Material de integrales definidas y sus aplicaciones

1. Alessandra Zurita Cahill
La Integral definida y
sus aplicaciones

2. Integral definida: definición
La integral definida se define como:
Donde F’(x) = f(x) y además f(x) es una
función continua y finita en el intervalo de
integración [a; b].
a y b reciben el nombre de extremo
inferior y superior de integración,
respectivamente.
  )
(
)
(
)
(
)
( a
F
b
F
x
F
dx
x
f
b
a
b
a





3. Área como límite de una suma
Considere la región definida por la gráfica
de la función y = f(x), el eje X y las
verticales x = a y x = b, siendo
f(x) ≥ 0 y f continua en el intervalo
[a; b].
Para abordar el problema de hallar el área
de dicha región, la relacionaremos con
áreas de figuras conocidas, por ejemplo
rectángulos

4. Ejemplo 1: La siguiente figura muestra la
región cuya área se desea calcular
El área de una región podrá
plantearse por una integral
definida:
A = f(b) – f(a)

5. Dividiremos dicha región en
rectángulos verticales. Por ejemplo ...
n = 3 rectángulos

6. n = 6 rectángulos

7. n = 12 rectángulos

8. n = 24 rectángulos

9. n = 48 rectángulos

10. n = 99 rectángulos

11. La integral definida plantea el límite de una
suma de áreas.
Interpretación geométrica de la integral definida


b
a
dx
x
f
Área )
(
altura
ancho
Suma desde “a”
hasta “b”

12. Ejemplo 2
¿De cuántas formas podemos calcular el área “R”?
f(x) = 2x
0 2
R
Forma 1: Base*altura/2
2*4/2=4 u2
Forma 2: integral definida
  2
2
2
2
0
2
2
0
4
0
2
)
2
( u
x
dx
x 





13. Como acaba de verse, el área de una región
podrá plantearse como el límite de una suma
de áreas. Este límite está dado por la integral
definida:


a
b
dx
x
f
A )
(
Siempre que f(x) sea continua en [a; b] y
positiva en ese intervalo.

14. ¿Cómo está definida el área
sombreada de los siguientes gráficos?
Analicemos los siguientes
ejemplos…….

15. Ejemplo 3: área debajo del eje X
La altura no puede ser
negativa

b
a
dx
x
f )
(
Respuesta:

16. Ejemplo 4:
área por encima y debajo del eje X

c
a
dx
x
f )
( 
La altura no puede ser
negativa

b
c
dx
x
f )
(
Respuesta:

17. Ejemplo 5: área entre dos curvas
¿Cómo podemos aplicar los conocimientos
previos a este gráfico?
Si se sabe que: )
(
)
( x
g
x
f    
b
a
x ,


18. Ejemplo 5 (recordando..)
El área bajo
la curva f(x)
es…
El área bajo
la curva g(x)
es…

19. Ejemplo 5
Respuesta:
 
 
b
a
dx
x
g
x
f )
(
)
(

20. Aplicaciones de la
Integral Definida

21. 1. Excedente del Consumidor
2. El Excedente del Productor
3.Estimación del cambio neto, a partir de la razón de
cambio, en el valor de reventa de bienes capitales o en la
utilidad, ingresos y costos de una empresa
Aplicaciones de la Integral Definida
4.Estimación del exceso de utilidad de un plan de
inversión, respecto de otro

22. ANÁLISIS 1:
Recordando el concepto de la demanda
Una curva de demanda
resume la relación inversa existente entre precios y cantidades.
Una curva de demanda
refleja las cantidades que están dispuestos a comprar los
consumidores, ante determinados precios.
Una curva de demanda
representa la disponibilidad marginal de gastar de
parte del consumidor.
Alimentos (unidades
mensuales)
Precio de
los alimentos
G
E
F
2,00$
4 12 20
1,00$
0,50$

23. ANÁLISIS 2:
La disponibilidad total a gastar de los consumidores
P
S/.
por
unidad
0 1 2 3 4 5 6 ……. q


6
0
)
( dq
q
D


0
0
)
(
q
dq
q
D
Generalizando:
En el ejemplo….DTG
La disponibilidad total a gastar de los consumidores
refleja la utilidad total que alcanzan los consumidores.
La disponibilidad total a gastar de los consumidores
está representada por toda el área de la región que está por
debajo de la curva de demanda

24. ANÁLISIS 3:
El gasto de los consumidores
E
q
0 1 2 3 4 5 6 …….
P
S/.
por
unidad
4
3
2
Si se define al gasto
como p.q....
¿Cuál sería el gasto efectuado por los
consumidores en este ejemplo?
RTA: S/. 8
¿Cuál sería el área respectiva?
Gasto
RTA….

25. ANÁLISIS FINAL:
El excedente de los consumidores


4
0
)
( dq
q
D
q
0 1 2 3 4 5 6 …….
P
S/.
por
unidad
4
3
2
q
0 1 2 3 4 5 6 …….
P
S/.
por
unidad
4
3
2
Análisis 2 La disponibilidad a gastar en este
caso es….
Gasto
Análisis 3
El gasto efectivo (lo que realmente
gastan) en este caso es…. = 8u2
Finalmente…. - Todos aquellos consumidores que estuvieron
dispuestos a pagar un precio mayor que el del
mercado (S/.2 por unidad), se benefician
El área que representa dicho “excedente” es el
EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR :
Área de Disponibilidad total – Área de Gasto

26.  

4
0
)
4
)(
2
(
)
( dq
q
D
EC
Resultado del ejemplo
En este ejemplo…
Generalizando:
p = D(q)
2
0 4 q
p
EC
 

0
0
0
0
)
(
q
q
p
dq
q
D
EC

27. La ecuación de demanda para un
producto es p = D(q) = -q2+25, para
0 < q < 5. Sabiendo que p es el precio
por unidad en dólares y q la cantidad
de unidades demandadas.
(a) ¿Cuál es la disponibilidad total de gasto de los
consumidores de este mercado, si se sabe que el
precio de mercado asciende a $9?
(b) ¿Cuál es el EC?
Ejercicio Matemático
5
0 
 p

28. Problemas de texto : Haeussler, Jr;
“Matemáticas para administración y
economía”; páginas 672-674
Ejercicios del libro