Ejercicios resueltos

1. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
DPTO. DE ESTADISTICA Y ECONOMETRIA
TALLER DE ESTADISTICA.
Ejemplos:
1.- Suponga que el número de paquetes de 1000 acciones cada uno, que un corredor de Bolsa
vende un día Viernes entre las 9:00 y 10:00 hrs , corresponde a una variable aleatoria X ,cuya
función de probabilidad está dada por :
X 4 5 6 7 8 9
P(X=x) 1/12 1/12 1/4 1/4 1/6 1/6
a) ¿ Cuál es la probabilidad que el corredor de Bolsa en el día y período indicados, venda a lo
más 8 paquetes de acciones, si ya ha vendido más 5 de dichos paquetes ?.
Desarrollo
Sea la v.a X : “ N° de paquetes de acciones vendidas por el corredor de Bolsa el día y
horario indicado”
8,0
5
4
6
5
3
2
)5(
)85(
)5/8( ===
>
≤<
=>≤
XP
XP
XXP
b) El monto de los honorarios que el corredor de Bolsa cobra a sus clientes por la venta de cada
paquete de acciones está dado por 12)( −•= Xxg (diez miles de $). Determine el monto
esperado de los honorarios del corredor de Bolsa por la venta de dichos paquetes de acciones
durante el día y período indicados.
Desarrollo
[ ] acciones)de(paquetes8333,6
6
41
6
1
9
2
1
4 ==⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅=XE
Luego [ ] [ ] 666.126$$)(6666,1218333,6212)( ==−•=−⋅= milesDiezXEXgE
2.- Una empresa dedicada a la elaboración y venta de alimentos para guaguas, pretende poner en
el mercado cierto producto en tres sabores : Naranja ( A ), Frutilla ( B ) y Plátano ( C ) en la
proporción 35%, 45% y 20% respectivamente. El departamento de investigación ha logrado
establecer mediante pruebas que, el 4,5%, el 6,5% y el 7,0% de estos respectivos productos,
presentan problema en el sellado del sabor.
a) De la proporción total de productos con problemas de sellado del sabor, ¿qué % corresponden
al tipo B?
Desarrollo
Sean los sucesos A: “ El producto tiene sabor a Naranja”
B: “ El “ “ “ “ a Frutilla”
C: “ El … “ “ a Plátano”
S: “ El producto tiene problemas de sellado del sabor”
Prof: O. Aranda Ch.

2. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
DPTO. DE ESTADISTICA Y ECONOMETRIA
Luego :
07.0)|(;065.0)|(;045.0)|(
20.0)(;45.0)(;35.0)(
===
===
CSPBSPASP
CPBPAP
)(
)()|(
)|(
SP
BPBSP
SBP
⋅
= , donde la probabilidad P(S) es:
059,020,007,045,0065,035,0045,0)( =⋅+⋅+⋅=SP
Por tanto:
productoslosdementeaproximadaUn
SP
BPBSP
SBP
%58,49
4958,0
059,0
45,0065,0
)(
)()|(
)|( ≈
⋅
=
⋅
=
b) Si resultó un producto bien sellado, ¿cuál es la probabilidad de que no corresponda al tipo B
ó C?
[ ] ????|)( =cc
SCBP  pero esto es equivalente a que sea de A.
941,0059,01)(1)( =−=−= SPSP c
Luego:
%52,35
3552,0
941.0
35,0955,0
)(
)()|(
)|(
unmenteAproximada
SP
APASP
SAP c
c
c
=
⋅
=
⋅
=
3.- Un estudiante en práctica ha construido una función de cuantía para el número de errores
detectados en una declaración de la renta cualquiera, llegando a la siguiente expresión:
5,4,3,2,1,0;
9
|3
)( =
−
== x
x
xXP
a) El costo adicional de administración generado por cada declaración con errores, es el
siguiente: $ 800 , $ 1.050 y $ 1.250 , según el número de errores sea: de a lo más uno, de 2
a 3 ó exceda a 3 respectivamente.¿En cuanto se estima el costo adicional esperado de
administración generado por 1.500 declaraciones ?.
Desarrollo
Sea X:” Nº de errores detectados en una declaración de renta” ,
La función de (cuantía)
Prof: O. Aranda Ch.
X 0 1 2 3 4 5
P(X
)
3/9 2/9 1/9 0 1/9 2/9

3. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
DPTO. DE ESTADISTICA Y ECONOMETRIA
Función de costo adicional:







==
==
==
=
casootrotodoen
xxsi
xxsi
xxsi
xC
0
5;41250$
3;21050$
1;0800$
)(
Luego:
[ ]
)(78,977$
9
3
1250$.......
9
5
800$
)5;4(1250$)3;2(1050$)1;0(800$)(
ndeclaraciópor
xxPxxPxxPxCE
=•++•=
==•+==•+==•=
Por tanto, el costo estimado esperado para las 1500 declaraciones es: 1500*$977,78 =
$1.466.670
b) Si el número de declaraciones detectadas con errores en un día cualquiera viene dada por la
expresión:
1
3000
)(
+
=
x
xN ; determine el número esperado diario de declaraciones detectadas con
error.
Desarrollo
Sea N(x) : “ cantidad de declaraciones detectadas con errores” , luego
La distribución N(x):
Luego aplicando la definición de esperanza:
[ ]
erroresconectadasnesdeclaraciomenteaproximada
xNE
det1622
222,1622
9
2
500..........
9
2
1500
9
3
3000)( =•++•+•=
4.- Considere la siguiente distribución de probabilidades para la v.a.
X: “número de cuentas de créditos rechazadas “, en un mes cualquiera.
X 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
P(X) 0.27 0.07 0.05 0.12 0.10 0.09 0.07 0.04 0.17 0.02
Prof: O. Aranda Ch.
X 0 1 2 3 4 5
P(X) 3/9 2/9 1/9 0 1/9 2/9
N(X) 3000 1500 1000 750 600 500

4. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
DPTO. DE ESTADISTICA Y ECONOMETRIA
a) ¿De cuánto es el número esperado de cuentas rechazadas en un año?
Sea X: “ nº de cuentas de créditos rechazadas” en un mes cualquiera
Se pide
cuentasXPXXE ii 62,13...........27,010)()(
19
10
=+⋅=⋅= ∑
En el año: 12*13,62 =163,44, aproximadamente 163 cuentas
b) Si por cada cuenta que es rechazada se genera un costo de operación de $1280
más un valor fijo de $34,5. ¿De cuánto es el costo esperado en 200 cuentas
rechazadas?.
Sea:
rechazadacuentaporoperacióndetosXC cos:)(
5,341280$)( +⋅= XXC ; ecuación de costo por cuenta rechazada
Costo esperado en 200 cuentas rechazadas:
620.493.3$:200
,1,468.17$
5,3462,1312805,34)(1280))((
cuentasen
rechazadacuentapor
XEXCE
=
+⋅=+⋅=
c) ¿Qué % de las veces se rechazan más de 15 cuentas?
Obtenemos: 30,0....)17()16()15( =++++=+==> XPXPXP
es decir: el 30% de las veces.
5.- Supóngase que el 2,5% de los rollos de tela de Algodón presentan alguna falla, el
5,8% de los rollos de tela mixta (fibra-algodón) presentan alguna falla, y lo mismo con
el 3,6% de los rollos de tela de Nylon. De los rollos utilizados por un fabricante, 48%
son de Algodón, un 23% de tela Mixta y el resto de Nylon.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar al azar uno de los rollos éste presente
alguna falla?
SOLUCIÓN:
Se pide: P(F)= ??
Sean: A:” El rollo de tela es de Algodón”
B:” El rollo de tela es de tela Mixta”
C:” El rollo de tela es de Nylon”
F:” El rollo presenta alguna falla”
Se tiene que:
036.0)|(;058.0)|(;025.0)|(
29.0)(;23.0)(;48.0)(
===
===
CFPBFPAFP
CPBPAP
luego:
03578.0......025.048.0)( =++⋅=FP
Aproximadamente un 3,58% de las telas presentan alguna falla.
Prof: O. Aranda Ch.

5. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
DPTO. DE ESTADISTICA Y ECONOMETRIA
b) Si se encontró que un rollo seleccionado al azar contenía fallas, ¿cuál es la
probabilidad de que no sea de tela mixta?
Se pide: P(M’ |F) = ???
Pero
3728.0
03578.0
23.0058.0
)(
)()|(
)(
)(
)|(
:);|(1)|'(
=
⋅
=
⋅
=
∩
=
=−=
FP
MPMFP
FP
FMP
FMP
dondedeFMPFMP
Finalmente:
adprobabiliddeUn
FMP
%72,62
6272.03728.01)|'( =−=
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar al azar tres de estos rollos,
ninguno de ellos presente alguna falla?
Sea: Ri : “ El rollo i-ésimo seleccionado no presenta alguna falla”
se pide:
????)( 321 =∩∩ RRRP
; como la probabilidad de que un rollo cualquiera no
presente falla es: P(F’)= 1 – 0,03578 = 0,9644 y asumiendo que existe independencia
en que los rollos presenten o no fallas, se tiene:
adprobabiliddeUn
RPRPRPRRRP
%7,89
;897,089695,0)9644,0()()()()( 3
321321 ≈==⋅⋅=∩∩
Ejercicios propuestos.
1.- En una encuesta pública se determina que la probabilidad de que una persona
cualesquiera consuma el producto A es 0,50, que consuma el producto B es 0,37, que
consuma el producto C es 0,30; que consuma el producto A y B es 0,12; que consuma
solamente A y C es 0,08; que consuma solamente B y C es 0,05 y que consuma
solamente C es 0,15. Calcule la probabilidad que una persona consuma:
a) A ó B pero no C. (b) Solamente A. (c) Ninguno de ellos
c) Cualquiera de ellos (d) Solamente B y C. (e) Solamente uno de ellos
2.- Una persona está interesada en invertir su dinero en acciones. Estudios estadísticos
demuestran que las preferencias de acciones del mercado están representadas por las
acciones de tipo A, B y C; con un 43% de preferencia para el tipo A y un 37% de
preferencia para el tipo C. Además se dispone de información relativa a la rentabilidad
de estas acciones, presentándose la acción tipo B como la más rentable con un 70%,
seguida de la acción tipo A con un 55% y por último la acción tipo C, con un 34% de
probabilidad de ser rentable.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona no gane dinero con las acciones
adquiridas?
Prof: O. Aranda Ch.

6. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
DPTO. DE ESTADISTICA Y ECONOMETRIA
b) Si la persona obtuvo rentabilidad con las acciones adquiridas, ¿Con qué
probabilidad no adquirió acciones tipo B?
3.- Una empresa de seguro, al realizar un control aleatorio de sus clientes pudo
constatar que de 1000 clientes, 800 hacen al menos un deporte, entre Fútbol, Tenis o
Baloncesto. De ellos, 400 practican Fútbol, 350 baloncesto, 300 tenis; 100 fútbol y
baloncesto; 130 baloncesto y tenis, 80 fútbol y tenis, y 60 practican los tres deportes.
Si seleccionamos un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) Practique sólo fútbol? R: 0,28
b) No juegue Tenis? R: 0,7
c) Juegue sólo tenis y fútbol? R: 0,02
d) Juegue baloncesto pero no tenis o fútbol? R: 0,18
e) Practique sólo uno de ellos? R: 0,61
f) Practique tenis o baloncesto? R: 0,52
g) Practique sólo dos de ellos? R: o,13
4.- El número de imperfecciones producidas durante el proceso de fabricación de cierto artículo,
corresponde a una variable aleatoria, con un número esperado de 0,439 (imperfecciones /artículo)
y función de probabilidad dada por :
x 0 1 2 3 4
P(x) 0,735 a 0,078 0,03 b
a) Determine los valores de a y b tal que P(X) sea una función de cuantía.
b) El costo adicional en el cuál incurre el fabricante por reparación de las imperfecciones
producidas en un artículo durante su proceso de fabricación, es de : $ 550 ; $ 800 ; $ 1150
y $ 1450, según el artículo presente 1 ; 2 ; 3 ó 4 imperfecciones respectivamente.
Si el costo de producción de un artículo sin imperfecciones es de $ 9.500 y en determinado
período son producidos 200 artículos, determine el costo esperado de producción de dichos
artículos.
R: a=0,145 b= 0,012
R:
1.938.810$9694,05200$ =⋅
Prof: O. Aranda Ch.

7. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
DPTO. DE ESTADISTICA Y ECONOMETRIA
b) Si la persona obtuvo rentabilidad con las acciones adquiridas, ¿Con qué
probabilidad no adquirió acciones tipo B?
3.- Una empresa de seguro, al realizar un control aleatorio de sus clientes pudo
constatar que de 1000 clientes, 800 hacen al menos un deporte, entre Fútbol, Tenis o
Baloncesto. De ellos, 400 practican Fútbol, 350 baloncesto, 300 tenis; 100 fútbol y
baloncesto; 130 baloncesto y tenis, 80 fútbol y tenis, y 60 practican los tres deportes.
Si seleccionamos un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) Practique sólo fútbol? R: 0,28
b) No juegue Tenis? R: 0,7
c) Juegue sólo tenis y fútbol? R: 0,02
d) Juegue baloncesto pero no tenis o fútbol? R: 0,18
e) Practique sólo uno de ellos? R: 0,61
f) Practique tenis o baloncesto? R: 0,52
g) Practique sólo dos de ellos? R: o,13
4.- El número de imperfecciones producidas durante el proceso de fabricación de cierto artículo,
corresponde a una variable aleatoria, con un número esperado de 0,439 (imperfecciones /artículo)
y función de probabilidad dada por :
x 0 1 2 3 4
P(x) 0,735 a 0,078 0,03 b
a) Determine los valores de a y b tal que P(X) sea una función de cuantía.
b) El costo adicional en el cuál incurre el fabricante por reparación de las imperfecciones
producidas en un artículo durante su proceso de fabricación, es de : $ 550 ; $ 800 ; $ 1150
y $ 1450, según el artículo presente 1 ; 2 ; 3 ó 4 imperfecciones respectivamente.
Si el costo de producción de un artículo sin imperfecciones es de $ 9.500 y en determinado
período son producidos 200 artículos, determine el costo esperado de producción de dichos
artículos.
R: a=0,145 b= 0,012
R:
1.938.810$9694,05200$ =⋅
Prof: O. Aranda Ch.