Sumatoria y área bajo curva

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)
CAPÍTULO 2. LAS INTEGRALES DEFINIDA E INDEFINIDA
Sumatoria
Para representar en forma abreviada determinado tipo de
sumas, se utiliza como símbolo a la letra griega sigma  .
Ejemplos.
30 30
2 2 2 2 2 2
1 1
1 2 3 4 30 ; 1 2 3 4 30
i i
i i
 
            
A " "i se le conoce como índice de la sumatoria. A esta suma
también se le identifica como
         
1
1 2 3
n
i
f i f f f f n

   
Propiedades de la sumatoria
   
1 1
)
n n
i i
i f i f i 
 
 
       
1 1 1
)
n n n
i i i
ii f i g i f i g i
  
      
     
1 1 1
) : 1
jn n
i i i j
iii f i f i f i j n
   
     
Algunas propiedades de la sumatoria:
 
  
1
1
2 2 2 2 2
1
1 1 1 1 1
1
1 2 3
2
1 2 1
1 2 3
6
n
i
n
i
n
i
n
n n
i n
n n n
i n



     

     
 
     




2
Área bajo la curva
Se fijarán dos condiciones:
)i Que  f x sea continua en el intervalo ,a b  
)ii Que  f x sea positiva en el intervalo ,a b  
Suma inferior
Se hace una partición del intervalo considerado en " "n
subintervalos iguales cuyos extremos se denotan como:
0 1 2, , , , na x x x x b 
tales que
0 1 2 na x x x x b     
La longitud de cada subintervalo está dada por:
1 0 2 1 1 1i i n nx x x x x x x x x           
de donde
b a
x
n

 
y como la función es continua en todo el intervalo, entonces es
continua en los subintervalos, por lo que de acuerdo con el
Teorema de Weierstrass, hay un valor del subintervalo para el
cual la función toma su mínimo valor. Estos valores son
1 2 3, , , , nc c c c . Luego  if c es el menor valor de la función en
cada subintervalo 1,i ix x   . Considérese la siguiente figura:
 y f x
x
a b
y
A

3
Se construyen " "n rectángulos cuyas áreas son:
    
    
    
    
1 1 0 1
2 2 1 2
1
1
i i i i
n n n n
f c x x f c x
f c x x f c x
f c x x f c x
f c x x f c x


  
  
  
  
de donde
       1 2I i nS f c x f c x f c x f c x         
IS A
Ejemplo. Calcular con la suma inferior el valor aproximado del
área bajo la curva de la función
 
10
3
x
f x


de 2x  a 8x  , para: ) 3 ) 6i n y ii n 
 y f x
y
x
1c 2c nc
0a x 1x 2x 1ix  ix 1nx  nx b
ic

5
Definición. El área bajo la curva  y f x y limitada por las
rectas x a y x b  es el límite, cuando el número de
subintervalos de la partición tiende a infinito, de la suma
inferior. Esto es,
lim I
n
S A


Suma superior
Se considera la misma área y la partición que para la suma
inferior y por el Teorema de Wierstrass se garantiza que hay una
" "x en cada subintervalo donde la función toma su máximo
valor. Estos valores son 1, 2, , nd d d . Luego,  if d es el a mayor
valor en cada subintervalo 1,i ix x   .
Se construyen " "n rectángulos cuyas áreas son:
    
    
    
1 1 0 1
2 2 1 2
1i i i i
f d x x f d x
f d x x f d x
f d x x f d x
  
  
  
 y f x
y
x
0a x 1x 2x 1ix  ix 1nx  nx b
1d 2d id nd

6
    1n n n nf d x x f d x  
Aquí también se observa que la suma de estas áreas es una
aproximación del área bajo la curva y mientras mayor sea la
partición, más cerca estará del valor exacto del área. Entonces
esta suma superior está dada por:
       1 2s i nS f d x f d x f d x f d x         
sS A
Ejemplo. Calcular con la suma superior el valor aproximado
del área bajo la curva de la función
 
10
3
x
f x


de 2x  a 8x  , para: ) 3 ) 6i n y ii n 

7
Definición. El área bajo la curva  y f x y limitada por las
rectas x a y x b  es el límite, cuando el número de
subintervalos de la partición tiende a infinito, de la suma
superior. Esto es,
lim S
n
S A


Finalmente, con respecto a estas dos “sumas” y por medio de
la notación de sumatorias se puede escribir que:
   
1 1
lim lim lim lim
n n
I i i S
n n n n
i i
S f c x A f d x S
   
 
      
Ejemplo. Considérese la misma área requerida en los ejemplos
anteriores y obténgase su valor a través del límite de la suma
superior.

8
LA INTEGRAL DEFINIDA
Considérese la siguiente sumatoria:
 
1
n
i i
i
f x


En esta suma llamada “Suma de Riemann”, la función no es
necesariamente continua en el intervalo ,a b   y además
puede o no ser positiva en dicho intervalo y los subintervalos
pueden ser diferentes.
0a x 1x 2x 1ix  ix 1nx  nx b1 2 i n
x

9
La longitud del iésimo subintervalo es 1i i ix x x    . A la
longitud del mayor subintervalo se le conoce como “Norma de
la partición” y se denota con  .
En cada subintervalo se selecciona un valor i tal que
1i i ix x   y entonces se construye la siguiente Suma de
Riemann:
         1 1 2 2
1
n
i i i i n n
i
f x f x f x f x f x    

          
Definición. Se dice que f es integrable con respecto a x en su
intervalo de definición ,a b   si existe un número real I tal que
para una cierta partición se tiene que:
 
1
lim
n
i i
n
i
f x I


 
si para un 0  y tan pequeño como se desee, existe un 0 
(función de  ) tales que:
 
1
siempre que 0
n
i i
i
f x I  

     
En este caso, al número " "I así determinado y denotado por
 
b
a
I f x dx 
se le llama la integral definida de la función  f x en el intervalo
,a b  . A la función f se le conoce como integrando y a la
variable x como integrador.
De acuerdo con esta definición, la integral definida es el área
limitada por la gráfica de la función f , las rectas x a y x b 
y el eje de las abscisas.

10
Teorema. Si se tiene una función  y f x y es continua en un
intervalo cerrado ,a b  , entonces la integral definida
   0
1
lim
nb
i ia
i
f x dx f x
 

  existe.
Puede haber funciones no continuas en un número finito de
puntos en el intervalo y sin embargo para las cuales la integral
definida exista.
Ejemplo. Evaluar la integral definida
2
4
1
4
4
x
dx


Considerar subintervalos iguales y tomar el valor medio de
cada subintervalo para evaluar la función.
A
a b
y
x
 y f x
 
b
a
A f x dx 

11
Ejemplo. Evaluar la integral definida
9
1
5
2
x
dx


Considerar subintervalos iguales y tomar el valor medio de
cada subintervalo para evaluar la función.

12
Propiedades de la integral definida
Teorema. Sean    f x y g x dos funciones continuas en el
intervalo cerrado ,a b  , " "c un valor de x perteneciente a este
intervalo y " "k una constante. Entonces:
)
b
a
i dx b a 
a b
x
  1f x 
A b a 
y
1
A

13
 )
b
a
ii k dx k b a 
   )
b b
a a
iii k f x dx k f x dx 
 ) 0
a
a
iv f x dx 
   )
b a
a b
v f x dx f x dx  
A
a b
y
x
1y 
 
b
a
a
b
A dx b a
dx a b b a
  
     


a b
x
 f x k
 A k b a 
k
y
A
a
y
x
 y f x
0A 

14
       )
b b b
a a a
vi f x g x dx f x dx g x dx      
     ) ; ,
b c b
a a c
vii f x dx f x dx f x dx c a b       
       ) ; ,
b b
a a
viii f x g x x a b f x dx g x dx       
TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL
Sea la función f continua en un intervalo cerrado ,a b  .
Entonces existe al menos un valor ,c a b    para el cual se
cumple que:
    
b
a
f x dx f c b a 
donde a  f c se le conoce como la ordenada media.
Prueba.
 y f x
y
x
a b
y
x
c
y
 
b
c
f x dx 
c
a
f x dx 
c
x
 
b
a
f x dx
 y f x y f x
aa b

15
Ejemplo. Obtener la ordenada media de la integral definida
   
8
2
2 2 3
;
8 3 8
x si x
f x dx f x
x si x
   
 
  

a b
y
x
 y f x
 
b
a
f x dx
a b
y
x
  f c b a
 y f x

16
INTEGRAL INDEFINIDA
Definición. Sea f una función definida en un intervalo cerrado
,a b   y supóngase que existe otra función F continua en ,a b  
y derivable en  ,a b de manera que se cumple que:
 
   ,
dF x
f x x a b
dx
  
Entonces a F se le llama la integral indefinida o la
antidiferencial de f en ,a b   y se puede escribir
   F x f x dx 
Si F existe, entonces se dice que la función f es integrable.
Ejemplo. Algunas antidiferenciales son:
3
x es la antidiferencial de 2
3x dx
tanx es la antidiferencial de 2
sec x dx
lnx es la antidiferencial de
dx
x
Entonces una diferencial dada puede tener un número
indefinido de antidiferenciales. Considérense las parábolas
2 2 2
1 ; ; 3
2 2 2
x x x
y y y    
Las tres tienen como diferencial a dy x dx . Luego la
antidiferencial de x dx no corresponde a un solo valor, por lo
que es necesario introducir una constante conocida como
“constante esencial y arbitraria”, de tal forma que se puede
escribir entonces:

17
Antidiferencial de
2
2
x
x dx C  que se puede escribir también
como
2
2
x
x dx C  . Luego
   f x dx F x C 
donde C es la constante esencial y arbitraria de integración.
Dado que la integral indefinida equivale a la antidiferencial, es
entonces la operación inversa a la derivada. Por lo que de aquí
se desprende la siguiente expresión algebraica para integrar a
la función identidad elevada a un exponente real:
1
; 1
1
n
n x
x dx C n
n

   

Prueba.
  1 11
1
0
1 1
nn
n
n xd x
C x
dx n n
 
 
    
  
Dos propiedades importantes que vale destacar y que ya se
vieron para el caso de la integral definida son las siguientes:
   
       
;k f x dx k f x dx k
f x g x dx f x dx g x dx
 
    
 
  
Ejemplo. Resolver las integrales indefinidas:
 5 2
2
) 4 ; ) ; ) 5
dx
i x dx ii iii x x dx
x
 

18
Ejemplo. La potencia desarrollada por el motor de un
vehículo en los primeros tres segundos de marcha está dada
por la expresión
26
25
P t , en donde t está en segundos y P en
watts. Calcular el trabajo desarrollado en ese tiempo, así como
la potencia promedio.
Integral definida con el límite superior variable
Sea la integral definida  
b
a
f x dx . Si se hace x u y se cambia
el límite superior de la integral por " "x , se tiene que:
 
x
a
f u du
Como se observa, el resultado de esta integral queda como
función de " "x .
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Sea una función f continua en un intervalo ,a b   y un cierto
valor ,x a b    . Si F es otra función definida a través de
   
x
a
F x f u du  , entonces se cumple que
 
 
dF x
f x
dx


19
Prueba.
Regla de Barrow
Sean las funciones f y F continuas en el intervalo ,a b  , tales
que
 
 
dF x
f x
dx
 . Entonces se cumple que:
     
b
a
f x dx F b F a 

20
Prueba. De acuerdo con el teorema fundamental del cálculo y
la definición de la integral indefinida, se puede escribir lo
siguiente:
   
x
a
f u du F x C 
Si se hace x a se llega a    0
a
a
f u du F a C   , de donde
 C F a  .
Si se hace x b se llega a    
b
a
f u du F b C 
Pero como  C F a  se tiene que      
b
a
f u du F b F a  y, al
cambiar u por x , finalmente se obtiene
     
b
a
f x dx F b F a 
Ejemplo. Resolver la integral  
3 2
1
2 5X dx
Ejemplo. La intensidad de corriente que pasa por un cable
está dada por 2 3i t  donde i es la intensidad de la
corriente en amperes y t el tiempo en segundos. Calcular la
cantidad de carga eléctrica que pasa por este cable en el
intervalo de 1 4t s a t s  , así como la intensidad de
corriente promedio en dicho intervalo.

21
INTEGRALES INMEDIATAS E INTEGRALES QUE SE VUELVEN
INMEDIATAS MEDIANTE CAMBIOS DE VARIABLES Y
COMPLETANDO LA DIFERENCIAL.
du u C 
 u v w dx u dx v dx w dx       
; constantekdu k du ku C k    
1
; 1
1
n
n u
u du C n
n

   

cossenu du u C   cosu du senu C 
2
sec tanu du u C 
2
csc cotu du u C  
sec tan secu u du u C  csc cot cscu u du u C  
2 2
du u
angsen C
aa u
 

 2 2
1
tan
du u
ang C
a au a
 

2
1
sec
1
du u
ang C
a au u
 


Ejemplo. Resolver la integral
2
3
8
x dx
x


22
 
4
2 3
5 6 1x x dx
2 x
dx
x


3
27
30 2
1 x
dx
x



23
Solución. Primero se resuelve la integral indefinida, la que
también se puede escribir como:
1
2 13 2
3 3
3 2
1
1
x
dx x x dx
x
  
  
 
 
Mediante un cambio de variable se convierte en integral
inmediata, de donde:
1 2
2 3 3
1
1 2
3
u x udu x dx

   
 
1 1
12 1 2 12 2
2 223 3 3 3
1
1 3 1 3 2 6
3
x x dx x x dx u u du u du
    
       
   
   
 
33 3
3 3 2
3 2
6 1
2 2 1
3
u x
C u C dx x C
x

       
Ahora se aplica la regla de Barrow y queda resuelta la integral
definida. Así,
     
27
3 3 33
8
3 3 32 2 2
30 2
0
1
2 1 2 1 27 2 1 0 16 2 14
x
dx x
x
 
         
  

3
8
30 2
1
14
x
dx
x


2
7
x
dx
x




24
 2
cos 1x x dx
Solución. Se realiza un cambio de variable como sigue y se
aplica la fórmula correspondiente:
2
1 2u x du xdx    
   21 1
cos 1 2 cos 1 cos
2 2
x x dx x x dx u du       
   
   2 21 1
cos 1 1
2 2
senu C x x dx sen x C       
4
0 1
dx
senx



25
2
csc2
1 cot2
x
dx
x
 
  

2 2
cos
dx
sen x x
Solución. Se acude a la identidad trigonométrica
2 2
cos 1sen x x 
y:
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
cos
cos cos
cos
cos cos
dx sen x x
dx
sen x x sen x x
sen x x
dx dx
sen x x sen x x


 
 
 
2 2
2 2
sec csc tan cot
cos
dx dx
xdx xdx x x C
x sen x
         
2 2
tan cot
cos
dx
x x C
sen x x
   

26
2 2
3 3
1
3
csc cotx x
dx
x

2
4
4 x
dx
x


Solución. En la resolución de esta integral se utilizarán dos
cambios de variable como sigue:
2
1 du
x dx
u u
   
2 2
2
4 2
4
1
4
4
4 1
1
x duudx u u du
x u
u

  
     
 
  
La otra sustitución es:
2 2 2
4 1 4 1 8 2
4
u w u w udu wdw
udu wdw
      
 
3
21
4 4 12
w w
wdw w dw C        

27
Se sustituyen los dos cambios de variable que hubo y se
obtiene finalmente:
   
3
23 3
2 22 23 2
3
6
4
14 1 4
12 12 12 12
u xw x
C C C C
x
 
             
 
3
2 22
4 3
44
12
xx
dx C
x x

   
2
sec
1
ang x
dx
x x 

2
1 tan2
1 4
ang x
dx
x


Solución. Se divide en dos integrales y,
2 2 2
1 tan2 tan2
1 4 1 4 1 4
ang x ang xdx
dx dx
x x x

 
    
Para resolver la primera integral:

28
2 2 2
2
; 4 2 2 ; 1 1
1 4
dx
u x u x du dx a a
x
       

12 2
1 1 1 1
tan tan2
2 2 2
du u
ang C ang x C
a aa u
 
      

Y la segunda integral se resuelve como:
2 2
tan2 2
; tan2
1 4 1 4
ang x dx
dx u ang x du
x x
   
 
3
1 2
2
2
1 1 1
32 2 2
2
u
u du u du C       
 
3 3
2 2
2 2
1 1
tan2
3 3
u C ang x C     
Finalmente, haciendo 1 2C C C  se obtiene:
 
3
2
2
1 tan2 1 1
tan2 tan2
2 31 4
ang x
dx ang x ang x C
x

  

3.5
2 2
5 4
dx
x x 

Solución. Se resuelve la integral indefinida
2
5 4
dx
x x 
 .
Se hacen arreglos algebraicos en el integrando consistentes en
ordenar los términos y completar el trinomio cuadrado
perfecto.
   2 2 2
5 4 4 5 4 4 4 5
dx dx dx
x x x x x x
 
         
  

29
 
2
9 2
dx
x

 

Mediante el siguiente cambio de variable se resuelve la
integral. De donde,
 
22 2
2 2 ; 9 3u x u x du dx a a         
2 2 2
2
35 4
du u dx x
angsen C angsen C
aa u x x

    
  
 
Se aplica la regla de Barrow y
3.5
3.5
2 2
2
2
35 4
dx x
angsen
x x
 
  
  

1.5 1
0
3 2 6
angsen angsen angsen

   
3.5
2 2 65 4
dx
x x

 
 

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES CON SOLUCIONES LOGARÍTMICAS
La primera fórmula, que ya se trató, es:
ln
du
u C
u
 
Ahora se presentarán y verificarán otras que involucran a
funciones logarítmicas en su solución.
tanudu
tan ; cos
cos
ln ln cos ln sec
tan ln cos ln sec
senu
udu du v u dv senudu
u
dv
v C u C u C
v
udu u C u C
    
        
     
 



30
cotudu
cos
cot ; cos
ln ln
cot ln
u
udu du v senu dv udu
senu
dv
v C senu C
v
u senu C
   
   
  
 


secudu
Se multiplica y divide por el binomio sec tanu u y se obtiene:
 
 
2
2
sec sec tan sec sec tan
sec
sec tan sec tan
sec tan sec tan sec
ln ln sec tan
sec ln sec tan
u u u u u u
udu du du
u u u u
v u u dv u u u du
dv
v C u u C
v
udu u u C
 
 
 
    
    
   
  


cscudu
Se multiplica y divide por el binomio csc cotu u y se llega a:
 
 
2
2
csc csc cot csc csc cot
csc
csc cot csc cot
csc cot csc cot csc
ln ln csc cot
csc ln csc cot
u u u u u u
udu du du
u u u u
v u u dv u u u du
dv
v C u u C
v
udu u u C
 
 
 
     
    
   
  


2 2 2 2
1
; constante ln
2
du du u a
a C
a u au a u a

   
  

31
2 2 2 2
1
; constante ln
2
du du a u
a C
a a ua u a u

   
  
2 2
2 2 2 2
ln
du du
u u a C
u a u a
    
 
 
Al resolver integrales de este tipo, es importante considerar el
dominio de la función, lo que las pude hacer muy diferentes en
cuanto a resultados.
Ejemplo. Resolver las siguientes integrales:
 2
2 2
2
sec
cot 5
) tan 1 ; ) ; ) ; )
2
x xxi x x dx ii dx iii dx iv dx
x sen xx
   

32
INTEGRACIÓN PARA FUNCIONES EXPONENCIALES
TEOREMA. Sean las funciones
     
1
; ;u u
f u f u e f u b
u
  
Entonces, sus respectivas integrales son:
) ln ; ) ; )
ln
u
u u udu b
i u C ii e du e C iii b du C
u b
       
Ejemplo. Calcular las integrales siguientes:
 
4
3 6
) ; ) ; ) 5
x
x xe
i f x x e dx ii dx iii dx
x
   
     2
3
3 4
21
) ; ) tan ; ) 4 8
x
xx xe
iv dx v e e dx vi x dx
x
 
  

33
Ejemplo. Resolver las integrales siguientes:
2 2 22
) ; ) ; ) ; )
9 16 25 4 8 949 1
dx dx dx dx
i ii iii iv
x x x xx   
   
2 2 2
2
) ; ) ; )
8 6 81 108 32 6 4 1
dx dx dx
v vi vii
x x x x x x     
  

35
Ejemplo. Resolver las integrales:
22
3 4 11
) ; )
2 7 42
x x
i dx ii dx
x xx x
 
 
 
22
4 5 3 2
) ; )
1 6 94 8 10
x x
iii dx iv dx
x xx x
 
  
 

37
REGLA DE L’HOPITAL
Cuando se resolvían límites se habló de las formas
indeterminadas al calcular sus valores. Éstas pueden ser las
siguientes:
0 00
, , 0 , , 0 , ,1
0

    

En este tema se tratará el cómo quitar la indeterminación en
estos casos y lograr encontrar el valor del límite ya sea si existe
o no. Primero se verá un teorema del célebre matemático
francés Agustín Cauchy.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE CAUCHY
Sean f y g continuas en un intervalo cerrado ,a b   y
diferenciables en el intervalo abierto  ,a b , y sea
   ' 0 ,g x x a b   . Entonces existe un número  ,c a b tal
que:
   
   
 
 
'
'
f b f a f c
g b g a g c



TEOREMA. REGLA DE L’HOPITAL
Supónganse las funciones f y g diferenciables en cada
punto de un intervalo abierto  ,a b que contiene al valor " "c
excepto posiblemente en este valor; y sea  ' 0g x  para toda
x c en el intervalo. Sea también L que denota tanto un valor
real o bien  o , y supóngase que
 
 
f x
g x
es una forma

38
indeterminada en " "c . Luego, si
 
 
'
lim
'x c
f x
L
g x
 , entonces
 
 
lim
x c
f x
L
g x
 .
De acuerdo con este teorema, el límite del cociente de dos
funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas. Y si
en el límite de este cociente se vuelve a presentar una
indeterminación de las formas
0
0
o


, se repite nuevamente la
Regla de L’Hopital hasta que el resultado esté determinado o no
exista el límite.
Prueba. Sea
 
 
f x
g x
una forma indeterminada en el valor de " "c
del tipo
0
0
y supóngase que
 
 
'
lim
'x c
f x
L
g x
 , donde " "L es un valor
real. Lo que se desea probar es que
 
 
lim
x c
f x
L
g x
 . Primero se
presentarán las funciones F y G de la siguiente forma:
 
 
 
 ;
0 0
f x si x c g x si x c
x G x
si x c si x c
   
  
   
Ambas funciones así definidas son continuas en " "c ya que:
     
     
lim lim 0
lim lim 0
x c x c
x c x c
F x f x F c
G x g x G c
 
 
  
  
Además        ' ' ' 'F x f x y G x g x  para toda " "x en el
intervalo dado, con excepción posiblemente en " "c . Como las
condiciones del Teorema del Valor Medio de Cauchy son
conocidas para las funciones F y G, tanto en el intervalo

39
,x c   como en el ,c x   , existe un valor " "u entre c y x tal
que:
   
   
 
 
 
 
' '
' '
F x F c F u f u
G x G c G u g u

 

De la definición de las funciones se puede escribir que
 
 
 
 
'
'
f x f u
g x g u

Como " "u está entre c y x, del teorema del emparedado
para límites se concluye que:
 
 
 
 
'
lim lim
'x c u c
f x f u
L
g x g u 
 
Un argumento similar puede ser usado si L es “infinito”. La
prueba cuando
 
 
f x
g x
es una forma indeterminada del tipo


puede encontrarse en libros de cálculo avanzado.
Se puede justificar el uso de la Regla de L’Hopital cuando
c   para la forma indeterminada del tipo
0
0
por el siguiente
argumento: en
 
 
lim
x
f x
g x
sea
1
x
u
 . Entonces, como x  ,
entonces 0u 
 , y
 
 
 
 
0 0
2
0 0
2
1 1
lim lim lim
1 1
1 1
'
'
lim lim
1 1 '
'
x u u
u u
d
f f
f x u du u
dg x
g g
u du u
f
f xuu
L
g x
g
uu
 
 
  
 
   
   
    
   
   
   
 
  
   
 
  
 

40
Un caso similar se presenta cuando c   .
Como se ha visto, esta regla de L’Hopital se puede aplicar para
resolver las formas indeterminadas
0
0
y


. Ahora se
resolverán algunos ejercicios de límites para ilustrar la
aplicación de esta novedosa regla:
Ejemplo. Calcular el valor de los límites siguientes:
2
0 0 0
ln2) lim ; ) lim ; ) lim
1 cos cscx x x
x
sen
senx x
i ii iii
x x x  

41
Ejemplo. Obtener el valor de los límites:
 2
30 1
0
tan1 2 4
) lim ; ) lim
1
6 2
) lim
x
x x
x x
x
ang xe x
i ii
xx
iii
x

 

 
     



42
Ejemplo. Calcular el valor de los siguientes límites:
2 02
0
8 2 1
) lim ; ) lim
2 1 cos4
1 cos
) lim
xx
x
x
i ii
x senx xx
x
iii
senx x
 

  
       
 
 
 

43
Ejemplo. Determinar el valor de los límites siguientes:
 
 
2
0
0
2
) lim csc ; ) lim cot
) lim ln ; ) lim 2 sec
x x
x
x
i x x ii x x
iii x x iv x x


 




44
Ejemplo. Obtener el valor de los siguientes límites:
 
 
0
1
2 csc3
0
1
) lim 1 ; ) lim csc
5
) lim ; ) lim cos2
x
x
x x
x x
x x
i ii x
x
iii iv x x
x
 
 
 
 
 
 
 
 

46
INTEGRALES IMPROPIAS
En integración se pide que la función sea continua en el
intervalo considerado y que además éste sea finito. En este
tema se pretende estudiar un cierto tipo de integrales en las
cuales uno o los dos límites de integración son el infinito o bien,
cuando el integrando considera una función con un número
finito de discontinuidades en el intervalo de integración en
estudio. A estas integrales se les llamará integrales impropias.
Supóngase que se tiene una determinada función " "f que es
continua en un intervalo semiabierto ,a  y que es siempre
positiva, y considérese además que:
 lim 0
x
f x


La gráfica de esta función se muestra a continuación:
f
x
t
y
a
 A t

47
Si como se observa en la figura, t a , entonces el área  A t
bajo la curva, entre las rectas de ecuaciones x a y x t 
está dada por la expresión:
   
t
a
A t f x dx 
Si en esta expresión el límite  lim
t
A t

existe, entonces puede ser
interpretado como el área de la región limitada bajo la curva
 f x , sobre el eje " "x y hacia la derecha del valor x a . El
símbolo  a
f x dx

 es usado para denotar este valor. Así, es
posible resolver esta área de la manera siguiente:
     lim
t
a at
A t f x dx f x dx


  
También podría presentarse el siguiente caso en el que una
función presenta una discontinuidad en el intervalo en estudio.
Así, sea la función " "f y el intervalo ,a b  , con su gráfica dada
por:
Esta función presenta una discontinuidad en x c por lo que
para calcular la integral entre los valores x a y x b  , esto
es, el área bajo la curva señalada en la figura, se podría hacer
mediante las siguientes integrales:
         lim lim
b c b p b
a a c a qp c q c
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
 
       
x
y
f
a c b

48
Otro caso que se podría presentar es el que se muestra en la
figura:
Aquí la integral  f x dx

 o bien, el área bajo la curva, se
podría resolver de la manera siguiente, “partiendo” en dos al
área requerida:
     
   
0
0
0
0
lim lim
q
pp q
f x dx f x dx f x dx
f x dx f x dx
 
 
 
  
 
  
 
Ahora se presenta una definición para estas integrales donde
uno o los dos límites son el infinito o cuando existen puntos de
discontinuidad en el intervalo en estudio.
DEFINICIÓN.
)i Sea la función f continua en el intervalo ,a  . Entonces el
área bajo la curva, limitada arriba por la gráfica de la curva y
hacia la derecha de x a de manera indefinida, se obtiene a
partir de la siguiente integral conocida y definida como integral
impropia:
   lim
t
a at
f x dx f x dx


 
si el límite existe.
)ii Sea la función f continua en el intervalo  , b . Entonces,
el área bajo la curva, limitada arriba por la gráfica de la curva
y hacia la izquierda de x b de manera indefinida, se obtiene
y f
x

49
a partir de la siguiente integral conocida como integral
impropia:
   lim
b b
tt
f x dx f x dx
 
 
si el límite existe.
)iii Sea la función f continua en el intervalo  ,  . Entonces,
el área bajo la curva, limitada arriba por la gráfica de la curva
y que se abre indefinidamente hacia la izquierda y derecha en
el eje de las abscisas, se obtiene a partir de las siguientes
integrales conocidas como integrales impropias:
     
   lim lim
a
a
a
pp q
a
f x dx f x dx
 
 

 
  
 
  
 
si los límites existen. El valor x a pertenece al intervalo.
)iv Sea la función f continua en el intervalo  , ,a c c b  .
Entonces, el área bajo la curva, limitada por los valores
extremos del intervalo y considerando el punto de
discontinuidad en x c se obtiene a partir de las siguientes
integrales conocidas como integrales impropias:
     
   lim lim
b c b
a a c
p b
a qp c q c
f x dx f x dx
 
  
 
  
 
Si los límites existen.
En cada caso, si el límite es finito, se dice que la integral
impropia es convergente y que el valor del límite es el valor de
la integral impropia. Si el límite no existe, la integral impropia es
divergente. Cuando la integral original se divide en dos
integrales, ambas deben ser convergentes para que la integral

50
original sea convergente. Si una es divergente o las dos lo
son, la integral original es divergente.
Ejemplo. Determinar si las siguientes integrales impropias
convergen o divergen. Asimismo, realizar una gráfica de
ambas y analizar si existe una relación entre ellas.
 
22 2
1 1
) ; )
11
i dx ii dx
xx
 

 
Solución.
 
22
1
)
1
i dx
x



 
2
1
dx
x 

 
2
2
2
1
1
1
11
du
u x du dx u du C
uu
dx
C
xx

        
   

 

   
2 22 2
2
1 1 1 1 1
lim lim lim 1
1 1 2 11 1
t
t
t t t
dx dx
x tx x

  
   
               
 
 
22
1
1 convergente
1
dx
x

  


2
1
)
1
ii dx
x


1
dx
x 
 
2
1 ln
ln 1
1
du
u x du dx u C
u
dx
x C
x
      
   




51
22 2
1 1
lim lim ln 1 lim ln 1 ln1
1 1
t t
t t t
dx dx x t
x x

  
               
2
1
divergente
1
dx
x

   

Las gráficas de ambas funciones se muestran a continuación:
1 2 3
1
4
x
y
2
4
3
5
1
1
y
x


Asíntota: 1x 
1 2 3
1
4
x
y
2
4
3
 
2
1
1
y
x


Asíntota: 1x 

52
Ejemplo. Asignar un área a la región que queda comprendida
bajo la curva
2
x
e
y  , sobre el eje " "x y a la izquierda de 2x  .
Ejemplo. Calcular la integral impropia 2
2
1
dx
x

  . Para ello,
trazar la gráfica de la función del integrando e interpretar la
integral como un área.
Solución. Se grafica la función del integrando y se obtiene:

53
Se divide en dos partes la región, se utiliza la integral impropia y
se obtiene:
0
2 2 20
2 2 2
1 1 1
dx dx dx
x x x
 
 
 
    
0
2 20
2 2
lim lim
1 1
q
pp q
dx dx
x x 
 
  
La resolución de la integral indefinida está dada por:
2 2
2
2 2 tan
1 1
dx
dx ang x C
x x
  
  
Luego, dada la simetría de la figura, bastará con calcular una
de las integrales y si es convergente, su valor finito, multiplicado
por dos, equivaldrá al área de la región, esto es, al valor de la
integral impropia.
Así,
2 00
2
lim lim 2 tan
1
lim 2 tan 2 tan0 2
2
q q
q q
q
dx ang x
x
ang q ang


 

   
 
       
 

Por lo tanto 2
2
2
1
dx
x




 y la integral impropia es
convergente.
Ejemplo. Analizar la convergencia o divergencia de la
siguiente integral impropia y graficar la función del integrando.
x
2
2
1
y
x


y

54
3
1 2
4 3
dx
x x 


55
Ejemplo. Investigar la convergencia o divergencia de la
siguiente integral impropia. Graficar la función y el área que se
obtendría con el cálculo de la integral impropia si es que es
convergente.
 
8
20
34
dx
x


56
Ejemplo. Determinar si la siguiente integral impropia converge
o diverge y graficar el área que de ser convergente
determinaría con su valor:
1
3
1
dx
x



57
Ejemplo. Calcular la integral impropia siguiente:
2
x
xe dx




58
Nota. Si se hubiera pedido calcular el área bajo la curva, se
tendría que haber hecho lo siguiente: se grafica la función y se
tiene:
Como se observa, existe simetría con respecto al origen, por lo
que se entiende que el resultado de la integral impropia haya
sido cero ya que se trata de dos áreas de igual valor absoluto
pero diferente signo. Para calcular el área habría que calcular
una sola parte y después multiplicar por dos el resultado, lo que
equivale, si se toma la parte de la derecha del eje de las
ordenadas, a:
2 2
2
0 0
1
2 lim 2 1 1
2
q
x x
q
A xe dx xe dx A u

 

 
      
 
 
Ejemplo. Evaluar la integral definida siguiente, trazar el área
que considera y resolverla:
x
y
1
1
1
2
x
y xe

1

59
2
31
dx
x
Solución. Primero se hace una gráfica aproximada del
problema planteado y:
La integral impropia, para resolverse, se expresa como:
2 0 3 2
3 3 3 3 31 1 0 10 0
lim lim
p
qp q
dx dx dx dx dx
x x x x x   
       
La resolución de la integral indefinida es muy sencilla:
2
3
3 2
1
2 2
dx x
x dx C C
x x


     
 
Luego,
   
2
2
3 2 21 0 0
1
2 20 0
1 1
lim lim
2 2
1 1 1 1
lim lim
2 1 2 42 2
p
p q
q
p q
dx
x x x
p q
  

 
   
      
   
   
          
      

Luego la integral impropia es divergente y no asigna área a la
región señalada.
x
y
2
1
3
1
y
x

3
1
y
x


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