matemática

2. El círculo
Uno de los grandes inventos del hombre fue la rueda (la que
denominamos círculo) cuya mayor aplicación era en el transporte; hoy
en día se fabrican en serie, círculos que tienen infinitas aplicaciones y
para generar dicha producción se diseñan moldes llamados matrices
utilizando para ello las fórmulas de cálculo de áreas de círculo. La forma
circular nos permite limitar espacios regulares, ahorrar esfuerzos, por
ejemplo, para compuertas, escotillas, etc. A continuación se muestran
algunos objetos de forma circular.

3. Conoce al círculo, sus partes
y las fórmulas para calcular
sus áreas.
Aplica correctamente sus
fórmulas en la resolución
de los problemas.
Concepto de círculo y su área.
Áreas de la: Corona circular,
Sector circular, segmento circular,
Faja circular, trapecio circular.
Concepto de lúnula y
teoremas.

4. ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES
1. Círculo
El círculo es una porción de plano limitado por una
circunferencia.
L: longitud de la circunferencia
𝑆⊙ = π𝑟2
𝐿⊙ = 2π𝑟
L
r

5. 2. Corona circular
R
T
B
A
O
r
𝑆𝑐𝑜𝑟𝑜𝑛𝑎 = π(𝑅2
− 𝑟2
)
𝑆𝑐𝑜𝑟𝑜𝑛𝑎=
π(𝐴𝐵)2
4
T: punto
de tangencia
3. Sector circular
R
R
L
θ
O
A
B
𝑆∡𝐴𝑂𝐵=
π𝑅2θ
3600 𝑆∡𝐴𝑂𝐵=
LR
2

6. 4. Segmento circular
R
θ
O
A
R
B
Q
𝑆 𝐴𝑄𝐵=
π𝑅2
θ
3600
−
1
2
𝑅2
𝑠𝑒𝑛θ
5. Trapecio circular
D
S
C
B
O
r
A
R
α
𝑆 =
π 𝑅2
− 𝑟2
α
3600

7. Lúnula
Es una región plana no convexa
limitada por dos arcos de
circunferencias secantes.
N
M
B
A
Teorema de las lúnulas
de Hipócrates
𝑆𝑋 = 𝑆1 + 𝑆2
𝑆 𝐴𝐵𝐶 = 𝑆1 − 𝑆2

8. Calcule el área del círculo si A y B son puntos de
tangencia.
1
RESOLUCIÓN
O
A
B
P 12
r
740
370
370 530
9
2. Calculando el área
del círculo.
𝑆⊙ = π(9)2
𝑆⊙ =81𝜋𝑢2
1. El PBO Triángulo
notable 370
𝑦 530
.

9. Calcule el área del semicírculo si el área de la
región triangular ABC es 10 𝑢2
.
RESOLUCIÓN
2
C
A
B
4 6
R R
1. Sumando las áreas
de los ABH y BCH.
H
(4)(𝑅)
2
+
(6)(𝑅)
2
= 10 R=2
2. Calculando el área del
semicírculo.
S =
Π(2)2
2 S =2𝜋𝑢2

10. RESOLUCIÓN
3 Calcule el área del cuarto de círculo.
1. Calculo del radio por
Relaciones métricas en
el triángulo rectángulo.
𝑅2
= (2 3)(6 3)
𝑅2
= 36 𝑅 = 6
2. Calculando el área
del cuarto de círculo.
𝑆∡𝐴𝑂𝐵=
π(6)2900
3600 𝑆∡𝐴𝑂𝐵=9𝜋𝑢2
R
6 3
2 3
O
A
B
R

11. RESOLUCIÓN
4 Calcule el área del sector circular COD si AB = 7 y
AD = 2.
600
A
C
O
B
D
2
7
1. Triángulo notable de
300
, 600
2. Calculando el área
del sector circular.
300
14
12
𝑆∡𝐶𝑂𝐷=
π(12)2(300)
3600
𝑆∡𝐶𝑂𝐷=12π𝑢2

12. 2a
5 Calcule el área de la región
sombreada si BC y AC
son diámetros, y T es punto
de tangencia.
B
A C
T
8
4
6 Calcule el área de la
corona circular si AB=6,
BE=18 y A es punto de
tangencia.
D E
C
B
A
6
18

13. 2a
7 En el semicírculo mostrado,
calcule el área de la región
sombreada.
600
600
2 6
8 En un prado cuadrado de 100 m
de lado hay cuatro cabras, cada
una atada a una esquina con una
cuerda de 50 m, lo que permite
comer una cierta parte de la hierba,
quedando en el centro un trozo que
ninguna de ellas alcanza.
El propietario tras vender tres cabras,
alargó la cuerda de la que quedaba en
una de las esquinas, de tal forma que
la superficie sobre la que podía pastar
era equivalente al área sobre la que
pastaban anteriormente las cuatro.
¿Qué longitud le dio a la cuerda?

14. 1 2
O
A
B
P 12
r
740
370
370 530
9
C
A
B
4 6
R R
H

15. 4
3
600
A
C
O
B
D
2
7
300
14
12
R
6 3
2 3
O
A
B
R