Circulo y cono

UNIDAD: GEOMETRÍA
Círculo y Circunferencia
Área y Volumen del Cono

ELEMENTOS DE LA
CIRCUNFERENCIA Y
CÍRCULO

Definición
• Circunferencia: Línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos
equidistan (igual distancia) de un punto fijo llamada centro.
• Círculo: Región del plano limitado por una circunferencia.

Radio (r)
• Segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto
de la circunferencia.
o
r
A
O: Centro de la Circunferencia
𝑂𝐴: Radio = r

Diámetro (d)
• Es la línea recta que pasa por el centro y une dos puntos de la
circunferencia.
• El diámetro divide a la circunferencia en 2 semicircunferencias iguales,
es decir:
00
AB
00
BA
A B
rr
d
O
•O: Centro de la Circunferencia
𝐴𝐵: Diámetro = d = 2r
=

Cuerda
• Segmento que une dos puntos distintos de la circunferencia.
El diámetro es la cuerda que pasa
por el centro de la circunferencia y
tiene la mayor longitud.
A
B
𝐴𝐵: Cuerda

Secante
• Recta que intersecta a la circunferencia en 2 puntos, formando una
cuerda.
A
B
•
•
𝐴𝐵: Cuerda
𝐴𝐵: Secante

Tangente
• Recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia. Este punto
es llamado “punto de tangencia” o “punto tangencial”.
O: Centro de la circunferencia
𝑂𝐴: Radio
L: Recta Tangente
A: Punto de tangencia
𝑂𝐴 ⊥ 𝐿
L
A
r
O

Arco de Circunferencia
• Corresponde a una parte de la circunferencia. Su lectura es en
sentido anti – horario.
A
B
•
•
Los puntos A y B de la circunferencia,
determinan el arco AB.
00
AB: Arco de la Circunferencia

Actividades
1. Identifica los elementos de la circunferencia
𝐴𝐵:______________
𝑅𝑆:______________
𝐸𝐹:______________
𝐺𝐻: _____________
𝑂𝐶:______________
𝑂:_______________
𝐾:_______________

Corona Circular
• Es la superficie plana que se encuentra entre dos círculos
concéntricos (de mismo centro).
• El círculo mayor de radio es R
• El círculo menor de radio es r
r
R

Sector Circular
• Es una fracción del área del círculo determinada por dos radios y un
arco.
Sector circular
A
B
00
O: centro de la circunferencia
r: radio

Segmento Circular
• Es una parte del área del círculo, determinada por una cuerda y un
arco de la circunferencia.
00
𝐴𝐵: Cuerda
B
A
Segmento circular

Área del Círculo
• Si r es el radio, entonces:
Á𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋 ∙ 𝑟2
o
r
A

Área del Círculo
• Ejemplo: Determinar el área del círculo cuyo diámetro mide 20 cm.
• Respuesta: Si el diámetro mide 20 cm, entonces el radio es 10 cm.
Luego, el área del círculo es:
𝐴 = 𝜋 ∙ 102
⇒ 𝐴 = 100𝜋𝑐𝑚2

Perímetro de la
Circunferencia
• Si r es el radio y d el diámetro, entonces:
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2𝜋𝑟o
r
A

Perímetro de la
Circunferencia
• Ejemplo: Determinar el perímetro de una circunferencia cuyo
radio mide 15 cm.
• Respuesta:
𝑃 = 2𝜋 ∙ 15 ⇒ 𝑃 = 30𝜋 𝑐𝑚

Ejercicio
• Calcula el área y perímetro de la zona achurada

Ejercicio
• Calcula el área y perímetro de la figura

00
Longitud de un arco de
circunferencia
𝐴𝑟𝑐𝑜 =
2𝜋𝑟 ∙ 𝛼
360°
r: radio

𝐴𝑟𝑐𝑜 𝐴𝐵 =
2𝜋 ∙ 7 ∙ 60°
360°
Calcula la longitud del arco AB, si su radio es 7 cm y su ángulo mide 60°
00
2𝜋 ∙ 7 ∙ 1
6
14𝜋
6
7𝜋
3
𝑐𝑚
Ejemplo

• Calcula la longitud de cada arco de circunferencia O.
Ejercicios
𝐿 𝐴𝐵 = 2𝜋 𝑐𝑚
00
𝐿 𝐸𝐹 =
7
9
𝜋 𝑐𝑚
00
𝐿 𝐻𝐺 =
00
50
9
𝜋 𝑐𝑚

• Calcula la longitud de cada arco de circunferencia O.
Ejercicios
𝐿 𝐴𝐵 =
5
3
𝜋 𝑐𝑚
00
𝐿 𝐶𝐷 = 𝜋 𝑐𝑚
00
𝐿 𝐸𝐹 = 2𝜋 𝑐𝑚
00

Área de un Sector
Circular
Á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 =
𝛼 ∙ 𝜋𝑟2
360°
A
B
00
r: radio
𝛼: Ángulo del centro
Área de un Sector
Circular

𝑃𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 =
2𝜋𝑟 ∙ 𝛼
360°
+ 2𝑟
A
B
00
r: radio
Perímetro de un Sector
Circular

Ejemplo 1
Determinar el área y perímetro de la zona achurada de la figura.
O: centro de la circunferencia.
A
B
•
O
3
60º
𝐴 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 =
60 ∙ 𝜋 ∙ 32
360°
1 ∙ 𝜋 ∙ 9
6
3𝜋
2
𝑃𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 =
2 ∙ 𝜋 ∙ 3 ∙ 60°
360°
+ 2 ∙ 3
𝑃𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 = 𝜋 + 6

Área de un Segmento
Circular
B
A
a
𝐴 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝐴 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 − 𝐴 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑂𝐴𝐵
00
r: radio

Perímetro de un Segmento
Circular
B
A
a
𝑃𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =
2𝜋𝑟 ∙ 𝛼
360°
+ 𝐴𝐵
00
r: radio

Ejemplo 2
Determinar el área y perímetro de la zona achurada de la figura.
O: centro de la circunferencia.
O
A
B5
•
•
•
2𝜋 ∙ 8 ∙ 90
360°
+ 4 8
2𝜋 ∙ 8 ∙ 1
4
+ 4 8
𝑃𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 4𝜋 + 4 8 𝑐𝑚
𝑃𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 4 𝜋 + 2 8 𝑐𝑚

Continuación
𝐴 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 16𝜋 𝑐𝑚2
− 32𝑐𝑚2
𝐴 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 16 𝜋 − 2 𝑐𝑚2
𝐴 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑂𝐴𝐵 =
8 ∙ 8
2
𝐴 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑂𝐴𝐵 = 32 𝑐𝑚2
𝐴 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝐴 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 − 𝐴 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑂𝐴𝐵
90 ∙ 𝜋 ∙ 82
360°
1 ∙ 𝜋 ∙ 64
4
𝐴 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 = 16𝜋 𝑐𝑚2

• Calcula el perímetro de cada sector o segmento circular
Ejercicios
a) b) c)

• Calcula el perímetro de cada sector o segmento circular
Ejercicios
d) e) f)

• Calcula el área de cada sector circular
Ejercicios

• Calcula el área de cada segmento circular
Ejercicios

Definición
• Un cuerpo geométrico o sólido es todo lo que ocupa en el espacio.
• Los cuerpos geométricos pueden ser de dos clases:
— Formados por caras planas (POLIEDROS)
— Formados por caras curvas (CUERPOS REDONDOS)

Cuerpo
Geométrico
Poliedro Cuerpo Redondo
Regulares Irregulares
Dodecaedro
Icosaedro
Tetraedro
Octaedro
Prisma Recto
Prisma Inclinado
Pirámide
Cilindro
Cono
Tronco
Esfera

Poliedros Regulares
4 caras 6 caras 8 caras 12 caras 20 caras

OBS: Cada cuerpo geométrico o sólido tiene volumen y área.
Volumen: Lugar que ocupa en el espacio (Capacidad)
Área Total: Superficie de cada figura que forma el cuerpo
geométrico.

Definición
• Son aquellos cuerpos o sólidos geométricos formados por regiones
curvas, o regiones planas y curvas.
• Se generan por la rotación de 360° indefinida de una figura plana
alrededor de su eje.
• El cuerpo redondo que estudiaremos, será el CONO.

Cono
• Corresponde al cuerpo generado por
la rotación indefinida de un triangulo
rectángulo alrededor de uno de sus
catetos.

Cono
• La base del cono es una
circunferencia; el vértice superior del
triangulo es el vértice del cono; la
distancia entre la base y el vértice es
la altura; y la hipotenusa del
triangulo es la generatriz.
Vértice del cono
Generatriz (g)
h
Altura (h)

h
r
Á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝑔 + 𝜋𝑟2
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =
𝜋𝑟2
∙ ℎ
3
Á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + 𝐴 𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙
g

Ejemplo
• Hallar el área total de un cono si la generatriz vale 9 cm y el radio de
la base 5 cm
h
5
9
Á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝑔 + 𝜋𝑟2
Á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜋 ∙ 5 ∙ 9 + 𝜋 ∙ 52
Á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 45𝜋 + 25𝜋
Á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 70𝜋 𝑐𝑚2

Ejemplo
• Calcula el volumen del cono, si su generatriz es 5 cm y su radio 3 cm
h
3
5
𝜋𝑟2 ∙ ℎ
3ℎ2 = 52 − 32
ℎ2 = 25 − 9
ℎ2 = 16
ℎ = 16
ℎ = 4
𝜋 ∙ 32 ∙ 4
3
36𝜋
3
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 12𝜋 𝑐𝑚3

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