El documento presenta las definiciones y fórmulas matemáticas para calcular áreas y longitudes de sectores circulares, así como el número de vueltas de una rueda al moverse sobre una superficie curva. Explica que el área de un sector circular se calcula mediante el producto del número de radianes del ángulo central por el cuadrado del radio dividido entre dos, y que el número de vueltas de una rueda es el cociente entre la longitud recorrida por su centro y el perímetro de la rueda. Finalmente, propone 19 problemas

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-I
TRIGONOMETRÍA
“Sector Circular”
SECTOR CIRCULAR
Es aquella porción de círculo limitado por dos
radios y un arco de circunferencia
Longitud de Arco (l);
l =  . r .
Donde:
l : longitud de arco
 : Número de radianes del ángulo
central
r: radio de la circunferencia
Ejemplo:
Del gráfico mostrado, calcular la longitud
de arco (l), siendo 0: centro.
PROPIEDAD:



2
1
2
1
L
L
A
A
(Radio constante)
Área Del Sector Circular: El área de un
Sector Circular se calcula mediante el producto
del número de radianes del ángulo con el radio
de la circunferencia elevado al cuadrado
dividido entre dos.
Deducción:
2
2
r
S


también:
2
rl
S 
2
2
l
S
Área del Trapecio Circular:
d
LL
S 




 

2
21
AOBCOD SSS 
Valor numérico del ángulo central
=
d
LL 21  ; (0 <  < 2 )
NÚMERO DE VUELTAS (nv): El número de
vueltas que da una rueda de radio “r” al
desplazarse (sin resbalar) se calcula mediante
el cociente de la longitud que describe el centro
Semana Nº 2

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de la rueda dividido entre 2r. (perímetro de la
rueda).
En esta figura el número de vueltas que da la
rueda de radio (r) al desplazarse desde “A”
hasta “B” se calcula:
r
n c
v
2
l
 ;
r
L
g  ;


2
g
n 
(lc : longitud descrita por el centro de la rueda).
(*) Cuando una rueda (aro, disco) va rodando sobre
una superficie curva.
 
r
rR
n


2


 
r
rR
n


2


(*) Ruedas unidas por una faja o en contacto.
Se cumple:
1r1 = 2r2
n1r1 = n2r2
L1 = L2
(*) Ruedas unidades por sus centros.
Se cumple: 1 = 2 n1 = n2
2
2
1
1
r
L
r
L

Propiedad
PROBLEMA DE CLASE
1) Halle el área sombreada:
a) 
b) 2 
c) 3 
d) 4  e) 5 
2) Se tiene una bicicleta cuyas ruedas
tienen por radios R1 y R2 (R1 < R2); cuando
la rueda menor gira º la mayor gira g
.
¿En qué relación se encuentra los radios?
a) 3
7
b) 8
13
c) 9
10
d) 3
10
e) 9
4
3) Halle el número de vueltas que da la
rueda de radio (r = 1) al ir de la posición A
0
R
S
R R R R
R
R
R
3S
5S
7S
30ºo
C
D
B
A
6

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hasta la posición B.
a) 85 b) 9 c) 10 d) 10,5 e) 11
4) En la figura, el trapecio circular ABCD y
el sector circular COD tienen igual área.
Halle: m
n
a) 2
2
b) 1
2
c) 2
d) 2 e) 1
5) Se tiene un sector circular en el cual r, L, θ
representan el radio, arco y numero de radianes
del ángulo central, respectivamente. Se
construye otro sector circular agregando “x” a
cada una de estas cantidades, obteniéndose r +
x, L + x y θ + x respectivamente. El valor de
“x” en función de r y θ es:
a) 1 – θ – r b) 1 + θ – r c) 2 + θ – r
d) 4+ θ – r e) 8 – θ – r
6) El área de la región sombreada es
𝜋
6
𝑟𝑎𝑑.
Hallar el arco del sector BAE si ABCD es un
rectángulo
A)
𝜋
5
B)
4𝜋
5
C)
5𝜋
6
D)
7𝜋
15
E)
8𝜋
7
7) Una bicicleta avanza barriendo la rueda
mayor un ángulo de 360º, en ese instante qué
ángulo habrá girado la rueda menor si la
relación de sus radios es de 1 a 4.
a) 720º b) 1080º c)1440º d)450º e) 90º
8) En la figura , si los perímetros de los
sectores circulares son equiláteros, entonces el
valor de “𝜃” es:
A)
(𝜋−2)
2
B)
(𝜋−2)
3
C)
(𝜋−2)
5
D) (𝜋 − 2) E) 𝜋
9) Si los sectores circulares AOB y COD, tiene
igual área, además OA = 2; entonces el área de
la región sombreada es:
a) x – y b) 2( x - y ) c) 2( y - x )
d) 4 ( x – y ) e) 4( y - x)
10) Calcule: 2 3
1
S S
M
S


Donde S1, S2 y S3 son las áreas de las regiones
sombreadas

S2
S1
S3
2 
A) 12
7
B) 13
2
C) 1
12
D) 5 + 2 E) 5  2
11) Los radios de las ruedas de una bicicleta,
son entre sí como 3 es a 4. Calcular el número
de vueltas que da la rueda mayor cuando la
rueda menor gire 8 radianes.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
12) Del gráfico, determinar
NMP
BA
L
L


r o
rBoA
20
nmo
D
A
B
C

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Si AOB es sector circular.
a) ½ b) ¾ c) 2/3 d) ¼ e) 1
13) A partir del gráfico, calcular la longitud
recorrida por la esferita, hasta impactar en CD.
Si AB = BC = 4m. longitud de la rueda es 10m.
a) 5 m
b) 5/2  m
c) 2 m
d) 3/2 m
e) 8 m
14) En el grafico mostrado r = 1 y R = 3 ,
además O es el centro del sector circular AOB,
entonces el perímetro de la región sombreada
es:
a)  b)
3
11 c)
3
5 d)
3
7 e) 
15) Determine el número de vueltas que da la
rueda de ir de A hacia B. Si AC = CD = 9r/2 ,
R = 9r
a) 6 b) 5 c) 3 d) 8 e) 9
16) De la figura mostrada, determinar el
número de vueltas que da una rueda de radio r
para recorrer el circuito MNP.
a)
r
rR
6
3 b)
r
rR
6
3 c)
r
rR
2
3 d)
r
rR
2
3  e)
r
rR
6
3 
17) Determinar el valor de “L”
a) 3 b)6 c) 12 d) 15 e) 10
18) En la figura, ABC es un triángulo equilátero
de 18cm de perímetro. Hallar la longitud de la
curva que une los puntos D,E,F, y B, sabiendo
que BAF, FCE y EBD son sectores circulares.
a) 12cm b)16 cm c)18cm d)24 cm e) 30 cm
19) De la figura, calcular
2
1
S
S ; siendo S1: Área
del sector AOB y S2: Área del sector COD.
a)
ba
a

b)
ba
a

c)
ba
a
2
d)
ba
a
2
e)
ba
a
2

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