El documento presenta 16 problemas de trigonometría resueltos por el Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez. Los problemas involucran cálculos de ángulos, longitudes de arcos, áreas de sectores circulares y números de vueltas de ruedas. El Lic. Carrillo proporciona las soluciones paso a paso usando fórmulas trigonométricas básicas como seno, coseno y tangente.

1. 1 LIC. RODOLFO CARRILLO VELÁSQUEZ / TRIGONOMETRÍA
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
PROBLEMA DE CLASE
1) De la figura mostrada calcule:
1
32
.11
2
L
LL  , si L1 , L 2 y L 3 son longitudes de arcos y
AB = BC = CD y “K” es el área del sector circular JAH
A) 4 B) ½ C) 1 D) 3/2 E) 2
SOLUCIÓN
Recordar:
𝐿 = 𝜃𝑅
𝐿2 + 2𝐿3
11𝐿1
=
(2𝜃)(2𝑅) + 2(3𝜃)(3𝑅)
11𝜃𝑅
= 2
RESPUESTA E
2) La medida del ángulo central de un sector circular de radio R es 24º y se desea disminuirlo en 18º de tal
manera que el área no varié si aumentamos el radio una longitud “x” .determinar “x”
A) R B) 2R C) R/2 D) R/3 E) 3R
SOLUCIÓN
Recordar:
𝐿 =
𝜃𝑅2
2

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24°𝑅2
2
=
6°(𝑅 + 𝑥)2
2
⇒ 𝑅 = 𝑥
RESPUESTA A
3) De la figura mostrada, Siendo O centro del sector circular AOB y COD, xBDAC  , 1 xLCD ,
1 xLAB , entonces el valor de x. , es:
A) 1 B) 1,5 C)2 D) 2,5 E) 3
SOLUCIÓN
Recordar:
𝜃 =
𝐿2 − 𝐿1
𝑛
Resolviendo:
𝜃 =
𝑥+1−𝑥+1
𝑥
⇒ 𝜃𝑥 = 2
RESPUESTA C
4) De la figura mostrada si AOB, COD y EOF son sectores circulares, además; CDLOBOA  ,
ABLDFCE  ; EFLBDAC  . Calcule:





1
1 3
M

3. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
3 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
A) ½ B) ¼ C)1 D) 2 E) 4
SOLUCIÓN
Recordar:
 𝜃 =
𝐿2− 𝐿1
𝑛
 𝐿 = 𝜃𝑅
𝑏 = 𝜃𝑎 …..( 1 )
𝜃 =
𝑎−𝑏
𝑐
…… ( 2 )
𝜃 =
𝑐−𝑎
𝑏
…… ( 3 )
Reemplazando 1 en 2
𝜃
1−𝜃
=
𝑎
𝑐
…… ( 4 )
Reemplazando 1 en 3
𝜃2
+ 1 =
𝑐
𝑎
…… ( 5 )
Multiplicando 4 y 5
𝜃3
+ 𝜃 = 1 − 𝜃 ⇒
𝜃3+1
1−𝜃
= 2 RESPUESTA D
5) La figura adjunta es una semicircunferencia donde O es el punto medio de AD. Si el área de la región
sombreada es  y m<BOC = 90º, determine el área de la región triangular BDC.
A)
2

B)
2
2


C)
2

D)
2
2


E)
2
2




SOLUCIÓN

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𝑐 + 𝜋 =
𝜋𝑅2
4
𝑅2
2
+ 𝜋 =
𝜋𝑅2
4
𝑅2
2
=
2𝜋
𝜋−2
RESPUESTA B
6) En la figura mostrada, Se muestra dos circunferencias de radios r1 y r2 (r1 < r2) y L1, L2 son las longitudes
de arco de los sectores circulares, AOB y COD respectivamente. calcular L1/L2
A)
1
21.

rr B)
1
12 .

rr C) 21 rr  D) 21.rr E) 21 rr 
SOLUCIÓN
Recordar:
𝐿 = 𝜃𝑅
RESOLVIENDO:
𝐿1 = ( 𝑟1 + 𝑟1. 𝐶𝑠𝑐𝜃)2𝜃
𝐿2 = ( 𝑟2 + 𝑟2. 𝐶𝑠𝑐𝜃)2𝜃
∴
𝐿1
𝐿2
=
𝑟1
𝑟2
RESPUESTA A

5. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
5 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
7) En la figura mostrada r1 = 2u , r2 = 4u , r3 = 3u, r4 = 8u ; si las dos esferitas se encuentran inicialmente al
mismo nivel y la rueda de radio r1, gira un ángulo de medida 1 rad, entonces la diferencia de alturas (h),
después de este giro (en u), es:
A) 2.5 B)2 C) 3 D) 3,5 E) 1
SOLUCIÓN
RESOLVIENDO:
 X = 1 rad. *2
 X = 2
 LAB = 4
 4 = 8* 
 
 y= 1/2 * 3
∴ 𝒙 + 𝒚 = 𝟑, 𝟓RESPUESTA D 
8) De la figura mostrada, determinar el número de vueltas que da una rueda de radio r para recorrer el
circuito MNP.
A)
r
rR
6
3
B)
r
rR
6
3
C)
r
rR
2
3 D)
r
rR
2
3  E)
r
rR
6
3 
SOLUCIÓN

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LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 6
𝑁 𝑉 =
𝐿1 + 𝐿2
2𝜋𝑟
𝑁 𝑉 =
( 𝑅 + 𝑟)
𝜋
3
+ ( 𝑅 − 𝑟)
2𝜋
3
2𝜋𝑟
⇒ 𝑁 𝑉 =
3𝑅 − 𝑟
6𝑟
RESPUESTA E
9) Calcule la altura en términos de R, a la que se encontrará el punto A de la rueda, cuando éste gire un
ángulo de 1305º, desplazándose sobre una pista horizontal.
A) B) C) D) E)
SOLUCIÓN
Primero dividimos 1305° entre 360° , lo cual indica que da dos vueltas y queda como residuo 225° , por lo
tanto la altura seria : 𝐻 = 𝑅 +
𝑅√2
2
⇒ 𝐻 =
𝑅
2
(2 + √2)
RESPUESTA D
10)Determine el área de un sector circular en función de su perímetro P, si se sabe que dicha área es
máxima.
A)
2
2
P
B)
4
2
P
C)
8
2
P
D)
16
2
P
E)
32
2
P
SOLUCIÓN
El perímetro del sector es: P =2R + L
L = P – 2R
Además: 𝑆 =
𝐿𝑅
2
𝑆 =
𝑅( 𝑃−2𝑅)
2
Completando cuadrados: 𝑆 =
𝑃2
16
− (𝑅 −
𝑃
4
)
2
RESPUESTA D
R
A
 2 1 R
1 2 2
R
2
 
  
 
1 2 2
R
2
 
  
 
2 2
R
2
 
  
 
2 2 1
R
2
  
  
 

7. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
7 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
11)Determine el número de vueltas que da la rueda de ir de A hacia B. Si AC = CE = 9r/2 , R = 9r
A) 6 B) 5 C) 3 D) 8 E) 9
SOLUCIÓN
Resolvemos 𝑁𝑉 =
𝐿 𝑐
2𝜋𝑟
=
𝑎+𝑏+𝑐+𝑑
2𝜋𝑟
⇒ 𝑁𝑉 =
9𝜋𝑟
2
+
𝜋𝑟
3
+
9𝜋𝑟
2
+
8𝜋𝑟
3
2𝜋𝑟
∴ 𝑁𝑉 = 6
RESPUESTA A
12)De la figura mostrada sí 3r ; AM = 6,
MB =8. Calcule el número entero de vueltas que da la rueda al ir desde A hasta B sin deslizamiento.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
SOLUCIÓN
𝑁𝑉 =
𝐿 𝑐
2𝜋𝑟
=
6−𝑎+8−𝑎
2𝜋𝑟
; a = 1
𝑁𝑉 =
𝐿 𝑐
2𝜋𝑟
=
12
2𝜋√3
= 1,1 RESPUESTA B
13)Dos ruedas de radio r y R (r < R), recorren la misma distancia horizontal. Si la suma del número de
vueltas de ambas ruedas es igual a 10 veces su diferencia. Entonces, el cociente entre los ángulos
barridos, de la rueda menor a la rueda mayor es:
A)
11
9 B)
10
9 C)
9
10 D)
9
11
E)
10
11
SOLUCIÓN
Según los datos:
𝜃 𝑅
2𝜋
+
𝜃 𝑟
2𝜋
= 10 (
𝜃 𝑟
2𝜋
−
𝜃 𝑅
2𝜋
)

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LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 8
𝜃 𝑅+𝜃 𝑟
𝜃 𝑟−𝜃 𝑅
= 10
𝜃 𝑟
𝜃 𝑅
=
11
9
RESPUESTA D
14) En la figura. Si la rueda “A” gira un ángulo de 300g
¿Qué ángulo girará la rueda D?
RA = 3, RB = 4, RC = 1, RD =2
A) 1620º B) 1680º C)1690º D) 1720º E) 1800º
SOLUCIÓN
Recordar300 𝑔
= 270°
Tenemos: 3 ∗ 270° = θ1 ∗ 1 ⇒ θ1 = 810°
4 ∗ 810° = θ2 ∗ 2 ⇒ θ2 = 1620°
RESPUESTA A
15)En la figura mostrada, cmRR BA 2 , cmOO 22'''  , Calcule el área de la región sombreada.
A) 22  B) 32  C) 2
72  D) 42  E) 52 
SOLUCIÓN
Calculando el área: 𝑆1 =
𝜋
4
(4) −
4
2
∴ 𝑆 = 2𝑆1 = 2𝜋 − 4
RESPUESTA D
16)Si el perímetro de la región sombreada es √3 +
5𝜋
3
+ 3, calcule la longitud del lado del cuadrado ABCD.

9. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
9 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
A) ½ B) 1 C) √2 D) √3 E) 2
SOLUCIÓN
Según los datos:
𝐿 + 2𝐿 1 + 𝐿 2 +
𝐿
2
+
𝐿√3
2
= √3 +
5𝜋
3
+ 3
𝐿
2
(√3 +
5𝜋
3
+ 3) = √3 +
5𝜋
3
+ 3 ⇒ 𝐿 = 2
RESPUESTA E
PROBLEMA DE REPASO
1) En la circunferencia de la figura mostrada, dos autos A y B parten del punto P en la misma dirección, con
velocidades VA y VB respectivamente; después de un tiempo “t” el ángulo central formados por sus
posiciones finales mide 90º. Calcule el valor de  (en radianes), si se cumple que VA es a VB como 2 es a
5.
A)
6
 B)
5
 C)
4
 D)
3
 E)
2

SOLUCIÓN
Según los datos:
2
3
=
2∝
𝜋
⇒ 𝛼 =
𝜋
3
RESPUESTA E

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2) En la figura, las áreas de las superficies ABCD y DOC cumplen la relación
S ABCD = 2.S DOC .calcule 3
2

n
m
A)0 B) ½ C) 1 D) 3/2 E) 2
SOLUCIÓN
Según los datos: 3𝑆 =
𝜃(𝑚+𝑛)2
2
3 (
𝜃𝑚2
2
) =
𝜃(𝑚+𝑛)2
2
⇒
𝑚
𝑛
=
√3
2
+
1
2
∴ 2 (
𝑚
𝑛
) − √3 = 1
RESPUESTA C
3) En la figura mostrada ABCD es un cuadrado de lado 4u. calcule el área de la región sombreada.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
SOLUCIÓN
Calculando S1 : 𝑆1 = 𝜋 − 2
Cálculo de S : S= 2𝜋 − 𝜋 + 2 ⇒ 𝑆 = 𝜋 + 2 RESPUESTA B

11. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
11 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
4) En el sistema adjunto. ¿Cuánto medirá el ángulo (en radianes) que se debe girar para que los centros de
las esferas A y B se encuentren a la misma altura si inicialmente dicha diferencia de alturas es de 14
unidades?
A)0,5 B) 1 C) 1,5 D) 2 E) 2,5
SOLUCIÓN
Resolviendo:
2 + 5 = 14
∴ 𝜃 = 2
RESPUESTA D
5) De la figura, calcular
2
1
S
S
; siendo S1: Área del sector AOB y S2: Área del sector COD.
a)
ba
a

b)
ba
a

c)
ba
a
2
d)
ba
a
2
e)
ba
a
2
SOLUCIÓN
Calculo de las áreas: 𝑆1 =
𝜃𝑎2
2
𝑆2 =
𝜃(𝑎−2𝑏)2
2
Calculamos: ∴ √
𝑆1
𝑆2
=
𝑎
𝑎−2𝑏
RESPUESTA C
A
B
2u
5u

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6) Hallar el área de la región sombreada si AOB y COD son sectores circulares, donde y .
A) B)  C)  D)  E)
SOLUCIÓN
Recordar:
𝑆 =
𝜃𝑅2
2
Por Pitágoras:
𝑎2
− 𝑏2
= 3
Calculo del área sombreada: 𝑆 =
𝜃𝑎2
2
−
𝜃𝑏2
2
𝑆 =
𝜋(𝑎2
− 𝑏2)
9
∴ 𝑆 =
𝜋
3
RESPUESTA A
7) En el grafico mostrado r = 1 y R = 3 , además O es el centro del sector circular AOB, entonces el perímetro de
la región sombreada es:
A) 2 B)
3
11 C)
3
5 D)
3
7 E) 3
SOLUCIÓN
2
9

 
BC 3m
O
A
C
B D


13. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
13 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
Como las figuras son simétricas, el perímetro queda: 𝐿1 + 2𝐿2 = 3 (
𝜋
3
) + 2 (1 ∗
2𝜋
3
)
𝑃 =
7𝜋
3
RESPUESTA D
8) En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18cm de perímetro. Hallar la longitud de la curva que une
los puntos D,E,F, y B, sabiendo que BAF, FCE y EBD son sectores circulares.
A) 12cm B)16 cm C)18cm D)24 cm E) 30 cm
SOLUCIÓN
Como el perímetro es 18 el lado del triángulo es 6cm.
𝐿 = (6 + 12 + 18 )(
2𝜋
3
) = 24𝜋 RESPUESTA D
9) De la figura mostrada determinar el número de vueltas que da la rueda de radio “r” en su recorrido de A
hasta B (R=7r).
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
SOLUCIÓN
𝑁𝑉 =
𝐿 𝑐
2𝜋𝑟
=
3𝜋
4
(8𝑟)
2𝜋𝑟
= 3
RESPUESTA B
10)En la figura mostrada, el extremo “A” del péndulo recorre los arcos L1 y L2 hasta llegar a C . Halle “x” (en m),
si L1 + L2 = 8m
135º
R
R
A
B
r
r

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LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 14
A) 7 B) 8 C) 8.5 D) 9 E) 9.2
SOLUCIÓN
Sabemos:
𝐿1 + 𝐿2 = 8𝜋
( 𝑥 + 28)
𝜋
6
+ 𝑥
𝜋
4
= 8𝜋……….multiplicamos por 12 /
2𝑥 + 56 + 3𝑥 = 96
𝑋 = 8
RESPUESTA B
11)En el sistema mostrado, las ruedas A y B están unidas por una faja, y las ruedas B y C están unidas por un
eje común. Halle el número de vueltas que da la rueda “C” si la rueda “A” barre un ángulo de 2160º
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
SOLUCIÓN
RESOLVIENDO:
𝐿 𝐴𝐵 = 2160° *1
𝐿 𝐴𝐵 = 𝜃 ∗ 2
𝜃 = 1080°
𝐿 𝐶 = 1080° ∗
3
2
𝐿 𝐶 = 1620°
𝑁 𝑉 =
1620°
360°∗1.5

∴ 𝑁 𝑉 = 3RESPUESTA C 