Este documento explica el concepto de integral definida y sus aplicaciones para calcular áreas. Define la integral definida como la suma del área bajo una curva entre dos límites, y explica cómo puede interpretarse geométricamente como el límite de una suma de áreas de figuras como rectángulos. Además, muestra ejemplos de cómo usar la integral definida para calcular el área entre curvas, por encima y debajo del eje x, y entre dos curvas. Finalmente, analiza aplicaciones como el excedente del consumidor y del productor.

1. La Integral definida y
sus aplicaciones

2. Integral definida: definición
 La integral definida se define como:
b b
f ( x)dx F ( x) F (b) F (a)
a a
 Donde F’(x) = f(x) y además f(x) es una
función continua y finita en el intervalo
de integración [a; b].
 a y b reciben el nombre de extremo
inferior y superior de integración,
respectivamente.

3. Área como límite de una suma
 Considere la región definida por la gráfica de la
función y = f(x), el eje X y las verticales x = a y x
= b, siendo
f(x) ≥ 0 y f continua en el intervalo
[a; b].
 Para abordar el problema de hallar el área de
dicha región, la relacionaremos con áreas de
figuras conocidas, por ejemplo rectángulos

4. Ejemplo 1: La siguiente figura muestra la
región cuya área se desea calcular
El área de una región podrá
plantearse por una integral A = f(b) – f(a)
definida:

5. Dividiremos dicha región en
rectángulos verticales. Por ejemplo ...
n = 3 rectángulos

6. n = 6 rectángulos

7. n = 12 rectángulos

8. n = 24 rectángulos

9. n = 48 rectángulos

10. n = 99 rectángulos

11. Interpretación geométrica de la integral definida
La integral definida plantea el límite de una
suma de áreas.
Suma desde “a” altura
hasta “b” b
Área f ( x) dx
a
ancho

12. Ejemplo 2
¿De cuántas formas podemos calcular el área
“R”?
f(x) = 2x
Forma 1: Base*altura/2
2 2*4/2=4 u2 2
(2 x)dx x2 0
22 02 4u 2
0
R Forma 2: integral definida
0 2

13. Como acaba de verse, el área de una región
podrá plantearse como el límite de una suma
de áreas. Este límite está dado por la integral
definida: a
A f ( x) dx
b
Siempre que f(x) sea continua en [a; b] y
positiva en ese intervalo.

14. ¿Cómo está definida el área sombreada de
los siguientes gráficos?
Analicemos los siguientes ejemplos…….

15. Ejemplo 3: área debajo del eje X
b
Respuesta: f ( x)dx
a La altura no puede ser
negativa

16. Ejemplo 4:
área por encima y debajo del eje X
Respuesta:
c b
f ( x)dx f ( x)dx
a c La altura no puede ser
negativa

17. Ejemplo 5: área entre dos curvas
¿Cómo podemos aplicar los conocimientos
previos a este gráfico?
Si se sabe que: f ( x) g ( x) x a, b

18. Ejemplo 5 (recordando..)
El área bajo
la curva f(x)
es…
El área bajo
la curva g(x)
es…

19. Ejemplo 5
Respuesta: b
f ( x) g ( x) dx
a

20. Aplicaciones de la
Integral Definida

21. Aplicaciones de la Integral Definida
1. Excedente del Consumidor
2. El Excedente del Productor
3.Estimación del cambio neto, a partir de la razón de
cambio, en el valor de reventa de bienes capitales o en la
utilidad, ingresos y costos de una empresa
4.Estimación del exceso de utilidad de un plan de
inversión, respecto de otro

22. ANÁLISIS 1:
Recordando el concepto de la demanda
Precio de
los alimentos Una curva de demanda
resume la relación inversa existente entre precios y cantidades.
E
2,00$ Una curva de demanda
refleja las cantidades que están dispuestos a comprar los
consumidores, ante determinados precios.
Una curva de demanda
F representa la disponibilidad marginal de gastar de
1,00$ parte del consumidor.
0,50$ G
4 12 20 Alimentos (unidades
mensuales)

23. ANÁLISIS 2: 6
P a gastar de los consumidoresD( q ) dq
La disponibilidad total En el ejemplo….DTG 0
S/. por unidad
q0
Generalizando: D(q) dq
0
La disponibilidad total a gastar de los consumidores
refleja la utilidad total que alcanzan los consumidores.
La disponibilidad total a gastar de los consumidores
está representada por toda el área de la región que está por
debajo de la curva de demanda
0 1 2 3 4 5 6 ……. q

24. ANÁLISISP3:
Si se define al gasto
El gasto de los consumidores
como p.q....
¿Cuál sería el gasto efectuado por los
S/. por unidad
consumidores en este ejemplo?
RTA: S/. 8
¿Cuál sería el área respectiva?
RTA….
4
3 E
2
Gasto
0 1 2 3 4 5 6 ……. q

25. 4
ANÁLISISPFINAL:
Análisis 2 La disponibilidad a gastar en este
D(q) dq
caso es….
El excedente de los consumidores 0
El gasto efectivo (lo que realmente
Análisis 3 gastan) en este caso es…. = 8u2
S/. por unidad
Finalmente…. - Todos aquellos consumidores que estuvieron
dispuestos a pagar un precio mayor que el del
mercado (S/.2 por unidad), se benefician
El área que representa dicho “excedente” es el
EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR :
4
Área de Disponibilidad total – Área de Gasto
3
2
0 1 2 3 4 5 6 ……. q
Gasto

26. Resultado del ejemplo
4
En este ejemplo… EC D(q)dq (2)( 4)
0
q0
EC D(q)dq p q
Generalizando:
0
0 0
p
p = D(q)
EC
2
0 4 q

27. 0 p 5
Ejercicio Matemático
 La ecuación de demanda para un producto es p =
D(q) = -q2+25, para
0 < q < 5. Sabiendo que p es el precio por unidad en
dólares y q la cantidad de unidades demandadas.
(a) ¿Cuál es la disponibilidad total de gasto de los
consumidores de este mercado, si se sabe que el precio
de mercado asciende a $9?
(b) ¿Cuál es el EC?

28. Ejercicios del libro
 Problemas de texto : Haeussler, Jr;
“Matemáticas para administración y
economía”; páginas 672-674