Material importante

2. Tema: Lógica de clases
Docente: Armando Luján
RAZ. MATEMÁTICO

3. OBJETIVO
• Conocer los cuatro tipos de
proposiciones categóricas, su respectiva
negación y su representación gráfica.
• Aprender a deducir la conclusión en un
silogismo categórico.

4. Nociones
previas
Proposiciones
categóricas
Silogismo
categórico

5. 1. CONCEPTOS PREVIOS
Analiza la estructura interna de cada proposición, es decir,
la relación existente entre las clases que hay en una
proposición categórica.
Lógica de Clases
Clase
Agrupación de elementos u objetos, concretos o abstractos,
que tienen características comunes.
Por ejemplo:
• La clase de estudiantes.
• La clase de los ingenieros.
• La clase de las personas.
• La clase de los responsables.
NOTA: Una clase nunca queda vacía, debe tener al menos
un elemento.
A
X
A
Región donde no hay
elementos. (Vacío)
Región donde existe al
menos un elemento.
A
Región donde no se puede
asegurar existencia de algún
elemento . (indeterminado).
U
A
𝐴
Interpretación de regiones:
Región donde no
hay elementos de
A. ( complemento
de la clase A)

6. 2. PROPOSICIONES CATEGÓRICAS
La proposición categórica es un enunciado que establece
una relación de inclusión o exclusión, total o parcial,
entre dos clases.
Por ejemplo:
 Todo docente es estudioso.
 Algunos políticos son honrados.
 Ningún matemático es desordenado.
 Algunos jóvenes no son responsables.
Todo estudiante es responsable
¿Qué elementos conforman una proposición categórica?
sujeto predicado
cuantificador verbo
CLASIFICACIÓN DE PROPOSICIONES CATEGÓRICAS
Afirmativa: expresa relaciones de inclusión de una clase
(total o parcial) respecto de otra.
Negativa: expresa relaciones de exclusión de una clase
(total o parcial) respecto de otra.
Universal: se refiere a todos los elementos de la clase
sujeto.
Particular: se refiere a algunos de los elementos de la
clase sujeto.
SEGÚN SU CALIDAD
SEGÚN SU CANTIDAD

7. 2. PROPOSICIONES CATEGÓRICAS
Algún auto no es nuevo.
Algún limeño es médico.
Ningún chofer es distraído.
Todo perro es fiel.
Existen algunos elementos
en S y a la vez en P.
Universal Afirmativa
 Todo S es P.
No existen elementos
de S fuera de P.
Interpretación.
Ejemplo:
Universal Negativa
 Ningún S es P.
No existen elementos
en S y a la vez en P.
Interpretación.
Ejemplo:
Particular Afirmativa
 Algún S es P.
Interpretación.
X
Ejemplo:
X
Particular Negativa
 Algún S no es P.
Existen elementos de S
fuera de la clase P.
Interpretación.
X
Ejemplo:
X
Existen cuatro formas típicas de proposiciones categóricas:
vacío
Hay al menos
un elemento
vacío
Hay al menos
un elemento

8. Algún S no es P ≡ Algún S es no P
Algún S es P ≡ Algún P es S
Ningún S es P ≡ Ningún P es S
NEGACIÓN DE LAS PROPOSICIONES CATEGÓRICAS
Todo S es P
S P
X
X
Algún S no es P
Ningún S es P Algún S es P
S P
S P S P
NEGACIÓN
NEGACIÓN
UNIVERSAL AFIRMATIVA PARTICULAR NEGATIVA
UNIVERSAL NEGATIVA PARTICULAR AFIRMATIVA
EN FORMA PRÁCTICA:
Todos …
son …
NEGACIÓN Algunos …
no son …
Ejemplo:
Todos los policías son valientes.
Su negación es:
Algunos policías no son valientes.
Ninguno…
es …
NEGACIÓN Alguno …
es …
Ejemplo:
Ningún policía es valiente.
Su negación es:
Algún policía es valiente.

9. CUANTIFICADOR NO EXPLICITO O FORMAS ATÍPICAS
Los cuantificadores lógicos tienen sus expresiones
equivalentes, por ejemplo:
• Todo niño es inocente.
• Ningún ingeniero es irresponsable.
• Algunos docentes son analíticos.
Los niños son inocentes.
Cada niño es inocente.
Cualquier niño es inocente.
No hay ingeniero que sea irresponsable.
No existe ingeniero que sea irresponsable.
Nunca un ingeniero es irresponsable.
Varios, muchos, pocos, existe por lo
menos uno, hay, la mayoría ,casi todos.
≡ Todo A es B
• Ningún A es no B
≡ Ningún A es B
• Todo A es no B
 Ningún alumno es desordenado. ≡ Todo alumno es ordenado.
no ordenado.
 Todo hombre es infiel.
no fiel. ≡ Ningún hombre es fiel.
• Todo A no es B ≡ No (Todo A es B)
• Ningún A no es B ≡ No (Ningún A es B)
 Todo soldado no es alto.
≡ Algún soldado no es alto.
EQUIVALENCIAS ESPECIALES : Para cuantificadores universales
≡ No (Todo soldado es alto)
• Todo A es B ≡ Todo no B es no A
 Todo católico es creyente≡ Todo no creyente es no católico

10. Resolución:
APLICACIÓN 01
3. SILOGISMO CATEGÓRICO
El silogismo categórico esta conformado
por 2 premisas, de las cuales se debe e
obtener una conclusión.
Si:
• Algunos jóvenes son personas.
• Todos las personas son creativas.
Entonces se concluye que:
A) Todo joven es creativo.
B) Ningún joven es creativo.
C) Algún joven es creativo.
D) Algunos jóvenes no son creativos.
E) Algún creativo no es joven.
Nos piden deducir la conclusión.
joven creativo
persona
Todos los personas son creativas
persona creativo
Algunos jóvenes son personas
joven persona
x
X
joven
X
creativo
Conclusión:
𝐿𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑠:
𝐀𝐥𝐠ú𝐧 joven 𝐞𝐬 𝐜𝐫𝐞𝐚𝐭𝐢𝐯𝐨.
∴
Pasos para hallar la conclusión:
1. Identificar las clases en las premisas.
2. Graficamos las tres clases en un solo
gráfico, la clase repetida en la parte
inferior.
3. Se gráfica cada premisa, primero la
proposición universal.
4. Finalmente se obtiene la conclusión,
teniendo en cuenta que la clase que se
repite no debe aparecer en la
conclusión.

11. Resolución:
APLICACIÓN 02
ELEMENTO EXISTENCIAL
Si:
• Todo estudiante es disciplinado.
• Todo estudiante es ordenado.
Entonces se concluye que:
A) Todo estudiante es no disciplinado
B) Todo disciplinado es estudiante
C) Algún disciplinado es ordenado
D) Algún disciplinado no es ordenado
E) Algún no disciplinado es ordenado
Nos piden la conclusión de las premisas dadas.
ordenado
disciplinado
estudiante
• Todo estudiante es ordenado
ordenado
estudiante
• Todo estudiante es disciplinado
estudiante disciplinado
De la gráfica no se
puede, por el
momento, dar una
conclusión
X
Luego:
Se sabe que toda clase debe tener
por lo menos un elemento, es decir,
no puede ser vacía.
ordenado
disciplinado
X
∴ 𝐿𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑠
𝐴𝑙𝑔ú𝑛 disciplinado 𝑒𝑠 ordenado