Este documento describe los conceptos fundamentales detrás del variograma, incluyendo su definición teórica y experimental, cómo se calcula a partir de datos, y cómo se ajustan modelos. El variograma analiza la variabilidad espacial de una variable y puede detectar anisotropía y zonas de influencia.

2. Contenido
• VARIOGRAMA EXPERIMENTAL
• VARIOGRAMA TEÓRICO
• Propiedades básicas
• Definición
• Estudio de modelos de variograma
• Cálculo a partir de los datos
• Características básicas
• Definición
• Ajuste de modelos de variograma

3. Variograma Teórico-Definición
Es una herramienta que permite
analizar el comportamiento espacial
de una propiedad o variable sobre
una zona dada
Detectar direcciones de anisotropía
Ejemplo:
Zonas de influencia y su extensión (correlación
espacial)
Variabilidad con la distancia

4. 1
5
3
7
9
8
2
4
6 1
2
3
4
5
6
7
8
9
A B
MEDIA = 5
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4
Distancia
Variograma
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4
Distancia
Variograma
VARIANZA=50/9
HISTOGRAMAS IGUALES
Variograma Teórico-Definición
Continuidad espacial

5. 0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0 2 4 6 8 10
Distancia
Variograma
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20 25
Ubicación
Variable
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1 2 3 4 5 6 7
Distancia
Variograma
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Ubicación
Variable Variograma Teórico-Definición
Continuidad espacial

6. 0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
Distancia
Variograma
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
Ubicación
Variable Variograma Teórico-Definición
Continuidad espacial

7. Variograma Teórico-Definición
Curva de proporción vertical
Unidad 2 Unidad-5
Unidad 1 Unidad-4

8. Variograma Teórico-Definición
Curva de proporción vertical

9. 2
)]
(
)
(
[
2
1
h
x
Z
x
Z
E 


)]
(
)
(
[
2
1
)
( h
x
Z
x
Z
Var
h 



n
n
R
h
R
x 
 ,
)
(x
Z es estacionaria o intrínseca
Si
Variograma Teórico-Definición

10. 
• depende del módulo y de la dirección del vector h
Variograma Teórico-Características
  2
)]
(
)
(
[
2
1
h
x
Z
x
Z
E
h 



• Valor promedio de la diferencia al cuadrado de los
valores de la propiedad en dos puntos separados por
una distancia |h|

• es independiente de la localización x

11.  
h
x
Z 
1
h
x 
h
1
h
 
1
h
x
Z 
h
x
  2
2
1
)]
(
)
(
[ h
x
Z
x
Z
E
h 



 
x
Z
x
Detección de
características
que varían según
la dirección y la
distancia
Variograma Teórico-Características

12. Distancia
Variograma
Distancia
Variograma
Variograma Teórico-Características

13. Variograma Experimental-definición
  2
2
1
)]
(
)
(
[ h
x
Z
x
Z
E
h 


 Variograma Teórico
Variograma Experimental
  




h
x
x
j
i
j
i
x
z
x
z
h
N
h 2
*
))
(
)
(
(
2
1
)
(


14. Z
Z
Z
Z
base
tope
base


Variograma Experimental-definición
Coordenadas estratigraficas
La correlación espacial se
debe calcular dentro de la
misma unidad estratigráfica

15.   




h
x
x
j
i
j
i
x
z
x
z
h
N
h 2
*
))
(
)
(
(
2
1
)
(

• Se escoge una dirección 
• Se escoge una distancia o lag h
• Se calcula para valores de h,2h,
3h,...,nh
*

• Se grafica versus los valores
h,2h, 3h,...,nh
*

0
1
2
3
4
5
6
0
0
.
4
0
.
8
1
.
2
1
.
6
2
2
.
4
2
.
8
3
.
2
3
.
6
4
Distancia
variograma
experimental
Variograma
experimental
Variograma Experimental-obtención

16.   




)
(
2
*
))
(
)
(
(
2
1
)
(
h
N
1
i
i
i h
x
z
x
z
h
N
h

     
     
     
     
     
 
 
2
6
5
2
5
4
2
4
3
2
3
2
2
2
1
*
5
*
2
1
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
h 










     
     
     
     
 
 
2
6
4
2
5
3
2
4
2
2
3
1
*
4
*
2
1
2 x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
h 








     
     
     
 
 
2
6
3
2
5
2
2
4
1
*
3
*
2
1
3 x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
h 






1
x 2
x 3
x 4
x 5
x 6
x
h
Datos Igualmente espaciados:
Variograma Experimental-obtención

17. h
Datos Igualmente espaciados:
  




)
(
2
*
))
(
)
(
(
2
1
)
(
h
N
1
i
i
i h
x
z
x
z
h
N
h

  
,
2
,
1
,
0
,
,
0 
k
kh
  
,
2
,
1
,
0
,
0
, 
k
kh
  
,
2
,
1
,
0
,
,
, 


j
k
jh
kh
Variograma Experimental-obtención

18. Datos Irregularmente espaciados:
• Puede ocurrir que no existan valores de la variable a la distancia h
• Puede ocurrir que no existan valores de la variable en la dirección 
Variograma Experimental-obtención

19. Variograma Experimental-distancia
• Clases de distancia:
Para cada lag h se define una tolerancia y se utilizan
únicamente los puntos que se encuentran a una distancia mayor o
igual a y menor que
h

h
h 
 h
h 

 
3
x
z
h
2h
3h
 
1
x
z
 
2
x
z
 
4
x
z
 
5
x
z

20. Variograma Experimental-distancia
• Clases de distancia:
h

El valor de se escoge como el 50% del valor del
lag h. De esta forma:
• Las clases de distancia no se superponen
• No hay valores de la variable fuera de una clase de
distancia

21. Variograma Experimental-distancia
0 1 2 3 4 5 6
1.2
0 2.4 2.8 4.9
1.2
0 2.4 2.8 4.9
5
.
0

h
1

h
1

h
1

h
1.2
0 2.4 2.8 4.9
1
.
0

h
1

h

22. Variograma Experimental-distancia
h
h 5
.
0


h
h 5
.
0


h
h 5
.
0



23. • Clases de dirección :

 
 
 




Para cada dirección se define una tolerancia
y se utilizan únicamente los puntos que se
encuentran entre las direcciones y
Variograma Experimental-dirección

24. 
 


 

puntos descartados
puntos aceptados



Variograma Experimental-dirección

25. 

 


 



puntos aceptados
puntos descartados
b
b = ancho de banda
Variograma Experimental-dirección

26. Variograma Experimental-distancia & dirección
clase de distancia h



clase de distancia 2h
clase de distancia 3h

27. 


Variograma Experimental-obtención

28. Variograma Experimental-obtención
h: Distancia promedio entre los pozos
A partir del variogram cloud
A partir del variograma omnidireccional
Se escoge como la dirección de anisotropía
de la variable. Se puede obtener a partir
de:
Información geológica, petrofísica, etc
Mapa de variograma
 :
n: Cuando se calcula el variograma sobre un
dominio D se escoge n de forma tal que:
n*h < | D | / 2
Valor del lag h
Número n de lags
Valor de  

y

29. 1.2
0 2.4 2.8 4.9
Lag h muy grande
Lag h pequeño, n muy grande
Variograma Experimental-lag
1.2
0 2.4 2.8 4.9
Lag h adecuado, valor de n ?

30. Variograma Experimental-lag

31. Variograma Omnidireccional
Variograma Omnidireccional:
Es aquel que no depende de la dirección
Se obtiene al escoger la tolerancia angular 

de forma tal que las direcciones 
 
 y 
 

sean opuestas y perpendiculares a la dirección 
Se puede pensar como el promedio del variograma
experimental en todas las direcciones posibles

32. Variograma direccional
Variograma omnidireccional
Variograma Omnidireccional

33. Variogram Cloud
  




h
x
x
j
i
j
i
x
z
x
z
h
N
h 2
*
))
(
)
(
(
2
1
)
(

Variogram Cloud:
  




h
x
x
j
i
j
i
x
z
x
z
h
N 2
))
(
)
(
(
1
2
Al graficar el valor de
los pares versus la
distancia se obtiene el
variogram cloud
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6 7
Distancia

34. Variogram Cloud
Variogram Cloud:
Permite detectar valores
atípicos o cambios bruscos
Permite escoger un valor
inicial del lag
Permite observar la dispersión
alrededor del valor de
*
 0
50
100
150
200
250
300
0 1 2 3 4 5 6 7
Distancia

35. Variogram Cloud

36. Mapa de Variograma
Mapa de Variograma :
Es una herramienta que
permite determinar las
direcciones de anisotropía
de la variable en estudio

37. 0
0
Mapa de Variograma
Definir una malla (2n+1)*(2n+1)
h
Definir el valor del lag h
Asignar a cada bloque el valor
de
*


38. Mapa de Variograma

39. Variograma Experimental-tolerancia angular
Tolerancia angular

40. CARACTERÍSTICAS

BÁSICAS

41. Variograma-Características Básicas
1) RANGO Y SILL
2) COMPORTAMIENTO A PEQUEÑAS DISTANCIAS
3) COMPORTAMIENTO A GRANDES DISTANCIAS
4) ANISOTROPÍAS

42. 0
0,5
1
1,5
2
2,5
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
39
42
Distancia
Variograma
Rango:
Distancia a la cual el
variograma se estabiliza
Sill :
Valor constante que toma el
variograma en distancias
mayores al rango
Variograma-Rango & Sill

43.   )]
(
)
(
[
)]
(
)
(
[
2
1 2
2
h
x
Z
x
Z
E
h
x
Z
x
Z
E
h 




 

Si para una distancia dada d las variables Z(x) y
Z(x+h) son no correlacionas entonces el variograma
es constante
2


Rango:
Distancia a partir de la cual
no hay correlación
Sill:
Varianza de la función aleatoria Z
Variograma-Rango & Sill

44. Variograma-Rango & Sill

45. COMPORTAMIENTO A PEQUEÑAS DISTANCIAS
Comportamiento
1) DISCONTINUO
2) LINEAL
3) CUADRÁTICO
Permite estudiar cuán rápido puede variar la
variable en estudio a pequeñas distancias.
Básicamente el variograma presenta las 4 formas
siguientes:
4) HÍBRIDOS

46. Comportamiento discontinuo
  )]
(
)
(
[
2
1
h
x
Z
x
Z
var
h 



  0
0 

Puede ocurrir que para
distancias cercanas a cero el
valor del variograma no se
aproxima a cero
Efecto pepita o nugget effect

47. Comportamiento discontinuo
Interpretación del nugget effect
1) Variable muy irregular a distancias cortas
  2
)]
(
)
(
[
2
1
h
x
Z
x
Z
E
h 



0

h
Z(x) y Z(x+h) difieren mucho
no se aproxima a cero

48. 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0
1,5
3
4,5
6
7,5
9
10,5
12
13,5
15
16,5
18
Distancia
Variograma Valores
observados
Valores
reales
Interpretación del nugget effect
2) Errores de medición en
las variables
     
x
x
Z
x
Zobs 


    2



 
 h
h Z
Zobs
2


Comportamiento discontinuo

49. Interpretación del nugget effect
Comportamiento discontinuo
3) presencia de estructuras o
ausencia de valores en distancias
inferiores a las que se tomaron las
muestras

50. Comportamiento Lineal
Comportamiento lineal
Indica que para
distancias pequeñas, el
variograma tiene un
comportamiento lineal.
Representa variables
continuas pero no
diferenciables. Así, la
propiedad puede
cambiar rápidamente
de un punto a otro. 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0
1
,
5
3
4
,
5
6
7
,
5
9
1
0
,
5
Distancia
Variograma

51. Comportamiento lineal
La variabilidad de la
propiedad dependerá de
la pendiente de la recta
en el origen
A mayor pendiente,
mayor variabilidad
A menor pendiente,
menor variabilidad
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Distancia
Variograma
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Distancia
Variograma
Comportamiento Lineal

52. Comportamiento Cuadrático
Comportamiento Cuadrático
Indica que para distancias
pequeñas, el variograma tiene
un comportamiento cuadrático.
Representa variables sumamente
continuas e infinitamente
diferenciables. Así, la propiedad
NO puede cambiar rápidamente
de un punto a otro. 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
Distancia
Variograma

53. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5 12 13,5 15 16,5 18
Distancia
Variograma
Comportamiento Híbrido:
Variación más suave a
distancias cortas
Variación más fuerte a
distancias grandes
Indica presencia de
estructuras actuando a
diferentes escalas
Comportamiento Híbrido

54. Comportamiento-grandes distancias
NO TODOS LOS VARIOGRAMAS
POSEEN UN RANGO Y UN SILL
FINITO
Distancia
Variograma
INDICA LA PRESENCIA DE
UNA DERIVA O DRIFT
VARIABLE NO ESTACIONARIA
Comportamiento a grandes
distancias :

55.  
   
x
m
x
Z
E 
Drift
     
     
 2
2
2
1
2
1
x
m
h
x
m
x
Z
h
x
Z
E
h 






Variograma Teórico
Estimación del variograma
Sesgo
Comportamiento-grandes distancias

56. D1=E-O
D2=N-S
Comportamiento-grandes distancias

57. Anisotropías
Anisotropías :
Generalmente cuando el variograma experimental
es calculado en distintas direcciones presenta
distintos comportamientos con la variación de la
distancia.
Anisotropía Geométrica
Anisotropía Zonal
Anisotropía Híbrida

58. Anisotropía Geométrica
Anisotropía Geométrica :
Es aquella en la que el
variograma en distintas
direcciones presenta el
mismo sill pero rangos
distintos
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0,0 0,9 2,0 3,0 4,1 5,1 6,2 7,2 8,3 9,3 10,4 11,4
Distancia
Variograma
N-S
E-O
Mayor continuidad espacial
en la dirección de mayor
rango
Menor continuidad espacial
en la dirección de menor
rango

59. 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0,0 0,9 2,0 3,0 4,1 5,1 6,2 7,2 8,3 9,3 10,4 11,4
Distancia
Variograma
N-S
E-O
Anisotropía Geométrica

60. Anisotropía Geométrica

61. Anisotropía Zonal :
Es aquella en la que el
variograma en distintas
direcciones presenta el
mismo rango pero diferente
sill
Presencia de diferentes
estructuras
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4
Distancia
Variograma
Anisotropía Zonal

62. 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4
Distancia
Variograma
Anisotropía Zonal

63. Anisotropía Híbrida :
Es aquella en la que el
variograma en distintas
direcciones presenta
rangos diferentes y
distintos sill.
Presencia de diferentes
estructuras
Característico de variogramas
horizontales y verticales
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 0,6 1,2 1,8 2,4 3 3,6 4,2 4,8 5,4 6 6,6 7,2
Distancia
Variograma
Anisotropía Híbrida

64. COMENTARIOS


65. COVARIANZA VS VARIOGRAMA
• El variograma se puede utilizar para modelar
fenómenos no estacionarios y la covarianza no, por
el desconocimiento de la media.
• Cuando la media es constante pero desconocida
no se necesita para el cálculo del variograma, pero
si para el de la covarianza.
•Si la función tiene varianza infinita (no estacionaria)
la covarianza no está definida en 0, sin embargo el
variograma si y es idénticamente nulo

66. Comentarios
CORRELACIÓN VS VARIOGRAMA
• La correlación estadística usual es
calculada a distancia cero (dos
observaciones en el mismo punto
del espacio) y puede no ser
representativa
• El variograma toma en cuenta el
espaciamiento y por lo tanto permite
”correlacionar espacialmente”
Fuente información 1
Fuente información 2

67. LIMITACIONES DEL VARIOGRAMA
• Es un estadístico de 2 puntos
Comentarios
• Utilizar técnicas multipuntos y
reconocimiento de patrones

68. LIMITACIONES DEL VARIOGRAMA
Comentarios
• Es extremadamente
sensible a valores
extremos
7
10
11
12
25
14
12
13
2
11
9
8
7
10
11
12
13
14
12
13
10
11
9
8
0
10
20
30
40
50
60
1 2 3 4 5 6
Distancia
Variograma
0
2
4
6
8
1 2 3 4 5 6
Distancia
Variograma

69. DEL VARIOGRAMA
EXPERIMENTALAL
MODELO DE VARIOGRAMA
*



70. Ajustar
POR QUE HAY QUE CONSTRUIR
MODELOS DE VARIOGRAMA ?
0
1
2
3
4
5
6
0
0.4
0.8
1.2
1.6 2
2.4
2.8
3.2
3.6 4
Distancia
variograma
experimental
Variograma
experimental
0
1
2
3
4
5
6
0
0
.
4
0
.
8
1
.
2
1
.
6
2
2
.
4
2
.
8
3
.
2
3
.
6
4
Distancia
Variograma
experimental
Modelo de
variograma
El variograma experimental no
se puede evaluar en distancias o
direcciones intermedias
Una interpolación entre los puntos del
variograma experimental no garantiza la
existencia y unicidad de la solución del
sistema de kriging
La interpolación no satisface las
condiciones que todo variograma debe
satisfacer
El variograma experimental no satisface
las condiciones que todo variograma
debe satisfacer
*


71. Variograma Teórico-propiedades
LOS VARIOGRAMAS TIENEN PROPIEDADES ESPECIALES, CUALQUIER FUNCIÓN QUE
DEPENDA DE LA DISTANCIA Y LA DIRECCIÓN NO NECESARIAMENTE ES UN
VARIOGRAMA
1)   0
0 

2)    
h
h 
 

El variograma calculado en la dirección de h es igual al variograma
calculado en la dirección de -h
h
-h

72. 3) Todo variograma es una funcion definida positiva condicional
Para cualquier n, cualesquiera n
x
x
x
x ,
,
,
, 3
2
1  puntos en el espacio y cualesquiera
n



 ,
,
,
, 3
2
1 
valores tales que 


n
i
i
1
0
 se tiene que
  0
1 1


 
 
n
i
n
j
j
i
j
i x
x



Esta propiedad permite calcular en forma consistente la varianza de combinaciones
lineales de funciones aleatorias
  







 

Z
var
Variograma Teórico-propiedades

73. 4) Relación con la función de covarianza
Para funciones aleatorias estacionarias se tiene que      
h
C
C
h 
 0

Distancia
Variograma
Variograma
Covarianza
Variograma Teórico-propiedades

74.   0
2


 h
h
lim
h

4) Si  es el variograma de una funcion aleatoria estacionaria o intrínseca entonces
En particular para h suficientemente grande existe una constante c tal que   2
h
c
h 

Criterio para el comportamiento del variograma a grandes distancias
Criterio para detectar un comportamiento no estacionario
Variograma Teórico-propiedades

75. 4) Combinacion lineal de variogramas
       
h
h
h
h N



 ,
,
,
, 3
2
1 
Si son modelos de variograma y 


 N
,
,
,
, 3
2
1 
son valores positivos entonces
   
h
h
n
i
i i



1



Permite modelar/ajustar las estructuras imbricadas (nested structures)
Permite modelar la anisotropía zonal
Variograma Teórico-propiedades

76. 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9
+ =
Variograma Teórico-propiedades

77. Modelar la anisotropía zonal
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4
Distancia
Variograma
 
h
  
2
1
1 ,h
h
  
3
2 h


Variograma Teórico-propiedades

78. MODELOS DE
VARIOGRAMA


79. Modelos de Variograma
Modelos de variograma isotrópicos más comunes:
Modelo Efecto Pepita Puro
Modelo Esférico
Modelo Exponencial
Modelo Gaussiano
Modelo Cúbico
Modelo Seno Cardinal
Modelo Potencia

80. Modelo Efecto Pepita Puro
S
Distancia
Variograma














0
0
0
h
si
s
h
si
h

Este modelo representa a un
fenómeno completamente
aleatorio, en el cual no hay
correlación espacial
No importa cuán cerca se
encuentren los valores de
las variables, siempre serán
no correlacionados

81. Modelo Esférico



































a
h
si
s
a
h
si
a
h
a
h
s
h
3
3
2
1
2
3

Comportamiento lineal en el origen
Distancia
Variograma
a
s /
5
.
1
Pendiente igual a
Es uno de los modelos de
variograma más utilizados
Rango s y sill a
Representa fenómenos continuos
pero no diferenciables

82. Modelo Exponencial
  


















a
h
s
h exp
1

Distancia
Variograma
Sill s que alcanza asintóticamente
Rango aparente igual a a
Rango experimental igual a 3a
a
s /
3
Pendiente igual a
Representa fenómenos continuos
pero no diferenciables
Comportamiento lineal en el origen

83. Modelo Gaussiano
  


















a
h
s
h 2
2
exp
1

Distancia
Variograma
Sill s que alcanza asintóticamente
Rango aparente igual a a
Rango experimental igual a a
3
Comportamiento cuadrático en el origen
Representa fenómenos continuos
infinitamente diferenciables (sumamente
continuos)

84. Modelo Cúbico





































a
h
si
s
a
h
si
a
h
a
h
a
h
a
h
s
h
7
7
5
5
3
3
2
2
75
.
0
5
.
3
75
.
8
7

Rango a y sill s
Comportamiento cuadrático en el origen
Representa fenómenos bastante continuos
Distancia
Variograma

85. Modelo Seno Cardinal
 
 










a
h
/a
h
s
h
/
seno
1

Distancia
Variograma
Sill s que alcanza asintóticamente
Rango aparente igual a a
Rango experimental igual a 3a
Comportamiento cuadrático en el origen
Se utiliza para representar fenómenos
continuos con periodicidades

86. Modelo Potencia
  p
h
s
h 

Distancia
Variograma
s=2.5, p=0.4
s=0.4, p=1.8
s=1.15, p=1
s se denomina factor de escala
2
0 
 p
El comportamiento en el origen
depende del valor de p
Representa fenómenos no
estacionarios

87. DE MODELOS ISOTRÓPICOS
A MODELOS ANISOTRÓPICOS


88. Modelo Anisotrópicos
 
h
1
 Variograma isotrópico de sill 1 y rango 1
  








 2
2
2
2
1
y
y
x
x
R
h
R
h
s
h 
 Variograma anisotrópico de sill s con rango x
R
en la dirección del eje X y rango y
R en la dirección
del eje Y
x
R
y
R
X
Y
Los ejes de anisotropía coinciden con los
ejes de coordenadas

89. X
Y
Modelo Anisotrópicos
Los ejes de anisotropía NO coinciden con los
ejes de coordenadas
x
R
y
R
X’
Y’

1) Transformar los puntos del sistema
de coordenadas XY al sistema de
coordenadas X’Y’
Rh
h 
' R= matriz de rotación
T
2) Proceder como antes para ajustar la
longitud de los ejes de anisotropía
'
Th = matriz para transformar
las distancias
3) Evaluar el variograma isotrópico en el
resultado.
   
TRh
s
h 1

 
Es un variograma anisotrópico en la dirección 
con eje mayor igual a x
R y eje menor igual a y
R

90. VARIOGRAMA CRUZADO
comportamiento espacial en conjunto
ZY


91. Variograma Cruzado
Si Z, Y son funciones aleatorias estacionarias o intrínsecas, el variograma
cruzado de ellas se define como :
))]
(
)
(
(
))
(
)
(
[(
2
1
)
( h
x
Y
x
Y
h
x
Z
x
Z
E
h
ZY 





 
))
(
)
(
(
))
(
)
(
(
2
1
)
(
*
j
i
h
x
x
j
i
ZY x
y
x
y
x
z
x
z
h
N
h
j
i


 



Para su estimación se utiliza el variograma cruzado experimental

92. Variograma Cruzado-propiedades
1)   0
0 
ZY

2)    
h
h ZY
ZY 
 

3)    
h
h YZ
ZY 
  El variograma cruzado es una función simétrica
4) Relación con la función de covarianza cruzada
     
 
h
C
h
C
C
h YZ
ZY
ZY
ZY 


2
1
0
)
(

   
   
 
 
Y
Z
ZY m
h
x
Y
m
x
Z
E
h
C 




93. 4) Desigualdad de Hölder
Variograma Cruzado-propiedades
     
h
h
h Y
Z
ZY 

 
2
El modelo de variograma cruzado no puede ser escogido independientemente de cada
uno de los variogramas individuales
Consecuencias:
El producto de cada uno de los sill de los variogramas individuales es mayor que el
cuadrado del sill del variograma cruzado
Y
Z
ZY S
S
S 
2

94.        
       
       
h
w
h
w
h
w
h
h
v
h
v
h
v
h
h
u
h
u
h
u
h
m
m
YZ
m
m
Y
m
m
Z



























2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
Variograma Cruzado-propiedades
4) Modelo lineal de coregionalización
0

j
u 0

j
v 0
2

 j
j
j w
v
u
m
j
j ,
,
1
, 

 modelos de variogramas
Permite modelar en forma consistente el variograma cruzado y los variogramas
individuales

95. VARIOGRAMA DE
FUNCIONES INDICADORAS
F

Modelando el comportamiento
espacial de Facies

96. Funciones Indicadoras
La función indicadora de la facies F se define como
 




 

no
si
F
x
si
x
F
0
1
1
Si se considera la facies F como un conjunto aleatorio entonces su función indicadora es una
función aleatoria que puede ser estacionaria o no.
En lo sucesivo asumiremos que la función indicadora de F es estacionaria
     
 2
1
1
2
1
x
h
x
E
h F
F
F 




97. Funciones Indicadoras
Propiedades
1)  
   
1
,
0
)
(
1 


 p
F
x
P
x
E F
 
   
p
p
x
F 
 1
1
var
2)   5
.
0

h
F

El sill de variogramas de funciones indicadoras no puede ser mayor a 0.5
3) Relación con la función de covarianza
     
h
C
C
h F
F
F

 0

   
   
 
 
p
x
p
h
x
E
h
C F
F
F 


 1
1
   
    25
.
0
1
1
0 


 p
p
x
C F
F var

98.      
2
1
2
1 h
h
h
h F
F
F 

 


Funciones Indicadoras
4) Desigualdad Triangular
En particular    
h
h F
F 
 2
2 
Consecuencia :
Un variograma con comportamiento en el origen de la forma 1

p
h
p
no puede ser el variograma de una función indicadora

99.   )
( F
h
x
y
F
x
P
h
F 




Funciones Indicadoras
5) Rango y Anisotropías
Distancia
Variograma R1
R2