1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
ESCUELA DE INGENIERIA
CABUDARE ESTADO LARA
ESTRUCTURA DISCRETA
CALCULO PROPOSICIONAL
HUGO NAVAS
JUNIO 2013
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2. Sintaxis de la lógica proposicional:
Lenguaje
Es una construcción a partir de ciertas unidades llamadas signos (marcas –
letras) a partir de las cuales se construyen expresiones (sucesión finita de signos sin
significado) y entre las cuales se destacan las fórmulas bien formadas (expresiones con
significado)
Observación: el lenguaje en conjunción con axiomas y reglas de inferencia constituyen
lo que se denomina un sistema deductivo formal (sintaxis)
Lenguaje de la lógica proposicional:
Consta de:
Alfabeto de signos:
o Variables proposicionales: p, q, r, s,… (simbolizan proposiciones simples)
o Conectivos lógicos u operadores lógicos: negación (¬), disyunción no
excluyente (∨), conjunción (∧), condicional (→) y bicondicional (↔) entre otros
enlazan variables proposicionales para formar formas proposicionales
compuestas.
o Signos auxiliares: true (constante de verdad), false (constante de falsedad), “(“,
“)” (paréntesis).
Fórmulas proposicionales (fórmulas bien formadas, definidas en forma inductiva)
Notación: A, B, C, … (letras metalingüísticas)
o Las variables proposicionales son fórmulas bien formadas (base de la
definición).
o Si A y B son fórmulas proposicionales entonces: ¬ A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B)
y (A ↔ B) son fórmulas proposicionales (paso inductivo).
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3. o El conjunto de fórmulas proposicionales (F) es el generado por las reglas
anteriores (cláusula de cierre).
1) Dadas p y q: variables proposicionales, indicar cuáles de las siguientes expresiones
son fórmulas bien formadas:
a) p ∨ q b) (p ∨ q)
c) p ∨ q → r d) (p ∨ q) → r
e) ((p ∨ q) → r) f) (true ↔ p)
g) (p → ¬ p → q) h) p = q
2) Eliminar los paréntesis innecesarios de las siguientes fórmulas bien formadas
(fórmulas proposicionales) según criterios de reducción de paréntesis:
a) (((¬ p) ∧ q) → ¬ (p ∨ (r ∧ q)))
b) (¬ (((p ∧ q) ∨ (q ↔ r)) → (((¬ p) ∨ q) ↔ (p ∨ (¬ r)))))
c) ((p ∧ ((¬ p) ↔ q)) → ((¬ q) ∧ (¬ (p ∧ q))))
Observación:
La eliminación de paréntesis está sujeto a los siguientes criterios de reducción de
paréntesis:
o se pueden eliminar los paréntesis externos.
o la precedencia de asociación de conectivos es: ¬, ∧, ∨, →, ↔ (alcance de
conectivos).
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4. o si un conectivo se usa repetidamente, se asocia según la siguiente tabla de
asociatividad:
3) Indicar los árboles de análisis (o árboles de formación) de las fórmulas
proposicionales dadas en el ejercicio anterior.
Observación:
Tener en cuenta las siguientes reglas de inscripción:
A¬ BA ∗
A¬
A
A, B: fórmulas proposicionales
∗: conectivo binario
Semántica de la lógica proposicional:
Hasta ahora las fórmulas proposicionales son meras combinaciones de símbolos que
responden a ciertas reglas de formación pero sin sentido alguno. Ahora se dotará al
lenguaje de un poder de expresión a través de una interpretación. La semántica hace
referencia fundamentalmente a la manera en que se asignan valores de verdad a las
expresiones del cálculo.
∧ izquierda
∨ izquierda
→ derecha
↔ derecha
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A B

5. Semántica clásica (lógica bivaluada o bivalente – semántica basada en tablas de verdad)
Hay dos valores de verdad posible: verdadero (V - 1) y falso (F - 0)
El valor de verdad de una fórmula proposicional depende del valor de verdad de las
variables proposicionales que intervienen en la fórmula.
p ¬ p
0 1
1 0
4) Analizar si las siguientes oraciones son proposiciones.
el signo se interpreta como
true 1
false 0
¬ “no” y se llama negación
∧ “y” y se llama conjunción
∨ “o” (no excluyente) y se llama disyunción
→ “si…entonces” y se llama condicional
↔ “….si y sólo si…” y se llama condicional
p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q
0 0 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1
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6. a) Prolog. es un lenguaje declarativo basado en las reglas de la lógica.
b) ¿Vienes hoy a clase?
c) Visite las playas de Pinamar.
d) Visité las playas de Pinamar.
e) 5 es múltiplo de 2.
f) Pascal es un lenguaje de procedimientos.
g) Si Borges no hubiera nacido, Sábato sería el mejor escritor argentino.
h) x + 4 = 10.
i) Hay números enteros que satisfacen la ecuación x +4 = 10.
j) Si estudias hoy podrás salir mañana.
k) En la última década ha habido un creciente énfasis en el uso de métodos formales
para el desarrollo de sistemas hardware y software.
5) Asignar letras a las proposiciones simples (átomos) y expresar, mediante el uso de
conectivos, las siguientes proposiciones:
a) Iré al médico aunque me siento bien.
b) No serán sancionados si la notificación llegó con retraso y tampoco serán
sancionados si tienen justificativo médico.
c) No cometió el crimen si no pudo comprar un revolver.
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7. d) El cuadro es de valor de verdad si solo tiene por lo menos 600 años.
e) Es suficiente que deje de fumar para que mi rendimiento físico mejore.
f) Es necesario que deje de fumar para que mi rendimiento físico mejore.
g) Es necesario y suficiente que no tenga deudas para que salga de garante.
6) Construir las tablas de verdad de las siguientes fórmulas proposicionales:
a) (p ∧ ¬ q) → ¬ q
b) (p ∨ q) ↔ p
c) ¬ (¬ p ∧ ¬ q) ∧ (¬ p → ¬ q)
d) p ∧ (p ∨ q) ↔ p
e) p → p ∨ q
f) ¬ (p ↔ q) ↔ (p ∨ ¬ q)
Observaciones:
O1) Una fórmula proposicional es una tautología o ley lógica ó verdad lógica, si para
toda asignación de valores de verdad de las componentes simples resulta ser verdadera.
Si para toda asignación resulta ser falsa, es una contradicción. Finalmente una fórmula
que no es ni tautología ni contradicción, es una contingencia.
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Dado el condicional: A → B, además del giro idiomático asociado;
“Si A entonces B”
otros giros asociados son:
A sólo si B
B si A
A es condición suficiente para B
B es condición necesaria para A

8. O2) Si un condicional (A → B) o (A ⊃ B) es tautológico, se dice que el antecedente
implica lógicamente el consecuente. Se indica: (A ⇒ B)
03) Si un bicondicional (A ↔ B) es tautológico, se dice que una de sus componentes
equivale lógicamente a la otra. Se indica: (A ⇔ B) o (A ≡ B)
7) Determinar el valor de verdad de las siguientes fórmulas proposicionales a partir de
la siguiente valuación: v(p) = v(s) = V y v(q) = v(r) = F
a) (p ∨ q) ∧ r
b) (¬ p) ∨ ((¬ (q ∧ s)) ∧ r ∧ s)
c) (q ∨ s) ∧ (r → s)
8) Dada la fórmula A : (r ∧ (¬ p)) → (¬ q)
a) Si v(A) = V, v(q) = V y v(p) = F, hallar v(r)
b) Si v(A) = F, v (r) = V y v(p) = F, hallar v(q)
9) Justificar si la información indicada es suficiente, en cada caso, para determinar el
valor de verdad de la fórmula proposicional indicada:
a) (p ∧ q) → (p ∨ r) v (p) = V y v(r) = F
b) ((¬ p) ∧ (¬ q )) ↔ (p ∨ q) v (p) = V
c) (p → q) ∧ r v (r→ p) = V
Semántica basada en el concepto de satisfactibilidad
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Una valuación (v) es una función que asigna valores de verdad a las variables
proposicionales: v: V →{0, 1}
(V: conjunto de variables proposicionales que intervienen en la fórmula
proposicional dada)

9. Dada una valuación (v) y una fórmula proposicional A, se define que “v satisface A” y
se indica v ⊨ A en forma inductiva:
En función de esto se dice que:
10) Obtener una fórmula proposicional más simple equivalente a la dada en cada caso.
Indicar las leyes lógicas aplicadas:
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v ⊨P si v (P) = 1
v ⊨ true
A es tautologia si toda valuación v la satisface (v ⊨ A, cualquiera sea v)
se indica ⊨ A

10. a) ¬ (¬ p ∧ ¬ q) ∧ (¬ p → ¬ q)
b) ¬ (¬ (p→ ¬ q ) ∧ ¬ (q→ ¬ p)
c) ((p ∧ q) ∨ (¬ p ∨ q)) ∧ p
d) ((p ∧ (q ∨ ¬ q) ∧ (¬ r ∨ r)) ∨ p ∨ (¬ r)
11) Verificar que las siguientes fórmulas son tautológicas mediante el uso de leyes
lógicas:
a) ((p ∧ q) → r) y (p → (q → r))
b) ((p ∨ q) → r) y ((p → r) ∧ (q → r))
12) Ídem 11) pero a través de una “tabla simplificada”:
a) (p ∨ (q → ¬ r)) ∨ (¬ p ↔ q)
b) ((p → q) ∨ (q → p)) ↔ ((p ∧ q) → (p ∨ q)
Observación:
A los efectos de analizar si una fórmula proposicional es tautologia, contradicción o
contingencia, en lugar de hacer una tabla completa, se puede hacer una tabla
simplificada o abreviada. La misma consiste :
en el caso de que sea tautología en descartar la posibilidad de que la tabla arroje
algún resultado falso
en el caso de que sea contradicción en descartar la posibilidad de que la tabla arroje
algún resultado verdadero
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11. en el caso de que sea contingencia en mostrar una valuación que satisfaga la
fórmula y otra que no la satisfaga
13) Determinar la relación de fuerza entre los siguientes pares de fórmulas:
a) true, false b) (p ∧ q) →(p ∨ q) c) true, true d) false, false
e) p,(p ∧ q) f) p,(p ∨ q) g) p, (p →q) h) (p↔q), (p →q)
¿ Hay una fórmula más fuerte que todas las demás?
¿ Hay una fórmula más débil que todas las demás?
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Se dice que una fórmula proposicional A es más fuerte que
una fórmula B (o que A fuerza B) cuando ⊨ A → B

12. 14) Factorizar y reducir las siguientes fórmulas proposicionales:
a) (p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ q) ∨ (p ∧ (¬ r))
b) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ∨ (p ∧ (q ∨ (¬ r))
c) ((¬ p) ∨ r) ∧ ((¬ p) ∨ (¬ r))
15) Hallar en cada caso una fórmula proposicional, cuya tabla de verdad arroje el
resultado indicado, en su forma normal disyuntiva (FND) o bien en su forma normal
conjuntiva (FNC), según convenga.
p q r f (p ,q, r) g (p ,q, r) h (p ,q, r)
0 0 0 1 1 0
0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 0 1
0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 1 0
1 0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 0
1 1 1 0 1 1
16) Hallar una fórmula proposicional equivalente a la dada usando sólo los conectivos
de los siguientes conjuntos adecuados de conectivos: {∼, ∧, ∨}, {↓}, {}
a) ((p → q) ∨ (∼p)) ∧ (∼(p ∧ q))
b) (p ↔ q) ∨ (∼(∼p ∧ q))
c) (p ∨ q) ∧ (∼(p → q))
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Así como dada una fórmula proposicional se puede confeccionar una única tabla de
verdad correspondiente (salvo el orden en que arman las filas), dada una tabla de
verdad arbitraria, se puede hallar una fórmula proposicional (standard) asociada a
la misma

13. Observaciones:
O1) Se dice que {∼, ∧, ∨} es un conjunto adecuado o completo de conectivos ya que
toda proposición compuesta se puede expresar usando únicamente los conectivos de
dicho conjunto
O2) Se puede decir lo mismo de los conjuntos {∼, ∧}; {∼, ∨} y {∼, →}
Observación: los giros idiomáticos que caracterizan a las operaciones NOR y NAND,
tienen que ver con las equivalencias:
(p ↓ q) ≡ ¬ (p ∨ q) ≡ ¬ p ∧ ¬ q
(p | q) ≡ ¬ (p ∧ q) ≡ ¬ p ∨ ¬ q
y llevan naturalmente a las tablas:
p q p ↓ q p | q
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 0 0
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Hay dos conectivos que merecen especial atención por las consecuencias en el
diseño y estudio de computadoras.
Estos son el conectivo NOR (negación de disyunción), denotado por ↓ y
caracterizado por el giro idiomático “ni ...ni” (negación conjunta) y el conectivo
NAND (negación de conjunción), denotado por | y caracterizado por el giro
idiomático “o no... o no...” (negación alternativa).

14. 17) Demostrar, en la forma indicada, que los siguientes condicionales son verdaderos:
en forma directa:
a) Si un número entero es múltiplo de 6 entonces dicho número es múltiplo
de 2 y múltiplo de 3.
b) El producto de dos enteros impares es impar.
en forma indirecta o por contrarecíproco:
1. Si el cuadrado de un número entero es impar, dicho número es impar
2. Si al multiplicar un número entero por cinco y a dicho resultado se le
suma tres se obtiene un entero par, el número dado es impar.
por absurdo:
1. Si un número entero es menor que otro, necesariamente el primero es menor
o igual que el sucesor del segundo.
2. Un número entero es impar sólo si su sucesor es par.
18) Refutar las siguientes afirmaciones:
a) la suma de dos naturales pares es un natural impar.
b) el producto de dos naturales impares es un natural par
c) La suma de dos múltiplos de 3 es un número par.
d) La suma de un múltiplo de 3 y de un múltiplo de 2 nunca es múltiplo de 3.
19) Demostrar o refutar (según corresponda) las siguientes afirmaciones:
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15. a) Si un número natural es múltiplo de 100 entonces es múltiplo de 10.
b) Si un número natural es múltiplo de 10 entonces es múltiplo de 100.
c) Si n = 3 k + 2 con k ∈ N , entonces n es impar.
d) Si n = 3 k + 2 con k ∈ N , entonces n es divisible por 3.
e) Si n = 3 k + 2 con k ∈ N , entonces n es divisible por 2.
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