Evaluacion para Psicometria I

1. RepúblicaBolivarianadeVenezuela
MinisteriodelPoderPopularParalaeducaciònsuperior
UniversidadBicentenariadeAragua
ExtensiónValledeLaPascuaEstadoGuárico
TrabajoPsicometría
Facilitador: Participante:
LuisM.Silva. AngelaPinto
CI:28.105.860

2. ConceptodeModeloUniforme
LadistribuciónUniformeeselmodelocontinuomássencillo.Pertenecealcasode
unavariablealeatoriaquesólopuedetomarvalorescomprendidosentredosextremos
ayb,demaneraquetodoslosintervalosdeunamismalongitud(dentrode(a,b))
tienen la misma probabilidad. También puede expresarse como elmodelo
probabilísticocorrespondienteatomarunnúmeroalazardentrodeunintervalo(a,b).
Delaanteriordefiniciónsedesprendequelafuncióndedensidaddebetomarel
mismovalorparatodoslospuntosdentrodelintervalo(a,b)(ycerofueradel
intervalo),esdecir:
Formula:
Graficamenteseríaasí:

3. Lafuncióndedistribuciónseobtieneintegrandolafuncióndedensidadyvienedada
por:
Graficamentesería:
CaracteristicasdelModeloUniforme
 Enladistribuciondeprobabilidaduniformediscreta,lavariablealeatoriatoma
cadaunodesusvaloresconidénticaprobabilidad.
 Elparámetrodeladistribuciondeprobabilidaduniformediscreta,vienedado
porlainversadelosvaloresquepuedetomarlavariablealeatoria.
 Lavariablealeatoriaquedescribeelnumerodecarasobtenidasallanzardos
monedaslegalessigueunaprobabilidaddedistribuciónuniforme.
 Lamediadeunavariablealeatoriadiscretauniforme,f(x;k),siemprecoincide
conunodelosvaloresdelamismaobservadosenelexperimento.
 Lavarianzadeunavariablealeatoriadiscretauniforme,f(x;k),nodependedel
numerodevaloresquepuedatomarlavariable.

4. ConceptodeModeloBinomial
Unadistribuciónbinomialesunadistribucióndeprobabilidaddiscretaquedescribeel
númerodeéxitosalrealizarnexperimentosindependientesentresí,acercadeuna
variablealeatoria.
Existen una gran diversidad de experimentos o sucesos que pueden ser
caracterizadosbajoestadistribucióndeprobabilidad.Imaginemosellanzamientode
unamonedaenelquedefinimoselsuceso“sacarcara”comoeléxito.Silanzamos5
veces la moneda y contamos los éxitos (sacarcara)que obtenemos,nuestra
distribucióndeprobabilidadesseajustaríaaunadistribuciónbinomial.
Porlotanto,ladistribuciónbinomialseentiendecomounaseriedepruebasoensayos
enlaquesolopodemostener2resultados(éxitoofracaso),siendoeléxitonuestra
variablealeatoria.
CaracteristicasdelModeloBinomial
 Encadaensayo,experimentoopruebasolosonposiblesdosresultados(éxito
ofracaso).
 Laprobabilidaddeléxitohadeserconstante.Estaserepresentamediantela
letrap.Laprobabilidaddequesalgacaraallanzarunamonedaes0,5yestaes
constante dado que la moneda no cambia en cada experimento y las
probabilidadesdesacarcaraesconstate.
 Laprobabilidaddefracasohadesertambiénconstate.Estaserepresenta
mediantelaletraq=1-p.Esimportantefijarsequemedianteesaecuación,
sabiendoposabiendoq,podemosobtenerlaquenosfalte.
 Elresultadoobtenidoencadaexperimentoesindependientedelanterior.Porlo
tantoloqueocurraencadaexperimentonoafectaalossiguientes.
 Lossucesossonmutuamenteexcluyentes,esdecir,nopuedenocurrirlos2al
mismotiempo.Nosepuedeserhombreymujeralmismotiempooqueal
lanzarunamonedasalgacaraycruzalmismotiempo.
 Lossucesossoncolectivamenteexhaustivos,esdecir,almenosunodelos2
hadeocurrir.Sinoseeshombre,seesmujerysiselanzaunamoneda,sino
salecarahadesalircruz.
 Lavariablealeatoriaquesigueunadistribuciónbinomialsesuelerepresentar

5. comoX~(n,p).nrepresentaelnúmerodeensayosoexperimentosypla
probabilidaddeéxito
FormuladelModeloBinomial
Donde:
n =númerodeensayos/experimentos
x =númerodeéxitos
p =probabilidaddeéxito
q =probabilidaddefracaso(1-p)
Marco,F. (2019) "Distribución Binomial" Recuperado de:
https://economipedia.com/definiciones/distribucion-binomial.html
ModelodePoisson
Esunadistribucióndeprobabilidaddiscretaqueexpresa,apartirdeunafrecuencia
deocurrenciamedia,laprobabilidaddequeocurraundeterminadonúmerodeeventos
duranteciertoperíododetiempo.
CaracteristicasdelModeloPoisson
 Eltamañodelamuestraesgrande:n→ ∞.
 Lossucesosoeventosconsideradossonindependientesentresíyocurren
aleatoriamente.
 LaprobabilidadPdequeciertosucesoyocurraduranteunperiododetiempo

6. concretoesmuypequeña:P→ 0.
 Laprobabilidaddequeocurramásdeunsucesoenelintervalodetiempoes0.
 Elvalorpromedioseaproximaaunaconstantedadapor:μ=n.p(nesel
tamañodelamuestra)
 Puestoqueladispersiónσesigualaμ,amedidaqueestaadoptavaloresmás
grandes,lavariabilidadtambiénsehacemayor.
 Lossucesosdebenestardistribuidosuniformementeenelintervalodetiempo
usado.
 Elconjuntodeposiblesvaloresdelsucesoyes:0,1,2,3,4….
 LasumadeivariablesquesiguenunadistribucióndePoisson,estambiénotra
variabledePoisson.Suvalorpromedioeslasumadelosvalorespromediode
dichasvariables
FormuladelModeloPoisson
LaformamatemáticadeladistribucióndePoissoneslasiguiente:
–Lavariablealeatoriaesy
–μ(tambiénavecesdenotadocomoλ)eslamediaoparámetrodeladistribución
–NúmerodeEuler:e=2.71828
–Laprobabilidaddeobtenery=kesP
–keselnúmerodeéxitos0,1,2,3…
–neselnúmerodepruebasoeventos(eltamañodelamuestra)
Lasvariablesaleatoriasdiscretas,comosunombreloindica,dependendelazary
únicamentetomanvaloresdiscretos:0,1,2,3,4…,k.

7. Lamediadeladistribuciónvienedadapor:
Lavarianzaσ,quemideladispersióndelosdatos,esotroparámetroimportante.Para
ladistribucióndePoissones:
σ=μ
Poissondeterminóquecuandon→ ∞,yp → 0,lamediaμ–tambiénllamadavalor
esperado–tiendeaunaconstante:
μ→ constante
Importante:peslaprobabilidaddeocurrenciadeleventotomandoencuentala
poblacióntotal,mientrasqueP(y)eslaprediccióndePoissonsobrelamuestra.
Zapata,F.(2019) "Distribución de Poisson:Formúlas,ecuaciones,modelos y
propiedades"Recuperadode:https://www.lifeder.com/distribucion-de-poisson/
ModeloHipergeometrico
Esunadistribucióndiscretaquemodelaelnúmerodeeventosenunamuestrade
tamañofijocuandoustedconoceelnúmerototaldeelementosenlapoblacióndela
cualprovienelamuestra.Cadaelementodelamuestratienedosresultadosposibles
(esuneventoounnoevento).
CaracteristicasdelModeloHipergeometrico
 Alrealizarunexperimentoconestetipodedistribución,seesperandostipos
deresultados.
 Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son
constantes.
 Cadaensayoorepeticióndelexperimentonoesindependientedelosdemás.
 Elnúmeroderepeticionesdelexperimento(n)esconstante.

8. FormuladelModeloHipergeometrico
LafórmuladeladistribuciónhipergeométricadalaprobabilidadPdequexcasos
favorables de cierta característica ocurran. La manera de escribirla
matemáticamente,enfuncióndelosnúmeroscombinatorioses:
EnlaexpresiónanteriorN,nymsonparámetrosyxlavariablepropiamentedicha.
–PoblacióntotalesN.
-Número de resultados positivos de cierta característica binaria respecto de la
poblacióntotalesn.
-Cantidaddeelementosdelamuestraesm.
En estecaso,X esunavariablealeatoriaquetomaelvalorxyP(x)indicala
probabilidaddeocurrenciadexcasosfavorablesdelacaracterísticaestudiada.
DistribucionZnormal
Distribuciónnormalogaussiana.Funcióndedensidaddeprobabilidadparalavariable
aleatoriacontinua.FuedescubiertaporCarlGaussalestudiarelcomportamientode
losprocesosaleatorios.Esampliamenteutilizadaenestadísticayteoríadelas
probabilidades
CaracteristicaDistribucionZnormal
 Laformadelacurvadeladistribucióndependedesusdosparámetros:la
mediayladesviaciónestándar.
 Lamediaindicalaposicióndelacampana,lagráficasedesplazaalolargodel
ejex.
 Amayordesviaciónlacurvaserámás"plana",dadoqueladistribución,eneste
caso,presentaunamayorvariabilidad.
 Lacurvaessimétricarespectoalamedia.
FormuladeDistribuciondeZnormal

9. Lafunciónasociadaaladistribuciónnormalestádadapor:
Donde:μ:mediadeladistribución.
σ:desviaciónestándardeladistribución.
π=3.1415926535…
x:variablealeatoria.
AunadistribuciónnormaldemediaμydesviaciónestándarσseledenotaN(μ,σ).
Ladistribuciónnormalcuandoμ=0yσ=1recibeelnombredecurvanormalunitaria
(N(0,1))
DistribuciónTdeStudent
Esunadistribucióndeprobabilidadquesurgedelproblemadeestimarlamediade
unapoblaciónnormalmentedistribuidacuandoeltamañodelamuestraespequeño.
CaracteristicasdelaDistribucionTdeStudent
 Essimétrica,conμ=0.SuformaesmuyparecidaalaN(0,1),aunquemenos
apuntada.
 Puedetomarcualquiervalorentre-∞ y+∞.
 Amedidaqueaumentanlosgradosdelibertad,ladistribuciónseaproximamás
aunadistribuciónnormal.
 Lacurvaesasintóticaalejedeabscisas.

10. FormuladeDistribucióndeTdeStudent
LadistribucióntdeStudentesladistribucióndeprobabilidaddelcociente:
donde:
 Zesunavariablealeatoriadistribuidasegúnunanormaltípica(demedia
nulayvarianza1).
 Vesunavariablecontinuaquesigueunadistribuciónχ²congradosde
libertad.
 ZyVsonindependientes
DistribucionFdeSnedecor
Usada en teoría de probabilidad y estadística,la distribución F es una
distribucióndeprobabilidadcontinua.Tambiénselaconocecomodistribución
FdeSnedecor(porGeorgeSnedecor)ocomodistribuciónFdeFisher-Snedecor
CaracteristicasDistribucionFdeSnedecor
 Esasimétricapositivaporloquenuncatomavaloresmenoresque0.
 SiXesunavariablecondistribuciónFconn1yn2gradosdelibertad,
entonceslavariableY=1/XestambiénunadistribuciónFconn1yn2
gradosdelibertad(propiedadrecíproca).
FormulaDistribuciónFdeSnedecor
SiX1 yX2 son variables aleatorias independientes,con distribución chi-
cuadradoconn1yn2gradosdelibertadrespectivamente,entoncesunanueva
variableFdefinidaporF=(X1/n1)/(X2/n2)sigueunadistribuciónFconn1y
n2gradosdelibertad(Fn1,n2).
Siendo“n1”losgradosdelnumeradory“n2”losdeldenominador.

11. DistribuciónChicuadrado
Sirveparasometerapruebahipótesisreferidasadistribucionesdefrecuencias.
Entérminosgenerales,estapruebacontrastafrecuenciasobservadasconlas
frecuenciasesperadasdeacuerdoconlahipótesisnula.
CaracteristicasdeDistribucionChiCuadrado
 Ladistribuciónesasimétricapositiva.
 A medida queaumenta eltamaño dela muestra la curva esmenos
asimétrica,aproximándoseaunacurvanormal.
 Paracadatamañomuestral,setendráunadistribuciónχ2diferente.
 Elparámetroquecaracterizaaunadistribuciónχ2sonsusgradosde
libertad(n-1),originadounadistribuciónparacadagradodelibertad.
FormulaDistribuciónChiCuadrado