Semana 2

1
Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-II
TRIGONOMETRÍA
“Sector Circular”
SECTOR CIRCULAR
Es aquella porción de círculo limitado por dos
radios y un arco de circunferencia
De la figura se obtiene:
A0B Sector Circular
Longitud de Arco (l); Es aquella en unidades de
longitud de un arco de circunferencia, se calcula
mediante el producto del número de radianes
del ángulo central y el radio de la
circunferencia.
Deducción: Sea la circunferencia con
centro en “0” y radio “r” comparando la
longitud de arco y el ángulo central como
se muestra en la figura siguiente:
Teniendo en cuenta el significado
geométrico de 1rad. se tiene:
Longitud de Arco Ángulo Central
l  rad.
r 1 rad.
De donde se obtiene l =  . r .
Donde:
l : longitud de arco
 : Número de radianes del ángulo
central
r: radio de la circunferencia
Ejemplo:
Del gráfico mostrado, calcular la longitud
de arco (l), siendo 0: centro.
Solución:
l =
6
 . 18
l = 3 cm
PROPIEDAD:


 
2
1
2
1
L
L
A
A
(Radio constante)
Área Del Sector Circular: El área de un
Sector Circular se calcula mediante el producto
del número de radianes del ángulo con el radio
de la circunferencia elevado al cuadrado
dividido entre dos.
Deducción:
Comparando (por regla de tres simple)
Área de un Sector Circular Ángulo Central
 r2 2 rad.
Semana Nº 2

Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
2
S  rad.
Resolviendo se obtiene:
2
2 r
S


también:
2
l r
S 
2
2l
 S
Ejemplo:
Del gráfico mostrado, calcular el área del
sector A0B. 0: centro.
Solución:
2
6
.
3
2 
S 
S = 6 cm2
Área del Trapecio Circular:
d
L L
S 




 

2
1 2
COD AOB S S S
Valor numérico del ángulo central
=
d
L1  L2 ; (0 <  < 2 )
NÚMERO DE VUELTAS (nv): El número de
vueltas que da una rueda de radio “r” al
desplazarse (sin resbalar) se calcula mediante
el cociente de la longitud que describe el centro
de la rueda dividido entre 2r. (perímetro de la
rueda).
En esta figura el número de vueltas que da la
rueda de radio (r) al desplazarse desde “A”
hasta “B” se calcula:
r
n c
v 2
l
 ;
r
L
g   ;


2
g n 
(lc : longitud descrita por el centro de la rueda).
(*) Cuando una rueda (aro, disco) va rodando sobre
una superficie curva.
 
r
R r
n


2

  
r
R r
n


2


(*) Ruedas unidas por una faja o en contacto.
Se cumple:
1r1 = 2r2
n1r1 = n2r2
L1 = L2
(*) Ruedas unidades por sus centros.
Se cumple: 1 = 2 n1 = n2
2
2
1
1
r
L
r
L


3
Propiedad
PROBLEMA RESUELTOS
1) Halle el área sombreada:
a) 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
RESOLUCIÓN
Sx = SAOB  SCOD
x
x
x
x
x
S a² b²
2 2
S a² b²
2
1
S 6²
2 6
36
S
12
S 3
 
 

   
  
    
 


 
RPTA.: C
2) Se tiene una bicicleta cuyas ruedas
tienen por radios R1 y R2 (R1 < R2); cuando
la rueda menor gira º la mayor gira g.
¿En qué relación se encuentra los radios?
a) 3
7
b) 8
13
c) 9
10
d) 3
10
e) 9
4
RESOLUCIÓN
Si 1 y 2 son los ángulos que giran la rueda
menor y mayor respectivamente.
En una bicicleta se cumple que:
1R1 = 2R2
ºR1 = (g)R2
  1 2
1
2
9
ºR º R
10
R 9
R 10
 
    
 

RPTA.: C
3) Se tienen dos ruedas conectadas por una
faja; si hacemos girar la faja, se observa
que las ruedas giran ángulos que suman
144º. Determine la diferencia de los
números de vueltas que dan estas ruedas
si sus radios miden 3 m y 5 m
a) 1
3
b) 1
8
c) 1
9
d) 1
4
e) 1
10
RESOLUCIÓN
1 + 2 = 144º
 L1 = L2  1R1 = 2R2
1 2 1
2 1 2
R V 5
R V 3

  

1 2 144 1
2 2 180 2
  
 
  
0
R
S
R R R R
R
R
R
3S
5S
7S
5
3
g 
º
R1
R2
o 30º
C
D
B
A
6
o 30º
C
D
B
A
6
a
b

4
1 2 1 2
1 2
2 2
V V 8k V V 2k
5 5
1 1
k V V 2
20 20
1
10
      
  

RPTA.: E
4) Halle el número de vueltas que da la
rueda de radio (r = 1) al ir de la posición A
hasta la posición B.
a) 85 b) 9 c) 10 d) 10,5 e) 11
RESOLUCIÓN
RECORRIDA #V
2 r


Sabemos: r = () (21) = 21
 # vueltas =
 
21
21


#v = 10,5
RPTA.: D
5) De la figura mostrada, la rueda de radio
r, gira sin resbalar sobre la superficie de
radio 240 r. ¿Cuál es la longitud recorrida
por el centro de la rueda hasta que el punto
B este en contacto con la superficie de la
curva, si: m AOB = 120º, r = 18u?
a)24  b) 24,1 c)24,2 d) 24,3 e) 24,4
RESOLUCIÓN
AB
L = 240º 18u 24
180

 
De la figura:
L 24
241r 240r


L = 24,1 
RPTA.: B
6) En la figura, el trapecio circular ABCD y
el sector circular COD tienen igual área.
Halle: m
n
a) 2
2
b) 1
2
c) 2
d) 2
e) 1
RESOLUCIÓN
m²
menor : S
2
n²
mayor : 2S
2
1 m²
2 n²
1 m m 2
2 n n 2

  

 

 


  
RPTA.: A
r o
A o B r
20
A
r
B
B
240 r A
A
r
B
B
240 r
L
o m n
D
A
B
C
n
rad m  S S

5
7) Se tiene un sector circular y un
cuadrado, con equivalente área e igual
perímetro; luego la medida, en radianes, de
su ángulo central correspondiente resulta
ser:
A)1 rad B) 2 rad C) 1
rad
2
D)4rad E) 1
4
rad
RESOLUCIÓN
Condiciones:
i) S = S  LR
a²
2

 R.L = 2a²
ii) Perímetro = Perímetro
 2R + L = 4a
 (2R+L)²=16a²(2R+L)² = 8(2a²)
 4R² + 4R.L + L² = 8(R.L)
 4R²  4R.L +L² = 0
 (2RL)² = 0  2R  L = 0
 2R = L  2R =  R   = 2
RPTA.: B
PROBLEMA DE CLASE
1) Se tiene un sector circular en el cual r, L, θ
representan el radio, arco y numero de radianes
del ángulo central, respectivamente. Se
construye otro sector circular agregando “x” a
cada una de estas cantidades, obteniéndose r +
x, L + x y θ + x respectivamente. El valor de
“x” en función de r y θ es:
a) 1 – θ – r b) 1 + θ – r c) 2 + θ – r
d) 4+ θ – r e) 8 – θ – r
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 III
2) El área de la región sombreada es 휋
6
푟푎푑.
Hallar el arco del sector BAE si ABCD es un
rectángulo
A) 휋
5
B) 4휋
5
C) 5휋
6
D) 7휋
15
E) 8휋
7
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 II
3) En la figura, si PQ y QT son arcos de
circunferencias cuyos centros son O y O’,
respectivamente, entonces la longitud de la
curva PQT, es:
A) 8휋 푐푚 B) 4휋 푐푚 C) 7휋 푐푚
D) 6휋 푐푚 E) 3휋 푐푚
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 I
4) En la figura , si los perímetros de los
sectores circulares son equiláteros, entonces el
valor de “휃” es:
A)
(휋−2)
2
B)
(휋−2)
3
C)
(휋−2)
5
D) (휋 − 2) E) 휋
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 III
5) En un círculo se inscribe un triángulo
isósceles, el ángulo formado por los lados
congruentes mide 14º y la base intercepta un
arco de longitud 66m. Calcular la longitud del
radio de dicho círculo.
( Considerar
7
22
  )
a) 140m b) 270m c) 40m
d) 135m e) 120m
6) La figura adjunta es un semicírculo.
Hallar l 1 + l2 – l 3
S
a
a
a
a

6
A) m 2
4
3
 B) m 2
2
1
 C) m 2
2
3

D) m 2
3
2
 E) m 2
12
7

7) Si los sectores circulares AOB y COD ,
tiene igual área, además OA = 2; entonces el
área de la región sombreada es:
a) x – y b) 2( x - y ) c) 2( y - x )
d) 4 ( x – y ) e) 4( y - x)
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 I
8) Calcule: 2 3
1
S S
M
S


Donde S1, S2 y S3 son las áreas de las regiones
sombreadas

S2
S1
S3
2 
A) 12
7
B) 13
2
C) 1
12
D) 5 + 2 E) 5  2
9) Del gráfico, determinar
MPN
AB
L
L


Si AOB es sector circular.
a) ½ b) ¾ c) 2/3 d) ¼ e) 1
10) Se tienen dos circunferencias concéntricas,
en las que se inscribe un ángulo central
determinando longitudes de arco sobre dichas
circunferencias de 80cm y 45cm
respectivamente.
Calcule; siendo r y R los radios de
las circunferencias (r<R).
a) 7 b)8 c) 9 d)10 e) 11
11) Se tiene un sector circular cuya longitud de
arco es numéricamente igual a la mitad del área
de un cuadrado, cuyo lado es igual al radio del
sector. ¿Cuánto mide la longitud de arco del
sector, si la medida del ángulo central
expresado en radianes, toma su mayor valor
entero posible?.
a)12 b)24 c) 48 d)72 e) 144
12) En la figura se muestran las A1, A2 y A3,
que están en progresión aritmética, además
, y
Calcular: .
a) ½ b) 2/3 c)2 d) 3 e) 3–1
13) Se tiene un triángulo equilátero de lado 9m.
ubicado sobre una pista horizontal, si el
triángulo empieza a girar sin resbalar (ver
r
F 16 2
R
 
EF
L  a
CD
L  b
AB
L  c
2 2
2
b a
c

E
C
A
F
D
B
A1
A3

7
O
A
C
B D

gráfica) , hasta que el punto A vuelva a tocar el
piso otra vez; calcular el espacio recorrido por
dicho punto.
a) 5 m b) 9 m c) 10 m d) 12 m e) 15 m
14) Una bicicleta avanza barriendo la rueda
mayor un ángulo de 360º, en ese instante qué
ángulo habrá girado la rueda menor si la
relación de sus radios es de 1 a 4.
a) 720º b) 1080º c)1440º d)450º e) 90º
15) A partir del gráfico, calcular la longitud
recorrida por la esferita, hasta impactar en CD.
Si AB = BC = 4m. longitud de la rueda es 10m.
a) 5 m
b) 5/2  m
c) 2 m
d) 3/2 m
e) 8 m
16) En el grafico mostrado r = 1 y R = 3 ,
además O es el centro del sector circular AOB,
entonces el perímetro de la región sombreada
es:
a)  b)
3
11 c)
3
5 d)
3
7 e) 
17) Hallar el área de la región sombreada si
AOB y COD son sectores circulares, donde
y .
abc
de
18) Calcule la altura en términos de R, a la que
se encontrará el punto A de la rueda, cuando
éste gire un ángulo de 1305º, desplazándose
sobre una pista horizontal.
a) b) c)
d) e)
PROBLEMA DE REPASO
1) Determine el número de vueltas que da la
rueda de ir de A hacia B. Si AC = CD = 9r/2 ,
R = 9r
a) 6 b) 5 c) 3 d) 8 e) 9
2) En el esquema mostrado se tiene que al
hacer girar la faja, las ruedas A y C giran
longitudes que suman 28  . Determinar
cuántas vueltas dará la rueda mayor.
a) 1 b)1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3
3) El ángulo central que subtiende un arco de
radio 81, mide cº. Si se disminuye dicho ángulo
hasta que mida Sº, ¿Cuánto debe aumentar el
radio para que la longitud de dicho arco no
varíe? (S y C son lo convencional)
a) 5 b) 15 c) 19 d) 23 e) 31
4) De la figura mostrada, determinar el
número de vueltas que da una rueda de radio r
para recorrer el circuito MNP.
2
9

 
BC  3m
R
A
  2 1 R 
1 2 2
R
2



1 2 2
R
2



2 2
R
2
  
 
 
2 2 1
R
2
   
 
 

8
a)
r
r R
6
3  b)
r
r R
6
3  c)
r
r R
2
3  d)
r
r R
2
3  e)
r
r R
6
3 
5) Determinar el valor de “L”
a) 3 b)6 c) 12 d) 15 e) 10
6) En la figura, ABC es un triángulo equilátero
de 18cm de perímetro. Hallar la longitud de la
curva que une los puntos D,E,F, y B, sabiendo
que BAF, FCE y EBD son sectores circulares.
a) 12cm b)16 cm c)18cm d)24 cm e) 30 cm
7) Los radios de las ruedas de una bicicleta,
son entre sí como 3 es a 4. Calcular el número
de vueltas que da la rueda mayor cuando la
rueda menor gire 8 radianes.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
8) En la figura mostrada r1 = 2u , r2 = 4u , r3 =
3u, r4 = 8u ; si las dos esferitas se encuentran
inicialmente al mismo nivel y la rueda de radio
r1, gira un ángulo de medida 1 rad, entonces la
diferencia de alturas (h), después de este giro
(en u), es:
a) 2.5 b)2 c) 3 d) 3,5 e) 1
9) De la figura, calcular
2
1
S
S ; siendo S1: Área
del sector AOB y S2: Área del sector COD.
a)
b a
a

b)
a b
a

c)
b a
a
2 
d)
b a
a
2 
e)
b a
a
 2
10) De la figura mostrada determinar el número
de vueltas que da la rueda de radio “r” en su
recorrido de A hasta B (R=7r).
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
11) Cuánto avanza la rueda de la figura adjunta
si el punto “A” vuelve a tener contacto otras 7
veces y al detenerse el punto “B” está es
contacto con el piso (r=12u).
a) 88
b) 92
c) 172
d) 168
e) 184
B
A
120º
135º
R
R
A
B r
r

9

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