Controlasores PID

1. INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR
DE HUICHAPAN
Unidad III
Control
REGLAS DE SINTONIZACIÓN PARA
CONTROLADORES PID
Ingeniería: Mecatronica
Samuel Martínez García
Asesor: José Miguel Hernández Paredes

2. Desarrollo
Primer método.
Se obtiene experimentalmente la respuesta de la planta a una entrada escalón y Si la planta no
contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, si la respuesta no tiene
oscilaciones y además posee un retardo tal que se forma una “s”, puede obtenerse los parámetros
del controlador PID utilizando el primer método. En la figura 1 se observa la respuesta en forma de
s (Si la respuesta no exhibe una curva con forma de S, este método no es pertinente.).
Figura 1. Curva de reacción y recta tangente.
Tales curvas de respuesta escalón se generan experimentalmente o a partir de una simulación
dinámica de la planta. La curva con forma de “S” se caracteriza por dos parámetros: el tiempo de
retardo L y la constante de tiempo T. El tiempo de retardo y la constante de tiempo se determinan
dibujando una recta tangente en el punto de inflexión de la curva con forma de S y determinando las
intersecciones de esta tangente con el eje del tiempo y la línea c (t) = K, como se aprecia en la figura
2 En este caso, la función de transferencia C(s)/U(s) se aproxima mediante un sistema de primer
orden con un retardo de transporte del modo siguiente:
Figura 2 Curva de respuesta.

3. Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp, Ti y Td de acuerdo con la fórmula que
aparece en la tabla 1.
Tabla 1 Regla de sintonización de Ziegler-Nichols basada en la respuesta escalón de la planta
(primer método)
Tipo de controlador
P
PI 0
PID
Problema No. 2
Se tiene la función de transferencia H de lazo abierto de una planta. Diseñe un control PID.
Solución.
1. Verificar la respuesta de la función ante un escalón
Para poder aplicar el Método 1 de ZIEGLER – NICHOLS, la curva de respuesta de la función debe
de tener forma de S, con un punto de inflexión. Podemos obtener esta grafica en MatLab utilizando
el siguiente código.
Figura 3 Curva de repuesta de la función de transferencia de la planta ante un escalón.

4. Como se observa, la respuesta de la función H cumple con la característica buscada. Para
determinar el punto de inflexión de la curva con forma de “S” se deriva la función de transferencia
a la cual le aplicamos un escalón unitario. El punto de inflexión es un cambio que ocurre en el
sistema en este caso es el punto más alto que se obtiene al derivar la función de transferencia y que
nos indica que hay un cambio en nuestra grafica como se ve en la figura 4
Figura 4. Función de transferencia derivada
2. Determinar los parámetros L y T
Para encontrar los parámetros de tiempo de retardo (L) y constante de tiempo (T), dibujamos una
recta tangente al punto de inflexión de la curva.
El siguiente código encuentra el punto de inflexión en la curva de respuesta de H, a partir de esto se
traza una línea tangente a este punto, y se utiliza la ecuación de la recta y la pendiente del punto de
inflexión, para encontrar los parámetros L y T.

5. Figura 5 Recta tangente al punto de inflexión en la curva de respuesta
Los valores obtenidos para L y T son 0.2241 y 1.9406 respectivamente.
3. Determinar los valores de Kp, Ti y Td.
Para determinar estos valores se utilizan los datos de la Tabla No.1 referente al
método 1 de Z-N.
Los valores obtenidos para los parámetros Kp=8.4347 para el controlador P
Los valoras obtenidos para los parámetros Kp=7.5913, Ti=0.766. Para el controlador
PI.
Los valores obtenidos para estos parámetros son Kp=10.3933, Ti=0.4481 y Td=0.1120.
Para encontrar la función del controlador PID usamos:
( )
De donde podemos encontrar los valores de Ki y Kd, para expresar la función de PID en
términos de s.

6. Finalmente obtenemos la función de transferencia de lazo cerrado que involucra el control
PID y la función H de la planta con retroalimentación.
Figura 6. Diagrama a bloques del sistema de una planta con un control PID implementado y
retroalimentación.
La función feedback de MatLab nos puede facilitar el trabajo, tan solo hay que indicar el
lazo principal y el lazo de retroalimentación como variables de esta y nos devuelve la
función de transferencia de lazo cerrado.
1. Análisis de la respuesta del sistema y ajustes finos
Al graficar la respuesta de esta función ante una señal de entrada escalón, observamos que
los requerimientos del sistema están fuera de lo deseado, mientras el tiempo de
establecimiento es ligeramente mayor a 6, la sobreelongacion es casi del 50%, por lo tanto
H(s)
Gc(s)
+
−

7. tenemos que hacer un refinamiento al sistema PIF modificando Kp, Kd y Ki a ensayo y
error hasta obtener las condiciones deseadas.
Figura 7. Curva de respuesta de la función de transferencia de lazo cerrado sin refinar.
Segundo método. En el segundo método, primero establecemos Ti = ∞ y Td = 0 y usando
solamente la acción de control proporcional tal como muestra en la siguiente figura, se
incrementa Kp desde cero hasta un valor crítico Kcr en donde la salida exhiba primero
oscilaciones sostenidas. Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas con periodo para
cualquier valor que pueda tomar Kp, entonces no se puede aplicar este método.
Figura 8. Oscilación sostenida con un periodo .
De esta forma se puede determinar experimentalmente la ganancia crítica Kcr y el período
correspondiente Pcr de las oscilaciones sostenidas, a partir de los cuales se calculan los
valores de los parámetros del controlador PID tal como se muestran a Continuación

8. Tabla 2. Regla de sintonización de Ziegler-Nichols basada en la ganancia crítica y en el periodo crítico (segundo
método)
Tipo de controlador
P
PI 0
PID
Considere el sistema de control de la figura 9, en el cual se usa un controlador PID para
controlar el sistema. El controlador PID tiene la función de transferencia
Figura 9. Sistema con un controlador PID.
Aunque existen muchos métodos analíticos para el diseño de un controlador PID en el
sistema actual, apliquemos una regla de sintonización de Ziegler-Nichols para la
determinación de los valores de los parámetros Kp, Ti y Td. obtenga una curva de
respuesta escalón unitario y verifique si el sistema diseñado exhibe un sobrepaso máximo
aproximado de 25%. Si el sobrepaso máximo es excesivo (40% o más), haga una
sintonización fina y reduzca la cantidad del sobrepaso máximo aproximado de 25%.
Dado que la planta tiene un integrador, usamos el segundo método de las reglas de
sintonizaciónde Ziegler-Nichols. Estableciendo Ti = ∞ y Td = 0, obtenemos la función de
transferencia en lazo cerrado del modo siguiente:
El valor de Kp que hace al sistema marginalmente estable para que ocurra una oscilación
sostenida se obtiene mediante el criterio de estabilidad de Routh. Dado que la ecuación
característica para el sistema en lazo cerrado es:
El arreglo de Routh se convierte en:

9. Examinando los coeficientes de la primera columna del arreglo de Routh, encontramos que
ocurrirá una oscilación sostenida si Kp = 30. Por tanto, la ganancia crítica es
Con la ganancia Kp establecida igual a , la ecuación característica se vuelve
Para encontrar la frecuencia de la oscilación sostenida, sustituimos s = jw en la ecuación
característica, del modo siguiente:
A partir de lo cual encontramos que la frecuencia de la oscilación sostenida es o
√ Así, el periodo de la oscilación sostenida es:
√
Tomando los valores propuestos de la tabla 2 para un controlador PID
Ejemplo
Para un sistema de control el que se muestra en la figura 12. Se desea utilizar el método de
oscilación continua para definir la función de trasferencia del controlador y sus parámetros, tal que
se garantice que la respuesta a lazo cerrado no presente error el escalón y que su tiempo de
establecimiento sea menor o igual a 3 seg.
Figura 10. Sistema de control
Como se dispone de la función de transferencia del proceso es posible utilizar el método del criterio
de estabilidad de Routh-Hurwitz para verificar si el sistema a lazo cerrado tiene o no una ganancia
critica a la cual oscile continuamente. Para ello se utiliza l ecuación característica a lazo cerrado que
se muestra en la ecuación 2.
3 2
1 0 30 224 (480 ) 0( 2)
( 4)( 8)( 20)
LA
K
s s s LA ecu
s s s
       
  

10. 3
2
1
1 224
30
1 0
s
s LA
s b
1
6720 (480 100 )
0 62.4 62.4
12
LA
LA cr
K
b K K
 
     
A partir de dicho valor de ganancia crítica es posible obtener las soluciones de la ECLC para esa
ganancia y con ello se obtendría el Pcr tal como se muestra a continuación:
3 2
30 224 6720 0
s s s
   
1
2,3
30
2
14.96 14.96 0.42
cr cr cr
cr
s
s j P P



 
       
Con dichos valores de Kcr y de Pcr se utiliza la tabla 2 para determinar los valores iniciales del
controlador, los cuales se ajustaran hasta lograr la respuesta deseada.
Conclusión.
El método 1 de Ziegler-Nichols es muy práctico al diseñar un control PID para
aproximarse a los valores Ki,Kp y Kd que se necesitan para obtener las condiciones
deseadas. Desarrollar el código para resolver el problema en MatLab ayuda bastante,
ya que se requiere de varias pruebas experimentales con distintos valores para Ki,Kp
y Kd y observar la respuesta del sistema con estos valores, hasta encontrar algunos
que cumplan las condiciones deseadas o estén dentro del rango aceptado. Cuando se
conocen los conceptos detrás de las contstantes Ki,Kp y Ki se puede llegar más rápido
al ajuste deseado.
La obtención de estos parámetros para sistemas de los cuales se conoce la función de
transferencia es muy sencilla, y un buen punto de partida para un posterior ajuste
más fino.