Este documento presenta un resumen de diferentes métodos numéricos aplicados al flujo de fluidos. Explica que los métodos numéricos se usan con más frecuencia en la optimización de máquinas de forma rápida y efectiva. Luego introduce conceptos clave como la dinámica de fluidos y ecuaciones que rigen diferentes tipos de flujo como el flujo térmico, flujos multifásicos, electro-hidrodinámica y magnetohidrodinámica. Finalmente, describe la aplicación de métodos numéricos para resolver ecuaciones que describen flujos

1. Abstract— En los últimos años, el uso de métodos
numéricos ha adquirido una importancia considerable en la
mecánica de fluidos. Tanto en diseño como investigación, se
emplean con mayor frecuencia estas técnicas en la optimización
de máquinas de una formas rápida y efectiva, la causa es que los
métodos experimentales requieren un trabajo muy minucioso e
intensivo, siendo demasiados caros por otro lado el desarrollo
tecnológico requiere calcula diferentes parámetros aún más
intensos y son cada vez más baratos y los softwares disponibles
son bastantes competentes.
I. INTRODUCCIÓN
Los fluidos desempeñan un papel crucial en muchos
aspectos de la vida diaria. Lo bebemos, respiramos y nadamos
sobre ellos; Los aviones vuelan a través de ellos y los barcos
flotan en ellos. Un fluido es cualquier sustancia que puede
fluir o tiene capacidad de moverse, la dinámica de los fluidos
es la ciencia que estudia estos fenómenos y es una de las
ramas más complejas de la mecánica.
El flujo de fluidos suele ser extremadamente
complejo, como se aprecia en las corrientes de los rápidos de
ríos, un fluido ideal es incomprensible (su densidad no puede
cambiar) y no tiene fricción interna (llamada viscosidad). Los
líquidos son incomprensibles en casi todas las situaciones la
fricción interna, un fluido causa esfuerzos de corte cuando
fluye en un tubo o alrededor de un obstáculo.
Por la complejidad de los cálculo numéricos del
flujo fluidos en diferentes campos de trabajos se requieren
ciertas exigencias, un ejemplo las grades turbinas alcanzan
hoy en día rendimientos claramente superiores al 95% en sus
instalaciones, los fabricantes deben aportar garantías fiables,
por lo que la aplicación de los métodos numéricos debe ser lo
más exacta posible, se calcula errores o fallas de las turbinas
mediante potentes simulaciones que deben sobrepasar el
100% de trabajo de las turbinas en diferentes condiciones
naturales, los programas de cálculo numérico de corrientes
permiten saber los diferentes parámetros .
II. METODOLOGIA
Este trabajo de investigación se lo llevo a cabo de
forma analítica, investigando los distintos métodos numéricos
que existen para la aplicación del flujo de fluidos, cada
integrante del grupo de investigación tomo un tema de
mecánica de fluidos e indago sobre ello para complementar el
trabajo en la parte del marco teórico. Este trabajo se lo llevo
a cabo a través de la herramienta Word y Latex a través del
método exploratorio siendo una investigación científica con
una extensa bibliografía.
III. MARCO TEORICO
A. FLUJO ELECTRO-HIDRODINÁMICO
El electro-hidrodinámica es el estudio de los fluidos
que se encuentran sometidos a la acción de campos
eléctricos, la fuerza sobre la carga inyectada en el volumen
pone el fluido en movimiento. Es una materia interdisciplinar
la misma que abarca la hidrodinámica: y la electricidad. Las
distribuciones del campo eléctrico y de velocidad se
encuentran acopladas en general.
ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES
La Variación temporal de la velocidad más
Términos conectivos: no lineales, difíciles es igual a menos
la Gradiente de presión más Viscosidad del fluido más la
Fuerza por unidad de volumen: Acoplamiento
El modelo es fácilmente generalizable a cualquier número de
especies iónicas, lo cual ocurre en la mayoría de las
aplicaciones. Capas límite en celdas de combustible.
Electro–cinética (flujo estacionario):
u = 0 =⇒ p = −ρq φ
Métodos Numéricos aplicados al flujo de fluidos
Aguirre Yeliber, Cisneros Henry, De la cruz Carolina, Guatemal Jose, Mangui Anthony, Paredes
Richard, Pineda Luis, Tamay Bryan y Vega Andres
Estudiantes de la Escuela de Ingeniería Industrial, Facultad Mecánica, Escuela Superior Politécnica
del Chimborazo, Riobamba, Ecuador

2. Condiciones de frontera en electrodos:
(∇C± + w± z± C± ∇φ) · n = 0
φ + λS∇φ · n = +v en el ánodo
−v en el cátodo
Condiciones iniciales
C±(x, 0) = c 0 ±(x),
φ(x, y, 0) = vy o
En el electro-hidrodinámica en gases los iones
empujan al gas f = qE, el mismo que se pone en movimiento,
la distribución de carga no depende de la distribución de las
velocidades del gas. Ejm cilindro, punta, plano, streamer,
rayo.
Una de las aplicaciones con respecto a los gases es:
PRECIPITADORES ELECTROSTÁTICOS
El gas lleno de partículas penetra en el precipitador
las mismas que son cargadas con los iones y electrones
producidos por la corona. El campo eléctrico arrastra las
partículas hacia las placas las mismas que se acumulan como
polvo en las placas aduriéndose a la superficie. Tamaño de las
partículas en un gran rango
0.1µm < r p < 1000 µm
Una de las aplicaciones con respecto a los fluidos
son los MEMS el cual realiza Bombeo de líquidos en
microsistemas (microfluídica) a su vez los Lab-on-a-chip:
que es la integración de varias funciones de análisis en
dispositivos de algunos mm2
o cm2
.
B. FLUJO TÉRMICO
Sea Ω ⊂ RN
(N = 2, 3) la región de flujo de un fluido
térmico viscoso y dependiente del tiempo y sea Γ la frontera
de esta región. Las hipótesis de la aproximación de Bousinesq
suponen que las variaciones de temperatura son
suficientemente pequeñas para poder considerar la densidad
como constante a través del fluido, excepto en el término de
flotación ρg, donde g es la fuerza gravitacional y ρ, de la
ecuación de estado ρ = ρ (P, T), está dada linealmente por ρ =
ρ0[1 − β(T − T0), donde T es la temperatura, ρ0 y T0 denotan
densidad y temperatura de referencia. Los cambios de
densidad ocasionados por cambios de presión se desprecian;
propiedades del fluido, como viscosidad dinámica µ,
coeficiente de expansión térmica β = −(
1
ρ0
)(
∂ρ
∂T
)P,
conductividad térmica k, difusividad térmica ƞ, y el calor
especıfico Cp se consideran constantes; y la disipación de
energía mecánica se desprecia. Matemáticamente la
aproximación de Boussinesq, con estructura incompresible,
se describe por las ecuaciones adimensionales
t > 0
ut −
1
Re
∆u + (u ∗ ∆)u =
Ra
Pr ∗ Re2
θe
∇ ∗ u = 0
θt −
1
Re ∗ Pr
∆θ + u ∗ ∇θ = 0
Donde:
𝐮 Velocidad
𝐩 Presión
𝛉 Temperatura
Los parámetros adimensionales:
𝐑𝐞 Números de Reynolds.
𝐑𝐚 Números de Rayleigh.
𝐏𝐫 Números Prandtl.
𝐞 Es el vector unitario en la dirección de la gravedad.
Ra =
βl3
kgρ0
2
μ3cp
(T1 − T0)
Pr =
k
μcp
, donde las temperaturas de referencia
T0 y T1, con T0 < T1, pueden ser las temperaturas de las
paredes laterales de la región de flujo, cuando esta es una
cavidad rectangular, l y U son la longitud y velocidad de
referencia o característica, v =
μ
ρ0
es la viscosidad
cinematica y g la constante gravitacional.

3. Método numérico
Las derivadas temporales ωt y θt se aproximan mediante:
ft(x(n + 1)∆t) ≈
3fn+1
− 4fn
+ fn−1
2∆t
, x ϵ Ω
Donde n ≥ 1, ∆t denota el tamaño de paso en el
tiempo y fr ≈ f(x, r∆t). Se sabe que es una aproximación de
segundo orden para una función f suficientemente suave.
C. FLUJOS MULTIFASICOS
En la Coordinación de Ingeniería de Procesos
Industriales y Ambientales se realizan estudios sobre los
flujos multifásicos. Conocer el comportamiento de estos
flujos es muy importante, puesto que son predominantes en la
naturaleza y en los sistemas industriales. Podemos encontrar
flujos de mezclas multifásicas en todas partes: en la red de
agua potable, en los volcanes, en el sistema cardiovascular,
en el tracto gastrointestinal e incluso dentro de las células,
comenta el doctor Enrique Guzmán Vázquez, investigador
del IIUNAM.
“En términos generales el estudio de los flujos de
mezclas multifásicas es bastante complejo. Normalmente es
preciso conocer todas las propiedades fisicoquímicas de cada
uno de los componentes de la mezcla. Además se debe
considerar que dichas propiedades pueden cambiar con el
tiempo y que tienen lugar ciertos procesos químicos. Por
ejemplo, algo que es muy usual en la práctica es que
aparezcan cambios de temperatura que modifican las
viscosidades o que producen evaporación o condensación, o
que producen crecimiento de cristales, etcétera. Por otra parte
-continúa el doctor Guzmán- está el problema de la
configuración geométrica de los conductos por los que
transcurre el flujo. Todo esto se combina para hacer que la
descripción matemática del problema sea compleja. Las
ecuaciones no son triviales y, por si fuera poco, cada caso de
estudio es único y debe considerarse por separado. No
podemos asumir ni descartar nada a priori porque se corre el
riesgo de omitir los detalles importantes que verdaderamente
caracterizan al sistema estudiado”.
Grafico. Tipos de flujos
Fórmula que rigen los flujos multifasicos
D. MAGNETOHIDRODINÁMICA
Según (Navarra, 2007) “La magnetohidrodinámica
(MHD) estudia la dinámica de los fluidos que son buenos
conductores de la electricidad, y específicamente los efectos
que aparecen por la interacción entre el movimiento del fluido
y un campo magnético cualquiera que pueda estar presente”
“La magnetohidrodinámica (MHD) es la disciplina
académica que estudia la dinámica de fluidos conductores de
electricidad en presencia de campos eléctricos y magnéticos.
Ejemplos de tales fluidos son los plasmas, los metales
líquidos y el agua salada. El término magnetohidrodinámica
deriva de magneto-, que significa campo magnético, hidro-,
que significa líquido, y dinámica, que significa movimiento”
(P.H & T.H, 2007)
Ecuaciones
“La magnetohidrodinámica (MHD) es una teoría
para estudiar la dinámica de un plasma (gas ionizado) en
presencia de un campo magnético”. (Escamilla, 2016)
Una forma sencilla de derivar esta teoría consiste en
juntar las ecuaciones de Maxwell y las ecuaciones para la
dinámica de un fluido, junto con la ley de Ohm y la suposición
de que los movimientos son no relativistas. (Escamilla, 2016)
“La MHD ideal es una versión simplificada de la
MHD en la que se añaden las suposiciones adicionales de que
el plasma es un conductor perfecto y con viscosidad nula”
(Escamilla, 2016)
Ecuaciones de Maxwell:
Donde E y B son los campos eléctrico y magnético,
respectivamente, 1* es la densidad de carga, j la densidad de
corriente, c la velocidad de la luz y 34 y > la permitividad y
la permeabilidad magnética, respectivamente.
Ecuaciones básicas de la magnetohidrodinámica (MHD):

4. Un fluido neutro con una conductividad σ que se
mueve con un campo de velocidades v, puede interactuar con
un campo magnético presente en su entorno (ya sea externo o
generado por la propia dinámica). (Navarra, 2007)
Las ecuaciones que gobiernan el problema se
derivan de las ecuaciones de Maxwell (para el campo
magnético B) y de la ecuación de Navier-Stokes incluyendo
la fuerza de Lorentz. (Navarra, 2007)
∂t B = ∇ × ( v × B ) + 1/(μ0 σ)∇2B
(∂t + v ⋅ ∇ ) v = - 1/ρ∇ p + ν∇2 v + Fext + 1/(ρ μ0)(∇ × B )
× B
(∂t + v ⋅ ∇ ) B = ( B ⋅ ∇ ) v + ∇2 B = Eij(v) B + ∇2 B
Si el fluido conductor está rodeado de un aislante
perfecto, las condiciones son relativamente "amigables". El
problema se complica cuando el material está rodeado de un
conductor con conductividad diferente: son necesarias
corrientes de superficie que difícilmente pueden ser incluidas
en la evolución. (Navarra, 2007)
Aplicaciones
Geofísicos
- Se piensa que el núcleo fluido de la Tierra y otros planetas es
una dinamo MHD enorme que genera el campo magnético de
la Tierra por el movimiento de la roca fundida. (Fundación
Wikimedia, 2018)
Astrofísicos
- La MHD se aplica muy bien a la astrofísica pues cerca del 99
% del contenido de la materia bariónica está hecha de plasma,
como las estrellas, el medio interplanetario (espacio entre los
planetas), el medio interestelar (espacio entre las estrellas),
nébulas y los chorros relativistas. (Fundación Wikimedia,
2018)
Ingeniería
“La MHD se relaciona con problemas de ingeniería
tales como confinamiento de plasma, enfriamiento por
metales líquidos de los reactores nucleares y el moldeado
electromagnético, entre otros” (Fundación Wikimedia, 2018)
E. APLICACIÓN DE MN PARA FLUJOS
PARTICULADOS.
El proposito es la obtención de propiedades de
convergencia y estabilidad para dos esquemas numéricos que
permiten resolver las ecuaciones incompresibles de Navier-
Stokes. Dichos esquemas han sido obtenidos modificando
ligeramente otros debidos a R. Glowinski, cuya convergencia
no había sido estudiada hasta la fecha. En una primera etapa,
se usan métodos de direcciones alternadas del tipo de
Peaceman-Rachford y de Strang. Esto reduce el problema a
la resolución de problemas elípticos lineales del tipo de
Stokes y problemas elípticos quasi-lineales. En la segunda
etapa, estos problemas se resuelven numéricamente usando
varios métodos de aproximación en espacio (elementos
finitos), (para los problemas no lineales es conveniente
introducir una formulación de tipo minimos cuadrados). La
convergencia de las soluciones aproximadas hacia la solución
del problema inicial se verifica bajo ciertas condiciones
especificas de estabilidad. Las propiedades obtenidas vienen
a justificar los buenos resultados numéricos conseguidos
utilizando los métodos de Glowinski
Una característica importante de las ecuaciones
Navier-Stokes es la capa límite, lo cual hace necesario
emplear mallas muy finas. Ya que los métodos explícitos de
integración temporales tienen una restricción inherente de
estabilidad, requieren escoger sus periodos de tiempo sobre
estas mallas con base únicamente en la estabilidad y no
mediante el control de error. Esto hace que sea deseable el
uso de métodos implícitos de integración temporal; sin
embargo, el empleo de estos esquemas exige la resolución de
sistemas de ecuaciones no lineales.
Considerando métodos numéricos para ecuaciones
de Navier-Stokes de flujo compresible y dependientes del
tiempo. Se discute la discretización espacial mediante los
métodos de Galerkin discontinuos y de volúmenes finitos, la
integración temporal a través de los métodos implícitos de
Rosenbrock y Runge-Kutta, así como la solución de sistemas
de ecuaciones lineales y no lineales por medio de Newton-
Krylov libre del jacobiano y métodos multimalla. Se
consideran diversos problemas de flujo inestable para mostrar
sus aplicaciones. El texto está dirigido a matemáticos e
ingenieros.
IV. CONCLUSIONES
Las aplicaciones de los métodos numéricos del flujo
de fluidos ayudan al desarrollo de nueva tecnología a través
del entendimiento de problemas complejos de los flujos.
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