más importantes para aplicar correctamente el Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) son las
siguientes:
 Si existen en el mecanismo de rotura cables plastificados, a la energía elástica de deformación
de las rótulas hay que añadirle ΣTp ·u.
 En los mecanismos es preciso que las cargas exteriores liberen energía potencial, y cuanto más
energía potencial se libere más probable es que sea el verdadero.
 Si una sección plastifica debe deformarse. A la inversa, si se deforma es que ha plastificado.
 En secciones donde actúa un momento exterior, hay un salto en la ley de momentos flectores.
En ellas hay dudas del lugar donde se formará la rótula plástica, y dependiendo de ello el
momento exterior liberará o no energía potencial.
 Si al obtener la ley de momentos flectores en un mecanismo de colapso, no aparecen valores
superiores en valor absoluto al momento plástico Mp, el mecanismo supuesto es el correcto.

Mecan 1.
En la estructura adjunta, los momentos de agotamiento de cada viga se anotan en la figura. Sobre ella actúan las
tres cargas indicadas (unidades en kN y m). Se pide:
1. Calcular la carga de agotamiento P correspondiente a cada uno de los mecanismos siguientes:
 Rótulas en las secciones 3 y 4.
 Rótulas en las secciones 3 y 5.
2. De los dos mecanismos anteriores, dibujar la ley de momentos flectores del mecanismo que pueda ser el de
rotura.
3. Indicar razonadamente si este mecanismo es el de colapso verdadero.
NOTA: Se admite que en la formación de las rótulas sólo interviene el esfuerzo flector.
P
(2) (4) 0.4P
(3)
(1)
M = 1600
0.25 P
M p = 800
p
M p = 800

Mecan 2.
En el pórtico atirantado de la figura adjunta, se supone que el mecanismo de rotura tiene rótulas en B y C, y que el
tirante AC está plastificado. Se pide:
1. Determinar la carga de colapso del mecanismo supuesto.
2. Sin probar otro mecanismo, comprobar si el anterior es el de colapso verdadero de la estructura.
3. Obtener el mecanismo de colapso verdadero y la carga última que puede soportar la estructura.
P
B
M = 600 kN.m p
A
E
C
D
2P
M p = 1200 kN.m
p M = 600 kN.m
pT = 20 kN

Mecan 3.
La viga continua de la figura a) es de sección constante, de 20 cm de ancho y 40 cm de canto. El módulo de
elasticidad del material vale 3104 MPa y su tensión de fluencia es de p = 30 MPa. Por un defecto de construcción,
el apoyo central queda 1 cm por debajo de la horizontal de los otros dos.
Si se desprecia la influencia de los esfuerzos cortantes, se pide:
1. Valor de P que origina la primera rótula y sección donde se produce.
2. Valor de P que produciría la rotura.
3. Ley de momentos flectores en el instante de la rotura.
NOTA: Con el fin de simplificar los cálculos, puede utilizarse la siguiente fórmula deducida en Resistencia de
Materiales, referida a la figura b).
(Examen de febrero de 1990)
P
A E
D
2P
B
C
a)
P
b)
v(x) = a
0
x (L - a) (2La - a - x ) P 2 2
6 EIL

Mecan 4.
La estructura de la figura consiste en dos vanos continuos de 4 y 6 m de longitud. La sección transversal de la viga
tiene un canto constante de 0.4 m y un ancho que es distinto en los dos vanos, de valor 0.2 m para el vano AB y
0.3 m para el BC. Toda la estructura está constituida por el mismo material, de módulo de elasticidad 2.104 MPa y
tensión de plastificación 20 MPa.
Las cargas solicitantes son un momento de valor 4P actuando en el centro del vano AB, y una carga puntual de
valor 3P situada en el vano BC a 2 m de B. Se pide:
1. Valor máximo de P para el cual no plastifica ninguna fibra.
2. Valor de P que forma la primera rótula plástica.
3. Valor de P causante del colapso de la estructura.
4P 3P
A B C
Sección AB Sección BC

Mecan 5.
En la viga continua de la figura adjunta, con las cargas y momentos plásticos indicados, se admite que las
secciones se agotan únicamente por flexión pura. Se pide:
1. Analizar todos los mecanismos realmente posibles, y obtener en cada caso la carga de colapso
correspondiente, así como las posiciones exactas de las rótulas plásticas.
2. ¿Cuál es la carga de colapso de la estructura?
3. Con los datos disponibles, justificar si es realmente posible obtener la ley de momentos flectores en el
instante del colapso.
(Examen de mayo de 1998 y de marzo de 1999)
A
B
10 P (kN/m)
D
C
40 P (kN)
Mp = 250 kN.m Mp = 250 kN.m Mp = 300 kN.m

Mecan 6.
La viga empotrada-apoyada de la figura tiene un ancho constante de 0.40 m y un canto variable linealmente de A a
B, como se indica en la figura. La tensión de fluencia del material es p = 20 MPa. La viga está sometida a una
carga uniforme de p kN/m. Se pide:
1. Dibujar un croquis con el mecanismo de colapso de la estructura e indicar en él con precisión los lugares
donde se forman las rótulas.
2. Determinar la carga de colapso de la estructura.
3. Dibujar un croquis con la ley de momentos flectores en el instante del colapso.
P kN/m
A B

Mecan 7.
En el pórtico de la figura, formado por vigas iguales de momento plástico Mp, se pide:
1. Posibles mecanismos de colapso. Posición de las rótulas y carga de colapso.
2. Carga de colapso de la estructura.
3. Ley de momentos flectores en el instante del colapso.
B C
M p
1.5P
A
D
E
P

Mecan 8.
El pórtico de la figura está formado por vigas cuyos momentos de agotamiento se anotan en la propia figura. Sobre
él actúan las tres cargas indicadas.
Se pide:
1. Calcular la carga de agotamiento P correspondiente a cada uno de los mecanismos siguientes:
 Rótulas en las secciones 1, 5 y 6.
 Rótulas en las secciones 3, 5 y 6.
2. Dibujar las leyes de momentos flectores correspondientes a cada uno de los mecanismos.
3. Indicar razonadamente si alguno de ellos es el mecanismo de colapso verdadero.
NOTA: Se admite que en la formación de las rótulas sólo interviene el momento flector.
Mp
3 M p
(5)
P (2)
P M=PL/8
2 M p
(4)
(1) (3)
(6)

Mecan 9.
La estructura de la figura es un pórtico atirantado articulado en su extremo A y deslizante en su extremo B. Los
momentos plásticos de las vigas AC y CB, y el axil de plastificación del tirante AB se dan en la figura. Sobre la viga
AC actúa una carga uniformemente repartida de valor total P (kN). Se pide:
1. Dibujar los mecanismos de rotura posibles y determinar sus cargas críticas. Para ello se situarán las rótulas
de forma aproximada.
2. Dibujar el mecanismo de rotura verdadero y determinar su carga crítica. Se acotarán las posiciones de las
rótulas con un error menor de 10 cm.
3. Dibujar y acotar la ley de momentos flectores en el agotamiento.
A
C
B
M p= 40 kN.m
T p =
P (total)
M p= 40 kN.m
10 kN

Mecan 10.
Las vigas que componen la estructura de la figura tienen todas un momento plástico de 80 kNm. Las cargas
actuantes son: sobre la barra AC una carga puntual de P kN en el centro de la barra y perpendicular a ella; sobre
la barra AB una carga uniforme normal de resultante 2P; y sobre el nudo C un momento exterior de 0.25P kNm.
Despreciando los efectos del axil y del cortante en la plastificación de las secciones, se pide:
1. Encontrar el mecanismo de colapso y valor de P que lo produce, con la posición exacta de las rótulas.
2. Dibujar los diagramas de esfuerzos en el instante del agotamiento.
P
0.25P
Total 2P
60º
C
B
A

Mecan 11.
La estructura de la figura consiste en un marco atirantado cuyo tirante AD sólo puede trabajar a tracción. La fuerza
de agotamiento del tirante (en kN) y los momentos plásticos de cada viga (en kNm) se indican en la propia figura.
Se pide:
1. Dibujar tres mecanismos de agotamiento posibles y determinar sus cargas críticas.
2. Para el mecanismo de rotura, dibujar y acotar las leyes de momentos flectores en las vigas.
3. Comprobar el equilibrio de fuerzas horizontales de la parte de estructura por encima de la sección S-S.
NOTA : Se desprecia la influencia del axil y del cortante en la plastificación.
D
S S
M = 240 kN.m p
M p = 800 kN.m
C
p M = 480 kN.m
P
E
T = 10 kN p
M = 80 kN.m p
A B

Mecan 12.
En la estructura de la figura la viga CD está atirantada en su punto medio E por el tirante BE, que a su vez está
sujeto al extremo de la ménsula AB. Los esfuerzos de agotamiento de estos elementos son:
Viga CD: Mp = 900 mkN
Cable BE: Tp = 1600 kN
Ménsula AB: Mp = 15000 mkN
Se pide:
1. Mecanismos posibles de agotamiento.
2. Mecanismo real de agotamiento y carga P que lo produce.
3. Leyes de momentos flectores y esfuerzos axiles en el instante del agotamiento.
(Examen de septiembre de 1988 y junio de 1990)
P
D
E
B
A
C

Mecan 16.
La viga empotrada-apoyada ABC está atirantada en su punto medio B por un cable de 2 m de longitud, según se
muestra en la figura adjunta. Los esfuerzos de plastificación son Mp = 500 kNm para la viga ABC y Tp = 100 kN
para el tirante.
La única acción actuante sobre la estructura es una carga puntual de valor P kN, vertical y dirigida hacia abajo, que
puede actuar en cualquier punto de la viga ABC.
Se pide calcular, según el Principio de los Trabajos Virtuales, la posición y el valor mínimo de P que ocasiona el
colapso de la estructura, y dibujar el mecanismo de rotura correspondiente a esta situación.
A
P
C
B

Mecan 17.
La estructura de la figura está empotrada en A y C, y articulada en D. Cada pieza es de sección constante, pero
sus momentos de plastificación son distintos: Mp (AB) = 400 kNm; Mp (BC) = 200 kNm; Mp (BD) = 150 kNm.
Para las cargas de la figura, se pide:
1. Calcular el valor de la carga P que produce la rotura y dibujar un croquis del mecanismo correspondiente.
2. Dibujar la ley de momentos flectores en el instante de la rotura.
3. Dibujar un croquis con las reacciones (verticales y momentos) en los apoyos.
D
A
C
B
0.8 P (kN/m)
2.5 P (kN)

Mecan 18.
La estructura de la figura es un marco hexagonal en el que los puntos A y D están unidos por un tirante. Los
momentos de plastificación de las barras del marco, así como el axil de plastificación del tirante, se anotan en la
propia figura. Para el estado de cargas dibujado, se pide:
1. Determinar el mecanismo de colapso de la estructura y el valor de la carga P que lo produce.
2. Para el instante de agotamiento, dibujar la ley de momentos flectores del marco y determinar el axil en el
tirante.
P P
B C
200 m.kN
100 m.kN 100 m.kN
A D
200 m.kN
F E
100 m.kN
100 m.kN
50 kN
P P

Mecan 19.
La estructura de la figura está formada por tres vigas AC, DF y EH situadas en un plano horizontal. La EH es
perpendicular a las otras dos y apoya sobre ellas. Sus momentos de plastificación en flexión son Mp(AC) = 1000
kNm; Mp(DF) = 500 kNm; Mp(EH) = 1500 kNm; en tanto que se desprecian sus rigideces a torsión. Este
emparrillado (sin conexiones que transmitan flexión - torsión entre las vigas) soporta únicamente la carga puntual P
normal al plano de la estructura. Se pide:
1. Determinar el mecanismo de rotura y el valor de la carga P que lo causa.
2. Dibujar las leyes de momentos flectores en todas las vigas en el instante del agotamiento.
A
D
C
F
B
E
H
P

Mecan 21.
La estructura atirantada de la figura está formada por tres vigas y un cable. Los esfuerzos de plastificación de cada
pieza se anotan en la propia figura. Sobre la viga horizontal actúa una sobrecarga uniforme. Se pide:
1. Calcular las cargas críticas y dibujar los mecanismos de colapso resultantes de las plastificaciones
siguientes:
a) plastificación de la sección A-A y del tirante.
b) plastificación de la sección B-B o de las A-A y C-C simultáneamente, según resulte más verosímil.
c) plastificación de la sección A-A y de una sección D-D cuya posición se debe determinar con
aproximación de centímetros.
2. Dibujar y acotar las leyes de momentos flectores del mecanismo de rotura verdadero.
NOTA: Se admite que en la plastificación de las secciones de vigas influye únicamente el momento flector.
C D
D
A
q (kN/m)
C
B
B
A
Tp=125 KN
Mp=875 kN*m
Mp=1250 kN*m
Mp=2500 kN*m

Mecan 22.
La estructura de la figura está formada por tres vigas, AB, BC y CD, y un cable AD. La barra AB soporta una carga
horizontal uniformemente distribuida de valor p (kN/m). Los esfuerzos de plastificación de las barras son:
Viga AB; Mp = 540 kN·m
Viga BC; Mp = 360 kN·m
Viga CD; Mp = 360 kN·m
Cable AD; Tp = 60 kN
Se pide encontrar el mecanismo de colapso y el valor de p que lo produce.
p kN/m
A
B C
D
45º

Varios 3.
La estructura de la figura consiste en una barra empotrada en sus extremos, que soporta una carga axil P centrada
en la sección situada a los 2/3 de su longitud. La superficie de la sección de la barra es de 10 cm².
Se tiene la opción de utilizar los dos materiales cuyas leyes de tensión-deformación (válidas tanto en tracción
como en compresión) se dan en la figura. El material 1 tiene por ley la línea quebrada OAB en fase de carga, y la
descarga se realiza según una paralela a la recta OA. El material 2, tiene por ley la recta OAC. Se pide:
1. Calcular la carga de rotura Pr de la barra si se utiliza el material 2 y dibujar la ley de esfuerzos axiles en el
momento de la rotura.
2. Calcular la carga de rotura Pr de la barra si el material utilizado es el 1 y dibujar la ley de esfuerzos axiles en
el momento de la rotura.
3. Dibujar la ley de esfuerzos residuales si en la barra, en el caso anterior, se descarga desde un valor de P
muy próximo al de rotura.
P
 = 10 cm²
2.10
400
-3 10  -2
 (MPa)
600
O
A
C B

Varios 4.
La viga biempotrada de la figura soporta la carga axil P concentrada a ¼ de la luz. Su sección es de 10 cm2.
La curva de tensión-deformación del material se da en la figura adjunta, en la cual se observa que la ductilidad es
limitada. Se pide determinar el valor Pr de la carga de rotura de la viga.
 = 10 cm²
P
 (MPa)
200
O 1.10-3 2.10
-3 

ANEJO

UNIDADES
Longitud:
1 m = 100 cm = 1000 mm
1 cm = 0.01 m = 10 mm
1 mm = 10-3 m = 0.1 cm
Fuerza:
1 kN = 1000 N = 100 kp = 0.1 t
1 N = 10-3 kN = 0.1 kp = 10-4 t
1 kp = 0.01 kN = 10 N = 10-3 t
1 t = 10000 N = 1000 kp = 10 kN
Tensión:
1 MPa = 106 Pa = 106 N/m2 = 100 t/m2 = 10 kp/cm2 = 10 bar = 1 N/mm2 = 1000 kN/m2
1 kN/m2 = 0.1 t/m2 = 0.01 kp/cm2 = 0.01 bar = 10-3 N/mm2 = 10-3 MPa
1 t/m2 = 10 kN/m2 = 0.1 kp/cm2 = 0.1 bar = 0.01 MPa
1 kp/cm2 = 1 bar = 100 kN/m2 = 10 t/m2 = 0.1 MPa

FÓRMULAS DE INTERÉS
sen2  cos2  1
sen(2 )  2  sen  cos
cos(2 )  2  cos2 1
x
y x y
' 1

  
2
1 ' 1
2
x
y
x
y

  
y  u  v y' u'v  v'u
y u   
y u v u v
' ' '
2
v
  
v
' 1
1 x
2
y arctg y

   
Fórmulas trigonométricas
u  dv  u  v  v  du
  sen  d    cos  sen
  cos  d   sen  cos
     
cos (2 ) 2 cos(2 )
   
  
8
 sen  d sen
sen2  1  1
 
cos(2 )
2
2
cos2  1  1
 
cos(2 )
2
2
y  sen  y' cos
y  cos  y' sen

y  tg  y' 1
 cos2
cot ' 1
y g y 
 2

sen
  
y  sen(k ) y' k  cos(k )
y  cos(k ) y' k  sen(k )
cos cos(2 )
  
  
4

sen  d
sen  d sen
2 2  (2 )
   
 
4
 d sen
cos2 2  (2 )
   
 
4
Derivadas
Integrales

Teoría de Resistencia de Materiales, Elasticidad y Plasticidad Jorge Perelli Botello
ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS
Son del siguiente tipo:
n n con y(x)
y( )  a  y    a  y  n
( 1) ..... 0
1
El procedimiento para resolverlas es el siguiente:
1) Se forma la ecuación característica:
1 ..... 0
     
1 n
k n a k n a
2) Se hallan las raíces de la ecuación característica:
n k , k ,....., k 1 2
3) Según el carácter de las raíces, se escriben las soluciones particulares, linealmente independientes,
partiendo de lo siguiente:
a) A toda raíz simple “k”, corresponde una solución particular:
ekx
b) A todo par de raíces complejas conjugadas [k(1) = α + i·β] y [k(2) = α - i·β] le corresponden dos
soluciones particulares:
e x  cos(  x) y e x  sen(  x)
c) A toda raíz real “k” de orden de multiplicidad “r”, corresponden r soluciones particulares linealmente
independientes:
ekx , x  ekx , ..... , xr1  ekx
d) A todo par de raíces complejas conjugadas de orden de multiplicidad “r” (α + i·β , α - i·β),
corresponden 2·r soluciones particulares:
e x  cos(  x) , x  e x  cos(  x) , ..... , xr1  e x  cos(  x)
e x  sen(  x) , x  e x  sen(  x) , ..... , xr1  e x  sen(  x)
El número de estas soluciones particulares es igual al grado de la ecuación característica o, lo que es lo
mismo, al orden de la ecuación diferencial dada.
4) Una vez encontradas “n” soluciones linealmente independientes (y1 , y2 , ..... , yn), la solución general es:
n n y  c  y  c  y  .....  c  y 1 1 2 2
Donde c1 , c2 , ..... , cn son constantes arbitrarias.

CARACTERÍSTICAS DE SECCIONES
b
G
a
yG
r
G
yG
h
a
yG
G
a
h
G
x G
y
G
y b G 
2
  a  b
3
I 1 a b GX   
12
y r G 
   r 2
4
I  1   r
4
1
y h G  
3
1
   a  h
2
3
I 1 a h GX   
36
1
x a G  
4
3
y h g  
10
1
   a  h
3

r
G
O
2r
yG
y
a a
b
b
G x
r i
re
y 4 
r G


3
2
  1   r
2
4
I 1 r XO   
8
4
2
72
I (9  
64) 
r XG 



   a  b
3
I 1 a b XG    
4
1 
I a b YG    3 
4
( 2 2 )
e i    r  r
1 4 4
e i I    r  r
( )
4

FÓRMULAS EN VIGAS SIMPLES
1
2
1
2
q (kN/m)
1 2
1 2
3
1 3 2
P 
L
 
E I

2
2
2 
v P 
L
E I
 

3
3
2
M 
L

E I
 2 
v M 
L
E I
 

2
2
2
q 
L
 
E I

6
3
2 
v q 
L
E I
 

8
4
2
P 
L
 
E I
 
16
2
1 2  
v P 
L
E I
 

48
3
3
M 
L
 
E I

6 1 
M 
L
 
E I

3 2 
v M 
L
E I
 

16
2
3

q (kN/m)
1 2
3
1 2
3
1 2
q (kN/m)
1 2
q L
 
E I

 
24
3
1 2  
5 4
v  q 
L
E I
 

384
3
P  a 
b  
  
6 1 L b
( )
E I L
 
P  a 
b  
  
6 2 L a
( )
E I L
 
v P  a 
b
E I L
  

3
2 2
3
M   
  
( 3 )
6
2 2
1 L b
E I L
 
M   
  
( 3 )
6
2 2
2 L a
E I L
 
q a      
  
(4 4 )
24
2 2
2

1 a L a L
E I L
 
q a   
  
(2 )
24
2 2
2

2 L a
E I L
 

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