hhhhhhhhhhh

2. CONTENIDO - UNIDAD TEMÁTICA 3
 Algebra de Boole:
• Postulados y teoremas:
• Teoremas de DeMorgan
 Función Lógica o booleana
• Funciones y compuertas lógicas básicas (AND, OR, NOT)
• Combinación de compuertas lógicas
• Compuertas NAND y NOR
• Tablas de verdad
 Formas canónicas
• Suma de Productos (Mintérminos) y Producto de Sumas (Maxtérminos).
 Simplificación de funciones:
• Método algebraico
• Método de Karnaugh y Veitch
• Método numérico de Quine –Mc Cluskey
• Funciones incompletas, Multifunciones
 Realización con puertas de las funciones lógicas (NAND y NOR)
FUNCIONES Y COMPUERTAS LÓGICAS

3. En 1854 George Boole introdujo una notación simbólica para el tratamiento
de variables cuyo valor podría ser verdadero o falso (variables binarias).
Así el álgebra de Boole nos permite manipular relaciones proposicionales y
cantidades binarias. Aplicada a las técnicas digitales se utiliza para la
descripción y diseño de circuitos mas económicos.
Las expresiones booleanas serán una representación de la función que
realiza un circuito digital.
En estas expresiones booleanas se utilizarán las tres operaciones básicas
(AND, OR NOT ) para construir expresiones matemáticas en las cuales estos
operadores manejan variables booleanas (lo que quiere decir variables
binarias).
Algebra de Boole

4. No es objeto de esta unidad temática un análisis profundo y formal de los
postulados y teoremas del Algebra de Boole.
Los símbolos elementales son:
 0 : representativo de FALSO
 1 : representativo de VERDADERO
Las operaciones fundamentales son:
 Conjunción u operación AND (se representa con un signo de · )
 Disyunción u operación OR (se representa con un signo + )
 Complementación, Negación u operación NOT ( se representa con una
barra sobre la variable, )
Las variables son las proposiciones, que se representan o simbolizan por letras
Elementos del álgebra de Boole

5. Algebra de Boole
Definición y Postulados (1)

6. Algebra de Boole
Definición y Postulados (1)

7. Funciones Lógicas básicas
Representación de Puerta Lógica y Tabla de Verdad

8. Puertas lógicas compuestas

9. LAS LEYES DEL ALGEBRA DE BOOLE (1)
Representación mediante asociación de contactos (switch)

10. LAS LEYES DEL ALGEBRA DE BOOLE (2)
Representación mediante asociación de contactos (switch)

11. LAS LEYES DEL ALGEBRA DE BOOLE (3)
Representación mediante asociación de contactos (switch)

13. RELÉ
Relé electromecánico de dos contactos
Interruptor Magnetico

14. Símbolo de un diodo de vacío o
gaseoso. De arriba abajo, sus
componentes son, el ánodo, el
cátodo, y el filamento.
DIODO DE VACÍO
Diodo de vacío, usado
comúnmente hasta la
invención del diodo
semiconductor, este último
también llamado diodo de
estado sólido.
Diodo semiconductor
Diodo de estado sólido

15. Es un dispositivo electrónico de estado sólido consistente en dos uniones PN muy cercanas entre sí,
que permite aumentar la corriente y disminuir el voltaje, además de controlar el paso de la
corriente a través de sus terminales.
El transistor de unión bipolar (bipolar junction transistor, o sus siglas BJT)
Replica del primer transistor de
punto de contacto
Corte transversal simplificado de un
transistor de unión bipolar NPN en el cual
se aprecia como la unión base-colector es
mucho más amplia que la base-emisor.
Característica idealizada de un transistor bipolar

16. Transistor de Efecto de Campo (FET)

17. Transistor de Efecto de Campo (FET)

18. Teoremas del Algebra de Boole (1)

19. Teoremas del Algebra de Boole (2)

20.  Los postulados y teoremas presentados anteriormente están
representados en pares. La razón es que cada teorema posee lo
que llamamos un dual.
 El dual de una expresión se obtiene intercambiando las
ocurrencias de OR por AND, 0 por 1 y viceversa..
 Si un teorema es valido, también lo será su dual, En efecto
siguiendo el dual de la demostración del teorema, se obtiene la
demostración del dual del teorema.
 Por ejemplo dado el postulado 0+0 = 0 se obtiene el dual
haciendo 1·1 = 1.
Principio de dualidad

21. Variables, Expresiones Lógicas y tablas de verdad

22. Equivalencia entre Expresiones Lógicas

23. Convertir Tabla de Verdad
en expresión lógica
Forma canónica con minterminos:
1.-Tomar cada combinación que dé 1 a la
salida y fórmarse un producto de
variables, de forma que si una variable
vale 0 en aquella fila se coloca su
complemento y si vale 1 se coloca la
variable sin complmentar.
2.- Escribir la función que resulta de
sumar todos los productos.
F=X’YZ’+X’YZ+XY´Z+XYZ’+XYZ
Existen muchas expresiones equivalentes
F =X’Y+XY’Z+XY

24. TABLA DE MINTERMINOS (1S) Y MAXTERMINOS (0S)

25. USO DE MINTERMINOS (“1s”)

26. USO DE MAXTERMINOS (“0s”)

28. Quine-McCluskey Method (SOP)

29. Convertir expresión lógica en Diagrama de
Compuertas (logigrama)

30. Manipulación Algebraica
de expresiones Booleanas
Se puede transformar una expresión booleana en una expresión equivalente
aplicando los postulados y teoremas de álgebra de Boole. Esto es importante si
se quiere convertir una expresión dada a su forma canónica (forma
estandarizada) o si se quiere minimizar el número de literales (directa – primed
o inversa-unprimed) o términos en una expresión. La minimización términos y
expresiones es importante porque los circuitos eléctricos consisten a menudo de
componentes individuales que implementan cada término o literal de una
expresión dada. Minimizando la expresión le permite le permite al diseñador
usar menos componentes eléctricos y, por consiguiente, reducir el costo del
sistema.
Lamentablemente no existe una regla fija, que se pueda aplicar para optimizar
una expresión dada. La habilidad de un individuo para realizar fácilmente estas
transformaciones normalmente está en función de experiencia.

31. A + Be + AB
j
(A + Be ) (AB )
j
(A + B e) (AB )
j
AAB + BCAB
j
AB • 0
j
AB
Breaking longest bar
. -
Applying identity A = A
wherever double bars of
equal length are found
Distributive property
Applying identity AA = A
to left term, applying identity
Ai = 0 to B and Ii in right
term
Applying identity A + 0 = A
' ,---'"
B -4.-r-,
C -r/'---/
A
AS
A ~
B ~ Q
The "'lui,a1ent gate circuit for this nmcl,-simplificd expres8ioll is so follow",
AB

32. Simplificación de expresiones lógicas
mediante el uso de Teoremas y Postulados
del Algebra de Boole

33. Simplificación algebraica de expresiones lógicas
(ejemplos)

34. Representación de funciones booleanas
Existen infinitas maneras de representar una función booleana. Así por ejemplo la
función G = X + Y • Z puede también representarse como G = X + X + Y • Z.
Otras veces se suele utilizar la forma negada o el complemento de la función. Para
esto es se niegan los literales y se intercambian los AND y OR.
Por ejemplo, el complemento de : A + B’.C
es: A’.(B + C’)
El complemento de una función no es la misma función, es la forma negada de la
función.
En el álgebra de Boole es fundamental la existencia de una forma algebraica que
proporcione explícitamente el valor de una función para todas las combinaciones de
los valores de las variables. Es esta la forma canónica de la función.

35. Definición de conceptos
a) Literal : se refiere a una variable o a su complemento (por ej. A, X, X’)
b) Termino producto: es un grupo de literales que se encuentran relacionados
entre sí por un AND (por ej. A•B, C•A, X’•Y•Z)
c) Termino suma: es un grupo de literales que se encuentran relacionados entre
sí por un OR (por ej. A+B, C+A, X’+Y+Z ).
d) Termino normal: termino producto o termino suma en el que un literal no
aparece más de una vez.
e) Término canónico: termino en el que se encuentra exactamente uno de cada
uno de los literales de la función.
f) Mintérmino: Se denomina así si el termino canónico es un producto.
g) Máxtérmino: Se denomina así si el termino canónico es una suma.
h) Forma normal de una función: es la que está constituida por términos
normales. Puede estar en la forma suma de términos productos o productos
de términos sumas.
i) Forma canónica de una función: es aquella constituida exclusivamente por
términos canónicos que aparecen una sola vez.

37. Forma canónica suma de productos
Es aquella constituida exclusivamente por términos canónicos productos
(minterminos) sumados que aparecen una sola vez.
Por ejemplo: F(X,Y,Z) = X’Y’Z + XY’Z’+XY’Z + XYZ’ + XYZ
Para simplificar la escritura en forma de suma canónica de productos, se utiliza una
notación especial. A cada mintérmino se le asocia un número binario de n bits
resultante de considerar como 0 las variables complementadas y como 1 las
variables no complementadas.
Así por ejemplo el mintermino X’Y’Z corresponde a combinación X=0, Y=0, Z=1 que
representa el numero binario 001, cuyo valor decimal es 1. A este mintermino lo
identificaremos entonces como m1.
De esta forma, la función : F(X,Y,Z) = X’Y’Z + XY’Z’+XY’Z + XYZ’ + XYZ se puede
expresar como: F(X,Y,Z) = ∑ m(1, 4, 5, 6, 7) que quiere decir la sumatoria de los
minterminos 1,4,5,6,7.

38. Forma canónica producto de sumas
Es aquella constituida exclusivamente por términos canónicos producto de sumas
(maxterminos) que aparecen una sola vez.
Por ejemplo: F(X,Y,Z) = (X + Y + Z) (X + Y’ + Z) (X + Y’ + Z’)
Podemos simplificar la expresión de la función, indicando los maxterminos. Sin embargo,
en este caso se hace al contrario de antes. A cada maxtermino se le asocia un numero
binario de n bits resultante de considerar como 1 las variables complementadas y como
0 las variables no complementadas.
Así por ejemplo el maxtermino (X’ + Y + Z) corresponde a combinación X=1, Y=0, Z=0
que representa el numero binario 100, cuyo valor decimal es 4. A este maxtermino lo
identificaremos entonces como M4.
De esta forma, la función: F(X,Y,Z) = (X + Y + Z) (X + Y’ + Z) (X + Y’ + Z’)
se puede expresar como: F(X,Y,Z) = ∏M(0,2,3) que quiere decir el producto de los
maxterminos 0,2,3.

39. Resumen:
En resumen, cada mintermino se asocia
con la combinación de entrada para la que
la función produciría un 1, y cada
maxtérmino con la combinación para la
que produciría un 0.
En la tabla de la derecha se muestran los
minterminos y los maxterminos asociados
con cada combinación en una tabla de
verdad de 3 variables.

40. Supóngase que por algún medio se ha diseñado el circuito que se muestra en la y se
pide, de ser posible, obtener un circuito más sencillo que realice la misma función.
"~ o. y.z) _ ~i. iHiy . i z) ' 1i~i . i o)
.o,p¡;cando p"'......... Y 1
00fMa0 • lo """"'*""(>J'
" to,y,z) _ (i . ¡;)(x" xz) , ,¡;1Z: ~ 1 •• )] _
• i ('" iz) ' ¡(iy . iz). i' .
- - - -
· '1' .. · " z " z -
- - -
• ,y , ,, , yz
(t...."u .o.)
rr,u..)
{r." .'J
Primero, es necesario determinar la expresión
F realizada por el circuito. Esto se obtiene
determinando la expresión lógica a la salida
de cada compuerta, hasta llegar a la última
del diagrama. Siguiendo el procedimiento
anterior, obtenemos:
...
,.
Vemos que tanto la expresión como el circuito
se han simplificado considerablemente, pero
realizando la misma función.

41. MÉTODOS DE
SIMPLIFICACIÓN ÁLGEBRAICA
Cuando se trabaja con expresiones booleanas,
es deseable que estas se encuentren expresadas
en una de dos formas: como suma de productos
o como producto de sumas.

42. Una suma de productos consiste de dos o más grupos de
literales, cada literal es recibida como entrada por un AND
y la salida de cada una de estas compuertas (AND) es
recibida como entrada por una compuerta OR.
es decir, el circuito
combinatorio de una suma
de productos debe de tener
el siguiente patrón:

43. Un producto de sumas consiste de dos o más grupos de
literales, cada literal es recibida como entrada por un OR y la
salida de cada una de estas compuertas (OR)es recibida
como entrada por una compuerta AND.
es decir, el circuito
combinatorio de un
producto de sumas debe de
tener el siguiente patrón:

44. Se puede pasar una expresión booleana a suma de
productos o producto de sumas utilizando las leyes
distributivas vistas anteriormente.

46. Finalmente, los siguientes teoremas permiten convertir a
producto de sumas o suma de productos una expresión
de manera sencilla:

48. Ejemplo. Convertir suma de productos:

49. Ejemplo. Convertir a producto de sumas: